二维Rashba规范电子系统在调制自旋轨道场（SOF）耦合作用下的逆磁电系数响应

《Journal of Magnetism and Magnetic Materials》：Converse magnetoelectric coefficient response for 2D Rashba-gauge electronic systems under modulated Spin Orbit Field (SOF) coupling

　　H. Vivas：哥伦比亚国立大学，马尼萨莱斯校区，物理系，W区，La Nubia校区，马尼萨莱斯，170003，卡尔达斯省，哥伦比亚

**摘要**
通过计算电子载流子的密度波动以及使用Kubo公式来研究二维Rashba自旋轨道场（SOF）系统的反向磁电系数（cME）的特性。在自旋矢量势近似框架内，除了考虑了外部施加的场外，还考虑了其内在的规范场修正。还研究了低温下的磁序参量响应及其与费米能量和电场强度的依赖性。根据费米能量和特征SOF耦合常数g构建了一个与横向净磁化稳定性相关的相图，结果表明，在中间到巨Rashba强度范围内（??10?
**引言**
磁电现象及其在人工纳米结构中的技术应用是当代凝聚态物理学中最受关注的研究课题之一。理论和实验上的成就正在快速促进对所谓多铁性系统及其复杂物理背景的更好理解[1],[2],[3],[4],[5],[6]。在这种情况下，磁化作为序参量（op）基本上可以归因于基本的量子相对论电子动力学。其中一个众所周知的后果是sof相互作用的出现[7],[8],[9]。例如，在iii-v量子阱中或在电场e方向上具有平面内铁电性的材料中存在自旋-轨道耦合。在gete半导体中，通过反转p?，rashba-sof成为可调量，有可能在存储器件（自旋晶体管）中保持非易失性[10]；或者在sns和snse半导体单层上施加机械拉伸应变时，这会影响电子能带结构、rashba能量er和动量kr，使rashba分裂强度达到?αr～1.3ev?，具体取决于诱导应力的方向[11]。通过反转电极化，可以在srtio3的铁电态中控制自旋轨道特性和由此产生的电荷电流[12]。在反铁磁绝缘体srmno3和顺磁金属sriro3（smo/sio）界面中，通过电子电荷转移工程化了强自旋轨道相互作用，产生了可通过调节外部施加的电场来调制的反常霍尔效应（ahe）[13]。rashba-zeeman复合效应也在多铁性rashba半导体α-gete[14]中展现了增强电子自旋控制的新特性，以及在准现实ag2te/cr2o3结构中的非平凡绝缘体-导体相变中控制磁化方向[15]，或在3d拓扑绝缘体中的潜在量子反常霍尔效应存储器件中[16]。在压电/磁致伸缩方法中研究了层压复合材料fega/pzt/fega的反向（cme）和直接（dme）磁电系数之间的差异，显示出在两种配置下都有细微但可区分的共振频率[17]。在二维电子气（2deg）超薄膜中，垂直磁各向异性（pma）现象已在通用的rashba-stoner哈密顿模型框架内进行了理论讨论，研究发现当外部场垂直于平面方向施加时，竞争的（并克服的）rashba-dzyaloshinskii-moriya效应和伪偶极效应对于pma激活和磁各向异性是必要的[18],[19]。同样，在室温下对ni/bto混合结构通过逆磁致伸缩效应测量了诱导磁化。曲线m(e)中的蝴蝶形状以及在施加场e反转时的不对称cme系数与本文的主要结果高度吻合[20]，这一特定几何形状在多种铁电/铁弹性异质结构中的磁膜中也被发现。应变介导的刺激甚至在人工设计的超材料中也能控制轨道磁性[21],[22],[23],[24],[25],[26],[27]，其中磁致伸缩引起的各向异性能量耦合在蝴蝶环的形成中起着关键作用。

我们开发了一种用于估计反向磁电系数（静态和动态）及其在外加电场和磁场作用下响应的形式主义。讨论了不同sof耦合参数强度下的磁化序参量轮廓（及其不对称性）。也在零温度下讨论了相图和op稳定性。我们的主要假设基于通过诱导的垂直于平面的自旋轨道场贡献而由外部驱动力创建的间接相互作用，数学上用自旋矢量势张量a?j表示。

**部分摘录**
**反向磁电系数**
描述电子动量与有效自旋轨道场相互作用的哈密顿模型如下：**
$$\hat{h} = \hat{?}_{k0}i\hat{2}\times2 + \hat{h}_{r} + \hat{h}_{sof},$$
其中
$$\hat{?}_{k0} = \frac{\hbar^2}{2m}$$ 是单电子的动能，
$$\hat{h}_{r} = \alpha(ky\sigma\hat{x} - kx\sigma\hat{y})$$ 对应于二维系统的典型rashba平面内耦合（α的单位为能量×长度），
而
$$\hat{h}_{sof} = ge_{ex}ky\sigma\hat{z}$$ 则是与外加场e=exx?相关的可控垂直于平面的rashba效应，其中g使用了kubo公式。

**动态响应**
cme分量也应通过调整kubo公式来计算，该公式考虑了有限温度和非零频率下的电子自旋速度σ?z-v?x相关性[37]：
$$kzx(\omega) = i\alpha\hbar^2\sum_{k, \gamma\neq\gamma'}\pi_k\gamma\gamma'\langle uk\gamma|\sigma\hat{z}|uk\gamma'\rangle\langle uk\gamma'|v\hat{x}|uk\gamma\rangle\vec{ek}\gamma - \vec{ek}\gamma' + i\delta,$$
其中
$$\langle uk\gamma|$$ 是有效哈密顿量$\hat{h}_{e}$的归一化本征向量集，即满足 $\langle uk\gamma|uk\gamma'\rangle = \delta_{\gamma\gamma'}$。项$\delta k$ 和 $\langle uk\gamma|\sigma\hat{z}|uk\gamma'\rangle\langle uk\gamma'|v\hat{x}|uk\gamma\rangle$ 在附录a中有详细说明。

**外加磁场效应**
在x方向上施加静态磁场时，哈密顿量（1）需要通过添加塞曼相互作用$\hat{h}_{z} = -\h\bar{\sigma\hat{x}}$来重新表述。自旋矢量势的对角分量ax,y现在变为：
$$ax\sigma = \frac{1}{2}\alpha(h\bar{+}\alpha ky)[\alpha^2k^2 + h_k\sigma],$$
其中
$$h_k\sigma = \frac{px^2\pm ge_{ex}ky(\alpha^2k^2 + px^2)}{2}, \quad px^2 = h\bar{2} + 2\alpha h\bar{ky} + (ge_{ex}ky)^2,$$
能量带谱变为
$$\hat{?}_{e}\bar{k\gamma} = \hat{?}_{k0}\pm (\alpha^2k^2 + px^2 + \delta k^2(h\bar))^{\frac{1}{2},$$
其中
$$\delta k^2(h\bar) = \frac{1}{4}e^2ex^2\tr\{\hat{a}\hat{x}\sigma\tr\{\hat{a}\sigma} - 4g_ky,$$
其中
$$\hat{?}_{?\bar{k0}} = \hat{?}_{k0} + (e_{ex}/2)\tr\{\hat{a}\hat{x}\sigma}, \quad \tr\{\hat{a}\hat{x}\sigma} = \$$

**结论**
通过表征在外加场作用下自旋载流子不平衡密度的变化，研究了二维电子结构的反向磁电系数（cme）及其依赖性，包括自旋轨道场（sof）相互作用及其潜在的规范修正。分别在零温度和有限温度下计算了cme的静态和动态情况。最后一种情况是通过对标准kubo公式的调整来处理的。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
作者感谢un manizales的w区计算机实验室提供的资源和技术支持。 **引言** 磁电现象及其在人工纳米结构中的技术应用是当代凝聚态物理学中最受关注的研究课题之一。理论和实验上的成就正在快速促进对所谓多铁性系统及其复杂物理背景的更好理解[1],[2],[3],[4],[5],[6]。在这种情况下，磁化作为序参量（op）基本上可以归因于基本的量子相对论电子动力学。其中一个众所周知的后果是sof相互作用的出现[7],[8],[9]。例如，在iii-v量子阱中或在电场e方向上具有平面内铁电性的材料中存在自旋-轨道耦合。在gete半导体中，通过反转p?，rashba-sof成为可调量，有可能在存储器件（自旋晶体管）中保持非易失性[10]；或者在sns和snse半导体单层上施加机械拉伸应变时，这会影响电子能带结构、rashba能量er和动量kr，使rashba分裂强度达到?αr～1.3ev?，具体取决于诱导应力的方向[11]。通过反转电极化，可以在srtio3的铁电态中控制自旋轨道特性和由此产生的电荷电流[12]。在反铁磁绝缘体srmno3和顺磁金属sriro3（smo sio）界面中，通过电子电荷转移工程化了强自旋轨道相互作用，产生了可通过调节外部施加的电场来调制的反常霍尔效应（ahe）[13]。rashba-zeeman复合效应也在多铁性rashba半导体α-gete[14]中展现了增强电子自旋控制的新特性，以及在准现实ag2te cr2o3结构中的非平凡绝缘体-导体相变中控制磁化方向[15]，或在3d拓扑绝缘体中的潜在量子反常霍尔效应存储器件中[16]。在压电 磁致伸缩方法中研究了层压复合材料fega pzt fega的反向（cme）和直接（dme）磁电系数之间的差异，显示出在两种配置下都有细微但可区分的共振频率[17]。在二维电子气（2deg）超薄膜中，垂直磁各向异性（pma）现象已在通用的rashba-stoner哈密顿模型框架内进行了理论讨论，研究发现当外部场垂直于平面方向施加时，竞争的（并克服的）rashba-dzyaloshinskii-moriya效应和伪偶极效应对于pma激活和磁各向异性是必要的[18],[19]。同样，在室温下对ni bto混合结构通过逆磁致伸缩效应测量了诱导磁化。曲线m(e)中的蝴蝶形状以及在施加场e反转时的不对称cme系数与本文的主要结果高度吻合[20]，这一特定几何形状在多种铁电 铁弹性异质结构中的磁膜中也被发现。应变介导的刺激甚至在人工设计的超材料中也能控制轨道磁性[21],[22],[23],[24],[25],[26],[27]，其中磁致伸缩引起的各向异性能量耦合在蝴蝶环的形成中起着关键作用。 我们开发了一种用于估计反向磁电系数（静态和动态）及其在外加电场和磁场作用下响应的形式主义。讨论了不同sof耦合参数强度下的磁化序参量轮廓（及其不对称性）。也在零温度下讨论了相图和op稳定性。我们的主要假设基于通过诱导的垂直于平面的自旋轨道场贡献而由外部驱动力创建的间接相互作用，数学上用自旋矢量势张量a?j表示。 **部分摘录** **反向磁电系数** 描述电子动量与有效自旋轨道场相互作用的哈密顿模型如下：** $$\hat{h}=\hat{?}_{k0}I\hat{2}\times2 + \hat{h}_{r} + \hat{h}_{sof},$$ 其中 $$\hat{?}_{k0}=\frac{\hbar^2}{2m}$$ 是单电子的动能， $$\hat{h}_{r}=\alpha(kY\sigma\hat{X} - kx\sigma\hat{y})$$ 对应于二维系统的典型rashba平面内耦合（α的单位为能量×长度）， 而 $$\hat{h}_{sof}=ge_{EX}kY\sigma\hat{Z}$$ 则是与外加场e=EXx?相关的可控垂直于平面的Rashba效应，其中g使用了Kubo公式。 **动态响应** cme分量也应通过调整kubo公式来计算，该公式考虑了有限温度和非零频率下的电子自旋速度σ?z-v?x相关性[37]： $$kzx(\omega)=i\alpha\hbar^2\sum_{k, \gamma\neq\gamma'}\pi_k\gamma\gamma'\langle uk\gamma|\sigma\hat{z}|uk\gamma'\rangle\langle uk\gamma'|v\hat{x}|uk\gamma\rangle\vec{ek}\gamma - \vec{ek}\gamma' + i\delta,$$ 其中 $$\langle uk\gamma|$$ 是有效哈密顿量$\hat{h}_{e}$的归一化本征向量集，即满足 $\langle uk\gamma|uk\gamma'\rangle=\delta_{\gamma\gamma'}$。项$\Delta k$ 和 $\langle uk\gamma|\sigma\hat{z}|uk\gamma'\rangle\langle uk\gamma'|v\hat{x}|uk\gamma\rangle$ 在附录a中有详细说明。 **外加磁场效应** 在x方向上施加静态磁场时，哈密顿量（1）需要通过添加塞曼相互作用$\hat{h}_{z}=-\h\bar{\sigma\hat{X}}$来重新表述。自旋矢量势的对角分量AX,Y现在变为： $$ax\sigma=\frac{1}{2}\alpha(h\bar{+}\alpha ky)[\alpha^2k^2 + h_k\sigma],$$ 其中 $$h_k\sigma=\frac{PX^2\pm ge_{ex}ky(\alpha^2k^2 + px^2)}{2}, \quad px^2=h\bar{2} + 2\alpha h\bar{ky} + (ge_{ex}ky)^2,$$ 能量带谱变为 $$\hat{?}_{e}\bar{k\gamma}=\hat{?}_{k0}\pm (\alpha^2k^2 + px^2 + \delta k^2(h\bar))^{\frac{1}{2},$$ 其中 $$\delta k^2(h\bar)=\frac{1}{4}e^2EX^2\Tr\{\hat{A}\hat{X}\sigma\Tr\{\hat{A}\sigma} - 4g_ky,$$ 其中 $$\hat{?}_{?\bar{k0}}=\hat{?}_{k0} + (e_{ex} 2)\tr\{\hat{a}\hat{x}\sigma}, \quad \tr\{\hat{a}\hat{x}\sigma}=\$$ **结论** 通过表征在外加场作用下自旋载流子不平衡密度的变化，研究了二维电子结构的反向磁电系数（cme）及其依赖性，包括自旋轨道场（sof）相互作用及其潜在的规范修正。分别在零温度和有限温度下计算了cme的静态和动态情况。最后一种情况是通过对标准kubo公式的调整来处理的。 **利益冲突声明** 作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。 **致谢** 作者感谢un>
**引言**
磁电现象及其在人工纳米结构中的技术应用是当代凝聚态物理学中最受关注的研究课题之一。理论和实验上的成就正在快速促进对所谓多铁性系统及其复杂物理背景的更好理解[1],[2],[3],[4],[5],[6]。在这种情况下，磁化作为序参量（op）基本上可以归因于基本的量子相对论电子动力学。其中一个众所周知的后果是sof相互作用的出现[7],[8],[9]。例如，在iii-v量子阱中或在电场e方向上具有平面内铁电性的材料中存在自旋-轨道耦合。在gete半导体中，通过反转p?，rashba-sof成为可调量，有可能在存储器件（自旋晶体管）中保持非易失性[10]；或者在sns和snse半导体单层上施加机械拉伸应变时，这会影响电子能带结构、rashba能量er和动量kr，使rashba分裂强度达到?αr～1.3ev?，具体取决于诱导应力的方向[11]。通过反转电极化，可以在srtio3的铁电态中控制自旋轨道特性和由此产生的电荷电流[12]。在反铁磁绝缘体srmno3和顺磁金属sriro3（smo/sio）界面中，通过电子电荷转移工程化了强自旋轨道相互作用，产生了可通过调节外部施加的电场来调制的反常霍尔效应（ahe）[13]。rashba-zeeman复合效应也在多铁性rashba半导体α-gete[14]中展现了增强电子自旋控制的新特性，以及在准现实ag2te/cr2o3结构中的非平凡绝缘体-导体相变中控制磁化方向[15]，或在3d拓扑绝缘体中的潜在量子反常霍尔效应存储器件中[16]。在压电/磁致伸缩方法中研究了层压复合材料fega/pzt/fega的反向（cme）和直接（dme）磁电系数之间的差异，显示出在两种配置下都有细微但可区分的共振频率[17]。在二维电子气（2deg）超薄膜中，垂直磁各向异性（pma）现象已在通用的rashba-stoner哈密顿模型框架内进行了理论讨论，研究发现当外部场垂直于平面方向施加时，竞争的（并克服的）rashba-dzyaloshinskii-moriya效应和伪偶极效应对于pma激活和磁各向异性是必要的[18],[19]。同样，在室温下对ni/bto混合结构通过逆磁致伸缩效应测量了诱导磁化。曲线m(e)中的蝴蝶形状以及在施加场e反转时的不对称cme系数与本文的主要结果高度吻合[20]，这一特定几何形状在多种铁电/铁弹性异质结构中的磁膜中也被发现。应变介导的刺激甚至在人工设计的超材料中也能控制轨道磁性[21],[22],[23],[24],[25],[26],[27]，其中磁致伸缩引起的各向异性能量耦合在蝴蝶环的形成中起着关键作用。

我们开发了一种用于估计反向磁电系数（静态和动态）及其在外加电场和磁场作用下响应的形式主义。讨论了不同sof耦合参数强度下的磁化序参量轮廓（及其不对称性）。也在零温度下讨论了相图和op稳定性。我们的主要假设基于通过诱导的垂直于平面的自旋轨道场贡献而由外部驱动力创建的间接相互作用，数学上用自旋矢量势张量a?j表示。

**部分摘录**
**反向磁电系数**
描述电子动量与有效自旋轨道场相互作用的哈密顿模型如下：**
$$\hat{h} = \hat{?}_{k0}i\hat{2}\times2 + \hat{h}_{r} + \hat{h}_{sof},$$
其中
$$\hat{?}_{k0} = \frac{\hbar^2}{2m}$$ 是单电子的动能，
$$\hat{h}_{r} = \alpha(ky\sigma\hat{x} - kx\sigma\hat{y})$$ 对应于二维系统的典型rashba平面内耦合（α的单位为能量×长度），
而
$$\hat{h}_{sof} = ge_{ex}ky\sigma\hat{z}$$ 则是与外加场e=exx?相关的可控垂直于平面的rashba效应，其中g使用了kubo公式。

**动态响应**
cme分量也应通过调整kubo公式来计算，该公式考虑了有限温度和非零频率下的电子自旋速度σ?z-v?x相关性[37]：
$$kzx(\omega) = i\alpha\hbar^2\sum_{k, \gamma\neq\gamma'}\pi_k\gamma\gamma'\langle uk\gamma|\sigma\hat{z}|uk\gamma'\rangle\langle uk\gamma'|v\hat{x}|uk\gamma\rangle\vec{ek}\gamma - \vec{ek}\gamma' + i\delta,$$
其中
$$\langle uk\gamma|$$ 是有效哈密顿量$\hat{h}_{e}$的归一化本征向量集，即满足 $\langle uk\gamma|uk\gamma'\rangle = \delta_{\gamma\gamma'}$。项$\delta k$ 和 $\langle uk\gamma|\sigma\hat{z}|uk\gamma'\rangle\langle uk\gamma'|v\hat{x}|uk\gamma\rangle$ 在附录a中有详细说明。

**外加磁场效应**
在x方向上施加静态磁场时，哈密顿量（1）需要通过添加塞曼相互作用$\hat{h}_{z} = -\h\bar{\sigma\hat{x}}$来重新表述。自旋矢量势的对角分量ax,y现在变为：
$$ax\sigma = \frac{1}{2}\alpha(h\bar{+}\alpha ky)[\alpha^2k^2 + h_k\sigma],$$
其中
$$h_k\sigma = \frac{px^2\pm ge_{ex}ky(\alpha^2k^2 + px^2)}{2}, \quad px^2 = h\bar{2} + 2\alpha h\bar{ky} + (ge_{ex}ky)^2,$$
能量带谱变为
$$\hat{?}_{e}\bar{k\gamma} = \hat{?}_{k0}\pm (\alpha^2k^2 + px^2 + \delta k^2(h\bar))^{\frac{1}{2},$$
其中
$$\delta k^2(h\bar) = \frac{1}{4}e^2ex^2\tr\{\hat{a}\hat{x}\sigma\tr\{\hat{a}\sigma} - 4g_ky,$$
其中
$$\hat{?}_{?\bar{k0}} = \hat{?}_{k0} + (e_{ex}/2)\tr\{\hat{a}\hat{x}\sigma}, \quad \tr\{\hat{a}\hat{x}\sigma} = \$$

**结论**
通过表征在外加场作用下自旋载流子不平衡密度的变化，研究了二维电子结构的反向磁电系数（cme）及其依赖性，包括自旋轨道场（sof）相互作用及其潜在的规范修正。分别在零温度和有限温度下计算了cme的静态和动态情况。最后一种情况是通过对标准kubo公式的调整来处理的。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
作者感谢un manizales的w区计算机实验室提供的资源和技术支持。>