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基于一个多元素系统中远距离（在时间和/或空间上）元素的相关性（correlation），研究人员提出了复杂性（complexity）的数学定义的核心。这一定义一致地引出了复杂度（degree of complexity）的概念。
基于一个多元素系统中远距离（在时间和/或空间上）元素的相关性（correlation），研究人员提出了复杂性（complexity）的数学定义的核心。这一定义一致地引出了复杂度（degree of complexity）的概念。
复杂性是自然、技术和社会系统中的一个核心概念，但其定义一直存在挑战。研究背景指出，复杂性易于识别却难以界定，例如在极端无序和极端有序之间的中间状态（如玻璃或自旋玻璃，以及非线性动力系统中的弱混沌），这些被视为复杂系统的特征。世界各地许多研究中心致力于复杂系统研究，凸显了该问题的科学和技术重要性。因此，研究人员旨在为复杂性提供一个坚实的数学基础，以解决定义不明确的问题，并促进跨学科应用。
研究人员提出了一个基于系统元素间相关性的数学定义。核心思想是，系统的复杂性取决于其可观测量（observable）的相关性函数（correlation function）在远距离（空间ξ和/或时间τ）下的衰减行为。具体而言，对于一个由N个元素组成的一维系统，每个元素关联一个变量m_i(x_i,t)，研究人员定义相关性函数c(ξ,τ)，并假设其在ξ和τ增大时单调衰减至零。通过分析该函数的矩（moment），研究人员引入度量复杂度κ，其值介于0到1之间：κ=1/(ν_max+1)，其中ν_max是使矩发散的最小ν值。如果c(ξ,0)指数衰减或具有截断，则κ趋近于0（简单系统）；如果c(ξ,0)幂律衰减，如1/ξ^α，则κ随α减小而增大，表明复杂性增加。这一定义将复杂性与相关性范围（而非强度）联系起来，简单系统具有短程相关性（κ=0），复杂系统具有长程相关性（κ>0）。
这项研究的重要意义在于，它为复杂性提供了一个可量化的数学框架，并建立了复杂度度量与非加性熵（nonadditive entropy）及统计力学之间的联系。论文发表在《Particles》期刊上。
为开展研究，研究人员主要采用了以下关键技术方法：基于相关性函数的数学分析，包括矩的计算和发散条件评估；引入复杂度度量κ的定义，并探讨其与幂律衰减和q指数函数的关系；联系广义统计力学中的非加性熵函数，如Tsallis熵S_q和S_δ，以区分简单和复杂系统的统计行为。研究未涉及具体实验样本队列，而是基于理论推导和模型分析。
研究结果部分包括几个小标题：首先，在“可能的数学定义”部分，研究人员通过一维系统模型，定义了相关性函数c(ξ,τ)的矩μ(ν)，并指出系统简单当μ(ν)对所有ν有限，复杂当存在ν_max使μ(ν)对ν≥ν_max发散。这导致了复杂度κ的定义，其值从0（无复杂性）到1（极端复杂性）。其次，研究人员讨论了c(ξ,0)的不同衰减形式：指数或截断衰减对应κ→0，幂律衰减1/ξ^α对应κ=1/(α+1)（α>1时），其中q指数函数e_q(-βξ^q)的q值增加会导致κ增大。接着，在“备注”部分，研究人员强调了相关性范围的重要性，指出简单系统通常与Boltzmann-Gibbs（BG）加性熵和BG统计力学相关，而复杂系统需要非加性熵（如S_q或S_δ）和非广延统计力学（nonextensive statistical mechanics）。此外，研究人员指出，系统的简单性或复杂性可能取决于所关注的性质（如平衡态或非平衡态），例如同一水体在平静池塘中可能简单，在湍流河中可能复杂。
总结讨论部分，研究人员重申了基于相关性范围的数学定义，指出如果所有可观测量的相关性都是局域的（短程），则系统简单（κ=0）；如果相关性是非局域的（长程），则系统复杂（0<κ≤1）。典型衰减行为在简单系统中为指数型，在复杂系统中为幂律型或对数型，后者常见于生物或类生命系统。研究结论强调，复杂性定义与相关性范围直接相关，并自然延伸到度量复杂度κ，这为复杂系统的量化分析提供了理论工具。同时，研究人员指出，定义应与经典热力学的勒让德变换结构保持一致，要求熵在热力学意义上是广延的（extensive），即S(N)∝N（N→∞），并根据微态数W(N)的发散行为选择适当的熵函数（如BG熵、S_q或S_δ）。最终，这一框架为理解复杂系统提供了统一的数学基础，并有望应用于跨学科领域。
