《INTERNATIONAL JOURNAL OF PLASTICITY》：Sequential deep operator neural networks for plastic and thermo-viscoplastic transient material behavior
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针对传统非线性有限元分析在模拟路径依赖的塑性与热黏塑性行为时计算成本高昂、难以支持实时决策与优化设计的难题，美国伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的研究团队开发了序贯深度算子网络（S-DeepONet）与新型序贯神经算子Transformer（S-NOT）。这两种基于科学机器学习的算子学习框架，能够以瞬态边界条件函数为输入，直接预测复杂2D/3D结构在时变载荷下的全场应力、温度、塑性应变等场量的完整历史。一旦训练完成，模型可在保持高精度的同时，将计算速度提升至常规FEA的四个数量级，为材料加工、增材制造、结构设计等领域的快速建模、参数优化、不确定性量化与在线数字孪生提供了前所未有的高效代理模型。
在材料科学与工程计算领域，模拟非线性、路径依赖的塑性和热黏塑性行为，例如金属在制造过程中的变形、结构在地震载荷下的响应，一直是一项计算上的“大山”。传统的非线性有限元分析（FEA）虽然精度可靠，但其背后是无数次小步长迭代、复杂的局部牛顿-拉弗森求解，以及对高性能计算资源的巨大消耗。当工程师们需要进行设计空间探索、参数优化、不确定性分析，或者为实时决策与控制提供快速反馈时，这种计算负担就成为难以逾越的瓶颈。特别是在许多工业场景中，几何结构和材料本构关系相对固定，变化的核心恰恰是那些随时间演变的边界条件和载荷历史——这正是数字孪生、逆向参数识别和在线预测所急需快速响应的部分。
为此，来自美国伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校国家超级计算应用中心的Jaewan Park、Kazuma Kobayashi、Qibang Liu、Amar Alem Koric、Diab W. Abuiedda、Syed Bahauddin Alam和Seid Koric等研究人员，在《INTERNATIONAL JOURNAL OF PLASTICITY》上发表了他们的最新研究成果。他们提出并比较了两种先进的“序贯深度算子”架构：序贯深度算子网络（S-DeepONet）和新引入的序贯神经算子Transformer（S-NOT）。这些模型旨在从根本上改变我们对复杂瞬态材料行为的模拟方式——不再针对每一组特定的载荷历史进行耗时漫长的FEA求解，而是学习一个通用的“解算子”。这个算子能够将任意形式的瞬态边界条件（视为无限维的输入函数）直接映射到整个计算域上、整个时间历程中的全部分偏微分方程（PDE）解场，例如应力、温度和塑性应变场。
这项研究的突破性在于，一旦模型经过充分训练，它便能以比传统非线性FEA快四个数量级的速度，精准预测从连铸过程中钢液凝固的强非线性热黏塑性多物理场，到复杂二维狗骨试样和三维连接耳片塑性变形等一系列真实世界问题的全场响应历史。作为高效的代理模型，它们为涉及塑性和黏塑性现象的快速建模、设计迭代、优化、逆向与敏感性研究、不确定性量化以及带有数据同化的在线控制打开了大门，使得许多以往因计算成本过高而不切实际的分析成为可能。
为了开展这项研究，作者团队主要运用了以下几项关键技术方法：首先，利用成熟的非线性有限元软件（如Abaqus/Standard及其用户材料子程序UMAT）生成了大规模的高保真训练与测试数据集，涵盖了连铸切片热-力耦合模型、二维狗骨试样和三维连接耳片在大量随机瞬态载荷下的仿真结果。其次，构建并训练了两种核心的神经算子架构：S-DeepONet（使用GRU/LSTM网络编码载荷历史，与空间编码器进行点积结合）和S-NOT（结合GRU与自注意力/交叉注意力机制）。最后，利用训练好的代理模型，进行了基于蒙特卡洛抽样的扰动敏感性分析，以展示其在高效不确定性量化方面的应用潜力。
研究结果
2.1. 案例与数据生成
研究人员构建了三个具有代表性的案例来验证模型的广泛适用性。第一个是连铸过程中钢凝固的二维热-力耦合模型，涉及相变、温度与速率相关的黏塑性本构，物理过程极为复杂。利用成熟的有限元模型生成了超过4000组仿真数据，输入为模具壁面的瞬态热流和位移历史，输出为温度、应力、塑性应变等场的完整历史。第二个是经典的率无关J2塑性（各向同性硬化）二维狗骨试样，第三个是三维连接耳片结构。后两者几何复杂，但本构相对简单，用于验证模型在复杂几何和路径依赖载荷下的预测能力。两者分别生成了4000组和1000组仿真数据，输入为瞬态位移或压力载荷历史。
2.2. 序贯算子方法
本研究核心是比较两种能够处理时序输入和路径依赖性的神经算子变体。
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瞬态S-DeepONet：在经典DeepONet基础上，将其处理输入函数的“分支网络”替换为GRU（门控循环单元）或LSTM（长短期记忆网络）编码器，使其能够编码整个载荷输入历史。空间“干线网络”则编码查询点的坐标。最终通过分支网络输出的历史编码向量与干线网络输出的空间特征向量进行点积求和，来预测所有空间点在所有时间步、所有解场（如应力、应变）的值。
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瞬态S-NOT：新提出的架构，将Transformer的注意力机制引入算子学习框架。其编码器同样使用GRU处理载荷历史，但加入了正弦位置编码，并通过自注意力块增强历史特征的内部关联。解码器则利用交叉注意力机制，让每个空间查询点自适应地从编码的载荷历史中聚合最相关信息，替代了S-DeepONet中固定的点积操作。这种设计使其在捕捉长程时序依赖性和复杂非线性交互方面更具表达力和数据效率。
2.3. 扰动敏感性分析
为了展示训练好的神经算子代理模型在高效概率分析中的巨大价值，作者以连铸案例为例，进行了蒙特卡洛扰动敏感性分析。他们对基准的载荷历史（热流和位移）叠加随机高斯噪声，生成了大量（例如M=500）扰动后的载荷样本。然后利用训练好的S-NOT模型，在几秒钟内就完成了这M次“仿真”，输出了对应的全场响应分布。通过分析输出场的统计量（如均值、方差），可以快速评估边界条件不确定性对最终凝固壳应力、温度等关键指标的影响。这项工作直观证明了代理模型如何将原本需要数百小时FEA计算的概率分析任务，压缩到近乎实时的水平。
结论与讨论
本研究成功开发并验证了S-DeepONet和S-NOT这两种序贯深度算子框架，用于学习和预测路径依赖的塑性及热黏塑性材料的全场瞬态响应。与大多数现有专注于材料点本构更新的机器学习替代模型不同，本研究的目标是学习整个结构尺度上的PDE解算子，这是一个质的不同且更具挑战性的任务。
研究结果表明，一旦经过训练，这些代理模型能够以惊人的速度（相比传统非线性FEA快四个数量级）和很高的精度，预测复杂工业场景下（从连铸到复杂三维结构）的完整场量历史。S-NOT凭借其注意力机制，在处理长时程、速率敏感的非线性问题时，表现出比S-DeepONet更好的精度和泛化能力。
这项工作的意义远不止于提供一个更快的仿真工具。它代表了一种新颖的替代建模能力，为涉及路径依赖材料行为的领域带来了范式转变。它使得高吞吐量的重复评估（如敏感性分析、不确定性量化、逆向研究）变得可行，并能支持在线预测和数字孪生工作流，实现快速的假设情景探索，以及在传统非线性FEA因速度过慢而无法实时部署时的潜在控制与决策支持。未来的工作可以进一步探索将这些框架扩展到更广泛的多物理场耦合问题、有限应变情况以及材料参数本身可变的场景中。
