圆柱滚子轴承的电容计算——圆柱滚道与圆柱法兰接触的建模 Jan Manteufel, Steffen Puchtler, Eckhard Kirchner

《Lubricants》：Capacitance Calculation of Cylindrical Roller Bearing—Modeling of the Cylinder Raceway and Cylinder Flange Contact Jan Manteufel, Steffen Puchtler and Eckhard Kirchner

　　摘要
精确理解轴承的电性能在许多应用领域都具有重要意义，尤其是在电气化的背景下。了解电性能有助于检测轴承的损伤并实现其传感功能。以往关于滚动轴承电容特性的研究主要局限于球轴承，而广泛用于承受较大径向载荷的圆柱滚子轴承尚未得到充分研究。本文提出了一种计算圆柱滚子轴承电容的方法。该计算方法借鉴了球轴承的滚道-表面接触电容的计算方式，并推导出了法兰接触处的电容量计算公式。这两种计算方法均考虑了轴承的几何形状和工作条件，且未引入任何修正因子。为了验证计算模型的准确性，实际测量了NU-208和NJ-208圆柱滚子轴承的电容值，并将其与模型结果进行了比较。

1. 引言
在汽车工业中，越来越多地使用由变频器驱动的电动机替代传统内燃机。然而，这些变频器可能会在相邻部件（如轴承）中产生有害电流[1,2]。电动汽车发展面临的最大挑战之一就是预防和预测轴承中的电流损伤[3,4]。为此，有必要全面分析轴承内部的效应链。此前已有研究针对球轴承建立了相关模型[5,6,7]。此外，电容测量还被用于确定两个接触面之间的润滑膜厚度，并验证用于计算润滑膜厚度的模型[8,9,10,11,12]。为了有效建立润滑膜厚度与电容之间的关系，需要精确的电学模型以减少不确定性。Schirra等人证明了可以利用轴承传感器的电性能来确定轴承的实际载荷[13]。本研究提出了一个计算圆柱滚子轴承电容的模型，该模型考虑了轴承的工作条件和几何形状，无需任何修正因子即可适用，无论是轴向加载还是无载荷情况。

1.1 滚子轴承的电容
当轴承以足够高的速度旋转并含有润滑剂时，滚动元件接触处会形成一层分离润滑膜。由于这层润滑膜具有介电性质，轴承的电行为表现为电容性。电容可以用平板电容器的公式来描述，具体形式见方程（1）：
$$
\mathcal{C} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r \cdot A \cdot \int_{\mathbb{D}} \mathbf{h} \cdot \mathbf{d}\mathbf{A}}{\mathbb{D}}
$$
其中，$\varepsilon_r$ 是介电常数，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数，$\mathbf{h} = \sqrt{\frac{2\pi r}{\lambda}$ 是电荷载体之间的距离（$\lambda$ 是波数），$A$ 是接触面积。中心润滑膜厚度 $\mathcal{h}_0$ 可以根据方程（3）计算（点接触）或方程（2）计算（线接触）[14,15]。润滑膜厚度取决于无量纲半径 $R$、无量纲速度 $U$、无量纲载荷 $W$、无量纲材料参数 $G$ 以及半轴比 $k$：
$$
\begin{cases}
\mathcal{h}_0, \text{点接触} = R \cdot 2.69 \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 \cdot 0.49 \cdot \frac{W}{1 - e^{-0.68 \cdot k}} \\
\mathcal{h}_0, \text{线接触} = R \cdot 3.06 \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 \cdot 0.56 \cdot \frac{W}{1 - e^{-0.68 \cdot k}
\end{cases}
$$
然而，当轴承承受径向或轴向载荷时，会形成载荷区，该区域的电容不足以完全描述轴承的电特性；还需考虑载荷区外的部分。Gemeinder等人研究了球轴承的点接触情况，Schneider等人研究了圆柱滚子轴承的线接触情况，他们都使用了修正因子。这种修正因子将赫兹区域的电容与整个轴承的电容联系起来。特别是在低载荷工况下，载荷区外区域的电容贡献占主导地位，导致带有修正因子的模型变得不准确[16,17]。本研究旨在不使用修正因子的情况下，明确计算滚道接触和法兰接触外部区域的电容。除了外部区域的电容模型外，还开发了一个计算圆柱滚子轴承总电容的模型，包括加载和未加载的法兰部分。

1.2 研究范围与假设
本研究的目标是利用径向载荷条件下的工作参数来确定滚道电容。此外，还可以在有无轴向载荷的情况下计算滚道电容。所采用的电容模型不包含任何修正因子，并通过独立验证确保其准确性。做出以下假设：
- 滚道接触处存在弹性流体动力润滑（EHL）现象。
- 每个滚子接触点的接触面积形状与干接触的赫兹情况相同[18]。
- 法兰是平的且垂直于滚道[19]。
- 法兰接触处形成一层分离润滑膜，可以用弹性流体动力润滑模型来描述[19]。
- 法兰接触处的电容可以近似为无限多个微小电容器的并联组合，这些电容器内的电场线彼此平行[5]。
- 轴承的接触区域完全被润滑剂覆盖[7]。
- 表面非常光滑，没有粗糙度。
- 润滑剂的介电常数 $\varepsilon_r$ 是恒定的。

2. 材料与方法
2.1 轴承几何结构
当圆柱滚子轴承承受径向载荷时，滚道接触处会形成载荷传递区。根据赫兹理论，可以计算出该接触区域的面积，记为 $\mathcal{A}_{\text{赫兹}}$。如果轴承同时承受轴向载荷，法兰处会形成赫兹点接触（见图1中的红色区域[20]）。
图1. 不同计算方法适用的区域示意图：红色表示赫兹区域，黄色表示滚道接触外部区域，蓝色表示法兰接触外部区域。不属于赫兹区域的滚动元件面积也会影响轴承的电容，因此在计算时必须将其考虑在内。以下将赫兹区域外的部分称为“外部区域”（见图1，黄色表示滚道表面接触，蓝色表示法兰接触）。外部区域既沿滚动元件的轴向延伸，也沿周向延伸。
为了更清晰地区分各部分的电容贡献，将内圈与滚动元件的电容（用索引 $i$ 表示）与外圈与滚动元件的电容（用索引 $o$ 表示）区分开来。同时，还将滚道接触的电容与法兰接触的电容区分开来（分别用 $\mathcal{C}_{\text{滚道}}$ 和 $\mathcal{C}_{\text{法兰}}$ 表示）。法兰进一步分为右侧 $r$ 和左侧 $l$。
为了确定赫兹区域，需要计算作用在滚动元件或法兰上的载荷。为此采用了Wang和Song提出的简化模型[21]。
本研究使用的圆柱滚子轴承的标准尺寸为208。所有几何尺寸列在表1中（适用于NJ-208圆柱滚子轴承）。无论具体设计如何，所有208圆柱滚子轴承的半径 $R_i,rw$、$R_o,rw$、$L_R$ 和 $D_R$ 都相同。根据轴承类型的不同（见表2），内圈和外圈的法兰数量也会有所不同。

2.2 滚道电容的计算
滚道的总电容可以表示为赫兹区域内的电容分量和赫兹区域外的电容分量之和（见图1）。本文重点讨论赫兹区域外的电容计算，因为赫兹区域的电容可以通过 $\mathcal{A}_{\text{赫兹}}$ 和中心润滑膜厚度 $\mathcal{h}_0,\text{线}$ 来计算[17]。
Puchtler等人指出，计算出的电容值很大程度上取决于积分方向以及模型是解析的还是半解析的[5]。因此，外部区域的电容计算方法分为两种情况：每种情况的选择取决于滚子每个片段的实际情况，因为滚道接触点处的载荷分布不均匀，某些片段的满足条件1，而其他片段则满足条件2[24]。
- **情况1**：EHL接触的变形 $\mathcal{h}_\text{e}$ 小于润滑膜的高度。此时电容采用解析方法计算（见图2左侧）。
- **情况2**：EHL接触的变形 $\mathcal{h}_\text{e}$ 大于润滑膜的高度。此时电容采用半解析方法计算（见图2右侧）。
情况1中的解析方法基于Puchtler提出的两个电隔离偏心电极之间的等势线概念。电荷载体是滚动元件和内圈或外圈，假设它们都非常光滑。在电场边界处，等势线必须与这些电荷载体的表面重合。通过改变电荷载体之间的距离，可以使用阿波罗圆来满足这一要求（见方程（7）[5]。此外，引入了变量 $\mathcal{\tau}_{\text{e}}$（见方程（5）），表示滚道表面 $\mathbb{R}_i/o,rw$ 与滚动元件切片直径 $\mathcal{D}_R_j$ 之间的半径比。还引入了无量纲量 $\mathcal{\lambda}_{\text{e}}$（见方程（9）），用于表示滚动元件外表面与滚道表面之间的距离相对于滚动元件半径的比例。这个量考虑了滚动元件的轮廓、接触点内的变形??????以及润滑膜的高度?0,line。如方程（11）所述，电容是根据这些变量计算的，并遵循方程（10）中详细规定的边界条件。外部区域从赫兹区域的终止点开始，该点由Θ0????表示，并在Θ1????处结束，如图2所示。为了确定Θ0????，使用了来自赫兹区域的半轴??????。如果滚动接触中的变形小于润滑膜厚度，则可以使用这种计算方法；否则，等势线会相交。这个条件由方程（8）[5]表示。由于解析解的积分区域是在圆柱坐标系中绘制的，而赫兹表面是一个平面，仔细检查会发现部分电容被忽略了。图2左侧用红色标出了该表面[24]。

??????=2·??i/o,rw??R?? (5)
??????=???????1??????? (6)
??????=12·??????·(??2???????2?????1?√(??2???????2?????1)2?4·??2????) (7)
????????????=???R??+??+2·(???????+?0,linee)??R?? (9)
Θ0????=arcsin?(2·????????R??) (10)
Θ1????=??2
??i/o,rw,analej=4·??·arctan?[1+??????1????????·?tan?Θ1????2]ln?∣????????????????????(?????????????)·???????1∣?4·??·arctan?[1+??????1????????·?tan?Θ0????2]ln?∣????????????????????(?????????????)·???????1∣ (11)

如果不符合方程（8）中的条件，则方程（7）只能在复数域中求解，此时模型不适用。因此，积分是半解析地进行的；参见图2的右侧。为此，使用方程（14）中的积分，并采用无量纲边界条件??0????和??1????；参见方程（13）。该模型将外部区域划分为并联的无限小电容器，每个电容器的面积为????? =???????????，高度为?i/o,||?????(??)。在这些无限小电容器内，假设电场线是平行的。滚动元件与滚道表面之间的距离使用方程（12）[5]计算。高度?i/o,||?????(??)的范围通常无法确定，因为它取决于轴承的尺寸和负载条件。

?i/o,||?????(??)=√??2???????2·sgn?(??????)????????√1???2 (12)
??0????=2·????????R?? (13)
??1????=1
??i/o,rw,||????=2·?????1????∫??0????1?i/o,||???????? (14)

2.3. 法兰电容计算
此计算用于确定法兰电容。首先解释面积的计算方法，然后确定高度??(??)。下面考虑的面积是xy平面上的交集，由滚动元件圆柱的前表面和法兰的环表面组成；参见图3的左侧。为了确定面积??red +??green，分别计算左侧图中红色和绿色区域的上半部分，然后将其加倍。然后加上红色和绿色区域的面积。对于外环法兰的接触点，计算方法与内环法兰的接触点相同；只是几何参数不同。为此，根据方程（17）和（18）确定红色和绿色节圆的角度??和??。然后使用这些角度来确定红色和绿色节圆?? · ??2R和?? · ??2f。

图3. 左侧：感兴趣的区域包含用红色和绿色标记的滚子和法兰的重叠部分。右侧：计算重叠区域所需的几何距离。
最后，从图3右侧显示的红色和绿色三角形中减去相应的红色和绿色部分圆。得到的面积??red和??green加倍后相加，以确定滚动元件区域和法兰区域的交集。

??green=??2R???2f???2m2???m;??red=??2f???2R???2m2???m (15)
??green=??f·(1?cos???);??red=??R·(1?cos???) (16)
??=?{ { {?{ { {?arccos?(??green??R)对于?????arccos?(??green??R)对于??≥??2 (17)
??=arccos?(??red??f) (18)

高度??(??)根据方程（19）计算，其中常数分量?0,point或??f取决于x和????，如图4所示。如果法兰上有支撑润滑膜，常数分量由润滑膜的高度?0,point给出。如果没有润滑膜，常数分量由半轴轴承间隙??f2确定。

图4. 依赖常数距离?0和依赖于倾斜角度????的距离?tilt的距离??(??)的示意图。轴承的轴向间隙使用下限和上限尺寸的平均值计算。这使得模型独立于具体的轴承，因此无需测量实际公差。

??(??)=?0,point+sin?(????)·??
??(??)=??f2+sin?(????)·?? (19)

法兰与滚动元件端面之间的距离不是恒定的，而是随x变化的。因此，计算总横截面积并将其除以距离是一种简化。然而，y方向上面积??red,green的一个无限小部分?????与法兰和端面之间的距离相同。因此，模型中没有使用这种计算方法，仅为了清晰起见而介绍。在模型中，使用无限小区域?????red,green的积分根据笛卡尔坐标系中的方程（21）和（20）来计算电容。

??o,f,r/l??=??green?(??,??)=2·???????∫??red,o√??2??+??2∫01??(??)???????? (20)
??i,f,r/l??=??red?(??,??)+??green?(??,??)=2·?????red∫0√??2f+??2∫01??(??)????????+2·?????R∫??green√??2R???2∫01??(??)???????? (21)

2.4. 轴承电容
为了计算整个轴承的电容，首先需要定义轴承类型和轴承尺寸，因为电容的计算取决于轴承类型。为了说明这一点，应该注意的是，NU系列的轴承仅在内外圈上有法兰。相反，NJ系列的轴承在内圈有一个法兰，在外圈有两个法兰，而NUP系列的轴承在内圈和外圈都有两个法兰。在确定滚子电容时必须考虑法兰的数量，如方程（23）所述。

??B=??∑??=1??R?? (22)

轴承电容??B根据方程（22）计算，它是每个单独滚子电容??R??的并联连接结果，其中轴承总共有Z个滚子。每个滚子的电容由内圈滚道接触的电容份额??i,rw、外圈滚道接触的电容份额??o,rw以及取决于轴承类型的法兰份额计算得出。滚道表面中的电容??i/o,rw??由每个滚子的N个切片的部分电容??i/o,rw??之和组成。

方程（23）展示了用于计算NJ系列轴承内滚动元件电容的方程示例。为此，内圈接触处的电容??i,f,r??和∑????=1??i,rw??被并联连接。外圈接触处的电容??o,f,l??、??o,f,r??和∑????=1??o,rw??也被并联连接。内圈接触处的最终电容??i??和外圈接触处的电容??o??被串联连接。图5显示了等效电容的概览。由于NU系列轴承的内圈没有法兰，因此必须通过移除??i,f,r??来调整方程（23）。因此，该模型是模块化的，可以根据轴承类型进行适应，并且可以同样应用于所有圆柱滚子轴承类型。

图5. NJ系列轴承滚动元件的电气等效电路图和集成切片模型。

2.5. 实验装置
Puchtler等人使用的测试台和测量设备用于测量圆柱滚子轴承的电容[6,25]。由于这些测试不使用径向深沟球轴承，因此在测试台上安装了NUP系列的轴承，以确保轴得到明确支撑。与Puchtler等人使用的轴承不同，本研究中使用的支撑轴承不是混合轴承。

在测试过程中，测试台被设置为不同的工作条件；见表2。各个测试点按随机顺序选择，以排除之前测试的影响。表2中显示的测试点在每种轴承类型上都进行了测试。为了确保统计可靠性，每种轴承类型进行了三次测试。为了保证有足够的润滑膜，选择了10 L min?1的油流量，并使用参考油FVA IIIa。参考油的详细描述见表2。此外，根据Vogel的模型[26]计算了润滑剂的粘度，并根据FVA开发的模型[27]计算了压力-粘度系数。所使用的轴承具有玻璃纤维增强PA66制成的绝缘保持架。

所选轴承在法兰数量和滚子材料方面有所不同。使用改进型轴承来测量滚道电容。由于这些轴承没有钢制法兰，而是使用塑料法兰来引导滚动元件，因此只测量了滚道表面的电容[24]。在这项工作中，这些改进型轴承被称为N0轴承。此外，还使用了NU轴承，它们仅在外圈上有法兰。这量化了无负载法兰对电容的影响。为了测量轴向负载下的电容，使用了NJ系列的轴承，并施加了高达20°的负载角度。负载角度描述了轴向负载和径向负载之间的关系?? =arctan???a?/??r [28]。对于所使用的轴承，20°的负载角度略低于给定力的静态负载限制。因此，无法增加轴向负载。

为了确保支撑轴承不影响测量结果，对于每个工作点，使用只有陶瓷滚动元件的轴承进行了开放测量，以测量测试台、测量装置、轴承座和支撑轴承的电影响。在评估测量结果时，从测量值中减去了这个测量得到的电容，因此最终的电容仅取决于轴承电容。

在测试过程中，发现无法以7000 min?1的速度运行NJ轴承，因为振动和温度增加过多。也无法在90 °C、5000 min?1、径向负载15750 N以及负载角度0°、10°和20°的条件下运行NJ轴承，因为这些情况下会产生过多热量，轴承温度超过了140 °C，而PA66保持架的最大温度为120 °C。

2.6. 应用流体动力学润滑理论
Dowson和Toyoda使用了一个润滑剂模型来计算润滑膜厚度，该厚度取决于参数U、G和W。该模型的适用范围由Dowson和Toyoda研究的这些参数的范围定义。只要参数U在10?9到10?13之间，参数W在2 ×10?4到6 ×10?5之间，就可以应用该模型[15]。

实验设定的工作条件（表2）导致参数W超出了Dowson和Toyoda定义的范围，即在负载低于6300 N和15750 N时。所有使用的旋转速度都在U的参数范围内。对于这些范围之外的值，润滑剂模型的误差是已知的。由于计算出的电容和测量出的电容之间的差异在这些范围之外不会迅速增加，这表明没有建模误差，因此也展示了超出Dowson和Toyoda公布范围的负载参数。润滑剂模型使用了Zhou和Hoeprich的热校正因子进行了校正，该因子考虑了压力在压缩和剪切过程中的油加热[29]。

在第1.2节中，假设表面是光滑的。根据文献，只要润滑膜大于粗糙度峰值，表面粗糙度对电容的影响可以忽略不计[18]。由于这一点仅在过渡到混合摩擦阶段时相关，而当前工作仅考虑了EHL（弹性流体动力润滑）状态，因此表面粗糙度的影响可以忽略不计。3. 结果与讨论由于操作参数的顺序设置，测试台控制有时无法设定目标温度，导致在某些情况下设定温度与测量温度之间的偏差超过10°C。为了防止这种操作参数的偏差导致测量电容与计算结果之间的偏差，使用测量的温度、轴向载荷、径向载荷和速度作为计算的输入参数。这减少了控制偏差对测量误差程度的影响。在测试过程中，无法施加小于500 N的轴向载荷。因此，在后续分析中未考虑轴向载荷小于500 N的运行点。在弹性流体动力润滑（EHL）中，轴承主要表现出电容性行为，预期其相位角为-90°，但实际上也会出现轻微波动。在边界摩擦状态下，轴承的主要行为是电阻性的，导致相位角为0°。由于在混合润滑中存在部分金属与金属的接触，相位角会有明显波动，但不会平均为-90°。为了确定允许相位角在-90°附近有一定波动的EHL状态下的运行点，使用了高斯混合模型。对于每次测量，计算出一个概率来表示相位角由于散射而非混合摩擦而偏离-90°的可能性。概率大于95%的数据点可以可靠地归类为EHL状态；概率低于5%的数据点可靠地归类为混合摩擦状态；概率在5%到95%之间的数据点则假定属于EHL状态，其偏离理论相位角-90°的原因被认为是散射造成的。将置信区间从95%增加到99%可以提高将数据点归类为EHL状态的可靠性，并确认数据点确实处于EHL状态；同时减少了将实际上属于EHL状态的数据点误归类为混合摩擦状态的情况。然而，这也导致许多实际上属于EHL状态的数据点被归类为混合摩擦状态。为了在确定性和散射之间取得平衡，选择了95%的置信水平。在比较测量的计算概率与相位角时，可以发现-95°到-82°之间的数据点被归类为EHL状态。在高载荷下，特别是在90°C时，EHL标准并不总是得到满足。3.1. 轨道电容为了评估整个模型，首先考虑了仅表示轨道-表面电容的子模型。为此，测量了N0-208轴承的电容。在这些轴承中，钢制法兰被塑料法兰替换，以便它们对电容的影响可以忽略不计。图6比较了在不同温度和径向载荷下，转速为5000 min-1时的计算电容和测量电容。使用了三种不同的测量频率和三种相同类型的轴承，每种操作参数进行了九次测量。这些结果以平均值及其相应的标准差的形式呈现。计算结果以虚线显示。如图6所示，尽管随着温度的升高偏差有所增加，但测量值与计算结果之间的一致性相当好。图6. N0-208轴承的电容作为径向力的函数，不同润滑剂温度和转速为5000 min-1时的测量值和计算值。3.2. 无载荷轴向轴承的电容除了轨道电容外，模型还必须考虑法兰的电容。为了检验法兰接触建模的质量，使用仅在外圈装有钢制法兰的NU-208轴承进行了测试。图7显示了测量结果和计算结果的比较。与图6相比，图7中的计算值与测量值之间的偏差更依赖于温度，特别是在90°C时尤为明显。对于30°C和60°C，测量值和实验平均值相差10%；而在90°C时，偏差为19%。这种偏差在图7中比较温度时也很明显。由于总轴承电容是轨道电容和法兰电容的叠加（见第2.4节），且轨道接触的一致性更好（见图6），可以得出模型误差来源于法兰电容模型的结论。由于误差随着润滑剂温度的升高而增加，并且来源于法兰模型，可以推断法兰模型中存在未考虑的温度依赖性。影响法兰电容的主要因素是滚动元件与法兰之间的距离，在当前模型中该距离被计算为与温度无关的平均值（见第2.3节）。为了更详细地分析电容分配情况，图8将测量电容与计算电容进行了比较。此外，还展示了由赫兹接触、轨道外表面和法兰接触产生的电容份额。由于部分电容必须相互串联计算，因此无法将它们相加来计算总电容（见第2.4节）。图8. NU-208轴承的电容作为径向力的函数，在5000 min-1和60°C时的测量值和计算值。计算出的电容被分解为各个组成部分。如图所示，法兰的电容是恒定的。由于无载荷法兰的电容不依赖于力，因此它仅取决于恒定的轴向公差。还明显的是，外表面的电容几乎总是比赫兹区域的电容大一个常数倍。这一观察结果与其他文献中的假设一致，即外表面的电容由赫兹表面的电容乘以一个常数因子表示[16,17]。与赫兹接触产生的电容类似，外表面的电容也直接取决于滚动元件表面与轨道表面之间的距离。更大的载荷会同等程度地减小表面之间的距离，从而增加赫兹区域和外表面的电容。3.3. 轴向载荷轴承的电容NJ型圆柱滚子轴承可以通过内圈上的法兰传递轴向载荷。为了在这种情况下评估模型，对NJ轴承施加了轴向载荷。测量结果和相应的计算结果如图9所示。图9. NJ-208轴承的电容作为轴向力的函数，不同润滑剂温度、转速为3000 min-1和载荷角度10°及20°时的测量值和计算值。由于该模型仅适用于EHL状态和转速为1000 min-1的情况，因此在混合摩擦状态下存在许多运行点。为了增加润滑膜厚度，展示了更高转速下的运行点。因为5000 min-1会产生过多热量，图9显示的是3000 min-1下的运行点，而不是5000 min-1下的运行点（见图6和图7）。由于在载荷角度10°和20°、径向载荷为15750 N、转速为3000 min-1和5000 min-1时，轴承的温度超过了140°C，因此无法研究这些运行点，同时考虑到保持架的温度限制为120°C。在60°C和90°C、载荷角度为20°的测试中不存在这些运行条件。在指定载荷下的单个数据点是通过尝试接近该运行点而生成的。比较图7和图9可以看出，轴承的总电容显著增加。这种增加是由于轴向载荷造成的。在60°C和6300 N时，NU-208轴承的电容约为400 pF；而在相同载荷角度10°时，NJ-208轴承的电容约为700 pF；在载荷角度20°时，其电容约为1150 pF。如图6和图7所示，在任何给定的载荷-温度组合下，九个单独的测量结果之间的差异也更大。由于这种差异不是由混合摩擦引起的，因此必须是由于内圈和滚动元件在同一运行点上的轴向定位不同造成的，而这在模型中并未考虑。3.4. 所有测量值的概述为了全面评估模型，计算了与测量值相关的相对残差。为此，将转速分成相应的温度，并将其与径向力进行对比，同时按轴承类型分组。由于EHL范围内的各个测量频率相似，因此计算了每个运行点的平均残差值，并显示在图10中。白色区域表示没有测量值，要么是因为运行条件产生了过多热量，要么是因为处于混合润滑状态。图10. N0-208、NU-208和NJ-208轴承的相对残差平均值，按转速、温度和径向载荷分组。图中可以看出，对于大部分调查的运行点，N0和NU轴承的相对残差小于20%，模型表现良好。Dowson和Toyoda没有研究参数W的小值对润滑膜厚度计算结果的影响[15]，这似乎对结果没有负面影响（见第2.6节）。NJ轴承的相对误差比其他类型轴承的误差更明显。这是由于内圈在没有轴向载荷时的未知轴向位置导致的，从而导致法兰与滚动元件之间的距离不正确。观察残差可以发现，从N0轴承到NJ轴承，误差逐渐增加，NU轴承介于两者之间。这可以归因于整个模型的复杂性。NJ轴承电容模型由N0子模型和各个法兰接触模型组成，详见第2.4节。每个子模型都与实际值存在偏差，这些偏差叠加在一起，导致更复杂的模型误差更大。因此，NJ轴承计算中的误差是各种小误差的总和。对于无法达到的运行点的测量值（见第2.5节），其误差来源于第一次测量系列，在该系列中确定这些运行点无法设置。4. 结论本文提出了一个用于计算圆柱滚子轴承电容的模型。该模型考虑了以下运行条件：径向载荷、轴向载荷、温度和转速，且不使用电容校正因子。通过分别考虑轨道和法兰接触，模型解释了轴向载荷引起的电容增加。这种分离也使得计算方法具有模块化特性，适用于不同类型的圆柱滚子轴承。由于所有计算公式都依赖于轴承的几何参数，因此该模型适用于不同类型的轴承和不同尺寸的轴承（见第2.2节和第2.3节）。通过对三种不同类型的轴承（N0-208、NU-208和NJ-208）在各种运行条件下的电容进行测量和比较来评估模型。在测试台上，改变了径向载荷、轴向载荷、温度和测量频率。轴承电容随着载荷、转速和温度的升高而增加。当前模型能够捕捉到这种行为。测量得到的电容值与计算结果之间的差异大小会因轴承类型和工作条件而有所不同。此外，如第3.2节所示，NU-208轴承的赫兹接触区域所产生的电容分量与轴承外部区域以及未加载法兰的电容分量进行了比较。特别是在轴向载荷条件下，许多工作点无法在试验台上可靠地设置，或者处于混合摩擦状态，这超出了本研究的范围。属于EHL（Elastic-Hydrodynamic Lubrication）范围内的工作点是通过高斯混合模型确定的；详见第3节。与文献中的其他模型不同，这些模型仅使用修正因子来考虑外部区域的电容效应，而当前模型则基于物理关系来计算电容值，并有助于理解滚动接触中的电学机制。本研究中也认可了赫兹接触区域产生的电容与外部区域电容之间的关系，这一关系在文献[16,17]中也有提及；详见第3.2节。