基于双Mortar法的隐式耦合有限元法与物质点法框架

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Coupled implicit MPM-FEM by the dual-mortar approach

　　

本研究提出了一种基于双Mortar法（Dual Mortar Method）的隐式耦合有限元法（FEM）与物质点法（MPM）的数值模拟框架。该框架旨在结合FEM在小变形下的计算效率、精度与稳定性，以及MPM在大变形与极端变形场景下的鲁棒性。研究中采用加权最小二乘（WLS）增强的B样条形函数以提升MPM边界积分质量，并通过消除非插值二阶B样条函数在直网格边上的约束能力，改善边界条件施加方式。针对FEM与MPM界面耦合，引入Mortar法以弱形式施加位移协调条件，并利用对偶形函数离散拉格朗日乘子场，实现高效静力凝聚求解。为避免大变形下有限单元畸变，提出基于网格质量指标的自适应转换准则，当单元质量低于阈值时将其转化为MPM物质点，并结合粒子分裂技术维持积分精度与数值稳定性。该方法无需调整罚参数，且不依赖特定投影函数，适用于二维及三维问题，并在一系列数值算例中验证了其收敛性、应力传播连续性与自适应转换能力。

本研究由Julian Meyer、Robert Fleischhauer与Michael Kaliske合作完成，发表于《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》。研究背景在于，传统FEM在处理极端大变形时易因单元畸变导致计算失败，而MPM虽能有效处理此类问题，但在小变形条件下计算效率与精度不及FEM。现有耦合方法多依赖罚函数、拉格朗日乘子或交错求解方案，存在参数敏感、收敛慢或受限于特定投影函数等问题，且在非匹配界面与边界描述方面存在局限。为此，研究人员开发了一种基于Mortar法的单块耦合策略，将FEM设为非Mortar侧、MPM设为Mortar侧，利用FEM表面单元精确积分耦合矩阵，并通过对偶形函数消除附加自由度，实现无参数、离散无关的求解。同时，设计了基于网格质量指标的自动转换机制，在单元畸变超过临界值时将其转化为MPM物质点，并辅以粒子分裂技术防止拉伸失稳与积分误差。

关键技术方法包括：（1）采用双Mortar法弱形式施加界面位移协调条件；（2）利用对偶形函数离散拉格朗日乘子以实现静力凝聚；（3）引入WLS增强的二阶B样条形函数改善MPM边界积分与边界条件施加；（4）基于网格质量指标（q = (p_r/p)²）触发FEM向MPM的自适应转换；（5）采用基于右柯西-格林应变张量C的特征长度判定粒子分裂，以维持积分精度。

研究结果如下：

（1）方法制造解验证显示，在规则与旋转几何中，耦合方案均保持二阶收敛，且界面未引入显著误差，仅旋转情形下因非匹配界面插值产生轻微l_∞误差，随网格加密而减小。

（2）应力传播测试表明，在冲击载荷作用下，应力波穿越FEM-MPM界面时无振荡或间断，验证了耦合算法的稳定性与准确性。

（3）弯曲梁算例证明，在不同MPM网格尺寸与三维配置下，应力分布平滑，最大位移介于纯FEM与纯MPM结果之间，且不受MPM网格细化程度显著影响。

（4）黏性土剪切模拟展示了自适应转换与粒子分裂的有效性，剪切带形成过程中FEM单元逐步转换为MPM物质点，成功捕捉了大变形与材料分离行为，避免了单元畸变导致的计算中断。

讨论与结论部分指出，该耦合框架兼具FEM与MPM的优势，无需罚参数调整，适用于任意投影函数与非匹配界面。WLS B样条与Mortar法的结合有效解决了MPM边界描述不足与积分精度问题。自适应转换与粒子分裂进一步提升了框架在极端变形与拉伸工况下的鲁棒性。未来工作可优化Mortar积分域划分、引入高阶有限元，并将转换与分裂准则与材料本构模型更紧密地结合。