贝叶斯主动学习用于贝叶斯模型更新：采集函数的艺术及超越

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Bayesian active learning for Bayesian model updating: The art of acquisition functions and beyond

　　

研究人员针对昂贵计算模型及具有多峰性、非线性依赖和高锐度的复杂后验分布，提出了结合高斯过程(GP)回归与主动学习的贝叶斯求积(BQ)框架改进方法。首先，从前瞻性推断视角重新审视了现有先进采集函数，并重构了预测阶段的求积规则。在此基础上，受不同期望收益直觉启发，设计了四种新型采集函数，分别衡量后验预测不确定性、模型证据预测不确定性的贡献，以及后验与证据预测不确定性的期望减少量，均配有严谨的数学解释与高效数值估计方法。研究人员进一步将这些采集函数扩展至过渡型贝叶斯求积(TBQ)方案，并结合多项细化改进，实现对复杂后验的高效稳健估计。大量基准测试与工程案例验证了所提方法在计算成本与精度平衡上的优势。

研究背景方面，贝叶斯模型更新广泛应用于多物理仿真校准、结构损伤识别、不确定性量化等领域，其核心任务是高精度、低成本地估计后验分布p(θ|D_obs)及模型证据Z，其中Z用于模型选择与平均。然而，由于逆问题的病态性、非线性约束、模型行为复杂及观测数据质量差异，后验常呈现多峰、非线性依赖和高锐度等特征，给传统估计方法带来巨大挑战。马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)方法虽成熟，但在昂贵模型评估下采样效率低且需专业知识调参；变分贝叶斯推理(VBI)依赖预设近似密度形式，梯度计算困难且适用性受限。为此，研究人员将高斯过程回归与主动学习结合，发展贝叶斯求积(BQ)框架，以减少模型调用次数并提供不确定性量化。

关键技术方法方面，研究人员采用对数似然的GP建模，推导后验均值与方差的半解析求积规则，并提出四种新型采集函数：后验预测不确定性、证据预测不确定性贡献、后验预测不确定性期望减少量、证据预测不确定性期望减少量。结合过渡型贝叶斯求积(TBQ)，在每一温度阶段优化停止条件、采集策略及不确定性估计，并在多个基准及工程案例中验证性能。

研究结果方面，在“Formulation of Bayesian model updating”中，研究人员基于贝叶斯定理明确后验与模型证据的定义，指出Z在模型可信度评估中的作用。在“Reexamination of PVC function”中，研究人员从前瞻性角度重新解释经典的后验方差贡献(PVC)函数，揭示其在积分点选择中的潜在机制。在“Improvements for transitional Bayesian quadrature”中，研究人员将新型采集函数嵌入TBQ框架，改进各阶段停止准则与不确定性量化方式，显著增强对多峰、高锐度后验的适应性。在“Numerical experiments and engineering applications”中，研究人员通过基准函数及某工程结构模型测试，结果显示新方法在减少调用次数的同时保持与参考结果高度一致，并在复杂后验下优于传统BQ与TMCMC。在“Conclusions”中，研究人员强调该方法兼顾效率与稳健性，为昂贵模型的贝叶斯推断提供了灵活高效的解决方案。

讨论与结论部分，研究人员认为所提出的半解析求积规则与四种采集函数，不仅提升了BQ与TBQ的预测精度与不确定性量化能力，还扩展了其在复杂逆问题中的适用范围。该方法在工程实践中能以更少的计算资源获得可靠的后验估计与模型证据，对航空航天等高成本仿真领域具有重要意义。此研究发表于《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》。