对于一类无穷拉普拉斯算子而言，这是一个核心难题

《Journal of the Australian Mathematical Society》：DEAD-CORE PROBLEM FOR A CLASS OF INFINITY LAPLACIAN

　　摘要：对于 $h>1$，我们考虑以下反应-扩散方程：
$$
\begin{align*}
\Delta_\infty^hu(x)=f(x,u(x),Du(x)),\quad x\in\Omega,
\end{align*}
$$
其中 $\Delta _\infty ^h$ 表示 $h$ 阶无穷拉普拉斯算子，$f\in C(\Omega \times \mathbb {R}\times \mathbb {R}^n)$ 满足 $0\leq f(x,\delta t,p)\leq \Lambda (x)\delta ^{\gamma }f(x,t,p)$，$\Lambda (x)\in C(\overline {\Omega })$ 是一个正函数，$\gamma \in [0,h)$，$t>0$，且 $\delta>0$ 足够小。这样的方程可能会导致一个“死核区域”，即非负解完全消失的未知区域。我们建立了粘性解的平坦性估计，并获得了沿自由边界 $\partial \{u>0\}\cap \Omega$ 的精确的 $C^{({h+1})/({h-\gamma })}$-规则性。利用这种精确规则性，我们证明了全局解的Liouville型定理，并给出了自由边界的孔隙率。最后，对于极限情况 $\gamma =h$，我们展示了如果粘性解在某一点消失，则死核区域也必须消失。

脚注：本工作得到了中国国家自然科学基金（项目编号12141104、12526435）的支持。通讯作者：Florica C. Cirstea

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