在Sitnikov三体问题中由反照率引起的扰动 M. Shahbaz Ullah, M. Javed Idrisi 以及 Sergey Ershkov

《Physics》：Albedo-Induced Perturbation in the Sitnikov Three-Body Problem M. Shahbaz Ullah, M. Javed Idrisi and Sergey Ershkov

　　摘要 本文研究了在辐射压力和反照率共同作用下的圆形Sitnikov三体问题。该模型由两个质量相等的主天体组成，它们围绕它们的质心做圆周运动，以及一个无限小的天体，该天体被限制沿垂直轴振荡。一个主天体的辐射发射和另一个主天体反射的辐射通过辐射和反射率参数被纳入有效势中。利用雅可比积分，我们确定了垂直运动的能量允许区域，并研究了辐射效应如何改变可访问的相空间。研究表明，系统在原点处存在一个单一的垂直平衡点，在物理允许的参数范围内保持线性稳定。辐射和反照率降低了有效恢复力并增加了振荡周期，从而在不改变相轨迹的几何结构的情况下产生了可测量的物理时间重新缩放。通过数值积分非线性运动方程得到的庞加莱（首次返回）图进一步探索了相空间动力学。所得到的不变曲线证实了运动的规则性和有界性，而它们的逐渐收缩反映了随着辐射效应增加振荡幅度的减小。总体而言，结果表明，反照率通过改变有效势、允许的能量域和可观察的时间尺度，定量地修改了垂直Sitnikov动力学。

1. 引言
Sitnikov问题是限制性三体问题的一种特殊且高度对称的情况，其中两个质量相等的主天体围绕它们的共同质心做圆周或椭圆运动，而一个无限小的天体沿着通过质心的垂直于轨道平面的线振荡。由于这种几何约束，第三天体的运动实际上是单向的，但该系统表现出丰富的动态行为，并自1960年Kirill Sitnikov提出以来已成为研究引力系统中垂直运动的基本模型[1]。Victor Szebehely的标准专著[2]和Karl Stumpff的书籍[3]详细讨论了其经典表述及其分析结构，其中解以雅可比椭圆函数的形式表达。多年来，从多个角度研究了Sitnikov问题。在参考文献[4]中分析了接近可公度性的规则和混沌运动，而在参考文献[5]中研究了相空间结构和截面。在参考文献[6]中获得了次谐波解，在参考文献[7]中检验了圆形N体Sitnikov问题中垂直运动的稳定性。在参考文献[8]中探讨了不同数值方法的吸引盆结构，在参考文献[9]中研究了非线性Sitnikov问题的周期解。在参考文献[10]中严格证明了椭圆Sitnikov配置中对称周期运动的稳定性，而在参考文献[11,12]中最近构造了近似对称周期解。扩展到更复杂的配置包括具有轴对称性的中心配置[13]和曲线或广义Sitnikov模型[14,15]。除了完全的引力模型外，非引力效应也被纳入限制性三体动力学中。特别是，通过质量减少因子[16]将辐射压力引入了圆形限制性三体问题。这种方法后来被扩展到同心和光引力Sitnikov配置[16,17,18]。辐射效应在小天体、尘埃颗粒和高面积质量比的航天器动力学中尤其相关，因为入射辐射减少了有效引力吸引。另一个重要的辐射现象是反照率效应，定义为天体反射的入射辐射的比例[19]。反射分量产生了一个额外的扰动，这取决于反射表面的光学特性，并改变了无限小天体所经历的有效势。在现实的天体环境中，这些效应可能影响轨道演化、运动限制和飞行时间特性。使用相空间方法、庞加莱图和稳定性理论对非线性动力系统的定性分析已广泛应用于不同的物理背景中，包括Lorenz型系统、延迟反馈稳定、趋化性-流体模型和非线性波动方程[20,21,22,23,24]。这些研究强调了不变结构、有界运动和周期动力学的重要性，这也是本研究的方法论基础。

进一步的发展包括具有潮汐变形的引力势模型[25]和在多体配置中分析具有可变偏心率的稳定轨道[26]，这表明了对修改后引力环境的持续兴趣。受这些研究的启发，本研究在辐射压力和反照率的共同作用下研究了圆形Sitnikov问题。一个主天体的辐射发射和另一个主天体反射的辐射通过辐射和反射率参数被纳入有效势中。这种表述使得可以使用雅可比积分从能量角度研究垂直运动，并确定辐射效应如何修改允许区域、振荡周期和相空间结构。在本文中，尽管经过适当的时间归一化后，相轨迹的几何形式与经典圆形Sitnikov问题相同，但辐射效应产生了可测量的定量变化。特别是，这些效应改变了运动的可观察时间尺度，限制了能量允许区域，并引入了一个辐射主导的阈值，用于存在有界垂直振荡。本文的组织结构如下：第2节推导了数学模型和运动方程。第3节使用雅可比积分分析了允许区域。第4节讨论了平衡点及其线性稳定性。第5节通过首次返回图检查了相空间结构。第6节总结了本文的主要结论和可能的扩展。

2. 模型描述和运动方程
考虑一个系统（图1），由两个主天体??1和??2组成，每个主天体的质量分别为??1和??2，它们沿一条直线排列。这些主天体围绕它们的共同质心做圆周运动。在这种配置中，存在一个质量为??3的无限小天体??3，其运动被限制在z轴上，该轴垂直于主天体的运动平面并通过系统的质心O。因此，??3的运动实际上是单向的，并且垂直于主天体的轨道平面。主天体与质心的距离相等，距离由?????1 =?????2 =??/2给出，其中?? =1表示??1和??2之间的无量纲分离。此外，假设第一个主天体??1发射辐射，而第二个主天体??2被视为非黑体反射器，将??1的辐射重新导向空间。

图1. Sitnikov三体问题。使用参考文献[16]的方法，无限小质量??3在三维空间中的运动方程为
¨???2?˙??=????, (1)
¨??+2?˙??=????, (2)
¨??=????, (3)
其中上方的点表示时间（t）导数，势函数
??=12?{??2+??2+(1???)??1+(1???)??2} (4)
其中
??21=(???12)2+??2+??2,
??22=(??+12)2+??2+??2
????、????和????表示势函数（4）对空间坐标的一阶偏导数。

参数??和??之间的关系由[16]给出
??=???(1?????)???。这里，??是质量参数，??是与发射主天体相关的辐射（质量减少）因子，表示辐射压力力与引力吸引的比率（反照率参数），??是反射率（亮度）参数，表示第二个主天体反射的入射辐射的比例。

在Sitnikov三体问题中，?? =1/2，??1 =??2 =√??2+1/4 [2] 且 ?? ∈(0,1)；因此，
??=?????。在这种情况下，势函数（4）简化为
???(??)=?????(??)??????(??,??)??????(??,??,??), (5)
其中?????(??)表示Sitnikov三体问题中的经典势函数，?????(??,??)是由于第一个主天体的辐射效应而产生的扰动势，?????(??,??,??)是由于考虑了第二个主天体的反射特性而产生的势函数扰动，定义为：
?????(??)=1√??2+14,?????(??,??)=??2?√??2+14,?????(??,??,??)=?????2?√??2+14。因此，沿z轴的无限小质量的运动方程为
??2????????2=?4?[2?(1+??)???]???(4???2+1)3/2, (6)
这是无限小??3沿z轴振荡所需的运动方程。

值得注意的是，通过引入归一化时间′?? =???√4?[2?(1+??)???]，方程（6）变为
??2??????′??2=???(4???2+1)3/2，
这与经典圆形Sitnikov问题的垂直方程[1]一致。这表明辐射压力和反照率不改变相轨迹的几何结构，但作为物理时间的缩放因子。

然而，在原始的维度时间中，参数??和??具有直接的动力学和物理意义。特别是，这些参数决定了振荡周期、雅可比积分中的有效势以及存在有界垂直运动的能量阈值。因此，当问题以可观察量解释时，不能去除这些参数的影响。

图2展示了势函数???(??)（5）作为坐标z的函数的变化，该坐标表示Sitnikov三体问题中无限小天体从两个主天体的轨道平面的垂直位移，在以下三种情况下：经典情况（绿色）、辐射效应（红色）和反照率效应（蓝色）。辐射和反照率效应的包含降低了有效势，导致势阱变浅，沿垂直轴的限制减弱。在没有非引力效应的情况下，势函数在?? =0处表现出最高峰。这对应于第三天体穿过轨道平面时最强的引力吸引。势的陡峭度和高度表明恢复力更强，意味着围绕平面的振荡更有能量。当包括来自发光主天体的辐射压力时，有效引力吸引减小。这种减少使得势阱变得更浅更宽。因此，辐射情况位于经典情况之下，表明平衡势能更低，恢复力更弱。这导致振荡的幅度和频率降低。反照率效应考虑了小天体对辐射的反射，引入了一个额外的排斥分量。与仅辐射情况相比，这进一步降低了有效势。因此，具有反照率效应的情况在三种情况中表现出最低的峰值，表明辐射压力和反射对系统势的共同减弱影响。

总体而言，随着额外的辐射效应的引入，势阱逐渐变浅且不那么陡峭，表明沿z轴的无限小粒子的引力限制减弱。

图3描绘了不同反照率因子??值下无限小质量??3的Sitnikov运动，显示了系统对增加的反射效应的动态响应。没有反照率影响的经典Sitnikov问题（?? =0，红色曲线）显示??3沿z轴的振荡相对较大且对称。具有反照率效应但没有辐射效应的情况（?? =0.1和?? =0，蓝色曲线）以及同时包含两种效应的情况（?? =0.2和?? =0.001，绿色曲线）显示，随着反照率参数的增加，振荡幅度减小，表明反射辐射压力倾向于减弱或限制无限小粒子的运动。从物理上讲，这意味着反射更多太阳能量的高反照率表面施加了额外的向外辐射压力，这在一定程度上抵消了引力吸引，导致振荡范围减小。因此，图3表明反照率效应通过减小其垂直位移的范围稳定了??3的运动。一个完整振荡的时间周期
假设初始条件为 ???(0) = ??ini 和 ˙???(0) = 0（见方程（6）），对后者关于 t 进行积分，然后计算一个完整振荡的总周期为
?? = 4√2 ? (1 + ??)??∫?^??ini????√(1 + ??2)/14 ? 1√??2ini + 1/4。
（7）
图 4 描述了在 Sitnikov 问题中，对于不同的反照率因子 ??，微小质量 ??3 的振荡周期的变化情况。所得结果表明，这些扰动效应的引入导致微小质量的振荡周期增加。

3. 微小质量垂直运动的允许区域
微小质量垂直运动的允许区域是通过雅可比积分来确定的。对于 Sitnikov 配置，雅可比常数 C 由下式给出：
˙??2 = 2???(??) ? ??，
（8）
其中 ???(??) 是经过辐射和反照率效应修正的有效势能（见方程（5））。对于纯垂直运动（?? = ?? = 0），只有当动能非负时，运动才是可能的，这导致不等式
˙??2 = 2???(??) ? ?? > 0。
（9）
不等式（9）定义了沿 z 轴的能量可及运动区域。接下来，我们将分析这个区域如何依赖于反照率参数 ??、反射率参数 ?? 和雅可比常数 C。

3.1 反照率参数 ?? 的影响
图 5 展示了在 ?? = 10?3 和 ?? = 2 的固定值下，垂直运动区域作为反照率参数 ?? 的函数。阴影区域表示满足 2???(??) ? ?? > 0 的允许配置集合。该区域关于 ?? = 0 对称，反映了有效势能通过因子 [2 ? (1 + ??)??] 的线性依赖性。
图 5. 在 ?? = 10?3 和雅可比常数 ?? = 2 的固定值下，垂直运动区域作为反照率参数 ?? 的函数。阴影区域对应于不等式 2???(??) ? ?? > 0，表明微小物体的垂直运动在能量上是允许的。随着 ?? 的增加，允许区域逐渐缩小，并最终在某个临界值附近消失。这种行为表明，增加反照率会增强对抗重力的辐射贡献，从而减弱了沿垂直方向的有效恢复力。超过临界反照率后，有效势能不再足以维持垂直振荡，运动在能量上变得不可能。从物理上讲，这表明反照率在调节垂直 Sitnikov 运动的存在中起着主导作用。

3.2 反射率参数 ?? 的影响
为了隔离反射率参数的影响，图 6 显示了在 ?? = 0.1 和 ?? = 2 的固定值下，运动区域作为反射率参数 ?? 的函数。与对 ?? 的强烈敏感性相比，允许区域在考虑的 ?? 范围内几乎保持均匀，仅在边界处有轻微变化。
图 6. 在 ?? = 0.1 和雅可比常数 ?? = 2 的固定值下，垂直运动区域作为反射率参数 ?? 的函数。阴影区域表示由 2???(??) ? ?? > 0 定义的能量可及域，表明 ?? 对垂直运动的存在影响相对较小。这种行为源于 ?? 仅通过因子 (1 + ??)?? 出现在有效势能中。对于较小和适中的 ?? 值，?? 的变化对净辐射效应只有相对较小的修正。因此，重力贡献仍然占主导地位，允许运动的条件几乎均匀满足。这一结果强调，与 ?? 相比，?? 在塑造垂直运动区域方面起着次要作用。

3.3 雅可比常数 C 的影响
图 7 显示了在 ?? = 0.1 和 ?? = 10?3 的固定值下，允许区域对雅可比常数的依赖性。阴影区域再次对应于不等式 2???(??) ? ?? > 0。随着 C 的增加，该区域迅速缩小，在雅可比常数的临界值附近形成一个尖锐的峰值。
图 7. 在 ?? = 0.1 和 ?? = 10?3 的固定值下，垂直运动区域作为雅可比常数 C 的函数。阴影区域对应于 2???(??) ? ?? > 0，并说明了随着 C 的增加，能量上允许的垂直运动逐渐受到限制。这种行为反映了 C 的能量特性。较大的 C 值减少了可用的动能，从而限制了允许的运动范围。当 C 接近其临界上限时，只剩下一个狭窄的配置范围，超过这个限制，垂直运动变得不可能。相反，较小的 C 值允许更宽的垂直位移，尽管存在辐射和反照率效应。

从分析中可以得出结论，反照率参数 ?? 是垂直运动存在的主要控制因素，而反射率参数 ?? 的影响相对较小。雅可比常数 C 控制着运动的整体能量可及性，较高的 C 值强烈限制了允许区域。总之，所得结果提供了辐射和反照率效应如何修改经典 Sitnikov 动力学的明确能量解释。

4. 平衡点和稳定性
在本节中，我们确定了在辐射和反照率效应下的 Sitnikov 问题的平衡点，并检查了它们的线性稳定性。由于微小质量被限制在垂直 z 轴上移动，平衡点对应于垂直运动方程的静止解。

4.1 平衡点
通过设置 ??2??????2 = 0 来获得平衡点。对于物理上允许的参数值，因子 [2 ? (1 + ??)??] 是非零的，因此平衡条件简化为
??(4??2 + 1)3/2 = 0。
（10）
方程（10）有一个实数解，即 ?? = 0。因此，在辐射和反照率效应下的 Sitnikov 问题只有一个垂直平衡点，位于两个主体的质心处。反照率的引入改变了恢复力的大小，但没有产生额外的平面外平衡点。

4.2 线性稳定性分析
为了研究平衡点 ?? = 0 的稳定性，我们引入了一个小的扰动 ???(??)，使得
???(??) = 0 + ???(??)，|??| ? 1。
（11）
将方程（11）代入运动方程（4）并展开到 ?? 的一阶，得到线性化方程
??? = ?4[2 ? (1 + ??)??]??。
（12）
这是一个简谐振子的方程，其角频率的平方为
??2 = 4[2 ? (1 + ??)??]。
（13）
对于物理上有意义的参数值，
2 ? (1 + ??)?? > 0。
（14）
因此，
??2 > 0。
（15）
稳定性对辐射参数的依赖性可以直接从方程（13）中看出。对于 0 ≤ ?? < 2/(1 + ??)，量 ??2 > 0，原点的平衡是线性稳定的，随着 ?? 的增加，振荡频率减小。在极限情况 ?? → 2/(1 + ??) 下，振荡频率趋于零，系统接近一个边缘稳定的配置，其中有效恢复力消失。对于较大的辐射参数值，??2 < 0，平衡失去稳定性，表明辐射力占主导地位，有界的垂直运动不再可能。

线性化方程的一般解是振荡的：
??? = A cos(????) + B sin(????)，
（16）
其中 A 和 B 是由初始条件确定的常数。由于扰动始终有界且没有指数增长，因此位于 ?? = 0 的平衡点是线性稳定的。辐射压力和反照率效应减少了有效恢复力并降低了振荡频率，但只要满足条件 2 ? (1 + ??)?? > 0，它们就不会破坏平衡。

中心平衡的稳定性反映了在允许的参数范围内，重力仍然占主导地位，超过了辐射效应。增加反照率会减弱对微小质量的约束并延长振荡周期，但系统继续支持围绕质心的有界垂直运动。这一结果与从雅可比积分得出的能量约束一致，解释了为什么即使运动允许区域变得越来越受限，垂直振荡仍然存在。

5. 第一回归映射
第一回归映射或庞加莱映射是一种通过将连续运动简化为离散表示来可视化动态系统相空间结构的有用工具 [27]。在本研究中，微小质量的运动被限制在垂直方向上，因此相空间是二维的，由变量 (??, ˙??) 描述。

为了构建图 8 中显示的第一回归映射，沿着 z 轴的非线性运动方程在参数的固定值下进行数值积分。记录轨迹与相空间中预定截面的连续交点，得到 (??, ˙??) 平面上的离散点集。这些点代表了多个振荡周期内系统的演化，并提供了对运动定性性质的洞察。
图 8. 在不同反照率参数 ??（a–d）下，(??, ˙??) 相平面中的第一回归映射。每个面板对应一个不同的 ?? 值，而其他参数保持不变。这些映射是由垂直轨迹与固定的第一回归映射的连续交点构建的。在所有情况下，点都位于平滑的、有界的不变曲线上，表明运动是规则的周期性运动。随着 ?? 的增加，由于辐射和反照率效应导致有效恢复力的减弱，不变曲线收缩，但没有引入不稳定性或混沌行为。图 8 展示了在不同反照率参数 ?? 下的 (??, ˙??) 相平面中的第一回归映射，而其他参数保持不变。每个面板对应一个不同的 ?? 值，允许直接比较随着辐射效应增加的相空间结构。对于较小的 ?? 值（图 8a），回归映射由一个平滑的、封闭的曲线组成。这种结构是规则周期性运动的特征，表明微小质量在 ?? = 0 的平衡点周围以稳定和有界的方式振荡。封闭曲线代表相空间中的一个不变集，与雅可比积分的守恒一致。随着反照率参数的增加（图 8b,c），回归映射保持其有序结构，但向原点明显收缩。这种收缩反映了由于辐射和反照率效应导致有效重力恢复力减弱而引起的振荡幅度的减小。尽管曲线看起来更粗或更密集，但这并不表示不稳定性或混沌行为。相反，这是由于非线性效应和与较长振荡周期相关的非均匀数值采样造成的。对于考虑的最大 ?? 值（图 8d），回归映射仍然限制在一个有界区域内，并继续形成一个明确的不变曲线。没有散点或填充区域的结构证实了运动保持规则和可预测。这种行为与垂直 Sitnikov 问题的一个自由度保守性质一致，该问题不允许混沌动力学。

图 8 中的回归映射集合表明，增加反照率并不改变垂直运动的定性特征。相反，反照率主要作为一个定量修饰因素，减少了可访问的相空间区域并减慢了振荡速度，同时保持了规律性。这些观察结果与线性稳定性分析、雅可比积分约束和非线性运动方程的数值解完全一致。因此，图 8 提供了明确的视觉确认，即在辐射和反照率效应下，垂直 Sitnikov 运动在所检查的参数范围内仍然是有界的、稳定的和非混沌的。

6. 结论
在本研究中，圆形 Sitnikov 问题被扩展以包括来自其中一个主体的反射特性的辐射压力和反照率的综合影响。所得公式保留了经典配置的对称性，同时对作用在微小物体上的有效引力相互作用进行了物理上有意义的修改。垂直运动方程表明，辐射参数通过一个单一因子进入，该因子重新调整了物理时间。因此，当用标准化时间变量表示时，相轨迹的几何结构与经典 Sitnikov 问题相同。然而，在天体力学应用相关的物理时间中，这个因子产生了可测量的动态效应。特别是，振荡周期随着辐射强度和反照率的增加而增加，这为辐射特性与垂直运动时间尺度之间提供了直接的定量关系。雅可比积分公式表明，辐射参数也会改变有效势能，从而影响运动能量的可接受范围。反照率参数在限制垂直振荡的可达范围方面起主导作用，而反射率参数则通过与辐射因子的耦合引入了次要的修正。条件2 ?(1 +??)??? >0定义了一个辐射主导的阈值，超过这个阈值后，有界的垂直运动就不再可能发生。这种约束在经典的纯引力问题中是不存在的，它为振荡运动的存在提供了一个明确的物理标准。平衡分析表明，原点仍然是唯一的垂直平衡点，并且对于所有物理上可接受的参数值来说都是线性稳定的。辐射和反照率降低了有效恢复力并降低了振荡频率，但它们并不改变运动的保守性质。首次返回轨迹图证实，这些轨迹位于不变曲线上，并且保持规则和有界。随着辐射效应的增加，轨迹的逐渐收缩在物理上反映了振荡幅度的减小，而不是新动力机制的出现。尽管该模型是在理想化的Sitnikov配置中建立的，但其结果对实际系统具有直接意义，在这些系统中辐射力不可忽视。振荡周期对辐射和反射率参数的显式依赖性为高面积质量比的航天器、太阳帆、尘埃颗粒以及在强光照环境中的相对较小碎片在垂直方向上的运动时间提供了实际估计。辐射主导的阈值为确保长期有界运动提供了实际的设计约束，或者为实现低能耗逃逸和转移策略提供了可能。从这个意义上说，当前的分析将非线性动力系统的定性理论与与轨迹设计和轨道预测相关的物理可观测量联系了起来。总体而言，引入辐射压力和反照率并不会在垂直Sitnikov问题中产生新的相空间结构；相反，它对物理时间尺度、有效势能以及运动能量的可接受范围产生了系统性和可测量的修改。这些结果为这个经典模型中的辐射效应提供了连贯的动力学和物理解释，并可以作为未来研究的基础，这些研究可能涉及椭圆形主天体、非保守扰动或更高维配置，在这些情况下预计会出现真正新的定性行为。所提出的模型基于点质量主天体，因此代表了一个理想化的引力场。一个自然的扩展是考虑非均匀的质量分布，例如通过引入纬向谐波项或扁球形/椭球形主天体。在这种配置中，有效势能不再仅仅依赖于距离质心的距离，垂直运动也不再简化为一个自由度系统。平衡位置可能会发生偏移，振荡频率将变得依赖于振幅，可能会出现新的动力学特征，如共振、分岔或不对称的相空间结构。这些效应预计在不规则天体（如小行星、接触双星系统和快速旋转的行星）附近会发挥重要作用，在这些地方，非球形引力和辐射力的共同作用可能导致真正新的动力机制的出现。