具有任意极化和内部电极的压电层板的半解析驱动建模

《COMPOSITE STRUCTURES》：Semi-analytical actuation modeling of piezoelectric laminates with arbitrary poling and internal electrodes

压电层状复合材料任意极化方向机电响应建模与验证

　　

李志|范翠英|秦国帅|卢春生|赵明浩

郑州大学力学与安全工程学院，中国郑州450001

摘要

压电层压复合材料由于其高阻力和精确的定位能力而被广泛用作执行器。在本文中，我们开发了一个驱动模型，用于表征具有内部电极的任意极化压电层压复合材料的机电响应，捕捉了拉伸-剪切耦合现象并解释了驱动机制。基于同时考虑连续性和边界条件的电弹性理论，采用状态空间微分求积方法推导出控制方程，得到了输出位移的半解析解。该模型通过实验测量进行了验证，并在准静态位移下展示了高预测精度。对三种代表性的层压结构进行了全面的参数研究，以探讨层数、预载荷、极化方向和纵横比等关键因素对驱动性能的影响。这项工作为通过定量机电分析精确设计和优化多层执行器提供了经过验证的理论基础。

引言

压电层压复合材料因其纳米级分辨率、高刚度和低电磁干扰而受到广泛关注[1]。这些优势使它们在光学系统、微机电设备、原子力显微镜定位平台和微流控传输系统等精密技术中得到广泛应用[2],[3],[4],[5],[6],[7]。最近的综合性综述进一步强调了双稳态和多稳态配置在航空航天变形结构和动态能量收集系统中的变革潜力[8],[9]。这些系统利用压电材料的固有机电耦合来实现复杂的形状适应和高效的机械振动到电能的转换[10],[11]。为了在低工作电压下实现大行程和高阻力，越来越多地采用多层压电堆[12],[13]。

随着智能结构中功能集成的快速发展，对于下一代执行器的精确尺寸设计和机电特性分析，严格的预测建模变得至关重要。具有嵌入式电极和任意极化方向的多层压电堆引入了厚度（d₃₃/d₃₁）和剪切（d₁₅）变形模式，这需要统一的机电公式和准确的位移预测。这里的“任意极化”指的是数学上能够将极化矢量相对于结构轴以任何连续角度进行定向的能力[14]。这与“实际极化”不同，在实际极化中，由于制造限制和成本效益考虑，极化通常沿厚度或纵向方向对齐。尽管当前的制造方法主要集中在这些主要方向上，但建立能够捕捉任意极化的通用模型为未来的自适应结构提供了关键的理论基础[15]。这样的框架有助于识别可能增强机电耦合的最佳离轴极化配置，从而超越传统正交设计所能实现的效果。

压电层压复合材料已经得到了广泛的研究，以阐明其复杂的机械行为[16],[17]。已经为压电层的静态和自由振动分析建立了精确的电弹性解[18]，同时应用了各种精细的板理论来研究它们的弯曲和动态响应[19],[20]。从设备角度来看，剪切模式压电复合材料在高推力和高精度驱动方面展现出巨大潜力[21]，特别是随着软压电材料的出现[22]。例如，剪切行走执行器已在微型系统中展示了纳米级的运动[23]。还建立了一个完全耦合的机电Timoshenko梁模型用于能量收集设备，证明剪切模式配置可以产生比横向模式更高的功率输出[24]。

压电结构的机电耦合分析主要依赖于数值模拟和分析公式。数值方法，如三维有限元方法[25]和边界元方法[26]，可以提供对复杂几何形状的详细洞察，但通常会带来高昂的计算成本，阻碍了快速迭代设计[27]。为了提高设计效率，广泛采用了包括拓扑优化[28]和混合压电复合材料的均质化技术[29]等方法。相比之下，传统的分析公式[30]具有出色的计算效率，但经常需要对电极配置做出简化假设。关于动态行为，Lee和Inman[31]利用非线性交叉井动力学实现了宽带能量收集，而其他不同的分析模型[32]已被开发用于预测多层堆的频率依赖响应。

尽管取得了这些进展，大多数现有研究主要集中在外部电极的层压材料上[33]，在包含内部电极的高性能执行器建模方面仍存在显著空白。在这种架构中，内部电极在每个界面施加离散的电势约束，产生贯穿厚度的特征性“锯齿”电势分布[34],[35]。标准的均质化或全场模型本质上无法捕捉这些陡峭的厚度梯度。此外，当与任意极化矢量相互作用时，局部高强度电场会引发复杂的机械行为，包括同时的拉伸-剪切耦合。这些因素强调了需要一种半解析公式，既能捕捉机电耦合效应，又能保持面向设计的分析所需的计算效率和数值稳定性[36]。

在本文中，我们为具有内部电极的任意极化压电层压复合材料开发了一个半解析结构驱动模型，采用了状态空间微分求积方法。主要目标有三个：（1）使用张量旋转建立一个数学框架，以严格适应任意极化方向和内部电极约束；（2）推导出一个半解析的状态空间解，确保计算效率的同时满足严格的界面连续性条件；（3）通过与实验数据的比较来验证模型的预测精度，以主要正交模式作为基准。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了数学公式和控制状态空间方程。第3节推导出半解析解。第4节通过实验测量验证模型并讨论其准确性和局限性。尽管理论框架涵盖了任意极化，但本研究重点关注基本正交模式，以建立基线预测能力。第5节对代表性配置进行了参数分析，以检验关键性能因素，第6节总结了主要发现。

模型和公式

建模和公式

如图1所示，内部电极压电层压复合材料由M层压电层与不同的电极层交错组成。该结构的总长度为l，整体厚度为h，横截面宽度为单位宽度。分析在笛卡尔坐标系oxz中进行，原点位于层压材料的左下角。假设相邻层之间有理想的粘合，以确保连续性

解决方案策略

根据施加的端边界条件，每层的离散状态空间方程可以表示为$\frac{?}{?\zeta }{\stackrel{～}{T}}_{{\zeta }_{k+1}}={\stackrel{～}{A}}_{{\zeta }_k}\stackrel{～}{T}{\zeta }_k$

其中下标ζ_k表示层压材料中第k层的位置。方程（16）的解建立了层上下表面状态空间变量向量之间的关系，即${\stackrel{～}{T}}_{{\zeta }_{k+1}}={\stackrel{～}{A}}_{{\zeta }_k}$

其中$H_{\mathrm{ij}}=\exp (M({\zeta }_{k+1}-{\zeta }_k)$

传递矩阵H_ij（i, j = 1, 2, …, 6）定义了顶部和

实验验证和讨论

压电层压复合材料的极化方向可以根据特定设计要求进行定制，如图2所示。第一层的极化方向与x轴之间的角度用θ表示。如前所述，压电堆中的相邻层以相反的方向极化，箭头指示了它们各自的局部极化方向。

对于收敛性分析，采用了图2中的堆配置，其中θ = ±90°。

三种代表性结构的参数研究

在介绍代表性执行器配置的性能指标之前，有必要澄清参数研究中使用的操作参数的缩放。尽管第4节中的实验验证是在低电压激励下进行的，但随后的参数分析探索了更高驱动水平下的全驱动能力。这必然涉及超出直接验证范围的外推。然而，对于所有考虑的几何形状

结论

在本文中，开发了一个理论框架，用于描述具有内部电极的任意极化压电层压复合材料的静态响应。使用状态空间公式，推导出了输出位移的半解析解，并通过实验测量进行了验证。所提出的方法准确预测了各种配置的机电响应，同时保持了低计算成本。主要发现可以总结如下

CRediT作者贡献声明

李志：撰写——原始草稿，验证，软件，方法论，研究。范翠英：撰写——审阅与编辑，监督，概念化。秦国帅：验证，项目管理，资金获取。卢春生：撰写——审阅与编辑，项目管理，资金获取。赵明浩：撰写——审阅与编辑，监督，方法论，形式分析。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本工作得到了国家自然科学基金（编号12272353）和河南省重点科学技术研究项目（编号232102211075）的支持。