《International Journal of Engineering Science》：Completing Eringen’s nonlocal elasticity theory and its connection with surface elasticity
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本期推荐一项非局部弹性理论在表面波研究中的创新成果。针对传统Eringen单积分模型在处理非齐次边界条件时与微分形式不兼容的难题，研究人员建立了扩展积分公式。通过将非局部应力表达为体积积分与表面积分的叠加，并结合双曲核函数方法，成功求解了受垂直弹性支撑约束的半平面中瑞利波的传播问题。该研究不仅修正了经典理论的局限，还为微纳米结构表面波探测提供了新的力学模型。
在微观世界探索材料力学行为时，科学家们常面临一个棘手难题：当结构尺寸缩小到微米甚至纳米级别，经典的连续介质力学开始“失灵”。传统的局部弹性理论假设材料内一点的应力仅由该点的应变决定，这就像认为一个人的行为只受当下情绪影响，完全忽略了周围环境和历史记忆的作用。为了描述这种尺度效应，非局部弹性理论应运而生，其中Eringen提出的积分模型最为经典，它认为一点的应力是邻域内所有点应变的加权平均，权重由衰减函数决定。
然而，这个看似完美的理论在实际应用中却遭遇了“兼容性危机”。当面对复杂的非齐次边界条件（如表面受弹性支撑）时，Eringen的单积分公式与对应的微分控制方程往往无法同时成立，导致理论预测与实际情况脱节。这就好比用一套规则指挥交响乐，却在关键时刻乐器无法合拍。为了解决这一核心矛盾，本研究对Eringen理论进行了关键性修正，引入了包含体积项和表面项的双积分表述，将非局部应力重新定义为 tij(x)=tijV(x)+tijΣ(x)。
研究人员选取了具有物理意义的二维半平面模型，重点考察了表面受均匀垂直弹性弹簧约束下的瑞利波传播。在方法学上，研究首先构建了满足齐次边界条件的格林函数 Go，并利用镜像法推导了非对称衰减函数 α12（对应于切向应力 t12），该函数不再保持卷积形式，体现了边界对材料响应的非均匀性影响。对于法向应力 t22，则采用扩展积分公式结合泊松核 Po处理非齐次边界贡献。波动方程求解基于经典的Helmholtz分解和行波假设，设定位移场 ui(x,τ)=Ui(x2)exp(i(mx1?Ωτ))，其中 M=mL为无量纲波数，Ω=ωL/cS为无量纲角频率。
2.4. Extending the nonlocal theory to inhomogeneous problems
研究首先将Eringen的原始积分公式推广至非齐次边界条件。通过引入双积分结构，证明了当考虑表面非齐次载荷时，非局部应力需包含由体积积分定义的 tijV和由表面积分定义的 tijΣ。这一修正解决了原理论在非齐次边界下的不兼容问题，并推导出新的势能表达式，其中包含体积应变能和表面应力贡献项 VΣ。
2.4.1. Elastic potential for inhomogeneous nonlocal problems
针对非齐次问题，研究重构了弹性势能泛函。通过变分原理证明，新增的表面项 VΣ=2?2∫SttijSeijdx反映了边界非均匀性对整体能量的影响，其中 eij是由泊松核定义的表面变形场。这表明非局部弹性可以被视为一种特殊的表面弹性问题。
2.4.2. Nonlocal elasticity as a surface elasticity problem
研究进一步建立了非局部弹性与表面弹性的理论联系。通过将内部平衡方程与表面张力方程耦合，证明了非局部半平面问题可以等价转化为表面受特定应力约束的经典弹性体问题，为理解尺度效应提供了全新的几何直观视角。
3. Surface waves under inhomogeneous boundary conditions
在应用层面，研究求解了受垂直弹性支撑的半平面瑞利波频散关系。通过代入位移场假设并求解特征方程，得到了包含非局部参数 ?/L和支撑刚度 k的色散方程。结果显示，非局部效应显著改变了波速与波数的依赖关系，且在刚度趋于无穷大时仍能支持表面波传播，这与经典弹性理论（此时无表面波）形成鲜明对比。
该研究不仅在数学上严格修正了Eringen非局部理论在非齐次边界下的缺陷，更重要的是，它揭示了微纳米结构中表面约束与尺度效应的耦合机制。通过将复杂的非局部问题转化为可求解的表面弹性模型，为利用表面波技术表征纳米薄膜、生物软组织等材料的力学性能提供了坚实的理论基础，也为设计新型声学超材料开辟了道路。
