具有变化接触几何形状的轮廓磨削的稳定性建模与分析 王坤子， 李宗星， 高潜凯， 徐利明

《Processes》：Stability Modeling and Analysis of Profile Grinding with Varying Contact Geometry Kunzi Wang, Zongxing Li, Qiankai Gao and Liming Xu

　　摘要 曲线磨削中的加工稳定性直接影响表面质量和形状精度，而复杂轮廓几何形状引起的局部接触条件变化使得其稳定性行为比传统磨削更为复杂。本研究在轮廓几何特征和工艺参数的耦合效应下探讨了颤振稳定性。基于工具鼻部微元方法开发了一个动态磨削力模型，明确考虑了轮廓几何参数、砂轮-工件接触和再生效应的耦合效应。随后建立了一个颤振稳定性模型，并提出了一种迭代方法来预测不同轮廓特征下的稳定性极限。结果表明，砂轮速度和磨削深度对系统稳定性起主导作用。在相同的曲率半径下，凸轮廓表现出最高的稳定性，其次是直线和凹轮廓。随着曲率半径的增加，稳定性边界逐渐趋近于直线轮廓的稳定性边界。增加轮廓法向角（CNA）显著提高了稳定性，并促进了主导不稳定模式从单向耦合向多方向耦合的转变。在复合曲面工件上的磨削实验验证了该模型，预测的稳定区域与测量的颤振痕迹和频谱有很好的一致性。所提出的模型为复杂轮廓磨削中的参数选择和颤振抑制提供了依据。

1. 引言
曲线磨削广泛应用于加工形状复杂的精密模板、模具、切削工具和具有曲面轮廓的各种组件。磨削系统的动态特性直接影响磨削稳定性，并与加工精度、表面质量和机床可靠性密切相关[1,2,3]。在许多光学轮廓磨削操作中观察到，在某些条件下，加工可能会在工件表面产生不同强度的颤振痕迹。这些颤振痕迹显著降低了表面形貌和加工质量[4]。尽管这些痕迹相对较浅，但它们仍然会显著影响表面外观和质量[5]。此外，由于沿加工路径的几何变化，即使在相同的工艺参数下，不同位置也可能表现出不同的颤振痕迹分布。这些现象与磨削过程的稳定性密切相关，凸显了研究曲线磨削系统动态特性的必要性。
大量研究表明，磨削颤振是一种双再生颤振，其动态行为受到砂轮和工件表面再生效应引起的时间延迟效应的影响[6,7,8]。Yan等人[9,10]建立了 plunge 磨削的动态模型，并使用特征值分析和 Hopf 分岔理论进行了稳定性分析。他们的稳定性图表表明，接触宽度窄、砂轮速度高或工件旋转速度低有利于磨削稳定性，大多数颤振是由亚临界 Hopf 分岔引起的。Sun 等人[11]将细长工件视为 Euler-Bernoulli 梁，砂轮视为刚体，对 plunge 圆柱磨削进行了建模。使用牛顿-拉夫森法（NRM）和连续算法（CA）计算特征值，并通过参数连续性推导出稳定性边界。他们的发现证实了再生效应对磨削稳定性有显著影响。Sun 等人[12]为圆柱磨削系统建立了一个具有时间延迟特性的两自由度动态模型。通过将砂轮上的磨料颗粒建模为非高斯分布，研究了不稳定条件下的工件表面形貌。结果表明，颤振强度与砂轮和工件之间的接触刚度呈负相关，且表面高度随砂轮速度和磨料颗粒尺寸的增加而减小，随进给率的增加而增加。Yang 等人[13]为涉及工件和砂轮的 roll 磨削开发了一个三自由度、双延迟动态模型，并使用时域响应和分岔图表来表征系统行为。结果表明，磨削宽度对稳定性有显著影响。Jiang 等人[14]通过为切向点跟踪磨削系统开发动态模型，对曲轴磨削进行了稳定性分析。使用频域变换计算了临界磨削深度，并绘制了具有良好预测精度的稳定性瓣图。Alvarez 等人[15]使用变延迟微分方程研究了外部磨削过程的稳定性，并应用半离散化方法求解模型，从而通过稳定性图表探讨了连续速度变化对磨削稳定性的影响。大多数现有研究集中在 plunge、圆柱和 roll 磨削过程上，其中砂轮-工件接触几何形状可以在给定加工条件下近似为恒定，因此稳定性分析通常基于恒定接触配置。在一些铣削研究[16,17,18,19,20,21]中，现有模型主要考虑了由周期性运动、运动耦合或刀具结构变化引起的延迟结构或接触条件的变化。相比之下，在使用弧形砂轮的曲线磨削中，磨削点沿工件轮廓连续移动，导致接触几何形状的空间变化。这种变化影响了磨削力及其方向分布的幅度和分布，以及再生效应，从而导致位置依赖的稳定性。这个问题尚未得到充分研究。
为了提高磨削稳定性，提出了多种颤振抑制策略。在选择最有效的控制方法时，应考虑加工能力、工艺参数在稳定性瓣图中的分布以及其他关键因素[22]。关于工艺参数优化，Dong 等人[23]发现稳定性瓣图为参数选择提供了有效的参考。稳定区域内的工艺参数能够快速抑制不稳定加工。Alvarez 等人[24,25]和 Barrenetxea 等人[26]证明，通过连续或间断改变砂轮或工件的旋转速度，可以显著提高稳定性。除了参数调整外，对机床进行结构改进和添加主动振动控制元件也可以抑制颤振[27,28,29]。Garitaonandia 等人[30]将压电执行器集成到主动滚珠丝杠中，通过增加机床的一阶阻尼来扩展稳定性瓣图的稳定区域，从而提高了无心磨削的稳定性。Ahrens 等人[31]提出了一个用于估计砂轮表面波度的模型，以预测工件上的力条件。通过使用定制的磁性执行器实现了主动振动控制，防止了颤振痕迹的形成。Wang 等人[32]在机器人磨削系统的末端执行器上安装了一个力控制执行器，以减少冲击激励并改变系统的动态特性。这种方法使系统能够在有效提高稳定性的同时维持恒定的磨削力。
总之，磨削中的加工稳定性受机床动力学和工艺参数的制约。在使用弧形砂轮的曲线磨削中，砂轮-工件相互作用形成一个沿轮廓连续变化的有限接触区域，导致接触条件和力分布的空间变化，从而使得稳定性行为更为复杂。现有模型通常是在恒定或简化的接触配置下开发的。即使考虑了接触变化，它们主要是由周期性运动、运动耦合或刀具几何变化引起的，导致时间依赖的延迟结构或接触条件。这样的公式无法捕捉曲线磨削中的空间分布接触特性。因此，有必要通过考虑工艺参数和轮廓几何的耦合效应来研究颤振稳定性。
本研究的主要贡献可以总结如下：
- 基于工具鼻部微元方法开发了一个动态磨削力模型，该模型考虑了弧形砂轮的复杂砂轮-工件接触特性以及沿轮廓的局部接触几何形状的变化；
- 建立了一个包含轮廓几何参数耦合效应的再生效应颤振动力学模型，并提出了一种迭代方法来预测曲线磨削中稳定性的空间演变；
- 揭示了轮廓几何参数对稳定性极限和主导不稳定模式的影响，并通过仿真和实验验证了位置依赖的稳定性分布。
论文的结构如下。第2节基于复杂的砂轮-工件接触几何形状，使用工具鼻部微元方法开发了曲线磨削的动态磨削力模型。第3节建立了颤振动力学模型并提出了迭代方法，随后分析了轮廓几何参数对稳定性的影响。第4节描述了实验设置和程序。第5节展示了结果和讨论。第6节提出了结论性意见。

2. 动态磨削力建模
曲线磨削是一种能够以高尺寸精度和表面质量制造复杂曲面的精密加工方法。如图1所示，带有双锥边缘的弧形砂轮以编程速度旋转，并在 z 方向上进行往复伺服进给运动。工件在 x 和 y 方向上执行插值进给运动以生成所需的轮廓。轮廓表面的曲线磨削是一种干式磨削过程，其中磨损碎片可以通过真空抽取去除。此外，可以光学成像曲面工件的轮廓，从而实现基于机器视觉的曲线磨削[33]。
2.1. 砂轮表面形貌
本研究中使用的砂轮是一种陶瓷结合的铬刚玉弧形砂轮，粒度为 #120，直径为 150 mm，工具鼻半径为 1.1 mm。相应的磨料颗粒大小约为 100–125 μm。粒度仅代表磨料颗粒的名义尺寸范围，不能直接表示有效切割颗粒的数量，后者由修整条件、突出高度和空间分布决定。为此，使用了 Zeiss Smartproof 5 共聚焦显微镜来测量砂轮的三维表面形貌。该系统是一种基于白光共聚焦原理的非接触式光学测量设备，配备了一个数值孔径为 0.75 的 LD C Epiplan-Neofluar 100× 物镜，垂直分辨率为大约 120 nm。在 100× 的放大倍率下，沿砂轮表面的圆周和径向选择了 50 个观察区域，每个区域的大小为 1.125 mm × 1.125 mm。图 2a 显示了一个代表性的三维形貌。图 2. 磨料颗粒统计：(a) 砂轮表面形貌；(b) 有效颗粒面积密度直方图。首先，对测量的表面形貌数据进行去趋势和高斯过滤，以去除形状误差和测量噪声。然后对处理后的表面进行峰值检测。对于识别的颗粒峰值，应用以下两个标准来确定有效切割颗粒：
- 空间距离标准：计算相邻峰值之间的欧几里得距离。如果两个峰值之间的三维距离小于平均颗粒直径的 0.7 倍，则认为它们属于同一个颗粒或峰值簇，只保留最高峰值作为代表。
- 高度标准：以观察区域内的最高峰值为准，如果候选峰值相对于最高峰值的高度差异小于最大未变形切屑厚度，则认为其有效，表明它位于有效切割接触区域内。
最大未变形切屑厚度根据 Malkin 模型使用经典磨削理论进行估算，表示为 ??????,????????=???????????????????√?????????????2??? (1)，其中 ??????????????????? 是一个经验常数，???? 是砂轮速度，???? 是行程速度，???? 是磨削深度，?? 是砂轮半径。
在每个观察区域内识别并计数了有效磨料颗粒，并统计分析了不同区域的面积密度，如图 2b 所示。结果表明，平均面积密度为 2.98 mm?2，标准差为 0.32 mm?2，变异系数为 0.11。直方图显示，超过 70% 的观察值落在单个区间内，表明分布集中程度较高。同时，平均值的 95% 置信区间约为 [2.87, 3.09] mm?2。基于低变异系数、集中分布和狭窄的置信区间，有效磨料颗粒在所研究的条件下表现出良好的统计空间均匀性，没有明显的局部聚集或稀疏现象。此外，由于有效颗粒的密集分布，颗粒随机性引起的局部时间延迟变化在多颗粒相互作用下显著平均。因此，随机性对再生延迟的影响预计是有限的，可以合理地将其近似为一个确定性参数。基于上述分析，在后续建模中有效磨料颗粒的分布被近似为均匀的。这一假设是一种工程等效处理方法，它确保了模型的可处理性和计算效率，同时合理地捕捉了实际磨削接触区的统计特性，并满足了后续动态力建模和振动稳定性分析的精度要求。在二维均匀性和各向同性的假设下，平均有效颗粒线性密度μ获得为面积密度的平方根，其值为1.73 mm^-1。这一参数被用作后续磨削力模型和振动稳定性分析中的关键统计输入。

2.2. 研磨轮-工件接触几何
如图3a所示，由于磨轮弧线轮廓上的切割深度变化，研磨轮与工件之间的几何接触关系是复杂的。如图3b所示，曲面工件的局部接触状态可以通过三种类型的参数来表征：轮廓类型、轮廓法线角度和局部曲率半径。轮廓类型（例如，凸形、凹形或直线形）描述了工件表面的基本几何形状。轮廓法线角度（CNA）表示工件局部法线与研磨轮径向之间的相对方向，如图3b中的??所示。曲率半径表征了轮廓的局部几何曲率，如图3b中的??p????????????所示。这三个参数共同定义了工件几何形状。在轮廓磨削过程中，随着加工点沿着轮廓连续移动，轮廓法线角度和局部曲率半径会随位置变化，不同部分的轮廓类型也可能发生变化。因此，研磨轮-工件接触几何表现出明显的空间变化。

2.3. 动态切屑厚度模型
鉴于磨轮的弧形状，磨料颗粒的实际切割厚度在不同位置是变化的。然而，在NMS（磨料颗粒的接触区域）内，磨料颗粒的切割厚度可以被视为恒定的。因此，可以使用平面磨削理论来分析NMS上的磨削力。考虑位于NMS上的一个磨料颗粒（位于（??,??）处）。该颗粒的实际瞬时未变形切屑厚度是静态磨削厚度和动态磨削厚度之和，可以表示为
???????(??,??,??) = ????????????? + ?????(??,??,??)，
其中???????(??,??,??)是单个磨料颗粒的瞬时实际磨削厚度，?????????????是静态磨削厚度，?????(??,??,??)是导致再生振动的动态切屑厚度。

对于使用弧形磨轮进行的轮廓磨削，磨料颗粒位于NMS的不同位置，其局部法线方向随θ和φ变化。因此，必须将系统在x和y方向上的振动投影到颗粒法线上以获得动态切屑厚度。这种投影涉及两个几何步骤：
- 在xoy平面中，颗粒A在磨轮弧上的位置由φ确定。x和y方向的振动位移被投影到局部法线方向OiA上，投影系数分别为sinφ和cosφ，如图7b所示。
- 对于位于不同圆周位置的颗粒（例如颗粒B），局部法线相对于工件法线倾斜，相应的振动分量进一步按cosθ缩放，如图7a所示。

因此，将再生位移差（??2(??) - ??2(??-??)）和（??2(??) - ??2(??-??)）投影到颗粒法线上，可以得到单个颗粒的动态切屑厚度
?????(??,??,??) = (??2(??) - ??2(??-??))c??s??s??n?? + (??2(??) - ??2(??-??))c??s??c??s??，
其中??2(??)和??2(??)代表工艺系统的振动位移，T是当前磨料颗粒在给定NMR上旋转到前一个颗粒位置所需的轮子旋转时间。设轮子转速为????，则T可以计算为
T = 602π????μ(?? - ??(1 - cos??)。

弧形磨轮的半径约为75毫米，而磨轮鼻部的半径仅为1-2毫米。由于?? ???，假设不同NMR的T相同：
T = 602π????μ??。

2.4. 动态磨削力模型
工件对磨料颗粒施加的力既包括切向力也包括法向力，且与动态磨削厚度成正比。因此，作用在单个磨料颗粒上的动态磨削力可以表示为
{??????(??,??,??) = ??????(??,??,??)}
其中??????(??,??,??)和??????(??,??)分别是作用在单个磨料颗粒上的切向和法向动态磨削力。??????和??????分别是单个磨料颗粒的切向和法向力系数。?????(??,??,??)是动态磨削厚度。

基于研磨轮与工件之间的几何接触分析以及单个磨料颗粒的动态磨削力模型，可以计算出研磨轮和工件的动态磨削力：
?{ { { { { { { { {???????(??) = ∫????????????????∫??????????????????????(??)∑??????????????????????(??)∑??????????????????????(??)∑??????????????????????(??)∑??????????????????????(??)}
考虑到x和y方向是主要的振动方向，设
???(??) = [??2(??),??2(??)]??。
然后，
???(??) = [????2(??)????2(??) = [????????????????????]??[??2(??) - ??2(??-??)??2(??) - ??2(??-??)] = ????(???(??) - ???(??-??)，
其中????是通过数值积分获得的动态磨削力系数矩阵。对于给定的轮廓几何参数，????是磨削深度的函数。

2.5. 磨削力实验
为了获得单个磨料颗粒的切向和法向磨削力系数并验证所提出的磨削力模型，进行了磨削力实验。考虑到伺服控制精度的限制，在多参数和复杂轮廓加工条件下，磨削深度可能会受到运动误差和轮廓插值误差的影响，从而降低实验数据的可靠性。为了最小化几何误差对力测量的影响，实验是在一个两侧分布有多个凸起平面的阶梯状工件上进行的，如图9所示。这种配置提供了明确的接触条件，并确保了稳定的磨削深度，从而能够获取适合识别单颗粒力系数的一致磨削力数据。

实验使用了带有双锥角的陶瓷结合刚玉弧形磨轮，磨粒大小为#120。磨轮的直径为150毫米，磨轮鼻部半径为1.1毫米，中心角度为152°。实验中使用的工件材料是硬度为67 HRC、厚度为10毫米的高速钢。实验采用了三种轮速（1000、2000和3000 rpm）、三种磨削深度（0.01、0.02和0.03毫米）以及三种进给速度（53.33、106.67和160 mm/s），形成了一个27次试验的全因子设计。在不同参数组合下收集了磨削力信号，并在过滤原始信号后得到了稳态平均值。结果显示，主要的磨削力分量作用在y和z方向上，而x方向上的力分量可以忽略不计。因此，本研究中使用y方向和z方向的力量来进行参数识别和模型验证。根据经典的Malkin磨削模型，单个磨料颗粒的平均未变形芯片厚度可以表示为 ??????????????????=????????????????????√????????,??????2??????(??)。（21）其中 ????,?? 是与当前NMR相对应的磨轮圆周速度，???? 是进给速度，??? 是NMR的磨削深度，?????(??) 是NMR在角度 ?? 时的等效旋转半径，??????????????????? 是一个介于0到1之间的经验常数。对于第i组实验数据，结合方程（17）、（18）和（21）得到 [????,?????????????????,??????,?????????????????,??]=[???????,?????????,?????????,?????????,??]?[??????????????]。（22）其中 ???????,??, ???????,??, ???????,?? 和 ???????,?? 是通过对方程（18）进行数值积分得到的。然后使用最小二乘法从实验数据中识别出单颗粒磨削力系数。实验结果显示，单个磨料颗粒的切向力系数为1.32 × 10? N/mm，法向力系数为1.74 × 10? N/mm。相应的标准误差分别为445.80和448.24，95%的置信区间分别为[1.23 × 10?,1.41 × 10?]和[1.65 × 10?,1.83 × 10?]。基于这些识别出的系数，使用方程（22）计算了不同条件下的理论静态磨削力，并与实验测量值进行了比较，如图10所示。结果表明预测值和测量值之间有很好的一致性，决定系数分别为 ??2?(????,?????????????????) =0.8993 和 ??2?(????,?????????????????) =0.8976。这些结果验证了所提出的磨削力模型的有效性，并为后续的轮廓磨削颤振稳定性分析提供了可靠的基础。图10. 力模型的验证结果：(a) y方向；(b) z方向。

3. 轮廓磨削的颤振稳定性
3.1. 颤振稳定性建模
由于轮廓磨削机的结构复杂，通常需要进行结构简化[35,36]。轮廓磨削过程系统的简化动态模型如图11所示。图11. 动态模型和振动示意图。系统的动态方程为 ???¨???(??)+???˙???(??)+??????(??)=???(??)。（23）其中 ??, ??, 和 ?? 分别是系统的质量、阻尼和刚度矩阵；???(??) 是颤振位移向量；???(??) 是动态磨削力。从模态实验中获得的模型动态参数列在表1中。表1. 动态特性测试结果。在本研究中，磨削系统在x和y方向上的结构动态以解耦的方式进行了建模，假设质量、阻尼和刚度矩阵为对角线矩阵，并忽略了交叉项。模态测试结果显示，这两个方向在自然频率和阻尼特性上有所不同，表明它们有明显分离的主模式。此外，机床在x和y方向上使用了正交排列的直线电机，并具有独立的传动链，这减少了跨轴耦合。基于这些考虑，从工程角度采用了解耦近似。在轮廓磨削中，动态磨削力与过程系统之间的相互作用会导致颤振[37]。本研究提出了一种分析稳定性机制的迭代算法，将过程参数和轮廓几何参数集成到动态模型中。将方程（20）代入方程（23）并重新排列后得到 ???¨???(??)+???˙???(??)+(???????)????(??)+????????(?????)=0。（24）假设线性系统的解为指数形式：???(??)=??????????。（25）将方程（25）代入方程（24）得到 (??2???+?????+???????+?????????????)???????????=0。（26）设特征方程为 ???(??)=??2???+?????+???????+?????????????。（27）当 R?e?(??) =0 时，稳定性边界发生。因此，设 ?? =?????，并且 ??????????? =c?o?s?(?????) ????s?i?n?(?????)，得到 ???(?????)=[??11+?????11??12+?????12??21+?????21??22+?????22]。（28）通过计算行列式 d?e?[???(??)] =0 并使其实部和虚部为零，得到稳定性判据为 R?e?[d?e?t?[???(?????)]]=??11???22???11???22???12???21+??12???21=0，（29）I?m?[d?e?[???(?????)]=??11???22+??22???11???12???21???21???12=0。（30）在传统的基于频率扫描的稳定性分析中，可能会出现多解分支的存在以及连续跟踪稳定性边界的困难等问题。为了解决这些问题，本研究提出了一种数值迭代策略，以轮速作为控制变量。在给定的速度范围内，对轮速进行离散化，并使用方程（15）计算相应的再生延迟T。然后将延迟代入方程（29）和（30）以求解颤振频率和临界磨削深度。由于方程（29）和（30）构成了一组非线性耦合方程，因此采用了基于初始猜测的数值迭代方法。沿着轮速引入了一种连续跟踪稳定性叶片分支的策略。对于每个轮速，取所有分支中的最小临界磨削深度作为稳定性边界，从而确定工程上相关的稳定性极限。算法如图12所示，其中b表示初始猜测的索引。每个索引对应于一组用于跟踪候选稳定性分支的初始值。图12. 稳定性迭代算法。所提出的模型以参数化的方式制定，可以通过更新相关物理参数来应用于不同的磨削条件，而无需修改模型结构。此外，由于轮廓磨削中接触几何形状的位置依赖性，稳定性叶片图在不同加工区域表现出空间依赖性，这使本工作区别于传统的磨削稳定性分析。

3.2. 稳定性对磨料颗粒线性密度扰动的敏感性
由于磨轮表面上磨料颗粒间距的随机性，即使在恒定的轮速下，等效再生延迟也不是严格恒定的。为了评估这种误差，基于其统计置信区间，对有效磨料颗粒线性密度施加了?10%、?5%和+5%的扰动。图13显示了在不同磨料颗粒线性密度扰动下，CNA为0°的直线轮廓的稳定性叶片图。稳定性边界的整体形状几乎不变，主要效应是叶片沿轮速轴的横向移动。为了量化这种移动，在1000–3000 rpm（轮廓磨削的典型范围）的主轴速度范围内检查了谷值位置。相对于标称颗粒线性密度情况，扰动为?10%、?5%、+5%和+10%时，相应的谷值轮速误差分别为8.62%、4.13%、4.05%和7.38%。这些结果表明，颗粒线性密度的随机性对稳定性预测的影响相对较小。

3.3. 轮廓参数对稳定性的影响
3.3.1. 轮廓类型和曲率半径对稳定性的影响
如图14所示，为了研究轮廓几何特征对轮廓磨削稳定性的影响，在轮廓法线角为0°的情况下，计算了不同曲率半径的直线、凸起和凹形轮廓的稳定性极限图和相应的颤振频率。结果显示，在不同的轮廓条件下，稳定性边界有显著变化，而颤振频率变化很小。图14. 轮廓类型和曲率半径对稳定性的影响：(a) 稳定性极限图；(b) 颤振频率。从稳定性极限结果可以看出，在相同的曲率半径下，凸起轮廓表现出最高的临界磨削深度，其次是直线轮廓，而凹形轮廓显示出最低的稳定性。这表明，在相同的工艺参数下，系统对于凸起轮廓更稳定，而对于凹形轮廓则更容易不稳定。进一步比较不同曲率半径的结果表明，随着曲率半径的增加，凸起和凹形轮廓的稳定性极限逐渐趋同于直线轮廓的稳定性极限。这表明，随着曲率半径的增加，局部轮廓几何形状接近于平面接触条件，从而减弱了轮廓类型对稳定性的影响。此外，从稳定性叶片图的分布特征来看，不同轮廓条件下的叶片峰值和谷值对应的主轴速度几乎相同。差异主要表现为叶片的整体垂直移动，而不是明显的水平位移。这表明轮廓类型和曲率半径主要影响临界磨削深度，而对叶片的周期性结构影响较小。相应的颤振频率结果也显示，不同轮廓类型和曲率半径下的频率曲线几乎重叠，表明轮廓几何形状对颤振频率的影响可以忽略不计。不稳定性频率仍然主要由加工系统的结构动态决定。在所提出的模型中，动态磨削力系数矩阵与磨削深度之间的关系由局部接触几何形状决定。轮廓几何形状的变化基本上反映为这种关系的变化，即沿轮廓的等效再生增益的调制。对于曲率半径较大的轮廓，局部几何形状变得更加平滑，动态磨削力系数逐渐接近直线轮廓的系数，导致稳定性边界向直线轮廓条件收敛。同时，颤振频率和叶片位置主要由结构模态特征以及与再生延迟相关的相位关系决定。由于轮廓几何形状主要调制再生增益的幅度，因此对颤振频率的影响较小。

总之，轮廓类型和曲率半径影响稳定性裕度，而不是主导颤振模式，不稳定性频率对这些因素的变化不敏感。在实际应用中，建议在曲率半径较小的凹形区域采用保守的加工参数，以减少再生颤振的风险并提高工艺稳定性。

3.3.2. CNA对颤振稳定性的影响
为了研究轮廓法线角（CNA）对轮廓磨削稳定性的影响，分析了α = 0°、15°、30°和45°的直线轮廓，并计算了相应的稳定性极限和颤振频率，如图15所示。图15. CNA对稳定性的影响：(a) 稳定性极限图；(b) 颤振频率。结果表明，增加CNA通常会在较宽的主轴速度范围内提高稳定性极限。然而，在特定速度下，由于模态相互作用效应，临界磨削深度可能会出现局部减小。频率分析表明，当α = 0°时，不稳定性频率集中在1030 Hz附近，接近y模式的自然频率，表明稳定性边界由y方向主导。随着CNA的增加，约1220 Hz的更高频率分支逐渐出现，对应于x模式。这表明x方向越来越多地参与颤振过程，并可能在某些速度范围内主导稳定性行为。因此，稳定性叶片结构从单模式主导模式演变为多模式相互作用模式。在较大的CNA值下，特别是α = 45°时，稳定性边界受到x模式和y模式的共同影响。增加CNA会导致原始y模式叶片的整体向上移动。同时，由于x模式的自然频率较高，x模式叶片在特定速度范围内产生额外的叶片分支。结果，稳定性图显示出移动的y模式叶片和新出现的x模式叶片的叠加，导致稳定性边界的局部变化。从力学角度来看，CNA不影响再生延迟；因此，延迟依赖的相位条件保持不变。图16显示了CNA值为0°和45°时动态磨削力系数矩阵Kc的分量。随着CNA的增加，Kc的分量相对贡献显著变化，表明x方向和y方向之间的动态磨削力重新分配。在相同的加工条件下，这导致两个方向的动态力幅度和再生效应强度不同。因此，在稳定性叶片图（如图15所示）中，y模式主导的叶片主要在稳定性极限上表现出垂直移动，沿主轴速度轴的水平位移可以忽略不计。这表明CNA影响方向再生增益的幅度，而不是延迟控制的相位条件。图16. CNA对动态磨削力系数的影响：(a) CNA = 0°；(b) CNA = 45°。总之，CNA是控制轮廓磨削稳定性的关键几何参数。在CNA较小时，颤振主要由y模式支配；随着CNA的增加，x模式变得越来越重要，并共同决定稳定性边界。因此，在工艺优化过程中应考虑CNA（交叉角）作为影响模态主导性和稳定性极限的关键因素。3.4. 算法性能评估 3.4.1. 收敛性分析为了评估迭代算法的收敛性能，在CNA为45°的直轮廓磨削条件下进行了收敛性测试。考虑到轮廓磨削的典型操作范围，选择了轮速为1000–3000 rpm，并将其均匀离散化为1000个点。基于此，构建了一个初始值平面，其中初始颤振频率范围为700至1200 Hz，步长为50 Hz，初始磨削深度范围为0.01至0.10 mm，步长为0.01 mm。对于初始网格中的每个点，收敛比率定义为收敛解的比例，用于评估与该初始值相对应的收敛行为。如图17所示，收敛性能主要受初始频率的影响，而对初始磨削深度不敏感，沿频率轴呈现出明显的垂直带状图案。图17. 不同初始条件下的收敛行为。在低频区域（700–950 Hz），大多数轮速下可以获得有效解，收敛比率接近1，表明数值迭代的稳定性良好。随着初始频率的增加，收敛性能逐渐恶化，在1000–1100 Hz附近出现一个明显的低收敛区域，收敛比率降至约0.1。如图15b所示，这个频率范围对应于明显的解分支跳变，导致某些初始值无法收敛为有效解。在较高频率范围（1100–1200 Hz），收敛性能有所恢复，收敛比率增加到约0.6，表明在该区域内仍可获得一定比例的有效解。3.4.2. 车轮速度离散化的敏感性分析为了评估车轮速度离散化对稳定性预测的影响，在CNA为45°的直轮廓条件下进行了模拟。车轮速度范围设定为100–5000 rpm，并使用500、800、1500和3000个离散速度点计算稳定性边界，如图18所示，其中Nns表示离散速度点的数量。图18. 不同离散点数下的稳定性极限图。以3000个点的结果为参考，不同离散化水平下的稳定性瓣形状一致。临界磨削深度的平均相对误差分别为500点、800点和1500点的0.61%、0.28%和0.10%。随着离散点数的减少，低速区域的偏差变得更加明显。特别是当车轮速度低于约250 rpm时，500点得到的结果与3000点得到的结果有显著差异。在常用的1000–3000 rpm车轮速度范围内，差异明显减小。平均相对误差分别降至500点、800点和1500点的0.0035%、0.0013%和0.0004%。在这个范围内，整体瓣结构和关键特征保持高度一致。总体而言，车轮速度离散化对稳定性预测的影响具有明显的区域特性：在低速区域对离散化敏感，但在实际操作范围内基本上不敏感。因此，适当的离散化水平可以有效平衡计算效率和预测准确性。3.4.3. 计算时间为了评估所提方法的计算效率，测量了稳定性边界计算的计算时间。所有模拟均在MATLAB（R2023a）和计算平台（Intel i7处理器，16 GB内存）上执行。当离散速度点数为3000时，总计算时间约为9.18秒。对于500、800和1500个离散点，总计算时间分别为1.44秒、2.62秒和4.59秒。这些结果表明，计算成本大致与离散点数成线性关系。此外，所提方法直接从特征方程确定稳定性边界，并采用连续策略，从而减少了冗余计算并提高了效率。3.5. 不同模型的比较 3.5.1. 模型机制的比较从建模机制的角度来看，表2比较了代表性颤振模型与当前模型的特性和差异。现有模型主要考虑了由时间周期运动、运动学耦合或工具结构变化引起的延迟结构变化或接触条件的变化。尽管Liu等人的[38]模型考虑了非圆轮廓引起的几何效应，但车轮-工件接触通常被近似为单个切割点，并通过动态磨削深度来纳入几何效应，而没有明确描述接触区域。表2. 模型机制的比较分析。在轮廓磨削中，弧形磨轮和复杂轮廓之间形成了有限的接触区域，接触条件沿接触弧连续变化。因此，通过积分接触弧来获得磨削力，以累加所有微元素对总磨削力和再生效应的贡献。这种建模方法通过纳入接触几何的影响，能够更准确预测颤振稳定性。3.5.2. 模型结果的比较将所提模型的预测结果与现有的颤振研究进行了比较，在关键动态特性上显示出良好的一致性。首先，稳定性瓣图展示了典型的离散瓣结构，具有多分支包络和周期性峰值-谷值分布，与[4,7,9,12]一致。在[4]中报告的多频率耦合引起的瓣包络重建也在当前模型中观察到（图15）。就颤振频率而言，先前的研究表明，不稳定频率分布在主导自然频率附近，并随主轴速度以分段连续或跳跃的方式变化[3,12]。这种行为也在当前结果中得到体现（图15b）。此外，[14]中报告的动态切削力的增益调制效应也在图14中反映出来，其中增益的变化导致稳定性极限的整体向上或向下移动。研究[17,18,21]表明，在不同的加工条件下，进给运动、工具旋转和多轴耦合可以使再生延迟或接触条件随时间变化，从而导致稳定性瓣图的偏移或局部变化。相比之下，尽管当前模型也显示出稳定性边界的变化，但这些变化是由于轮廓参数对动态磨削力分布和再生增益的调制引起的，表明其机制根本不同。4. 实验装置和设计实验装置是基于自主开发的数字轮廓磨床建立的，如图19a所示。磨轮和工件材料与第2.5节中描述的材料相同。磨削过程在轮速3000 rpm和磨削深度0.06 mm的条件下进行。使用磁力底座将加速度计（型号1A312E，东华测试有限公司，台州，中国）安装在工件上，以测量磨削过程中x、y和z方向的振动加速度。图19. 实验装置：(a) 装置；(b) 工件轮廓。如图19b所示，实验中使用的弯曲工件是一种典型的复合轮廓结构，厚度为5 mm。其几何形状包括多个基本轮廓元素，包括直线段、凸弧和凹弧。曲率半径在不同区域有所不同，涵盖了大半径的平滑区域和小半径的急剧过渡区域。在不同的加工位置，轮廓法线角变化显著。这种复合工件能够在单次实验中覆盖多种代表性的轮廓几何参数组合，为分析系统稳定性行为提供了合适的测试案例。5. 结果与分析为了验证所提出的轮廓磨削稳定性模型，在不同轮廓位置对三维稳定性瓣图和实验加工结果进行了比较分析。在图19b所示的复合弯曲工件上，根据预设的加工条件进行了磨削实验，并从两个视图（A和B）分析了工件表面的颤振痕迹，如图20所示。红色框表示有颤振痕迹的区域，绿色框表示无颤振区域。这些结果表明，颤振行为受到局部接触几何的强烈影响，并沿轮廓表现出明显的位置依赖性特征。图20. 弯曲工件的颤振痕迹：(a) 视图A；(b) 视图B。根据工件轮廓方程，沿x方向的局部轮廓参数被离散化。然后计算相应的稳定性瓣图，以构建图21a所示的三维稳定性极限图，反映了轮廓位置、轮速和磨削深度对稳定性的综合影响。此外，对于3000 rpm的实验条件，提取了三维稳定性图的横截面，得到图21b所示的稳定性极限曲线。实验中使用的磨削深度由红色虚线表示。根据稳定性标准，当红色虚线位于稳定性极限曲线以上时，相应区域不稳定，会发生颤振；否则，过程保持稳定。图21. 弯曲工件的稳定性极限：(a) 三维稳定性极限图；(b) 实验结果与理论结果的比较。为了进一步比较实验结果和理论结果，将工件轮廓在x方向上与预测的稳定性极限图空间对齐，并在图21b中用红色突出显示观察到颤振痕迹的区域。沿x方向的逐点比较显示，区域a、b、c、d、e和f表现出明显的颤振痕迹。在稳定性极限图的相应位置，红色虚线位于稳定性边界（黑色实线）以上，表明根据稳定性标准处于不稳定状态。相比之下，在预测为稳定的区域，红色虚线位于稳定性边界以下，实验上未观察到明显的颤振痕迹。总体而言，预测结果和实验结果之间表现出强烈的一致性，证明所提模型能够准确捕捉到由轮廓沿线的局部接触几何变化引起的稳定性转变。从工程角度来看，图21b揭示了给定轮廓和轮速下磨削深度与稳定性之间的关系。这为选择确保整个轮廓稳定加工的磨削参数提供了实用指导。在x方向的g位置，理论预测表明该点接近稳定性边界，对应于一个关键的稳定性条件。实验结果显示该区域没有明显的颤振痕迹，只有轻微的表面波动，没有明显的方向性或周期性模式。同时，表面粗糙度略高于稳定区域，表面光洁度和反射率均匀性降低，但仍远不如典型的颤振区域明显，如图20b所示。这些观察表明，尽管系统在这种条件下接近不稳定边界，但再生效应尚未完全发展成持续的自我激励振动。此外，在局部区域h和i，稳定性极限图预测不稳定条件，而实验上未观察到明显的颤振痕迹。这种差异主要是由于加工过程中局部接触几何和动态过渡效应的快速变化。这两个区域都位于曲率半径较小的区域附近，这里轮廓法线角、局部曲率和轮廓类型在短时间内急剧变化，导致车轮-工件接触条件和方向耦合的快速变化。尽管理论模型表明不稳定条件在局部得到满足，但不稳定区间相对较窄，系统可能在加工过程中仅短暂通过该区域。因此，颤振没有足够的时间发展并放大，工件表面没有形成明显的颤振痕迹。此外，在这样的过渡区域，主导的不稳定方向可能会迅速改变，从而防止持续的再生颤振的建立。与此同时，诸如伺服跟踪误差、局部插值误差以及实际磨削深度的波动等因素可能会在模型假设的理想条件与实际加工过程之间引入偏差。为了进一步识别轮廓磨削中的动态稳定状态，对三种代表性条件下的加速度信号进行了频谱分析：稳定状态、不稳定状态（区域a）和临界稳定状态（区域g），如图22所示。轮速为3000转/分钟，对应的旋转频率为50赫兹。如图22a所示，在稳定状态下，y方向的加速度谱主要由与轮子旋转频率相关的离散谐波成分主导（例如49.7赫兹、299.7赫兹、700.8赫兹和749.4赫兹）。这些狭窄且定义明确的峰值表明是由周期性磨削激励引起的强迫振动。在自然频率附近没有观察到显著的峰值或宽带能量放大，这表明没有自激振动的发生。相反，在不稳定状态下（图22b），除了低频谐波外，700-950赫兹范围内出现了明显的宽带能量增加，同时y方向上的自然频率附近还有一个主导峰值（1061.3赫兹），这表明y模式的强烈激励和再生振动的发生。如图22c所示，在临界稳定状态下，x方向的加速度谱仍然显示出与轮子旋转频率相关的清晰谐波成分，表明强迫振动仍然占主导地位。同时，在x方向上的自然频率附近出现了一个新的频谱峰值，表明x方向上的模态响应已经开始出现。与不稳定状态相比，该成分的幅度相对较低，且没有形成明显的窄带峰，这表明再生效应已经开始显现但尚未完全发展。因此，系统仍处于稳定性和不稳定性之间的过渡状态。图22. 不同稳定条件下的加工谱：(a) 稳定状态（y方向）；(b) 区域a的不稳定状态（y方向）；(c) 区域g的临界稳定状态（x方向）。因此，频谱中自然频率附近异常峰值的存在和宽带能量放大可以作为区分轮廓磨削中稳定状态的有效指标。

6. 结论与局限性

本研究探讨了由弧形磨削轮引起的复杂接触几何形状以及加工路径上轮廓参数连续变化对轮廓磨削的影响。进行了动态磨削力建模、振动稳定性分析和实验验证。主要结论总结如下：

基于工具刀头微元素方法，考虑了轮廓类型、轮廓法向角和局部曲率半径，建立了几何接触模型、动态切屑厚度模型和动态磨削力模型，为后续的稳定性分析提供了一个统一的建模框架；开发了一个用于轮廓磨削的时延振动动态模型，并提出了一种迭代解决方法，使得能够将工艺参数和轮廓几何参数统一纳入稳定性分析中。结果表明，稳定性沿轮廓呈现出明显的位置依赖性特征；轮廓几何参数对稳定性有显著影响。对于相同的曲率半径，凸轮廓表现出最高的稳定性，其次是直轮廓和凹轮廓。随着曲率半径的增加，所有轮廓类型的稳定性边界逐渐趋向于直轮廓的稳定性边界。增加轮廓法向角可以提高稳定性极限，并促进主导的不稳定模式从y方向向耦合的x/y模式转变；实验结果与理论预测高度一致，验证了所提出的模型。在表面形态和振动谱方面观察到了稳定状态、不稳定状态和临界状态之间的明显差异。这些结果表明，所提出的方法可以有效表征轮廓磨削中的稳定性转变，并可用于指导工艺参数选择和轮廓参数优化，以避免振动。所提出的模型已在特定的实验设置下得到了验证，包括一种磨削轮规格、工件材料和机床配置。未来的工作将集中在更广泛的磨削条件下验证该模型，纳入表面形态演变，并开发随机或多延迟模型以考虑颗粒尺度的随机性。