基于单片集成元轴锥簇的极简光学系统，可实现扩展视场内的无色差成像

《Light-Science & Applications》：Minimalist optical system for achromatic imaging within extended field of view based on monolithic integrated meta-axicon cluster

　　摘要
消色差金属透镜面临着严格的孔径和数值孔径（NA）限制，这已成为超表面成像的关键瓶颈。为此，首次提出了一种新型的消色差成像方法，该方法利用了衍射贝塞尔斑点的独特宽带一致性，并结合了非盲图像恢复技术。为了解决离轴像差问题，进一步设计了具有偏心圆锥相位结构的离轴消色差超轴镜，将斜入射的平面波转换为宽带均匀的离轴贝塞尔光束。最终，开发出了一个集成了9个具有不同设计场角的超表面元件的超相机，并据此构建了相应的超相机。经过图像恢复后，该超相机能够在10°的拼接视场（FOV）内实现消色差成像，并在整个视场内实现接近衍射极限透镜的角分辨率。本研究基于自然色散定律实现消色差成像的核心思想，使得基于超表面的宽带简约光学系统能够完全规避孔径限制，为大口径超相机设计提供了极具价值的解决方案，该相机能够同时满足宽带和离轴视场的需求。

引言
金属透镜通过亚波长微/纳米结构操控光场，因其轻便、易于集成和多维波前操控能力而受到了广泛研究关注1,2,3,4。它们在LiDAR5,6、偏振成像7,8,9、计算生成全息术10,11,12、近眼显示13,14、生物显微镜15,16,17以及天文观测19,20,21等领域推动了技术创新。然而，色差仍然是限制它们广泛应用的主要因素。目前实现金属透镜消色差功能的最常用方法是相位色散工程，该方法涉及对超原子内部纳米结构横截面的精细设计，以实现相位匹配和相位色散匹配22,23,24,25。从理论上讲，这种方法赋予了金属透镜消色差能力。然而，在当前的微纳制造技术框架下，超原子产生的相位色散幅度难以实现显著突破，从而导致消色差金属透镜的孔径、NA和带宽之间存在严格相互制约26。因此，大多数现有消色差金属透镜的孔径仅达到数百波长级别，无法满足大多数实际应用的需求。目前，普遍认为对于孔径超过万波长的金属透镜而言，通过相位匹配实现严格消色差几乎是不可能的。在这种背景下，提出了多种创新的结构设计方法来获得非严格意义上的消色差性能，如频域相干性优化27、渐近相位补偿28、超原子与材料层的色散匹配29以及准连续光谱消色差方法30。这些方法在缓解孔径大小、NA和操作带宽之间的基本权衡方面取得了显著成功，同时提供了令人满意的宽带成像性能。尽管如此，不可避免地引入了一些缺点，例如聚焦效率降低和残余色差。在底层结构的选择方面，采用了多级同心环结构来扩展超原子阵列的消色差性能边界27,31,32,33。非二进制结构高度对于抑制色差非常有益，同时保持聚焦效率，但对微纳加工能力和相应的优化算法提出了更高要求。为了解决大口径金属透镜的消色差问题，本文提出了一种新的成像范式，该范式优先考虑点扩散函数（PSF）的宽带一致性，而非传统的高效率点聚焦，这为终端图像恢复提供了极大便利。基于这一理念，选择超轴镜作为消色差成像的核心元件。它们的独特之处在于，在光栅方程的约束下，生成的贝塞尔光束的相对强度分布与波长无关，从而依靠自然色散实现了消色差效果。学者们比较了不同相位形式的超表面，如轴镜相位34,35、立方相位36,37,38、对数球面相位34,39和SQubic相位40，并总结了利用不同相位分布实现宽带计算成像的性能差异41。然而，从宽带一致PSF的角度对基于超轴镜的消色差计算成像进行针对性研究仍处于初期阶段42。此外，超轴镜生成的贝塞尔斑点的质量具有强烈的角度依赖性，这限制了其有效视场（FOV）。为了减轻这一限制，开发了离轴超轴镜配置以增强FOV覆盖范围。通过加入横向色差校正，这些离轴超轴镜能够将斜入射的可见光有效转换为指定场角范围内的离轴准贝塞尔光束。最终设计包括一个直径为4毫米的主超轴镜，周围环绕着八个直径为3毫米的离轴超轴镜。每个超轴镜为不同的FOV区域生成消色差图像，并基于总变分（TV）正则化方法进行非盲去卷积图像恢复。将多个局部场拼接成10°的全视场。本研究打破了通过相位色散控制的传统消色差设计限制，显著增加了孔径大小。得益于轴线和离轴贝塞尔斑点的宽带一致性，恢复的图像在整个视场内的角分辨率至少达到了具有相同孔径的常规衍射极限透镜的80%。在可执行性方面，该方法还具有易于处理微纳结构和快速图像恢复等优势，为开发能够实现大口径消色差成像的简约超表面光学系统提供了实用可行的技术方案。有关与其他典型消色差超表面研究的性能对比，请参见补充信息S1。

基本理论和方法
轴向近衍射极限聚焦金属透镜的目标相位呈双曲面形式，如方程（1）所示。其中，r表示径向坐标，λ表示波长，F表示焦距，C(λ)是与空间坐标无关的相位常数。基于相位色散工程的现有金属透镜设计方法难以实现方程（1）中的宽带相位匹配，而仅针对中心波长λ0设计的金属透镜在低NA条件下会表现出严重的色差，焦距偏移与?Δλ/(λ0?+?Δλ) ? F成正比，如图1a所示。这种色差与双曲面相位引起的离轴像差相结合，对高质量图像恢复构成了重大挑战。
$$\varPhi \left(r,\lambda \right)=-\frac{2\pi }{\lambda }\left(\sqrt{{r}^{2}+{F}^{2}}-F\right)+C(\lambda )$$ （1）
图1：用于生成宽带一致PSF的超轴镜原理示意图。

全尺寸图像：
a 单色金属透镜的光线追踪和PSF示意图；
b 超轴镜的光线追踪和PSF示意图；
c 超原子的调制相位和透射率曲线，附有超原子的顶部和3D视图，中心波长λ0=532 nm，晶格周期Λ=400 nm，高度H=800 nm；
d 由超轴镜生成的贝塞尔光束的截面强度模拟示意图；
e 宽带贝塞尔光束工作平面内的轴向相对强度分布、衍射效率和中心强度。

相比之下，用于生成0阶贝塞尔光束的超轴镜的目标相位如方程（2）所示，距离z处的复振幅由方程（3）给出。其中，α0是中心波长λ0下超轴镜的孔径角，A是缩放因子，kz=2π/λ?cosα和kr=2π/λ?sinα分别是轴向和径向波矢，J0是0阶贝塞尔函数。
$$\varPhi \left(r\right)=-\frac{2\pi }{{\lambda }_{0}}r\cdot sin{\alpha }_{0}$$ （2）
$$E(r,\,z,\,\lambda )=A\cdot \exp (i{k}_{z}\cdot z)\cdot {J}_{0}({k}_{r}\cdot r)$$ （3）
对于具有径向结构周期P的超轴镜，透射光的孔径角由一阶衍射光栅方程P?sinα=λ确定。将其代入方程（3）后，得到宽带贝塞尔光束的点扩散函数（PSF）为A2·J02(2π/P·r)，其中不包含波长变量，仅包含总体缩放因子A，表明超轴镜生成的贝塞尔斑点的相对强度具有出色的宽带一致性，如图1b所示。

在明确了贝塞尔斑点的消色差优势后，进行了超轴镜的纳米结构设计。图1c显示了超原子的调制相位和透射率曲线，晶格周期Λ=400 nm，纳米柱的高度H=800 nm，截面尺寸介于120 nm至280 nm之间，确保在中心波长λ0=532 nm处实现2π相位调制。随后，根据构建的构建块库，设计了一个直径为D1=4 mm、焦距为F0=30 mm的超轴镜。相应的孔径角为α0=3.81°，这是PSF的半高宽（FWHM）与场角灵敏度之间的权衡。考虑到超轴镜中r
离轴超轴镜的设计用于扩展fov
上述设计充分验证了贝塞尔斑点的宽带一致性，但这一结论严格来说仅适用于正常入射条件。非零入射角会破坏输出波前的圆对称性，并引入单色离轴像差和横向色差。关于psf的变化，具体表现为沿经向和矢状方向的二次衍射环增强，以及整个工作带宽范围内质心位置的漂移。这些缺陷将严重影响使用理想贝塞尔斑点作为卷积核的大场非盲图像恢复。根据方程（4）定义了全场psf与轴线psf的标准化互相关（ncc），以评估其场一致性，其中psf和psf0分别代表离轴和轴线斑点的强度分布。ncc随场角θ的衰减曲线如图2a所示，特定场角下的宽带psf如图2b所示。假设ncc=0.9是整个可见光谱范围内斑点退化的可接受下限，相应的入射角2.7°是图像恢复的最大场角。在此场角下，旁瓣强度的不均匀性变得显著，由横向色差引起的斑点位移达到主瓣的fwhm水平。
$$\text{ncc}(\theta )=\frac{{\sum }_{x,y}({psf}-\bar{{psf}})\cdot ({{psf}}_{0}-\bar{{{psf}}_{0}})}{\sqrt{{\sum }_{x,y}{({psf}-\bar{{psf}})}^{2}\cdot {\sum }_{x,y}{({{psf}}_{0}-\bar{{{psf}}_{0}})}^{2}}}$$ （4）
图2：传统超轴镜离轴psf退化的示意图。

全尺寸图像：
a 不同光谱带中ncc与入射角之间的衰减曲线，嵌入图像为轴线psf，相应的ncc=1；
b 最大场角（2.7°）和不可接受场角3.3°下的psf示意图，模拟范围为24 μm×24 μm。

可以看出，传统超轴镜生成的贝塞尔斑点的宽带一致性随着入射角的增加而迅速降低，严重限制了允许高质量图像恢复的fov。为了克服这一不足，我们进一步精心设计了用于场扩展的离轴超轴镜，以满足离轴点的高分辨率图像恢复要求，如图3a所示。在光线追踪近似模型下，斜入射到点p的光线应沿圆锥表面的生成线传播，贝塞尔光束的传播方向作为其轴，偏转后的半顶角为α。这里，贝塞尔光束的传播方向，即圆锥轴的倾斜角度，最初假定为等于入射角θ。 4的区域不参与贝塞尔斑点的生成，该区域被设计为光阻结构，以减少0阶衍射对最终成像的干扰。在450 nm至700 nm的工作带宽范围内，图1d显示了生成的贝塞尔光束的模拟强度，图1e显示了背焦平面上的衍射效率和中心强度。因此，波长为λ的贝塞尔光束的有效区间为zλ=[λ0F0/2λ, λ0f0 λ]，涵盖整个设计带宽的贝塞尔光束的轴向范围为[λ0f0 2λmin, λ0f0 λmax]。在本研究中，选择背工作距离fb=21 mm以确保接收全谱贝塞尔斑点并实现最大可能的焦深度。z=FB平面上的贝塞尔斑点中心强度将用于后续成像中的白色平衡手动调整，这由衍射效率谱（图1e中的峰值包络）和有效区间Zλ内的背工作距离FB的相对位置决定。有关贝塞尔光束强度模拟的详细信息，请参见补充信息S2。 离轴超轴镜的设计用于扩展fov 上述设计充分验证了贝塞尔斑点的宽带一致性，但这一结论严格来说仅适用于正常入射条件。非零入射角会破坏输出波前的圆对称性，并引入单色离轴像差和横向色差。关于psf的变化，具体表现为沿经向和矢状方向的二次衍射环增强，以及整个工作带宽范围内质心位置的漂移。这些缺陷将严重影响使用理想贝塞尔斑点作为卷积核的大场非盲图像恢复。根据方程（4）定义了全场psf与轴线psf的标准化互相关（ncc），以评估其场一致性，其中psf和psf0分别代表离轴和轴线斑点的强度分布。ncc随场角θ的衰减曲线如图2a所示，特定场角下的宽带psf如图2b所示。假设ncc=0.9是整个可见光谱范围内斑点退化的可接受下限，相应的入射角2.7°是图像恢复的最大场角。在此场角下，旁瓣强度的不均匀性变得显著，由横向色差引起的斑点位移达到主瓣的FWHM水平。 $$\text{ncc}(\theta )=\frac{{\sum }_{x,y}({psf}-\bar{{psf}})\cdot ({{psf}}_{0}-\bar{{{psf}}_{0}})}{\sqrt{{\sum }_{x,y}{({psf}-\bar{{psf}})}^{2}\cdot {\sum }_{x,y}{({{psf}}_{0}-\bar{{{psf}}_{0}})}^{2}}}$$ （4） 图2：传统超轴镜离轴psf退化的示意图。 全尺寸图像： a 不同光谱带中ncc与入射角之间的衰减曲线，嵌入图像为轴线psf，相应的ncc=1； b 最大场角（2.7°）和不可接受场角3.3°下的psf示意图，模拟范围为24 μm×24 μm。>
离轴超轴镜的设计用于扩展fov
上述设计充分验证了贝塞尔斑点的宽带一致性，但这一结论严格来说仅适用于正常入射条件。非零入射角会破坏输出波前的圆对称性，并引入单色离轴像差和横向色差。关于psf的变化，具体表现为沿经向和矢状方向的二次衍射环增强，以及整个工作带宽范围内质心位置的漂移。这些缺陷将严重影响使用理想贝塞尔斑点作为卷积核的大场非盲图像恢复。根据方程（4）定义了全场psf与轴线psf的标准化互相关（ncc），以评估其场一致性，其中psf和psf0分别代表离轴和轴线斑点的强度分布。ncc随场角θ的衰减曲线如图2a所示，特定场角下的宽带psf如图2b所示。假设ncc=0.9是整个可见光谱范围内斑点退化的可接受下限，相应的入射角2.7°是图像恢复的最大场角。在此场角下，旁瓣强度的不均匀性变得显著，由横向色差引起的斑点位移达到主瓣的fwhm水平。
$$\text{ncc}(\theta )=\frac{{\sum }_{x,y}({psf}-\bar{{psf}})\cdot ({{psf}}_{0}-\bar{{{psf}}_{0}})}{\sqrt{{\sum }_{x,y}{({psf}-\bar{{psf}})}^{2}\cdot {\sum }_{x,y}{({{psf}}_{0}-\bar{{{psf}}_{0}})}^{2}}}$$ （4）
图2：传统超轴镜离轴psf退化的示意图。

全尺寸图像：
a 不同光谱带中ncc与入射角之间的衰减曲线，嵌入图像为轴线psf，相应的ncc=1；
b 最大场角（2.7°）和不可接受场角3.3°下的psf示意图，模拟范围为24 μm×24 μm。

可以看出，传统超轴镜生成的贝塞尔斑点的宽带一致性随着入射角的增加而迅速降低，严重限制了允许高质量图像恢复的fov。为了克服这一不足，我们进一步精心设计了用于场扩展的离轴超轴镜，以满足离轴点的高分辨率图像恢复要求，如图3a所示。在光线追踪近似模型下，斜入射到点p的光线应沿圆锥表面的生成线传播，贝塞尔光束的传播方向作为其轴，偏转后的半顶角为α。这里，贝塞尔光束的传播方向，即圆锥轴的倾斜角度，最初假定为等于入射角θ。>根据光束偏转要求和二维广义斯涅尔定律，可以计算出离轴超轴镜有效孔径内的相位梯度场。然而，这种通过点对点光线追踪确定的梯度场不满足无旋特性，因此不能严格恢复相位分布。同时，从超轴镜上每个点辐射出的惠更斯波束的强度对于离轴点不再具有圆对称性。因此，理论上，单个超表面无法将斜入射光严格转换为同向传播的贝塞尔光束，这与用于离轴点近衍射极限聚焦的金属透镜的设计 fundamentally different。图3: 离轴超轴镜设计原理和布置方法的示意图。全尺寸图像 a 离轴超轴镜的相位解示意图；b 宽带色差校正前后的焦斑偏移曲线；c 校正前后的λmin、λ0和λmax处的点扩散函数（PSFs）；d 离轴超轴镜的有效视场（FOV）以及主边界位置的PSFs；e 集成了9个超轴镜的单片超表面示意图，其中离轴超轴镜的轮廓偏心度略有夸大；f 图(e)中超表面的有效FOV拼接示意图及其内部的NCC值分布。为了这个问题，放宽了对离轴贝塞尔光束场的严格要求，并将解决目标调制相位的原理从全局相位梯度积分转变为局部等光路约束。在图3a中，粉色圆锥的顶点Q是离轴贝塞尔光束上的任意一点，半顶角α0是中心波长λ0处离轴贝塞尔光束的孔径角。圆锥与超轴镜所在的xoy平面相交，形成一个椭圆Г。从椭圆Г上的所有点发出的惠更斯波束应在点Q处实现相干叠加。因此，点P(x,y)处的相位Φ可以使用公式（5）中的等光路关系来求解，其中F0是从离轴焦点F到xoy平面的距离；K表示顶点分别为Q和F的两个圆锥的线性缩放因子，即线段OQ和OF的长度比。$$\frac{2\pi }{{\lambda }_{0}}{ysin}\theta +\varPhi +\frac{2\pi }{{\lambda }_{0}}\sqrt{{x}^{2}+{(K{F}_{0}\tan \theta -y)}^{2}+{\left(K{F}_{0}\right)}^{2}} =\frac{2\pi }{{\lambda }_{0}}\frac{K{F}_{0}}{\cos \theta }\cos {\alpha }_{0}$$ （5）公式（5）左侧的三个项分别是入射光的倾斜相位、超表面的调制相位和由线段PQ引入的相位延迟，而右侧是波矢与点Q处位置矢量的乘积，即离轴贝塞尔光束传播到点Q时所拥有的相位。与轴上超轴镜类似，离轴超轴镜上缩放因子K小于0.5的区域被替换为光阻，以避免由0阶光泄漏引起的不希望的干涉。基于上述相位解方法，对入射角为θ?=?4°的离轴超轴镜进行了结构设计。为了确保其在一定范围的FOV内的适用性，中心波长处的孔径角α0减小到2.86°，相当于直径为D2?=?3?mm、焦距为F?=?30?mm的轴镜的孔径角。仿真结果表明，非严格贝塞尔光束的PSF与标准贝塞尔光束高度一致，但显示出少量的横向色差。为了解决这个问题，进一步基于前述设计方法引入了宽带约束，旨在平衡在单色结构设计过程中未考虑的横向色差。具体来说，在原始相位分布上叠加了沿子午线方向的一小部分倾斜，使得中心波长处的贝塞尔光束传播角θ‘与入射角θ不同。最佳θ‘值应确保其在整个光谱范围内的均方误差δ最小。在图3a中，θA(λ)和θB(λ)分别定义为yoz平面上线段OA和OB上出射光的传播角，贝塞尔光束的传播角为[θA(λ) + θB(λ)]/2。因此，关于θ‘的优化问题可以用公式（6）表示。$$\mathrm{Min}\,\delta =\frac{1}{{\lambda }_{\max }-{\lambda }_{\min }}{\int }_{{\lambda }_{\min }}^{{\lambda }_{\max }}{\left[\frac{1}{2}\left({\theta }_{A}\left(\lambda \right)+{\theta }_{B}\left(\lambda \right)\right)-{\theta }^{\text{'}}\right]}^{2}{\rm{d}}\lambda$$ （6）其中θA(λ)和θB(λ)满足由光栅方程确定的比例关系，如图（7）所示：$$\frac{\sin {\theta }_{A}\left(\lambda \right)-\sin \theta }{\sin \left({\theta }^{\text{'}}-{\alpha }_{0}\right)-\sin \theta }=\frac{\lambda }{{\lambda }_{0}},\frac{\sin {\theta }_{B}\left(\lambda \right)-\sin \theta }{\sin \left({\theta }^{\text{'}}+{\alpha }_{0}\right)-\sin \theta }=\frac{\lambda }{{\lambda }_{0}}$$ （7）公式（6）的解表明，θ‘和θ之间的最佳Δθ为-0.105mrad。由于θ‘已知，将公式（5）中表示入射倾斜的第一项中的θ替换为θ‘，就可以在横向色差约束下求解相位分布Φ。通过比较校正前后的宽带贝塞尔光束质量，我们得到了图3b中所示的焦斑偏移曲线所表示的横向色差，插图显示了相应的全彩PSF。图3c显示了校正前后的λmin、λ0和λmax处的PSFs。显然，校正前几乎为1μm的焦斑偏移在校正后减小到不到100?nm，显示出对横向色差的严格控制。有关离轴超轴镜的相位解和横向色差校正的详细信息，请参考补充信息S3。鉴于在设计入射角下已经验证了其宽带性能，可以估计离轴超轴镜的有效FOV。由于缺乏圆对称性，离轴超轴镜的场角可接受范围将小于主超轴镜。这里，仍然采用NCC?≥?0.9作为有效FOV的标准。因此，有效FOV被定义为倾斜角在2.5°到5°之间、方位角小于22.5°的区域。图3d显示了边缘位置的PSFs。最终，将8个以不同方位角旋转的离轴超轴镜和主超轴镜集成到一个单片超表面中，实现了全有效FOV扩展到10°的无色成像，如图3e所示，相应的FOV空间的NCC伪彩色图显示在图3f中。本文中的非盲反卷积图像恢复模块基于超轴镜的多级衍射构建。每个衍射级的衍射效率的宽带平均值显示出大致的幅度关系：\({\bar{\eta }}_{1}\gg {\bar{\eta }}_{0}\gg {\bar{\eta }}_{{else}}\)。因此，在开发图像恢复模块时仅考虑了超表面的0阶和1阶衍射。由于环形光圈结构的设计，成像平面上0阶和1阶衍射级的强度分布可以在空间上完全分离，即使它们不是相干光，整体PSF也可以表示为它们强度的和。有关多级衍射效率和全局PSF的详细仿真分析，请参考补充信息S4。超轴镜轴镜在固定成像带[λmin, λmax]内的成像卷积模型可以表示为公式（8）：$$Y={\int }_{{\lambda }_{\min }}^{{\lambda }_{\max }}{\eta }_{1}\left(\lambda \right)\cdot \,{{psf}}_{\left(1\right)}\left(\lambda \right)* I\left(\lambda \right)d\lambda+{\int }_{{\lambda }_{\min }}^{{\lambda }_{\max }}{\eta }_{0}\left(\lambda \right)\cdot \,{{psf}}_{\left(0\right)}\left(\lambda \right)* I\left(\lambda \right)d\lambda +{\rm{\varepsilon }}$$ （8）其中Y表示直接成像结果中任何RGB通道的强度值，右侧两项分别是1阶和0阶衍射级的强度贡献。I(λ)是理想图像的强度谱，‘*‘是在成像平面上定义的二维卷积运算符，ε是噪声。ηm(λ)和psf(m)(λ)分别是第m阶衍射级的衍射效率和点扩散函数，其中m?=?1或0。psf(m)(λ)在成像平面上的二维积分归一化为1。这个图像恢复问题可以表述为在给定Y、ηm(λ)和psf(m)(λ)的情况下求解I(λ)。如果psf(m)(λ)的空间分布强烈依赖于λ（例如，对于单色设计的金属透镜），那么这个问题中的已知量将远少于未知量，使得使用图像处理技术难以解决由显著色差引起的图像质量下降。解决这个问题的关键在于使PSF的空间分布尽可能一致，即使其远超艾里盘的能量发散影响了直接成像质量。这一对PSF的核心要求促使我们选择贝塞尔光进行成像。尽管从大尺度能量发散的角度来看，不同波长下贝塞尔光的有效区域并不相同，但整个可见光谱内RGB三个通道的的能量分布并没有显著变化，如图S3中的强度分布所示。因此，psf(1)(λ)可以大致满足每个通道内宽带一致性的设计要求。对于直接传输的0阶衍射级，其光强度分布可以近似为瞳孔函数，这显然满足宽带一致性的要求。作为唯一满足宽带一致性的两个衍射级，它们与I(λ)的卷积产生的实际图像可以重写为公式（9）。$${l}Y={{psf}}_{\left(1\right)}* {\int }_{{\lambda }_{\min }}^{{\lambda }_{\max }}{\eta }_{1}\left(\lambda \right)\cdot \,I\left(\lambda \right)d\lambda+{{psf}}_{\left(0\right)}* {\int }_{{\lambda }_{\min }}^{{\lambda }_{\max }}{\eta }_{0}\left(\lambda \right)\cdot \,I(\lambda )d\lambda +{\rm{\varepsilon }}$$ （9）基于此，提取了带[λmin, λmax]内的平均衍射效率，进一步简化了公式（9），得到公式（10）：$$Y={\bar{\eta }}_{1}{{psf}}_{\left(1\right)}* {\int }_{{\lambda }_{\min }}^{{\lambda }_{\max }}I(\lambda )d\lambda +{\bar{\eta }}_{0}{{psf}}_{\left(0\right)}* {\int }_{{\lambda }_{\min }}^{{\lambda }_{\max }}I(\lambda )d\lambda +{\rm{\varepsilon }}$$ （10）公式（10）中的进一步近似是合理的，因为实际探测器的量子效率在不同波长下也有所不同。它们的探测结果本质上代表了由量子效率谱加权的强度谱积分，用于近似替代未加权的强度谱积分。从这一点出发，该成像系统的PSF可以被视为\({\bar{\eta }}_{1}{{psf}}_{(1)}+{\bar{\eta }}_{0}{{psf}}_{\left(0\right)}\)，这也具有相对强度分布的宽带一致性。\({\int }_{{\lambda }_{\min }}^{{\lambda }_{\max }}I(\lambda )d\lambda\)可以使用非盲图像恢复方法获得。TV正则化方法43,44被用来分别优化每个RGB通道的重建图像质量。目标函数定义为公式（11）：$$\hat{\beta }=\mathop{{\rm{argmin}}}\limits_{\beta }{\rm{||}}{\left({\,\bar{\eta }}_{1}{{psf}}_{\left(1\right)}+{\bar{\eta }}_{0}{{psf}}_{\left(0\right)}\right)* \beta -Y}{\rm{||}^{2}}+\mu \cdot {TV}(\beta )$$ （11）其中\(\beta ={\int }_{{\lambda }_{\min }}^{{\lambda }_{\max }}I(\lambda )d\lambda ,TV(\beta )={\sum }_{i}{\Vert {D}_{i}\beta \Vert }_{2}\)。Di表示像素i处的离散梯度运算符，用于提取局部梯度向量（通常是水平和垂直方向的前向或中心有限差分），TV(β)表示所有像素的离散梯度向量的范数之和，称为TV正则化项，μ表示正则化系数。引入总变分正则化项可以促进图像的平滑性，并有助于保留边缘细节。基于上述设计，使用电子束光刻（EBL）技术制造了超表面样品，纳米结构的形态学表征结果如图4所示。详细的工艺流程见补充信息S5。图4展示了单片集成元轴锥簇的处理结果：a是集成了9个元轴锥的金属表面的实物图像，b是局部的光学显微图像；c是局部的顶视电子显微图像；d是局部的斜视电子显微图像。在充分验证了制造出的金属表面样品的结构形态与设计结果相符后，首先搭建了一个用于点扩散函数（PSF）测试的光学系统，如图5a所示。一个白光源经过过滤、扩展和准直后发出大口径平面波，该平面波通过元轴锥后产生贝塞尔光束。使用了一个40倍放大的显微系统（由物镜、筒状透镜和科学相机（TUCSEN Co., LTD, Dhyana 401D，像素大小6.5μm，像素分辨率2048×2048）进行RGB三通道强度采集和白平衡校准。图5b显示了轴向贝塞尔斑点的径向强度分布，插图展示了相应的全彩成像结果。测量的RGB通道的半高全宽（FWHM）分别为2.89μm、2.87μm和2.85μm，这些数值与标准贝塞尔斑点的恒定FWHM 0.36λ0/sinα0非常接近，证明了宽带PSF在相对强度分布方面的高度一致性。当准直光以θy=2.7°和θy=3.3°的角度倾斜入射到主元轴锥上时，由于单色离轴像差的存在，贝塞尔斑点的次级衍射环在子午方向和矢状方向上表现出不希望出现的强度增强，而横向色差进一步导致了RGB三通道内斑点的y方向偏移，如图5c所示。特别是，在θy=3.3°时的PSF严重偏离了全局一致的PSF假设，这表明在需要大视场（FOV）的成像任务中，使用离轴元轴锥是必要的。

图5：元轴锥的PSF测试结果。a是用于PSF检测的光学系统示意图；b-d分别是正常入射下主元轴锥的PSF强度分布和整体图像；c是斜入射下的主元轴锥；d是在不同FOV位置下的离轴元轴锥。c和d中省略的图例与b中的相同。c和d中的强度分布是沿着插图中的箭头方向记录的，彩色箭头和灰色箭头分别代表色散方向及其垂直方向。

图5d展示了多个主要FOV位置下的离轴元轴锥的PSF。在设计场角θy=4°（图3d中的点K0）时，离轴元轴锥的PSF几乎与标准贝塞尔斑点的强度分布无法区分，证明了其出色的无色差特性。在子午方向FOV边界（图3d中的点K1和K2），y方向的轻微色差和次级衍射环的强度波动可以忽略不计。它们沿x方向的强度分布从图5d中省略，因为这与点K0的情况基本一致。点K3处的PSF退化情况与主元轴锥的最大场角θy=2.7°时的情况相似，达到了全局PSF退化的容忍限度，这与基于NCC的图3f中的斑点质量评估结果一致。

此外，由于本文中的图像恢复模型是基于全局发散的PSF建立的，因此还仔细测试和验证了衍射场的全局强度分布。有关全局PSF测试的详细信息，请参阅补充信息S4。

在确认元轴锥簇的点聚焦能力在整个设计FOV范围内符合预期后，对其联合成像能力进行了正式测试。将单片金属表面和探测器封装在一个极简的光学系统中，然后用该系统对距离相机约2米的直径为35厘米的圆形图案进行了成像，其全视场（FOV）为10°。直接成像结果和全局图像恢复结果见图6a。主元轴锥和离轴元轴锥的PSF在绝对强度和FWHM上有所不同，这是由于它们的孔径不同（主元轴锥为4毫米，离轴元轴锥为3毫米），而它们的衍射效率和相对光谱强度分布基本相同。因此，分别对轴向和离轴图像进行基于非盲去卷积和亮度校正的图像恢复，而对整体图像则统一进行白平衡校准。通过放大同一位置的9幅图像可以明显看出图像恢复细节上的差异，这证实了基于PSF全场一致性的假设只能在设计场角附近输出高质量图像。从图6a的图像恢复结果中提取了9个高质量恢复区域（用红色虚线标出），并将它们拼接成整体，如图6c所示。与图6b中描绘的参考对象相比，恢复结果展示了出色的分辨率和对比度。为了比较宽带成像效果的差异，本研究还基于上述构建块库制作了一个具有相同孔径（4毫米）和焦距（21毫米）的单色金属透镜。成像结果显示出更明显的色差，且PSF的强光谱敏感性使得后端计算光学模块难以完美校正，如图6d所示。

图6：元轴锥簇在10°全视场角下的彩色目标上的成像结果。a是直接成像结果、全局图像恢复结果和局部放大图；b是参考对象；c是高质量恢复区域的提取和拼接结果；d是具有相同孔径和焦距的单色金属透镜的直接成像和恢复结果。

在完成整体成像性能测试的同时，还对元相机的最终分辨率能力进行了进一步测量。图5a中的40倍显微系统被用于进行分辨率目标成像实验，以避免探测器有限像素大小的影响。测试的分辨率目标的详细信息见补充信息S6。通过主元轴锥的直接成像结果和恢复结果分别见图7a、b。图7b中可分辨的极限目标是T5，其角分辨率为5.13 lp/mrad，其条纹相对强度见图7c。通过离轴元轴锥在4°设计角度下定位的分辨率目标的直接成像结果和恢复结果分别见图7d、e。图7e中可分辨的极限目标是T1，其角分辨率为3.76 lp/mrad，其条纹相对强度见图7f。相应地，具有与这两个元轴锥相同孔径的接近衍射极限透镜的角分辨率分别为D1 /1.22λ0 = 6.16 lp/mrad和D2 /1.22λ0 = 4.62 lp/mrad。本研究中的两种元轴锥的角分辨率极限均能达到相同孔径透镜的80%以上，分辨率对比率不低于0.2，从而初步验证了本文提出的无色差成像方法的有效性和合理性。

图7：元轴锥在不同分辨率目标上的成像结果。a-c分别是通过主元轴锥的直接成像结果、恢复结果和条纹相对强度；d-f分别是通过离轴元轴锥在4°设计入射角下定位的分辨率目标的直接成像结果、恢复结果和条纹相对强度；g、h分别是在0°和2.7°入射角下主元轴锥对小FOV目标的最终分辨率效果；i、j分别是(g)和(h)中的条纹相对强度。

我们的实验研究表明，元轴锥成像系统的极限分辨率对FOV范围和观察目标的光强度分布的稀疏性依赖性较弱。尽管在理想的无噪声模型中，图像恢复模块可以为不同FOV范围和光强度分布的观察目标实现几乎均匀的极限分辨率。但在实际拍摄过程中，探测器噪声和边缘场效应对图像恢复效果的影响无法完全避免，导致实际极限角分辨率与观察到的FOV范围之间存在负相关。因此，使用主元轴锥对FOV范围约为0.2°的孤立目标重复进行了极限角分辨率测试。入射角为0°和2.7°时的处理图像分别见图7g、h，相应的条纹相对强度分布见图7i、j。图7g中目标的角分辨率为6.61 lp/mrad，已经接近贝塞尔斑点的FWHM所限的极限角分辨率FB/(0.36 λ0 /sinα0) = 7.29 lp/mrad，略高于相同孔径和焦距的透镜的极限角分辨率6.16 lp/mrad。这一结果表明，由于PSF边缘瓣混叠的减少，元轴锥成像系统在观察小FOV内的孤立目标时具有更好的抗噪能力。尽管处理后的图像中仍存在模糊的亮条纹，但这并不妨碍整个系统具有不低于相同孔径的传统光学镜头组的分辨率。同时，图7h中主元轴锥在2.7°场角下对孤立目标的分辨率降低再次说明了使用离轴元轴锥扩展高分辨率FOV范围的必要性。

此外，使用贝塞尔光束进行无色差成像的另一个优势——扩展的景深特性也在我们的实验中得到了验证。详细信息见补充信息S7。

本文提出了一种使用单片集成多个元轴锥的金属表面进行无色差成像的极简光学系统设计方法。该方法利用自然色散条件下零阶贝塞尔斑点的宽带相对强度分布的一致性来生成全局无色差图像。同时，开发了一个与之兼容的非盲去卷积计算模块以实现高清图像恢复。为进一步解决传统元轴锥的不足（它们对离轴像差敏感且FOV严重受限），特别设计了离轴元轴锥，将斜入射光转换为没有离轴像差和横向色差的贝塞尔光束，旨在扩展高质量成像的FOV。最终，制造了一个由1个直径为4毫米的主元轴锥和8个直径为3毫米的离轴元轴锥组成的单片金属表面，在10°拼接的FOV内实现了无色差成像，并达到了不低于相同孔径透镜80%的极限角分辨率。上述元轴锥簇的设计有效克服了单片金属表面成像在孔径、FOV和宽带分辨率方面的限制，显著推动了基于金属表面的极简光学系统的发展。

在后续研究中，通过将所提出的元轴锥簇与基于高阶涡旋贝塞尔光束的旁瓣抑制技术相结合，并通过元原子优化来提高宽带色差均匀性，可以实现具有更好抗噪能力和色彩真实度的宽带计算成像。

材料与方法：本文在石英玻璃基板上制备了由氮化硅制成的介电金属表面，并在金属表面上集成了一层铬膜作为元轴锥的光圈。微纳制备过程利用电子束光刻和蚀刻技术实现了介电材料的结构化。有关金属表面制备的详细信息，请参阅补充信息S5。