《Journal of Taibah University for Science》：Nonlinear vibration suppression of an NES-HVI system using hybrid PD–NDF control
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为有效抑制工程系统中普遍存在的非线性振动与动态失稳问题，本研究采用混合比例-微分与非线性阻尼反馈（PD-NDF）控制策略，对非线性能量阱-混合隔振器（NES-HVI）系统的动力学行为、分岔特性与振动抑制性能进行了深入探究。通过建立集成惯性非线性、刚度非线性与混合控制力的综合数学模型，并运用多尺度法解析主共振频响，结合数值仿真与分岔分析，验证了所提出的PD-NDF控制器能够有效拓宽系统稳定运行区间、抑制混沌响应，并在较宽频带内显著增强振动衰减能力。
在机械、航空、微机电等现代工程系统中，非线性振动与动态失稳是普遍存在且令人头疼的难题。无论是谐波、参数还是混合激励，都可能诱使薄壁结构、柔性部件产生剧烈振荡、共振放大乃至复杂的非线性响应。这些不受欢迎的振动轻则导致性能下降，重则引发结构破坏甚至完全失效。为了驯服这些“不听话”的振动，工程师们一直在寻找高效的控制方法。传统的线性控制策略，如经典的比例-微分（PD）控制，虽然简单可靠，但在面对高度非线性的系统或接近混沌边界时，其能量耗散能力往往捉襟见肘。与此同时，一种被称为“惯容器”（inerter）的元件，因其能提供与相对加速度成正比的力，为振动隔离平台和结构控制带来了新的可能。然而，当惯性与非线性刚度或阻尼结合时，系统在特定激励下又可能表现出多稳态共存、混沌振荡等有害行为。那么，能否设计一种控制策略，既能像PD控制那样快速响应，又能有效处理强非线性，从而在更宽的频带内实现卓越的振动抑制呢？这便是发表于《Journal of Taibah University for Science》的这项研究致力于回答的核心问题。
为了回答上述问题，研究人员开展了一项关于非线性能量阱-混合隔振器（NES-HVI）系统在混合比例-微分与非线性阻尼反馈（PD-NDF）控制下的非线性动力学与振动抑制性能的综合研究。他们建立了一个包含几何非线性、惯性非线性、刚度非线性及混合控制力的完备数学模型。利用多尺度法推导了系统在主共振区域的解析频响方程，为系统稳定性与分岔分析提供了理论基础。随后，通过直接数值积分和数值延拓方法验证了解析结果，并利用分岔图、相图、庞加莱映射和Lyapunov指数谱等工具深入探究了系统的全局动力学行为，包括鞍结分岔、跳跃现象、吸引子共存、准周期和混沌等复杂现象。研究结果表明，所提出的混合PD-NDF控制器相较于传统PD控制，能够显著扩大稳定运行区域，有效抑制混沌响应，并在宽频范围内极大地提升振动衰减性能。
本研究主要运用了以下几种关键技术方法：1. 非线性数学建模：基于牛顿第二定律，建立了包含几何非线性、惯性非线性（由惯容器引入）、刚度非线性和线性/非线性阻尼的NES-HVI系统无量纲化动力学方程。2. 多尺度摄动法：引入小参数ε，采用多时间尺度展开，对控制方程进行摄动分析，推导出系统在主共振条件下的近似解析解和频响方程。3. 数值仿真与稳定性分析：采用四阶龙格-库塔（RK-4）法进行时域数值积分，验证解析解并观察系统瞬态与稳态响应；同时，通过求解频响方程的特征值问题进行线性稳定性分析。4. 非线性动力学全局分析：利用数值延拓技术生成分岔图，并结合相轨迹、庞加莱截面和Lyapunov指数谱等工具，全面刻画系统在参数空间中的动力学行为，如多稳态、跳跃和混沌等。
研究结果
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2.1 系统框架讨论：研究描述了一个利用几何非线性将垂直运动转化为耦合轴向变形的NES-HVI装置。该系统由一个刚性中心质量块通过倾斜和水平线性弹簧组合连接到固定侧壁构成，其几何布局产生了强非线性力-位移关系，适用于需要宽频响应和增强动态性能的振动抑制与能量收集应用。相关的系统示意图有助于直观理解其工作原理。
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2.2-2.3 无量纲化与降阶动力模型：通过引入无量纲参数，将原始物理方程转化为便于分析的形式。并采用基于泰勒展开的单自由度（SDOF）降阶模型来捕捉原多组件系统的主导非线性动力学特征，方程中包含了线性刚度、立方非线性刚度、线性阻尼、非线性惯性项和非线性阻尼项。
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2.4 控制力的发展：逐步构建了混合PD-NDF控制策略。首先引入PD控制力，然后结合代表NES-HVI机制的负微分反馈（NDF）控制力，最终形成总的混合控制力，并整合到主系统与NES-HVI子系统的耦合控制方程中。研究框架图清晰地展示了从激励输入、传感、反馈控制到作动器作用的整个闭环流程。
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2.5 数学概念与技术：详细阐述了用于求解控制方程摄动解的多尺度摄动法（MSPM）的数学过程。通过引入不同时间尺度，依次求解各阶扰动方程，并消除长期项，最终得到系统在同时共振（Ω ≈ ω， ωN≈ ω）条件下的可解性条件，为后续的调制方程和稳定性分析奠定基础。
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数值仿真与对比验证：
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无控系统响应：数值模拟显示，在主共振激励下，无控系统表现出持续的周期振荡，稳态位移振幅约为0.150376，相图呈现稳定的极限环，表明存在较强的共振振动。
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系统共振特性：频率响应行为表明，当激励频率接近系统固有频率时，位移振幅达到峰值，确认了所研究的主共振工况。
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PD-NDF控制效果：施加所提出的PD-NDF控制器后，系统响应发生显著变化。时程曲线显示振荡迅速衰减，稳态位移振幅降至约6.47751×10-5，降幅高达约99.955%。相应的相轨迹呈现为收敛于平衡点的稳定螺旋，表明系统被有效阻尼和稳定。
结论与讨论
本研究对采用混合PD-NDF控制的NES-HVI系统的非线性动力学与振动抑制性能进行了全面研究。主要结论如下：
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模型有效性：成功建立了集成惯性非线性、几何非线性刚度和混合控制力的综合非线性数学模型，并通过降阶处理保留了系统的核心动力学特征。
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解析与数值结果一致性：利用多尺度法推导的解析频响方程与直接数值积分结果吻合良好，验证了理论分析的正确性。
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丰富的非线性现象：系统在参数变化下表现出复杂的非线性动力学行为，包括鞍结分岔导致的跳跃现象、多吸引子共存、准周期运动乃至混沌，这凸显了对此类系统进行深入非线性分析的必要性。
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混合控制的优越性：核心发现是，提出的混合PD-NDF控制策略相比传统的PD控制展现出显著优势。它能有效扩大系统的稳定运行区间，抑制可能导致系统失稳的混沌响应，并在主共振及更宽的频率范围内实现极其高效的振动衰减（振幅减少超过99.9%）。这归因于该策略融合了PD控制的快速响应特性和NDF（通过NES-HVI机制实现）针对强非线性/大振幅振动的增强能量耗散能力。
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参数影响明确：研究系统探讨了惯性参数、PD增益和非线性阻尼系数等对系统振动衰减、多稳态和混沌抑制的具体影响，为控制器参数的优化设计提供了指导。
本研究的重要意义在于：它为解决工程中普遍存在的非线性振动控制难题提供了一种高效且鲁棒的混合控制方案。所提出的PD-NDF控制器设计兼顾了实用性与高性能，特别适用于机械、航空航天、精密仪器和微机电系统等领域中，对振动抑制有苛刻要求的场合。这项工作不仅深化了对惯性非线性系统动力学的理解，而且为开发下一代主动/半主动振动控制装置奠定了理论基础，具有重要的学术价值和工程应用前景。
