基于切比雪夫(Chebyshev)多项式最小二乘拟合与端点约束的AGV加减速S型速度规划算法研究

《World Electric Vehicle Journal》：Harmonic Function Approximation-Based Acceleration and Deceleration Algorithm for Orthogonal-Motion AGVs in Intelligent Pallet Parking Shuaiti Gu, Wenna Zhang, Changhong Li and Xianyue Gang

　　

摘要：本文提出一种应用于自动导引车(Automated Guided Vehicle, AGV)及电动汽车(Electric Vehicle, EV)运动控制的加减速算法(Acceleration–Deceleration Algorithm, S-Curve Planning)，采用三阶切比雪夫(Chebyshev)多项式作为基函数，结合最小二乘拟合(Least-Squares Fitting)与端点约束(Endpoint Constraints)构造平滑加速度曲线以逼近正弦加速度轮廓。研究人员以边界条件f(0)=0、f(0.5)=1对初始拟合多项式进行线性修正，并通过区间对称延拓获得完整加减速周期内的分段三次多项式加速度函数。所提出的优化多项式Popt(x)=3x?4x3及其对称形式在[0,0.5]区间内相较Su Kai等人与Ding Chengjun等人既有拟合方法更接近sin(πx)曲线。研究人员将该方法嵌入三段式AGV运动模型（加速段T1、匀速段T2、减速段T3），验证了该算法在平滑性、最大加速度可控性及计算效率上的适用性，可为AGV/EV运动控制器提供低抖振的速度规划方案。

论文解读：基于Chebyshev多项式最小二乘拟合与端点约束的AGV加减速S型速度规划算法研究

一、研究背景与意义

自动导引车(Automated Guided Vehicle, AGV)与电动汽车(Electric Vehicle, EV)的高精度运动控制要求速度规划具备加速度连续、急动度(Jerk)有界及最大加速度可控等特性，传统梯形速度规划因加速度阶跃引起机械振动与跟踪误差。S型(S-Curve)加减速算法通过构造连续变化的加速度曲线可缓解此问题，但其常用七段式或高阶样条增加了计算负担或拟合偏差。现有基于正弦或经验多项式的近似方法在边界匹配与拟合精度上存在不足。本文（发表于《World Electric Vehicle Journal》，WEVJ 17 00181）研究人员针对此问题，采用切比雪夫(Chebyshev)多项式在归一化区间上对目标正弦加速度轮廓作最小二乘拟合(Least-Squares Fitting)，引入端点约束(Endpoint Constraints)修正系数，构建三阶分段多项式形式的加减速算法，旨在兼顾曲线平滑性、边界严格匹配及实时计算效率，为AGV/EV嵌入式运动控制器提供可行的速度规划方案。

二、主要关键技术方法

研究人员选取三阶Chebyshev多项式为基函数，在归一化区间x∈[0,0.5]上对目标函数f(x)=sin(πx)作最小二乘拟合得初步多项式q(x)；施加边界条件q_corr(0)=0、q_corr(0.5)=1构造修正项C(x)=ax+cx³，解算得优化多项式P_opt(x)=3x?4x³（式9）；通过对x=0.5轴对称延拓得后半段P_opt1(x)=?1+9x/T?12(x/T)²+4(x/T)³（式10）；将归一化变量x=t/T₁（加速）或(t?T₁?T₂)/T₃（减速）代入，结合零加速度匀速段构建全周期分段加速度函数a(t)（式13），其中T₁、T₂、T₃分别为加速、匀速、减速时长，a_m为设定最大加速度。

三、研究结果

3.1.1 Least-Squares Fitting of Chebyshev Polynomials（切比雪夫多项式最小二乘拟合）

研究人员在[0,0.5]区间以Chebyshev多项式为基对sin(πx)作最小二乘拟合，获得初始三阶多项式q(x)=3.1831x?4.2441x³，其虽整体趋势接近正弦函数但未严格满足端点值约束。

3.1.2 Boundary Condition Correction with Endpoint Constraints（端点约束修正）

为满足f(0)=0、f(0.5)=1的严格边界条件，研究人员设修正项C(x)=ax+cx³，令P_opt(x)=q(x)+C(x)，求解线性方程组得a=?0.1831≈调整后取整数系数关系，最终给出规范化修正结果P_opt(x)=3x?4x³（式9）。经对比，修正后曲线与sin(πx)在[0,0.5]内吻合度优于Su Kai等人[R(x)]与Ding Chengjun等人[m(x)]的既有拟合结果。

3.1.3 Construction of the Acceleration–Deceleration Algorithm（加减速算法构建）

研究人员对P_opt(x)关于x=0.5作对称延拓得减速段多项式P_opt1(x)（式10）。将归一化时间变量回代，结合a_m（最大加速度）与分段时长T₁、T₂、T₃，导出全周期五段分片加速度函数a(t)（式13）：加速前段0≤t<t₁/2用a_m·[3t/T₁?4(t/T₁)³]，加速后段t₁/2≤t<t₁用a_m·[?1+9t/T₁?12(t/T₁)²+4(t/T₁)³]，匀速段t₁≤t<t₂取0，减速前段t₂≤t<t₂+(t₃?t₂)/2取加速前段之负时间平移形式，减速后段取加速后段之负时间平移形式。该函数保证加速度连续、Jerk有界且峰值恰为±a_m。

四、讨论与结论

研究人员指出，所提方法利用Chebyshev多项式的良好逼近性质与最小二乘准则降低全局拟合误差，再通过简单线性修正严格满足运动学端点约束，避免了传统样条插值对多点约束的需求及数值不稳定风险。所得三阶多项式形式计算量低，适合AGV/EV嵌入式控制器在线运算。实际系数可根据平台最大加速度a_m、各段时长T₁、T₂、T₃及实测动态响应离线标定或在线调整。

研究结论：

本文提出的基于Chebyshev多项式最小二乘拟合与端点约束修正的三阶S型加减速算法，生成的加速度曲线在边界处严格满足f(0)=0、f(0.5)=1，整体形态较已有多项式拟合更接近理想正弦加速度轮廓；所构造的分段多项式加速度函数在完整运动周期中保证加速度连续、Jerk有界且峰值可控，适用于AGV与EV的高平滑运动速度规划。该方法兼顾拟合精度与计算效率，可通过调整a_m与时间段参数适应不同运动约束的实际工业载体。