q-高斯最大相关熵四元数卡尔曼滤波

《Digital Signal Processing》：q-Gaussian maximum correntropy quaternion Kalman filter

　　

针对三维空间信号估计问题，传统四元数卡尔曼滤波（Quaternion Kalman Filter, QKF）在高斯噪声假设下基于最小均方误差（Minimum Mean Square Error, MMSE）准则设计，但在非高斯脉冲干扰下性能显著下降。为此，研究人员首次提出一种新的优化准则——q-高斯四元数最大相关熵准则（q-Gaussian Quaternion Maximum Correntropy Criterion, q-GQMCC），并基于此开发了鲁棒的四元数卡尔曼滤波算法，称为q-高斯最大相关熵四元数卡尔曼滤波（q-Gaussian Maximum Correntropy Quaternion Kalman Filter, q-GMCQKF）。该算法用q-GQMCC替代MMSE准则，以增强对非高斯噪声的鲁棒性，并以在线递归方式实现，通过后验状态估计的四元数迭代方程（Quaternion Iterative Equation, QIE）完成更新。此外，研究人员给出了QIE不动点存在且唯一的充分条件，保证了所提算法的收敛性。在两个测试案例上的仿真结果表明，q-GQMCC在非高斯噪声环境下具有优越的滤波性能和鲁棒性，验证了其在复杂场景中的有效性。

该研究发表于《Digital Signal Processing》。研究背景在于，随着传感器技术的发展，三维及四维数据日益增多，传统向量代数在处理旋转建模时存在不足，易出现万向节锁等问题，而四元数代数因具有除法特性，可更好地表示三维及四维数据关系，并已在神经网络、信号处理、通信、生物医学工程和运动跟踪等领域获得关注。然而，现有四元数卡尔曼滤波（QKF）多基于最小均方误差（MMSE）准则，对非高斯脉冲噪声敏感，导致在真实目标跟踪场景中性能下降。为解决这一问题，研究人员提出了结合四元数高斯核与柯西核优势的q-高斯四元数核函数，并由此构造了q-高斯四元数最大相关熵准则（q-GQMCC），进一步设计了q-高斯最大相关熵四元数卡尔曼滤波（q-GMCQKF）算法，同时引入自适应核宽策略以提升稳定性与计算效率，并分析了四元数迭代方程（QIE）解的存在唯一性条件，确保算法收敛。

关键技术方法包括：提出q-高斯四元数核函数以兼顾平滑性与核宽不敏感性；基于广义哈密顿实数（Generalized Hamilton-Real, GHR）微积分推导q-GMCQKF滤波更新公式；采用Cholesky分解构建增广模型；通过理论分析给出QIE不动点的充分收敛条件；在二维四元数线性系统与三维协同目标跟踪两类仿真中验证算法性能。

研究结果如下：

Quaternion algebra：四元数由实部与三个虚部构成，可高效表示三维空间信息，避免传统向量代数的缺陷。

Quaternion augmented model：通过增广预测误差与测量值，构建包含预测与观测的联合模型，并利用Cholesky分解得到白化变量，为滤波推导奠定基础。

Convergence analysis：研究人员证明了在特定参数条件下QIE存在唯一不动点，从而保证q-GMCQKF的收敛性，该条件涉及特征值界限与核参数选择。

Simulation：第一个案例在二维四元数系统中验证了对非高斯噪声的鲁棒性，并分析了核宽σ与参数q的影响；第二个案例应用于三维协同目标跟踪，展示了在真实三维数据处理中的有效性。

结论部分指出，传统QKF在高斯条件下表现良好，但在非高斯噪声下因MMSE准则的限制性能明显下降。提出的q-GMCQKF利用q-高斯最大相关熵准则，显著提升了滤波鲁棒性和适应性，并在理论上保证了收敛性，为非高斯环境下的三维信号估计提供了可靠工具。该研究不仅拓展了信息论学习（Information Theoretic Learning, ITL）在四元数域的应用，也为复杂三维动态系统的状态估计提供了新的解决思路。