在三级深水理论中，波浪引起的漂移效应

《Journal of Fluid Mechanics》：Wave-induced drift in third-order deep-water theory

　　摘要 本研究旨在探讨在单向深水波作用下，粒子运动的规律，深入研究非线性效应直至三阶。特别关注的是所谓的斯托克斯漂移（Stokes drift）近似公式，以及它与直接通过粒子轨迹映射计算得到的粒子运动学之间的关系。Zakharov和Krasitskii提出的简化哈密顿量公式是一个便捷的工具，用于区分弱非线性效应，尤其是束缚谐波的出现以及波频率之间的相互修正。通过数值积分粒子轨迹映射，我们能够计算出具有单个谐波、两个谐波或多个谐波的海况下的粒子运动和漂移情况。研究发现，经典的斯托克斯漂移公式在表面附近略微低估了漂移量，在深处则略微高估了漂移量。将差分谐波项纳入公式后，与非线性波动理论得到的结果更为吻合，尤其是在较深处。本文还讨论了这种效应在规则波、不规则波以及参数波谱中的表现。

1. 引言 水面上的波浪一直以来都令人着迷，同时也构成了重要的科学和工程挑战，对海上可再生能源和海洋生态学等多个领域产生了深远影响。尽管我们可以观察到水面上各种各样的波浪形态，但这些形态实际上只是水面下能量传输和水粒子运动的表面现象。列奥纳多·达·芬奇早已观察到波浪会“跑得比水快”，早期对波浪运动学的数学分析似乎也证实了这一观点。19世纪初，Green的研究表明，在线性深水波中，粒子的运动路径近似为圆形——这与Gerstner推导出的精确深水波解一致；而Airy进一步证明了在有限深度下，粒子运动路径近似为椭圆形（Craik，参考文献Craik2004）。20世纪40年代，Russell、Kelland以及尤其是Stokes开始系统研究非线性波动理论。Stokes的研究首次提出，在深水中的周期波中，粒子轨迹可能不是闭合的，并由此提出了现在被称为斯托克斯漂移的概念。此后，非线性波动的动力学受到了广泛关注，波浪诱导的漂移概念在理解海洋中的能量传输过程中发挥了重要作用。其影响还在研究中的例子包括漂浮微塑料（van Sebille等人，参考文献van Sebille2020）和水中细菌（Ge等人，参考文献Ge, Whitman, Nevers和Phanikumar2012）的运动机制，同时我们也在逐步建立起对非线性波动方程中粒子轨迹的更完整认识（Curtis, Carter和Kalisch，参考文献Curtis, Carter and Kalisch2018；Carter, Curtis and Kalisch，参考文献Carter, Curtis and Kalisch2020；Ige和Kalisch，参考文献Ige and Kalisch2024）。然而，无论是从实验还是理论角度来看，仍有许多未知之处。实验难度很大，因为需要将密闭水槽（没有净质量传输，并且还有机械波浪发生器的复杂性）与开放海洋中的情况进行比较。近年来，取得了显著进展，从单色波列的水槽实验（Umeyama，参考文献Umeyama2012；Paprota和Sulisz，参考文献Paprota and Sulisz2018，实验中波的陡度越来越高，Grue和Kolaas，参考文献Grue and Kolaas2017），到对波群和复杂流动中粒子运动学的多项研究（van den Bremer等人，参考文献van den Bremer, Whittaker, Calvert, Raby和Taylor2019；Bj?rnestad等人，参考文献Bj?rnestad, Buckley, Kalisch, Stre?er, Horstmann, Fr?ysa, Ige, Cysewski和Carrasco-Alvarez2021）。与此同时，理论研究也面临着挑战：即普遍采用的欧拉流描述（忽略粒子本身，仅用速度场来描述流动）不可避免地会掩盖某些运动学细节。虽然对于稳定流动，可以通过使用流函数和速度势等替代公式来规避这些困难（正如Stokes最初所建议的），但对于非稳定、不规则波场来说，还没有简单的解决途径。尽管拉格朗日波动力学重新受到关注（包括对稳定周期波、驻波（Chen和Hsu，参考文献Chen and Hsu2009）以及最近对波包（Abrashkin和Pelinovsky，参考文献Abrashkin and Pelinovsky2018；Pizzo等人，参考文献Pizzo, Lenain, R?mcke, Ellingsen和Smeltzer2023）的高阶近似公式），但绝大多数研究仍然采用欧拉视角。比较这两种方法是一项艰巨的任务（Fouques和Stansberg，参考文献Fouques and Stansberg2008）。本研究的目的是探讨无限深度非线性势流理论中的粒子轨迹及其漂移现象。尽管最近的一些数学结果显示，在稳定的周期波列中不存在闭合的粒子路径（Constantin，参考文献Constantin2006；Henry，参考文献Henry2006；Okamoto和Shoji，参考文献Okamoto and Shoji2012），但这些结果缺乏定量性，且难以推广到非稳定问题。我们将采取“弱非线性”方法，起点是线性（一阶）水波理论中的斯托克斯漂移公式。虽然最近有严格证明表明，稳定的周期水波确实存在向波动传播方向的前进漂移（Constantin, Ehrnstr?m和Villari，参考文献Constantin, Ehrnstr?m and Villari2008；Constantin和Villari，参考文献Constantin and Villari2008），但在大多数应用中仍使用斯托克斯的近似结果。Kenyon（参考文献Kenyon1969）将这些结果推广到了一维波谱，Webb和Fox-Kemper（参考文献Webb and Fox-Kemper2011）对其对高频谱尾部的敏感性进行了研究，并为实际应用开发了新的剖面（Breivik, Bidlot和Janssen，参考文献Breivik, Bidlot and Janssen2016）。更多相关参考文献可见van den Bremer和Breivik（参考文献van den Bremer and Breivik2018）的最新综述。由于斯托克斯漂移公式是对线性水波理论的简化，因此它与线性理论之间的差异值得研究。这也引出了一个自然的问题：如果我们将理论进一步推进到二阶或三阶，会如何？我们预期高阶理论会更加准确，并能捕捉到更陡峭波的复杂现象（如额外谐波的出现），这可能会影响与斯托克斯漂移的比较。事实上，这些理论或许能为改进斯托克斯漂移公式提供新的思路。然而，除了van den Bremer和Taylor（参考文献van den Bremer and Taylor2016）近期关于波群的研究外，文献中很少见到这样的比较。要成功进行比较，我们需要一种能够计算流体速度场$\boldsymbol{u}$的方法，该速度场通过粒子轨迹映射$\boldsymbol{x}'(t) = \boldsymbol{u}$驱动粒子运动。我们需要一种能够处理多个傅里叶模式、模拟不规则海况的方法，并且该方法在非线性方面的精度要达到所需阶数。对于超过两个傅里叶模式的情况，拉格朗日理论目前仅限于二阶（Pierson，参考文献Pierson1961），而深水中的重要共振效应仅出现在三阶。因此，为了提高结果的可解释性，使用欧拉坐标似乎是合理的。即便在这里，也有几种选择，包括使用传统的扰动理论来解决水波问题（Madsen和Fuhrman，参考文献Madsen and Fuhrman2012将其扩展到三阶）。另一种方法是使用Zakharov（参考文献Zakharov1968）提出的等效哈密顿量展开方法，Zhang和Chen（参考文献Zhang and Chen1999）以及Gao、Sun和Liang（参考文献Gao, Sun and Liang2021）已经探索了其三阶解。哈密顿量展开为我们提供了速度场和自由表面，这些是我们研究粒子运动的工具。本文的其余部分结构如下：第2节介绍水波问题及其对应的哈密顿量。我们在2.1节详细说明了用于提取线性和二阶、三阶项的展开方法，在2.2节讨论了忽略振幅演化对粒子运动学计算的影响，并在2.3节展示了如何获得各阶的自由表面和势能。第3节探讨单色波，这是引入斯托克斯漂移的自然背景，并研究了高阶理论对粒子轨迹的影响。第4节讨论了双色波，这是最简单的非稳定波场类型，但由于只涉及两个谐波，因此线性叠加可以是周期性的。最后，第5节研究了包含多个低阶谐波的波。第6节总结了研究工作并提出了一些结论。附录A对三阶单色斯托克斯波解的非唯一性进行了评论，附录B提供了2.3节中出现的一些系数的表达式。附录C探讨了振幅缓慢演化对粒子路径和斯托克斯漂移的影响。

2. 水波问题及哈密顿量公式 我们从欧拉变量下的无粘性、无旋、单向水波问题开始。这个问题可以用流体速度势$\phi (x,z,t)$和自由表面$\zeta (x,t)$来表示（2.1a）： \begin{align} &\Delta \phi = 0\quad \text{在 } -h \lt z \lt \zeta (x,t), \\[-9pt] \nonumber \end{align} (2.1b) \begin{align} &\zeta _t + \phi _x \zeta _x = \phi _z \quad\text{在 } z = \zeta (x,t), \\[-9pt] \nonumber \end{align} (2.1c) \begin{align} &\phi _t + \frac {1}{2}(\boldsymbol{\nabla }\phi )^2 + g\zeta = 0 \quad\text{在 } z= \zeta (x,t), \\[-12pt] \nonumber \end{align} (2.1d) \begin{align} &\phi _z = 0\quad \text{在 } z= -h. \\[9pt] \nonumber \end{align} 这种表达方式的优点是将所有非线性效应都放在边界条件中，因此边界条件成为了主要难点。我们还注意到，只要水深大于典型波长的半倍，静止水深$h$可以视为无限大（如果只考虑一个固定长度的波浪，这个假设是可行的。然而，正如我们后面将看到的，海洋中多个波浪的相互作用可能会产生长周期的束缚谐波，此时必须重新评估无限深度的假设）。使用（2.1d′） \begin{align} \phi _z \rightarrow 0 \quad\text{当 } z \rightarrow \infty \end{align} 替代（2.1d）可以大大简化计算。尽管限制了无旋流动并忽略了表面张力、压缩性和粘性，这些方程仍然涵盖了广泛的物理现象。虽然我们使用的技术可以直接应用于具有横向（$y$）依赖性的波浪，但这种自由度意味着我们将对方向扩散波的研究留待 future work。20世纪60年代末，Zakharov（参考文献Zakharov1968）的工作实现了对水波问题（2.1a）–（2.1d）的哈密顿量表述，他找到了哈密顿量（2.2）： \begin{align} H = \int \int _{-h}^\zeta \frac {1}{2} |\boldsymbol{\nabla }\phi |^2\, {\rm d}z \, {\rm d}x + \int \frac {1}{2}g \zeta ^2 \,{\rm d}x, \end{align} 该哈密顿量表示流体的总能量。$x$的积分域可以根据具体问题而定，如果使用（2.1d′）代替（2.1d），$z$积分的下边界可以选择为$-\infty$而不是$-h$。哈密顿量表述的规范变量在自由表面处定义。它们分别是 $\zeta (x,t)$ 和 ${\phi ^{s}}(x,t)=\phi (x,\zeta (x,t),t),$ 因此经典方程为 (2.3)：
$$
\begin{align}
\frac {\partial \zeta }{\partial t} = \frac {\delta H}{\delta {\phi ^{s}}, \quad \frac {\partial {\phi ^{s}}}{\partial t}=-\frac {\delta H}{\delta \zeta }.
\end{align}
$$
这些方程等同于表面边界条件 (2.1b) 和 (2.1c)，具体的计算细节可以在 Broer 的工作中找到（参考文献 Broer1974）。额外的背景信息也可以在 Stuhlmeier 的最新综述中找到（参考文献 Stuhlmeier 和 Henry2024）。需要指出的是，任何关于运动学的研究都必然会受到波研究中常用的欧拉变量的限制。欧拉方法关注的是作为固定（实验室）坐标函数的速度场，这掩盖了流体粒子的运动，而这些运动需要重新推导出来。此外，正如我们稍后将看到的，近似的欧拉理论将流体的运动与自由表面的运动分离开来，这影响了我们理解完整运动学的能力。选择拉格朗日变量有许多优势（参考文献 Pizzo, Lenain, R?mcke, Ellingsen 和 Smeltzer2023；Blaser, Benamran, B?as, Lenain 和 Pizzo2024），但到目前为止，还没有发展出通用的非线性、不规则波的拉格朗日理论，与已经被广泛认可的欧拉理论之间的联系仍然是一个活跃的研究领域。

2.1 渐近分析和水波问题
无论是将水波问题表述为一组偏微分方程和边界条件，还是使用哈密顿量重新表述，它在数学上都非常复杂。虽然已经证明了在越来越一般的条件下周期性和孤立波解的存在性（例如，Constantin 的书（参考文献 Constantin2012）或 Lannes 的书（参考文献 Lannes2013）提供了相对较新的数学进展概述），但关于海洋波的定性和定量性质的许多认识都是基于对简化方程的分析。这些简化方程通常是通过所谓的渐近分析或微扰理论获得的——这是一种无量纲化和缩放方程的过程，然后识别出小的无量纲参数，并根据所选的小参数对变量进行渐近展开。对于水波来说，最常见的小参数是波陡度 $\epsilon$，它可以表示为波幅除以波长或乘以波数。Johnson 的教科书（参考文献 Johnson1997）中对渐近分析在水波中的应用进行了非常详细的讨论。除了以这种方式展开水波方程（2.1a）–（2.1d）之外（参见 Madsen 和 Fuhrman 的讨论（参考文献 Madsen 和 Fuhrman2012），也可以直接展开哈密顿量。Zakharov（参考文献 Zakharov1968）和 Krasitskii（参考文献 Krasitskii1994）进行了这样的处理，这种方式的优势在于它能够保持某些结构，否则可能会丢失，比如得到的方程能够守恒能量。这个过程的第一步是使用傅里叶变换变量 $\hat {\zeta }(k)$ 和 $\hat {\phi }(k)$ 来写出经典方程（2.4）：
$$
\begin{align}
\frac {\partial \hat {\zeta }}{\partial t} = \frac {\delta H}{\delta \hat {{\phi ^{s}}}^*}, \quad \frac {\partial \hat {{\phi ^{s}}}}{\partial t} = - \frac {\delta H}{\delta \hat {\zeta }^*},
\end{align}
$$
其中 $*$ 表示复共轭。然后，通过傅里叶变换定义另一对经典变量 $a(k)$ 和 $ia^*(k)$，它们与 $\phi ^{s}$ 和 $\zeta$ 相关联（2.5）：
$$
\begin{align}
\zeta (x) = \frac {1}{2\pi } \int \left ( \frac {q(k)}{2 \omega (k)}\right )^{1/2} \left [ a(k) + a^*(-k)\right ] e^{ikx} \,{\rm d}k, \\
{\phi ^{s}}(x) = \frac {-i}{2\pi } \int \left ( \frac {\omega (k)}{2 q(k)}\right )^{1/2} \left [ a(k) - a^*(-k)\right ] e^{ikx} \,{\rm d}k,
\end{align}
$$
其中（2.7）：
$$
\begin{align}
q(k) = |k| \tanh (|k|h),
\end{align}
$$
$\omega = \sqrt {gq(k)}$ 是频率（以 rad s?1 为单位），$g$ 是重力加速度（在计算中取为 9.8 m s?$^2$）。由于我们对深水波感兴趣（$h\rightarrow \infty$），我们注意到色散关系简化为（2.8）：
$$
\omega ({k})^2 = g | {k}.
$$
我们将在后续的所有计算中使用这个公式。展开的后续步骤较为繁琐，由 Krasitskii（参考文献 Krasitskii1994）给出。在这个阶段，只需强调一个关键点：在最低阶，问题是线性的，因此叠加原理成立。这意味着傅里叶振幅——基本上对应于（2.5）–（2.6）中引入的 term $a(k)$ 的大小——不随时间变化。如果重力是唯一的恢复力，那么令人惊讶的是，在下一阶，傅里叶振幅也不随时间变化。只有在非线性的三阶时，当四个重力波之间的共振成为可能时，我们才能得到一个演化方程。这个方程给出了复振幅 $b_0=b(k_0,t)$ 的缓慢演化（2.9）：
$$
i \frac {\partial b_0}{\partial t} = \omega _0 b_0 + \int \tilde {V}^{(2)}_{0123} b_1^* b_2 b_3 \delta _{0+1-2-3}\, {\rm d}k_{123},
$$
这就是所谓的 Zakharov 方程，其核项 $\tilde {V}^{(2)}$ 由 Krasitskii（参考文献 Krasitskii1994, (3.5)）给出。我们引入了下标符号来表示波数，例如，δ-函数 $\delta _{0+1-2-3}$ 是 $\delta (k_0 + k_1 - k_2 - k_3)$ 的简写。原则上，$k_i$ 可以是标量波数或向量波数，尽管为了简单起见，我们的计算只考虑标量情况。如果 $b$ 是已知的，那么可以通过（2.10）恢复经典变量 $a$：
$$
a_0 = b_0 &+ \int A^{(1)}_{012} b_1 b_2 \delta _{0-1-2}\, {\rm d}k_{12} + \int A^{(2)}_{012} b_1^* b_2 \delta _{0+1-2} \,{\rm d}k_{12} + \int A^{(3)}_{012} b_1^* b_2^* \delta _{0+1+2} \,{\rm d}k_{12} +
\int B^{(1)}_{0123} b_1 b_2 b_3 \delta _{0-1-2-3}\, {\rm d}k_{123} + \int B^{(2)}_{0123} b_1^* b_2 b_3 \delta _{0+1-2-3} \,{\rm d}k_{123} +
\int B^{(3)}_{0123} b_1^* b_2^* b_3 \delta _{0+1+2-3}\, {\rm d}k_{123} + \int B^{(4)}_{0123} b_1^* b_2^* b_3^* \delta _{0+1+2+3}\, {\rm d}k_{123},
$$
其中我们只考虑了三阶项。这个表达式由 Krasitskii（参考文献 Krasitskii1994, (2.17)）给出，相关的相互作用核 $A^{(i)}, \, B^{(i)}$ 也是如此。最后，一旦知道了 $a$，就可以通过（2.5）–（2.6）恢复 $\zeta$ 和 $\phi ^{s}$ 直到所需的阶数。

2.2 振幅恒定近似
前面概述的过程似乎表明我们需要首先解决复杂的 Zakharov 方程（2.9）。实际上，在某些感兴趣的情况下，我们可以绕过这一步。关键在于，Zakharov 方程描述的演化——与三次非线性相关——发生在慢时间尺度 $\epsilon ^{-2} T$ 上，其中 $\epsilon$ 是典型的波陡度，$T$ 是典型的波周期。对于发生在更快时间尺度上的过程，将复振幅视为常数可能是合适的。这正是我们将采用的方法。然而，还有一个重要的补充：对于某些波数组合，Zakharov 方程（2.9）可以明确求解。特别是对于所有满足 $k_0 + k_0 = k_0 + k_0$ 或 $k_0 + k_1 = k_0 + k_1$ 的对称四波组，方程简化为具有恒定振幅解的一组或两个常微分方程，正如 Mei, Stiassnie 和 Yue（参考文献 Mei, Stiassnie 和 Yue2018, 第 14 章）所展示的。这样的解代表了波频率的非线性修正，最初是由 Stokes 对单一波模式发现的。对于任意多的模式或连续谱，可以将这些修正以紧凑的形式表示出来（Stuhlmeier 和 Stiassnie 参考文献 Stuhlmeier 和 Stiassnie2019）。结合这些修正意味着复振幅 $b_i(t)$ 具有恒定的幅度，但相位随时间变化（2.11）：
$$
b_i(t) = |b_i(0)| \exp \bigg ({-}it \bigg [ \tilde {V}^{(2)}_{\textit{iiii}} |b_i(0)|^2 + 2 \sum _{j\neq i} \tilde {V}^{(2)}_{\textit{ijij}} |b_j(0)|^2 \bigg ].
$$
当只存在单一波模式时，指数项中的项简化为 $\omega a^2 k^2/2$，这是众所周知的 Stokes 修正；或者对于两个模式，Longuet-Higgins 和 Phillips（参考文献 Longuet-Higgins 和 Phillips1962）发现了相互频率修正。形式（2.11）现在包含了立方非线性水波理论的所有相互色散修正。已经证明，考虑这些修正可以高精度地预测实验室波的短时传播，而无需求解慢时间变量的演化（Galvagno, Eeltink 和 Stuhlmeier 参考文献 Galvagno, Eeltink 和 Stuhlmeier2021；Stuhlmeier 和 Stiassnie 参考文献 Stuhlmeier 和 Stiassnie2021；Meisner 等人参考文献 Meisner, Galvagno, Andrade, Liberzon 和 Stuhlmeier2023），这表明在这种情况下振幅恒定近似是合理的。当然，在特定情况下——例如，当谱足够窄或接近调制不稳定性时——我们可能会观察到显著的能量传递（Andrade 和 Stuhlmeier 参考文献 Andrade 和 Stuhlmeier2023）。然而，鉴于我们关注的是粒子路径（其特征时间为一个周期的量级），振幅演化将被认为是可以忽略的（也可以参见 Stuhlmeier 和 Stiassnie（参考文献 Stuhlmeier 和 Stiassnie2019）及其附录 A 的讨论）。如果我们总结一下在深水中的表面重力波的傅里叶描述中的弱非线性后果：（1）色散修正；（2）波形变化（束缚谐波）；（3）模式间的能量交换，我们将考虑（1）和（2），同时忽略（3）的慢效应。只有色散关系的振幅依赖性是非线性波的一般属性。其他效应来自傅里叶分析的观点。例如，孤立波在线性理论中没有对应物，其‘形状’会由于包含更高阶效应而改变。附录 C 提供了关于忽略振幅演化的进一步讨论，以及几个例子。

2.3 恢复三阶解
哈密顿量表述清楚地说明了如何从经典变量 $a(k)$ 和 $a^*(k)$ 恢复自由表面和势能，直到给定的阶数。实际上，考虑的是离散的波数，这意味着可以通过替换（2.12）简化（2.10）中的积分：
$$
b(k) = \sum _i B_i \delta (k-k_i).
$$
这里 $B_i=B(k_i,t)$ 原则上是未知的，在实践中，它来自对（2.9）的振幅恒定近似，如§ 2.2中讨论的。因为自由表面方程（2.5）是直接通过替换（2.10）恢复的，很明显我们可以根据（2.10）中的相应项区分 $\zeta$ 的线性、二次和三次项。对于 $\phi$ 则不是这样，我们稍后将看到。进行逆傅里叶变换得到（2.13）：
$$
\zeta _1 = \frac {1}{2 \pi } \sum _i \sqrt {\frac {\omega _i}{2g}} A_i \big ( e^{i \xi _i} + e^{-i \xi _i} \big ).
$$
这里我们替换了 $B_i = A_i e^{-i\varphi _i(t)}$，其中振幅 $A_i \in \mathbb{R}$，相位为 $\varphi _i(t)$，并使用紧凑的符号 $\xi _i = k_i x - \varOmega _i t + \theta _i$。显然，这定义了预期的正弦波自由表面高度（2.14）：
$$
\frac {1}{\pi } \sqrt {\frac {\omega _i}{2g}} A_i = a_i.
$$
非线性修正后的频率由（2.15）给出：
$$
\varOmega _i = \omega _i + \tilde {V}^{(2)}_{\textit{iiii}} |A_i|^2 + 2 \sum _{j\neq i} \tilde {V}^{(2)}_{\textit{ijij}} |A_j|^2,
$$
对于无限深度中的单向波——这将是我们的关注点——我们可以将核简化为（2.16）：
$$
\tilde {V}^{(2)}_{\textit{iiii}} = \frac {1}{4 \pi ^2} k_i^3 \text{ 和 } \tilde {V}^{(2)}_{\textit{ijij}} = \frac {1}{4 \pi ^2} k_i k_j \min (k_i,k_j).
$$
自由表面高度的二次分量可以用类似的方法获得，只是需要更多的代数运算来解决所有的 δ-函数。我们发现（2.17）
\[
\begin{align}
\zeta _2(x,t) = & \frac {1}{2\pi } \sum _{i,j} A_i A_j \left \lbrace \sqrt {\frac {\omega _{i+j}}{2g}} \left ( A^{(1)}_{i+j,i,j} + A^{(3)}_{-i-j,i,j} \right ) \big [ e^{i(\xi _i + \xi _j)} + e^{-i(\xi _i + \xi _j)} \big ] \right . \\
& \left . + \sqrt {\frac {\omega _{i-j}}{2g}} A^{(2)}_{j-i,i,j} \big [ e^{i(\xi _j-\xi _i)} + e^{i(\xi _i-\xi _j)} \big ] \right \rbrace .
\end{align}
\]
简写符号 $\omega _{i\pm j}$ 用来表示 $\omega (k_i \pm k_j) = \sqrt {g |k_i \pm k_j|}$。我们可以将自由表面高度的立方分量写为（2.18）
\[
\begin{align}
\zeta _3(x,t) = & \frac {1}{2 \pi } \sum _{i,j,k} A_i A_j A_k \left \lbrace \sqrt {\frac {\omega _{i+j+k}}{2g}} \left ( B^{(1)}_{i+j+k,i,j,k} + B^{(4)}_{-i-j-k,i,j,k} \right ) \big [ e^{i(\xi _i + \xi _j + \xi _k)} \big . \\
& \left. \big . + e^{-i(\xi _i + \xi _j + \xi _k)} \big ] + \sqrt {\frac {\omega _{i-j-k}}{2g}} B^{(2)}_{j+k-i,i,j,k} \big [ e^{i(\xi _j+\xi _k-\xi _i)} + e^{i(\xi _i -\xi _j - \xi _k)} \big ] \\
& \left . + \sqrt {\frac {\omega _{i+j-k}}{2g}} B^{(3)}_{k-i-j,i,j,k} \big [ e^{i(\xi _k-\xi _i-\xi _j)} + e^{i(\xi _i+\xi _j-\xi _k)} \big ] \right \rbrace .
\end{align}
\]
自由表面的速度势 $\phi ^{s}$ 可以通过相同的程序从（2.6）获得。二阶和三阶自由表面高度的变化只会改变波形。形式为 $\exp (i(\xi _i \pm \xi _j))$ 的谐波表现为具有波数 $k_i \pm k_j$ 和频率 $\varOmega _i \pm \varOmega _j$ 的波，但由于这些和与差并不满足色散关系，它们被称为“束缚波”，与（2.13）中的自由波相反。这些束缚波对波峰的尖锐化和波谷的平坦化的影响在图1中展示，同时绘制了三阶频率校正（2.15）对波相位的影响。我们还注意到差分谐波项 $k_i-k_j$ 在波峰下方产生“下沉”效应，参见van den Bremer等人（参考文献van den Bremer, Whittaker, Calvert, Raby和Taylor2019）。

2.3.1. 体势的恢复
用表面变量重新表述问题在许多方面非常方便，但当我们希望恢复关于自由表面以下体积流体的信息时，这有点不利。为此，我们从拉普拉斯方程的一般解开始，该解在无限深度时衰减（2.19）
\[
\begin{align}
\phi (x,z) = \frac {1}{2\pi } \int \phi (k) e^{kz} e^{ikx}\, {\rm d}k, \quad \phi (k) = \phi ^*(-k),
\end{align}
这是Krasitskii（参考文献Krasitskii1994, (4.1)）的精确类比）。图1显示了一个双色波列的自由表面，其线频率为 $\omega _1=1$ rad s?1 和 $\omega _2=1.25$ rad s?1，波坡度为 $\epsilon _1=\epsilon _2=0.15$，并展示了一阶（线性）、二阶和三阶解及其束缚波（B.W.）成分。注意由于频率校正（4.4）–（4.5）在三阶时出现的相位移动。我们将体势 $\phi$ 及其表面迹 $\phi ^{s}$ 通过展开式联系起来。考虑无限深度的问题，我们需要解决（2.20）
\[
\begin{align}
&;\Delta \phi = 0, \\
[-12pt]
\end{align}
（2.21）
\[
\begin{align}
&;\phi = {\phi ^{s}}\quad \text{ 在 } z = \zeta , \\
[-12pt]
\end{align}
（2.22）
\[
\begin{align}
&;\phi _z \rightarrow 0 \quad\text{ 当 } z \rightarrow -\infty ,
\end{align}
我们通过假设自由表面高度很小（$\zeta \rightarrow \epsilon \zeta$）然后将此展开式插入边界条件（2.21）来解决这个问题，从而得到（2.23）
\[
\begin{align}
\phi (\zeta ) = \phi (0) + \epsilon \zeta \phi _z(0) + \frac {\epsilon ^2 \zeta ^2}{2} \phi _zz(0) + \cdots .
\end{align}
这在物理空间中产生了一系列问题，其连续解产生了（2.24）
\[
\begin{align}
\hat {\phi }(k,z,t) = e^{|k|z} \left [ \hat {\phi }^s - \frac {1}{2 \pi } \int \hat {\zeta }_1 \hat {\phi }^s_2 |k_2| \delta _{0-1-2}\, {\rm d}k_{12} - \int D_{0123} \hat {\phi }^s_1 \hat {\zeta }_2 \hat {\zeta }_3 \delta _{0-1-2-3} \,{\rm d}k_{123} + \cdots \
\end{align}
\]
其中（2.25）
\[
\begin{align}
D_{0123} = -\frac {1}{4} |k_1| \left ( 2 |k_1| - |k_1 + k_2| - |k_1 + k_3| - |k_0-k_3| - |k_0-k_2| ).
\end{align}
已知 $\hat {{\phi ^{s}}}$ 和 $\hat {\zeta }$ 来自（2.5）–（2.6）的表述，我们现在可以恢复每个所需的阶数的体势。Janssen（参考文献Janssen2004，见（4.7）下方）、Krasitskii（参考文献Krasitskii1994，第15页）和Zakharov（参考文献Zakharov1968，（1.8）也详细介绍了这一过程，尽管在（2.25）的对称化时需要小心。线性贡献仅包括（2.24）中的第一项
\[
\begin{align}
\phi _1(x,z,t) = \frac {1}{\pi } \sum _i A_i e^{|k_i|z} \sqrt {\frac {g}{2\omega _i}} \sin (\xi _i).
\end{align}
二次贡献是（2.27）
\[
\begin{align}
\phi _2(x,z,t) & = \sum _{i,j} A_i A_j \left [ \mathcal{C}^{(2)}_{i+j} \sin (\xi _i + \xi _j) e^{|k_i+k_j|z} + \mathcal{C}^{(2)}_{i-j} \sin (\xi _i - \xi _j) e^{|k_i-k_j|z} \right ],
\end{align}
其中我们需要在表述中使用 $\hat {\phi }^s$ 和 $\hat {\zeta }$ （以及它们的乘积）的线性和二次部分。系数 $\mathcal{C}^{(2)}$ 在附录B中给出。对于深水中的单向波，直到二阶，势可以简化为简单的表达式（2.28）
\[
\begin{align}
\phi = \sum _j \frac {a_j g}{\omega _j} e^{|k_j|z} \sin ( k_j x - \omega _j t) - \sum _{i\gt j} \omega _{i} a_i a_j \sin (\xi _{i} - \xi _{j} ) e^{|k_i - k_j| z},
\end{align}
这也来自Dalzell（参考文献Dalzell1999）。体势的立方贡献是（2.29）
\[
\begin{align}
\phi _3(x,z,t) &= \sum _{ijk} A_i A_j A_k \left \lbrace \mathcal{C}^{(3)}_{i+j+k} \sin (\xi _i+\xi _j+\xi _k) e^{|k_i+k_j+k_k|z} \right . \\
&+ \mathcal{C}^{(3)}_{i-j-k} \sin (\xi _i-\xi _j-\xi _k) e^{|k_i-k_j-k_k|z} \left . + \mathcal{C}^{(3)}_{i+j-k} \sin (\xi _i + \xi _j - \xi _k) e^{|k_i+k_j-k_k|z} \right . \\
&+ \left . \mathcal{C}^{(3)}_{i-j+k} \sin (\xi _i-\xi _j+\xi _k) e^{|k_i-k_j+k_k|z} \right .
\end{align}
系数 $\mathcal{C}^{(3)}$ 在附录B中给出。不幸的是，除了单一单色波的情况外，找到三阶的紧凑简化方法未能成功，其中分析表达式（2.30）
\[
\begin{align}
\phi _3 = -\frac {a^3 \omega k}{4} e^{kz} \sin \xi
\end{align}
已被恢复（参见Gao等人，参考文献Gao, Sun和Liang2021及附录A）。应该强调的是，这样获得的体势在每个阶数上都等同于通过直接微扰展开控制方程（2.1a）–（2.1d′）得到的势（除了附录A中提到的非唯一性）。特别是，正如我们稍后将看到的，这意味着每个阶数的流体域是半空间 $\{ (x,z) \mid x\in \mathbb{R}, z\leq 0 \}$，这是由于边界条件的传递。

3. 单色波
数学上最简单的波动类型，也是我们了解最多的，是稳态、周期性波，称为Stokes波。对于这样的波，它们关于波峰对称并且传播时形状不变，可以证明不存在封闭的粒子轨迹（Constantin参考文献Constantin2006），并且Longuet-Higgins（参考文献Longuet-Higgins1987）已经给出了包括最高波在内的表面漂移的显式计算。这些丰富的先前结果意味着我们严格来说不需要第2节中发展的哈密顿展开；然而，我们将尝试将三阶理论及其预测与其他单色波的结果联系起来。由于波形是稳态的，流体运动是周期性的并且局限于 $(x,z)$ 平面，因此存在多种强大的数学技术来解决这个问题，包括使用速度势和流函数作为独立变量（Stokes参考文献Stokes2009）。此外，自从Levi-Civita（参考文献Levi-Civita1925）的工作以来，已经确立了这类波的微扰解的收敛性，实际上，这些解已经计算到了极高的阶数（Schwartz参考文献Schwartz1974）。因此，如果我们固定波长（或波数）和波高 $H$，逐步包含更高阶的项会让我们越来越接近精确解。当使用流体力学的等效拉格朗日表述（Clamond参考文献Clamond2007）时，这似乎也是正确的，尽管没有伴随的分析理论证明收敛性。在选择展开参数（其中‘阶数’是测量的）时必须小心，正如Cokelet（参考文献Cokelet1977）和Fenton（参考文献Fenton1985）所讨论的，关于这一点稍后会有更多讨论。虽然这些稳态、周期性的波在理论上特殊且在实验上难以实现，但积累的理解使它们成为理想的起点，并允许我们进行后续非稳态问题的比较。我们首先通过欧拉描述中的线性化控制方程（2.1a）–（2.1d′）再现教科书中的单色解（Dean和Dalrymple参考文献Dean和Dalrymple1991）：
\[
\begin{align}
& \zeta _1 = a \cos (\xi ), \quad \phi _1 = \frac {a\omega }{k} e^{kz} \sin (\xi ),
\end{align}
其中 $\xi =kx-\omega t$
（3.2）
\[
\begin{align}
\omega ^2 = g|k|
\end{align}
是线性色散关系。这里，$z\leq 0$ 且 $x \in \mathbb{R}$。如果从（3.1）评估 $\phi _1$ 的梯度以得到速度场，很明显，在一个波周期 $T$ 内的平均值——称为欧拉平均速度，其水平分量表示为 $u_E$——在每个深度 $z\leq 0$ 处都为零。仅仅因为固定传感器测量的平均速度为零并不意味着在传感器位置释放的粒子在一个波周期后会返回那里。这样的粒子的平均水平速度将称为拉格朗日平均速度 $u_L$，而 $u_E$ 和 $u_L$ 之间的差异称为Stokes漂移 $u_S$，即 $u_L-u_E=u_S$。
值得一提的是，欧拉平均和拉格朗日平均通常不在相同的时间间隔内取值。根据Longuet-Higgins（参考文献Longuet-Higgins1987），我们定义拉格朗日周期 $T_L$ 为
\[
\begin{align}
T_L = \frac {T_E}{1-{u_S}/{c_p},
\end{align}
其中 $T_E=2\pi /\omega$ 是欧拉周期，$c_p=\omega /k$ 是波的相速度，$u_s$ 是给定深度的Stokes漂移。显然，只有当Stokes漂移消失时，这两个周期才重合。如果我们按照Grue和Kolaas（参考文献Grue和Kolaas2020）的定义，将一个完整的粒子循环定义为粒子路径在校正了平均漂移距离后开始重复的位置和时间，那么这个循环的周期就是拉格朗日周期。为了从我们的欧拉描述中获得粒子的轨迹，我们采用常微分方程系统（3.4）
\[
\begin{align}
\boldsymbol{x}'(t) = \boldsymbol{\nabla }\phi (x,z,t)
\end{align}
称为粒子轨迹映射。值得注意的是，这个系统与线性（或稍后的弱非线性）理论只有微弱的联系，但它试图恢复拉格朗日和欧拉描述之间的联系。此外，将线性势（3.1）插入（3.4）会产生一个非线性微分方程系统（3.5）
\[
\begin{align}
x'(t) = a \omega e^{kz} \cos (\xi ),
\end{align}
（3.6）
\[
\begin{align}
z'(t) = a \omega e^{kz} \sin (\xi ).
\end{align}
虽然这个系统无法解析求解，但已经严格证明了其粒子轨迹不是封闭的（Constantin和Villari参考文献Constantin和Villari2008），这意味着存在拉格朗日漂移。这个结果是定性的，即使在这种简单情况下，定量地获得漂移的分析处理也是不可行的。作为替代方案，有两种选择：近似或数值解。前者在大多数关于水波的教科书中都有介绍，它从关于初始位置 $\boldsymbol{x}_0=(x_0,z_0)$ 的流体速度场的泰勒展开开始。在泰勒展开中只保留最低阶项进行积分后，可以得到格林（Green）在1839年首次发现的圆形粒子轨迹（参考文献Craik2004）。显然，$u_E=u_L=0$，因此 $T_E = T_L = 2\pi /\omega$。将这个解代入二阶泰勒展开中，可以得到另一个显式的常微分方程（ODEs）系统（3.7）：
\begin{align} x'(t) &= a \omega e^{kz_0} \cos (\xi _0) - a^2 k \omega e^{2kz_0} \cos (\omega t) + a^2 k \omega e^{2kz_0}, \\[-12pt] \nonumber \end{align}
\begin{align} z'(t) &= a \omega e^{kz_0} \sin (\xi _0) + a^2 k \omega e^{2kz_0} \sin (\omega t), \\[9pt] \nonumber \end{align}
其中 $\xi _0 = kx_0 - \omega t$。严格来说，对这个系统进行时间积分可以得到拉格朗日位移，其平均值即为拉格朗日平均速度 $u_L$。很明显，这个平均速度是由积分（3.7）得到的长期项确定的，由于 $u_E \equiv 0$，因此将这个项称为斯托克斯漂移（Stokes drift）是既传统又恰当的（3.9）：
\begin{align} u_S = a^2 k^2 c_p e^{2kz_0}, \end{align}
这种斯托克斯漂移在微小波陡度 $ak$ 下名义上是二阶的——因此是非线性的——但它源自线性理论（3.1），这一事实也在许多教科书中有所提及，例如Dean和Dalrymple（参考文献Dean and Dalrymple1991）。实际上，它是在假设从初始位置 $\boldsymbol{x}_0$ 的位移 $\Delta \boldsymbol{x}$ 很小时得到的线性粒子轨迹的近似值。图2展示了一个线性、单色波的剖面，其中 $k=1$ m?1，$H=0.4$ m，波在正 $x$ 方向上传播。粒子路径用彩色曲线表示，实线曲线表示粒子轨迹ODEs（3.5）–（3.6）的显式积分结果，虚线曲线表示根据近似线性理论得到的具有斯托克斯漂移（3.9）的圆形轨迹。斯托克斯漂移用细虚线表示，连接初始位置（实心圆）和由（3.7）–（3.8）得到的最终位置（菱形）。图2比较了线性粒子轨迹映射（3.5）–（3.6）的解与其近似解（3.7）–（3.8）的解，这里使用了一个相对较大的 $ak=0.2$ 值进行说明。在近似解（3.7）–（3.8）中，如图2所示，经过一个欧拉周期后，每个粒子都向右侧移动了一个均匀的距离 $u_S T_E$（菱形标记）。相比之下，直接积分（3.5）–（3.6）得到的漂移取决于初始位置（方块标记），有时这个漂移小于斯托克斯漂移（3.9），有时大于斯托克斯漂移。这种漂移对相位的依赖性也在实验中得到了观察（参考文献Grue和Kolaas2020）。图2还强调了线性理论的一个关键缺陷：流体速度场仅在 $z=0$ 以下定义。因此，即使粒子最初位于波谷位置——如图2右侧的粒子——它也会进入 $(x,z)$ 平面上速度未定义的区域（实际上，这样计算得到的粒子路径可能会超出波峰高度，如图中最右边的红色轨迹所示；我们不应该过分强调这一事实，因为在线性（欧拉）理论中，自由表面既不是流动的流线，也不是由流体粒子组成的）。评估 $z=0$ 以上的速度场相当于对线性理论的外推，这种做法已知会高估接近表面的速度（参考文献Johannessen2010），因此在从（近似的）欧拉解评估拉格朗日流动特性时需要谨慎。我们的方法如下：积分粒子轨迹映射（3.4）可以得到拉格朗日漂移，从而得到拉格朗日平均速度。这个值是相位依赖的，这意味着我们需要对覆盖一个波长的初始位置的拉格朗日平均速度进行平均。只要我们保持在 $z \leq 0$ 的区域内，就可以进行积分，在这个区域内欧拉速度场 $\boldsymbol{\nabla }\phi$ 是定义好的，这样得到的 $u_L$ 值可以与（3.9）中给出的 $u_S$ 的领先阶近似值进行比较。由于速度场定义域的问题，我们不会在表面应用这种方法。

3.1. 随深度变化的拉格朗日漂移
可以通过积分粒子轨迹映射得到随深度变化的拉格朗日漂移，前提是粒子不会穿过静水面 $z=0$——否则，如前所述，外推项 $\exp (kz)$ 可能会导致速度异常高，甚至轨迹发散。由于粒子的前向漂移是相位依赖的，这意味着需要对位于初始高度 $z_0$ 的粒子的相位进行平均。除了线性解（3.1）外，我们还将使用欧拉解（3.10）：
\begin{align} \phi = \frac {a \omega }{k}e^{kz} \sin \xi + \frac {a^4 k^2 \omega }{2} e^{2kz} \sin 2 \xi + \frac {a^5 k^3 \omega }{12}e^{3 kz} \sin 3 \xi + \cdots \end{align}
（第二和第三阶可以从§ 2.3获得，参见附录A，第四和第五阶由Zhao和Liu（参考文献Zhao and Liu2022）给出），这些解可以直接代入粒子轨迹映射（3.4）的右侧。从（3.10）可以看出，所有阶数的 $u_E$ 都为零，因此拉格朗日漂移 $u_L$ 等于斯托克斯漂移 $u_S$，其领先阶组成部分在（3.9）中给出。在图3中，使用50个等间隔的初始条件覆盖每个深度来计算拉格朗日漂移，这些条件涵盖了波的相位。我们使用（3.10）的第一、第三和第五阶速度场，以及Blaser、Lenain和Pizzo（参考文献Blaser, Lenain and Pizzo2025）的拉格朗日方法得到的第四阶斯托克斯漂移（参见参考文献Clamond2007）来比较结果（我们稍后还会回到这个方法，用于不稳定情况）。垂直轴表示 $z=0$ 以下的深度，而水平轴表示漂移速度 $u$；对于标签1、2、3和L4，这实际上是 $u_L$（尽管 $u_E=0$ 意味着 $u_L=u_S$），而标签SD表示由（3.9）给出的 $u_S$ 的领先阶近似值。图3比较了单色波（$k=1$ m?1，$H=0.4$，$H=0.45$ 和 $H=0.6$）下的水平漂移速度与深度的关系。粒子轨迹是通过积分粒子轨迹ODEs得到的第一、第三和第五阶结果，并得到了拉格朗日漂移速度（标签1、3、5）。这些结果与斯托克斯漂移近似（3.9）（SD）和第四阶拉格朗日解（Blaser等人，参考文献Blaser, Lenain and Pizzo2025）（L4）进行了比较。值得注意的是，一阶速度场（红色曲线，标签1）的积分严重高估了随深度的拉格朗日漂移，而基于同一速度场的近似（3.9）（蓝色曲线，标签SD）与第四阶拉格朗日结果和更高阶欧拉速度场更为吻合。只有在高陡度 $kH/2=0.225$ 和 $0.3$（见图b和c）的情况下，近似斯托克斯漂移与更高阶解有明显差异，尽管在较大深度时其渐近行为与第一阶理论接近，但在图c的插图中可以看出更高阶解的行为有所不同。尽管如此，这些结果仍然证实了这样一个事实：对于稳定的单色波，斯托克斯漂移可以非常好地用领先阶（二次）贡献（3.9）来近似。

3.2. 表面的拉格朗日漂移
从近似欧拉理论获得表面漂移值的最自然方法是通过求解（3.11）给出的水平粒子位移：
\begin{align} x'(t)=u(x,\zeta, t) \end{align}
（参见参考文献Grue和Kolaas2020，他们使用这种方法计算了二阶的拉格朗日周期），其中右侧可以近似为（3.12）：
\begin{align} u(x,\zeta, t) = u(x,0,t) + \zeta u_z(x,0,t) + \frac {\zeta ^2}{2} u_{zz}(x,0,t) + \cdots , \end{align}
利用自由表面的展开（3.13）：
\begin{align} \zeta &= a \cos \xi \left [ 1 + \frac {1}{8} a^2 k^2 + \frac {121}{192} a^4 k^4 \right ] + a \cos 2 \xi \left [ \frac {1}{2}ak + \frac {5}{6}a^3 k^3 \right ] \nonumber \\[5pt]& \quad + a \cos 3 \xi \left [ \frac {3}{8}a^2 k^2 + \frac {171}{128}a^4 k^4 \right ] + a \cos 4 \xi \left [\frac {1}{3} a^3 k^3 \right ]+a \cos 5 \xi \left [ \frac {125}{384}a^4 k^4 \right ] + \cdots \end{align}
以及（3.10）中给出的势能。结果如图4所示，它比较了在 $z_0=0$ 处评估的（3.9）（标签SD）与（3.11）的第五阶解，以及Longuet-Higgins（参考文献Longuet-Higgins1987，图2）得到的精确表面漂移（标签LH）。取 $k=1$ m?1，水平轴表示实际波峰到波谷高度的一半——而不是在扰动展开中使用的领先阶振幅 $a$，为了得到期望的 $H$ 值，每个奇数阶都需要进行调整（参见附录A的讨论）。如果没有这样的调整，波高会随着展开阶数的增加而增加，表面漂移也会增加。图4显示了不同陡度 $Hk/2$ 的单色波的拉格朗日表面漂移速度 $u_L$，使用了第二到第五阶的表面速度（2–5），并与Longuet-Higgins（LH）的精确解和近似斯托克斯漂移 $u_S$（3.9）（SD）进行了比较。图4表明，对于低陡度（$Hk/2=0.2$ 以下）的波，两种公式之间的差异可以忽略不计。斯托克斯漂移公式（3.9）给出的漂移略小（如Longuet-Higgins（参考文献Longuet-Higgins1987）和使用拉格朗日公式进行的补充工作所示，例如Clamond（参考文献Clamond2007）），但更高阶理论在非常高的陡度下提供了很好的一致性（尽管趋势显然不会延续到Longuet-Higgins的最陡波 $kH/2=0.44316$）。我们注意到，在第三和第五阶出现的色散修正有略微减小表面漂移的效果，我们稍后会对此进行评论。在 $Hk/2=0.35$ 以上的斜率下，二阶近似与精确解之间似乎非常吻合，这应该被认为是偶然的。

3.3. 关于更高阶贡献的评论
在这里使用的速度势能公式（对应于附录A中的（A1a）中，第一阶和第三阶之间的唯一区别是是否包含非线性色散，因此第三阶波的特征坐标为 $\xi = kx - \varOmega t$（对于（3.14）：
\begin{align} \varOmega = \omega (k) \left (1 + \frac {a^2 k^2}{2} \right ) \!, \end{align}
（这里的 $a$ 与波高 $H_1$ 有关，如（A3）中所述）。直到第四阶才出现额外的谐波，因此图3中曲线1和3之间的差异完全是由于这种色散修正造成的。实际上，用于推导（3.9）的程序可以直接应用于第三阶势能 $\phi$，即通过计算 $\overline {\Delta \boldsymbol{x}^\intercal \boldsymbol{\nabla }\phi }$，得到（3.15）：
\begin{align} {u_S} = \frac {a^2 \omega ^2 k e^{2kz_0}}{\varOmega } = \frac {2 a^2 \omega k e^{2kz_0}}{2+a^2 k^2}. \end{align}
由于 $\varOmega \gt \omega$，很明显漂移速度（3.15）通常比（3.9）小，这也通过积分粒子轨迹映射得到了证实。我们可以总结单色波的结果如下：近似斯托克斯漂移公式（3.9）在表面给出的结果偏小，在深度处给出的结果偏大。然而，对于中等陡度的波，这些差异并不显著，这也得到了实验工作的验证（Paprota和Sulisz参考文献Paprota and Sulisz2018）。在我们的描述中，非线性的唯一影响是调整频率（这对整个流动有影响）以及更高阶谐波的出现（由于其 $\exp (nkz)$ 项，其影响仅限于表面附近）。我们现在将看到这些效应如何出现在非稳态（双色）波列中。

4. 双色波
最简单的“不规则”波是那些由一阶的两个谐波 $k_1$ 和 $k_2$ 组成的波，因此有时被称为“双色”波。二阶解包含了这些分量中任意两个的分量和差分项，而三阶解则包含了任意三个分量的分量和差分项，复杂性随之增加。二阶解的内容可以在Dalzell的工作中找到（参考文献Dalzell1999），而双色波的三阶解首次出现在Madsen和Fuhman的研究中（参考文献Madsen和Fuhman2006）。我们采用了第2.3节中的等效公式。在二阶情况下，速度势可以用一个非常简单的表达式表示为：
$$
\phi (x,z,t) = \frac {a_1 g}{\omega _1} e^{k_1 z} \sin (\xi _1) + \frac {a_2 g}{\omega _2} e^{k_2 z} \sin (\xi _2) - \omega _1 a_1 a_2 e^{(k_1-k_2)z} \sin (\xi _1 - \xi _2),
$$
其中 $k_1 \gt k_2$。对于单向深水波，这种表达式的和谐项会消失（自由表面高度的情况则不同，其显著的和谐项可以在图1中看到）。两个谐波 $k_1$ 和 $k_2$（或等效的 $\omega _1$ 和 $\omega _2$）的组合会导致一个非稳定的速度场，不过这个速度场可以选择在空间上或时间上严格周期性，在另一个变量上近似周期性。通过选择相等的频率，可以对双色波列的周期 $T$ 进行欧拉平均，得到：
$$
u_E = \frac {1}{T} \int _0^T \phi _x \,{\rm d}t = 0,
$$
无论这个 $\phi$ 是从二阶解（4.1）还是三阶解（第2.3节）得到的。图5展示了一个双色波的时间序列，其中 $k_1 = 1.2$ 和 $k_2=1$ 米?1，$\epsilon _1=\epsilon _2=0.1$，在 $x=0$ 处，以及伴随的粒子轨迹在 $z_0=-0.35$ 米和 $z_0=-4$ 米处的情况。蓝色曲线代表一阶理论，红色曲线代表二阶理论，黄色曲线代表三阶理论。注意图(c)和图(e)分别展示了只包含一阶理论、只包含二阶理论贡献（红色曲线）和只包含三阶理论贡献（黄色曲线）的粒子路径，没有低阶速度的影响。图(a)和图(e)中的标记 ‘+’ 标出了 $t\approx -5.2\text{ 和 }5.2$ 秒之间的时间，这期间深度的流动方向与波的传播方向相反。我们在图5(a)中展示了一个这样的双色解的自由表面时间序列的一部分，可以看出二阶和三阶项的加入只有很小的影响。然而，当考虑粒子路径时情况就不同了，线性理论和更高阶理论之间的差异非常明显，特别是在深度处。图5(b)展示了初始位置为 $(x_0,z_0)=(0,-0.35)$ 的粒子路径（用 $\bullet$ 标出），以及不同的最终位置（分别用 $*$、$\blacksquare$ 和 $\blacklozenge$ 标出）。在接近表面的地方，各个阶次的粒子路径在质量上看起来相似。但在深度处则不然（见图d），一阶粒子路径（用蓝色表示）与二阶（红色）和三阶（黄色）轨迹有很大不同。图5(b,d)是通过积分 $\boldsymbol{x}'(t) = \boldsymbol{u}(x,z,t) = \boldsymbol{u}^{(1)}(x,z,t)+\boldsymbol{u}^{(2)}(x,z,t)+\boldsymbol{u}^{(3)}(x,z,t)$ 获得的，其中 $\boldsymbol{u}^{(i)}(x,z,t)$ 表示给定阶次的速度（$i=1,2$ 或 3）。通过分别对每个 $i$ 积分 $\boldsymbol{x}'(t)=\boldsymbol{u}^{(i)}(x,z,t)$ 可以评估每个项的相对重要性，这得到了图5(c,e)。从这些结果可以看出，表面的主要贡献来自一阶速度，而深度的主要贡献来自二阶速度。在图(e)的 $(x,z)=(0,-4)$ 附近，三阶贡献（黄色）几乎不可见。

4.1. 二阶波理论下的斯托克斯漂移近似
二阶解（4.1）可以直接用来计算修正后的斯托克斯漂移：从（4.1）计算出 $(u,w)$，在某点 $(x_0,z_0)$ 周围进行泰勒展开，只保留泰勒展开中的常数项，然后计算近似轨迹 $(x(t),z(t))$，随后将这些轨迹代入泰勒展开中的线性项，并对得到的粒子轨迹方程进行时间积分。这个过程的结果是：
$$
u_S = \underbrace {a_1^2 k_1 \omega _1 e^{2 k_1 z_0} + a_2^2 k_2 \omega _2 e^{2 k_2 z_0}}_{(\text{I})} + \underbrace {a_1^2 a_2^2 \omega _1^2 \frac {(k_1-k_2)^3}{\omega _1-\omega _2} e^{2(k_1-k_2)z_0}}_{(\text{II}),
$$
它包括每种模式的斯托克斯漂移之和（即项（I）），以及一个新项（称为项（II）），这个新项来自差分谐波（记住我们假设 $k_1\gt k_2$）。作者感谢一位审稿人指出，在本文审稿期间，Liao和Zou（参考文献Liao和Zou2025）发表了一篇文章，也在他们的附录C中推导出了这个项。正如从线性理论得到的斯托克斯漂移包含了二次项一样，从二阶理论得到的修正斯托克斯漂移现在（形式上）包含了四次项。

4.2. 双色波的高阶拉格朗日漂移
在尝试将公式（4.3）与其他从波理论获得波诱导漂移的方法进行比较时，我们遇到的主要困难——这是首次在处理双色波时遇到的——与流场的非稳定性有关，以及缺乏一个所有不同展开都收敛到的唯一解。与第3节中的单色波不同，我们不能简单地比较长度和高度相同的波浪，因为这些波浪在波峰和波谷之间的轮廓曲率上有所不同。在三阶时，又出现了一个额外的复杂性，即出现了非对称频率修正（对于 $k_1\gt k_2$），这一点首先由Longuet-Higgins和Phillips（参考文献Longuet-Higgins和Phillips1962）发现（公式（4.4）：
$$
\varOmega _1 = \omega _1 \left [ 1+ \frac {1}{2} \epsilon _1^2 + \epsilon _2^2 \left ( \frac {k_1}{k_2} \right )^{1/2} \right ], \\
\varOmega _2 = \omega _2 \left [ 1+ \frac {1}{2} \epsilon _2^2 + \epsilon _1^2 \left ( \frac {k_2}{k_1} \right )^{3/2} \right ],
$$
这意味着三阶（以及五阶、七阶等）的双色波将与它们的低阶对应波不同相。图1显示了这一点。此外，由于关于双色波漂移的理论或实验结果很少，使得比较变得困难。然而，我们可以使用第3节中对单色波测试的方法来获取双色波在表面及以下深度的结果，并将这些结果与（4.3）中推导出的近似斯托克斯漂移进行比较。在这里需要强调的是，斯托克斯漂移速度 $u_S$ 仍然是欧拉平均速度和拉格朗日平均速度之差。在处理周期性的双色波群时，我们的欧拉平均速度（取自群的周期）就像单色波一样会消失。因此，（4.3）中的 $u_S$ 项是对考虑了差分谐波的拉格朗日平均速度的近似。

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?????? ??? ???????? ??? ?????? ???? ?????? ?????? ???? ?????? ?????? $x'(t)=u(x,\zeta, t)$? ??? ??? ????? ???? ?????? ?? ???? ?????? ????????? ??? $z=0$ ??? ???? ?????? ?????? ??? ?? ????? ?? ??????? ?????? ????? ?? ?????? 3.2. ???????? ??? ?????? ?????? ??? ?????? ???????? ????? ????? ??? ????? ???? ??????? ?????? ????? ?? ?????? ???????? ????? ??? ?????? ?? (2.17). ????? ????? 8 ??? ??? ???????? ?????????? ?????? ??????? ?????? ????? ?? ($\omega _1=1.25, \omega _2=1$ ?????? ???????1 ? ($\omega _1=2, \omega _2=1$ ?????? ???????1) ???? ???????? ($\epsilon _1=\epsilon _2$). SD I ? SD I + II ???? ?????? ???????? ?? (4.3). ??? ???????? ?? ???????? ??????? ?????????? ?? ?????? ??????? ????????? ???????? ??? ???????? ?????????? ?????? ($L4$) ???? ??? ???? Blaser ?????? (???? Blaser, Lenain ? Pizzo2025). ?? ????? (a)? ??? ???????? ???????? ????? ?? ???? ?????? ????? (II) ?????. ????? ?? ???? ????? ???????? ?????????? ??? ????? ???????????? ??????? ???? ???? ?? ???????? ?? ?????? ??????? ????????? ????? ?? ???? ?? ???????? ?? ??? ??????? (4.3). ????? ???? ??????????? ??????? ???? ???????? ??? ?? ?????? $z_1=2$ ? $z_2=1$ ?????? ???????1 ??? ?? ???? ?? ????? (b)? ???? ?????? ????? (II) ???? ??????.在这两种情况下，二阶和三阶理论都给出了增强的漂移效应，这与单色波的结果一致，并在图4中有所展示。图8还与Blaser等人（参考文献Blaser, Lenain和Pizzo2025）在附录B中得到的三阶双色波解的拉格朗日漂移进行了比较，该结果推广了Pierson（参考文献Pierson1961）的经典二阶结果。不幸的是，欧拉坐标系和拉格朗日坐标系中的双色波并不相同；实际上，波形在几何上是不同的，两种解的连续波峰之间存在着相位偏移，这一点Fouques和Stansberg（参考文献Fouques和Stansberg2008）已经指出。（这种相位偏移并不是由于色散关系的差异造成的，正如Pierson（参考文献Pierson1961）所假设的，因为Blaser等人（参考文献Blaser, Lenain和Pizzo2025）在三阶时重新得到了欧拉色散修正（4.4）-（4.5）。是否可以调整拉格朗日微扰展开以匹配欧拉解（或反之亦然）仍然是一个未解的问题。对于频率分离良好的情况（图b），我们从欧拉粒子轨迹映射（3.11）和Blaser等人（参考文献Blaser, Lenain和Pizzo2025）得到的拉格朗日解得到的漂移非常接近；而对于两个接近的频率（图a），随着波坡度的增加，这种差异变得明显。

4.3 差分谐波和粒子漂移 通常情况下，我们看到在双色波表面附近一级效应的重要性，而在深度处二阶效应变得更加显著。这并不奇怪，因为这源于差异谐波项本身的结构。作为我们研究波群工作的前奏，有必要探讨它们在双色海中的角色。我们首先考虑驱动粒子轨迹映射的速度场，该速度场可以从二阶（4.1）或三阶势能（2.29）计算得出。实际上，图5清楚地表明，尽管三阶速度场难以计算，但其贡献很小。这在很大程度上是由于三阶色散修正（4.4）-（4.5），通过比较图5中的(b)和(d)面板与(c)和(e)面板可以看出来。这些色散修正不影响瞬时速度场，只影响其时间演化。例如，我们考虑图6中研究的波，其中$k_1=1.2$和$k_2=1$ m?1，并且只关注水平速度。当只保留一级贡献$u_1$时，我们发现波峰下是正向速度，波谷下是反向速度，这种速度随着深度的增加而呈指数衰减，如图9(a)所示。如果我们只关注二级贡献$u_2$，情况就完全不同了。速度的指数衰减较慢，因为当$k_1 \sim k_2$时，$\exp ((k_1-k_2)z)$大于$\exp (k_1 z)$或$\exp (k_2 z)$，我们在双色波列的中心下方发现了一个负水平速度，如图9(c)所示。完整的二级图像是一级和二级项的总和，如图(b)所示，很明显一级效应在表面附近占主导，而二级差异谐波在深度处占主导地位。通过考虑每个情况下的水平速度零等值线（用黑色表示）可以清晰地观察到这一点。图9. 双色波列的水平速度，其中$k_1=1.2$和$k_2 = 1$ m?1，在顶部面板中示意性地展示。(a) 仅有一级速度。(b) 一级和二级水平速度的总和。(c) 仅有二级水平速度。黑色曲线表示水平速度消失的等值线。因此，双色波列中粒子路径的通用情况如下：在表面附近，一级贡献占主导，形成了图5(b)中观察到的卷曲粒子路径。差异谐波的效果是稍微延迟了粒子的前进运动，这是由于在图5(e)和9中观察到的最高波峰下缓慢移动的（在深水中，群速度是相速度的一半）反向（负）速度区域。在流体柱的更深处，一级自由模式的影响变得可以忽略不计。流体运动主要由差异谐波项$k_1-k_2$控制，粒子路径基本上类似于具有该波数的单色波。这在图5(e)中清晰地展示出来，我们看到组成一级理论的模式$k_1$和$k_2$对位移的扰动很小。值得注意的是，在双色波列下方存在一个区域，粒子位移主要是与波传播方向相反的，如图5(e)中$t\approx [-5.2,5.2]$ s之间的标记‘+’所示。这并不令人惊讶，因为它仅仅反映了差异谐波项的有效运动，如面板(d)所示。尽管存在这种“回流”，正如我们将在讨论波群时再次遇到的，但在流体中的每个深度，平均粒子漂移的方向仍然是波的传播方向，如图6和7所示。由于解决方案是周期性的，经过许多周期后，差异谐波的净效应是增强前向漂移，如图7所示。

5. 多色波 当需要超过两个傅里叶模式来描述线性问题时，我们称这种配置为多色波。二阶包含了任意两个模式之间的和与差，而三阶包含了任意三个模式之间的和与差。这意味着在计算高阶解时可能会涉及大量的代数运算。5.1. 聚焦线性波群 在处理具有越来越多线性谐波成分的波时，我们也有很多可以调整的参数。从实验和理论的角度来看，一个有趣的情况是（聚焦的）波群。线性聚焦相当直接：如果我们的自由表面是（3.1）中的正弦波的叠加，那么写（5.1）\begin{align} \zeta _1 = \sum _i a_i \cos (k_i(x-x_0) - \omega _i(t-t_0)) \end{align} 可以很容易地得到一个在$(x_0,t_0)$处聚焦的波列——即所有分量都同相。通过适当调整振幅谱$a_i$，可以创建脉冲状的波群。然而，对于任何有限数量的傅里叶模式，所创建的波群永远不会完全局部化；根据频率$\omega _i$或波数$k_i$的选择，它可能在时间或空间上是周期性的，或者可能不是，它看起来是否有良好的包络层也取决于所选择的谐波和振幅谱。图10. 一个以波峰为中心的波群，其中$k_p=1.5, \sigma =0.18$，有十个傅里叶模式，$S=0.24$。面板(a)显示了一阶、二阶和三阶理论下的自由表面。面板(b)和(d)显示了初始位置为$(x_0,z_0)=(0,-0.2)$和$(0,-3)$的粒子轨迹，从$t=-20$秒开始，在波群通过之前。面板(c)和(e)显示了时间$t$时面板(b)和(d)的粒子水平位置，也显示了图5中看到的深度处的负漂移。一个可能的选择是形状为（5.2）的高斯振幅谱\begin{align} a_i = A \exp \left ( -\frac {(k_i-k_p)^2}{2 \sigma ^2}\right )\!.\end{align} 图10(a)展示了一个具有这种振幅谱的波列的例子，我们选择了$10$个等间距的模式，介于$k_1=1$和$k_{10}=2$ m?1之间，$k_p=1.5$，$A=0.04$，$\sigma =0.18$。聚焦位置被选为$(x_0,t_0)=(0,0)$，聚焦发生在波峰处。遵循Blaser等人（参考文献Blaser, Lenain和Pizzo2025）的方法，我们定义（5.3）\begin{align} S = \sum _{n=1}^N a_n k_n \end{align}为线性聚焦波的最大斜率，并将其作为非线性的度量。图10(b,d)中的粒子路径在许多方面与图5中显示的简单双色波群中的路径相似。在流体柱的顶部，一级理论占主导，而在深度处，与高阶理论相关的同相次谐波的效果明显占据了粒子运动的大部分。为了进一步说明这一点，面板(c)和(e)仅显示了波群经过初始位置时粒子位置的水平分量随时间$t$的变化。在面板(c)中，直到$t=-10$秒几乎没有运动，而在深度处，我们观察到向正$x$方向的稳定前向漂移。在波群的中心下方，正如预期的那样，我们看到向表面的强烈前向漂移（面板c）和深度处的反向（回流）流动（面板e）。这种效果在图11中可以更清楚地看到，它展示了（对于单个粒子）水平运动的深度依赖性。图5(e)中清楚地表明，构成一级理论的$k_1$和$k_2$模式对差异谐波项引起的位移只是一种小的扰动。值得指出的是，在双色波列下方存在一个区域，其中粒子位移主要是与波传播方向相反的，如图5(e)中$t\approx [-5.2,5.2]$秒之间的标记‘+’所示。这并不令人惊讶，因为它简单反映了差异谐波项的有效运动，如面板(d)所示。尽管存在这种“回流”，正如我们将在讨论波群时再次遇到的，但在流体中的每个深度，粒子在双色波群周期内的平均漂移方向仍然是波的传播方向，如图6和7所示。因为解决方案是周期性的，经过许多周期后，差异谐波的净效应是增强前向漂移，如图7所示。

当描述线性问题需要超过两个傅里叶模式时，我们称这种配置为多色波。二阶包含了任意两个模式之间的和与差，而三阶包含了任意三个模式之间的和与差。这意味着在计算高阶解时可能涉及大量的代数运算。5.1. 聚焦线性波群 在处理具有越来越多线性谐波成分的波时，我们也有很多可以调整的参数。从实验和理论的角度来看，一个有趣的情况是（聚焦的）波群。线性聚焦相当直接：如果我们的自由表面是（3.1）中的正弦波的叠加，那么写（5.1）\begin{align} \zeta _1 = \sum _i a_i \cos (k_i(x-x_0) - \omega _i(t-t_0)) \end{align} 可以很容易地得到一个在$(x_0,t_0)$处聚焦的波列——即所有分量都同相。通过适当调整振幅谱$a_i$，可以创建脉冲状的波群。然而，对于任何有限数量的傅里叶模式，所创建的波群永远不会完全局部化；根据频率$\omega _i$或波数$k_i$的选择，它可能在时间或空间上是周期性的，或者可能不是，它看起来是否有良好的包络层也取决于所选择的谐波和振幅谱。图10. 一个以波峰为中心的波群，其中$k_p=1.5, \sigma =0.18$，有十个傅里叶模式，$S=0.24$。面板(a)显示了一阶、二阶和三阶理论下的自由表面。面板(b)和(d)分别显示了初始位置为$(x_0,z_0)=(0,-0.2)$和$(0,-3)$的粒子轨迹，从$t=-20$秒开始，在波群通过之前。面板(c)和(e)显示了时间$t$时面板(b)和(d)的粒子水平位置，图5中也显示了深度处的负漂移。一个可能的选择是形式为（5.2）的高斯振幅谱\begin{align} a_i = A \exp \left ( -\frac {(k_i-k_p)^2}{2 \sigma ^2}\right )\!. \end{align} 图10(a)展示了一个具有这种振幅谱的波列的例子，我们选择了$10$个等间距的模式，介于$k_1=1$和$k_{10}=2$ m?1之间，$k_p=1.5$，$A=0.04$，$\sigma =0.18$。聚焦位置被选为$(x_0,t_0)=(0,0)$，聚焦发生在波峰处。根据Blaser等人（参考文献Blaser, Lenain和Pizzo2025）的方法，我们定义（5.3）\begin{align} S = \sum _{n=1}^N a_n k_n \end{align}为线性聚焦波的最大斜率，并用它作为非线性的度量。图10(b,d)中的粒子路径在很多方面与图5中显示的简单双色波群中的路径相似。在流体柱的顶部，一级理论占主导，而在深度处，与高阶理论相关的同相次谐波的效果显然占据了粒子运动的大部分。为了进一步说明这一点，面板(c)和(e)仅显示了波群经过初始位置时粒子位置的水平分量随时间$t$的变化。在面板(c)中，直到$t=-10$秒几乎没有运动，而在深度处，我们观察到在正$x$方向上的稳定前向漂移。在波群的中心下方，正如预期的那样，我们看到向表面的强烈前向漂移（面板c）和深度处的反向（回流）流动（面板e）。这种效果在图11中可以更清楚地看到，它展示了（对于单个粒子）水平运动的深度依赖性。图(a)显示了以波峰为中心（蓝色，实线）和以波谷为中心（红色，点划线）的聚焦高斯波列的（主导阶）自由表面。面板(b)显示了波群经过时粒子的水平位移$\delta x$。Higgins, van den Bremer和Vanneste（参考文献Higgins, van Den Bremer和Vanneste2020）建议，可以通过对时间积分二阶速度$u_2$来计算二级回流的净（长时间）位移（见他们的（2.10）），我们看到（面板b，黑色点划线曲线）这确实与我们在深度处的二阶位移（红色显示）非常吻合。图11. 在以波峰/波谷为中心的波列下指示性的水平漂移$\delta x$。面板(a)显示了一个以波峰为中心（蓝色）和以波谷为中心（红色，点划线）的高斯波群，其中$k_p=2.5$ m?1，$\sigma =0.55$，有10个等间距的模式，介于$k_1=1$和$k_{10}=4$ m?1之间，陡度为$S=0.3$。面板(b)显示了波群经过时粒子的水平（拉格朗日）位移$\delta x$（从$t=-8.7$到$t=8.7$秒）。实线显示了以波峰为中心的波的位移，点划线显示了相应的以波谷为中心的位移。Higgins, van den Bremer和Vanneste（参考文献Higgins, van Den Bremer和Vanneste2020）建议，可以通过积分时间中的二阶速度$u_2$来计算回流的净（长时间）位移（见他们的（2.10））。有趣的是，以波峰为中心和以波谷为中心的情况之间的回流有显著差异，即使是一级理论也显示了以波谷为中心的波的一些回流（点划线曲线）。这样的（局部化）回流并没有被基于线性理论的Stokes漂移近似所捕捉到，无论是简单地基于线性理论还是通过扩展（4.3）来结合二阶效应（5.4）\begin{align} u_S = \underbrace {\sum _j a_j^2 \omega _j k_j e^{2k_j z_0}}_{\text{(I)}} + \underbrace {\sum _{k_i\gt k_j} \frac {\omega _i ^2 a_i^2 a_j^2 (k_i-k_j)^3}{\omega _i-\omega _j} e^{2(k_i-k_j)z_0}}_{\text{(II)}}。实际上，图11中显示的效果高度依赖于相位，并且取决于在群的空间时间演化中位置的选择，而近似公式（5.4）只能基于傅里叶振幅来捕捉平均漂移，而不考虑相位。这与Higgins等人（参考文献Higgins, van Den Bremer和Vanneste2020）对于空间局部化包的理论结果形成了强烈对比。正如我们对单色波和双色波所做的那样，我们可以直接应用二阶和三阶深水理论来计算聚焦波群的拉格朗日表面漂移，使用表面的粒子轨迹映射。这样的计算结果在图12中报告，这是图4和8的对应物。在这种情况下，我们用中心频率$\omega _c=2 \pi$初始化了我们的波群，并使用$N=12$个模式，定义了振幅$a_n=S(Nk_n)^{-1}$，其中频率通过$\omega _n=\omega _c(1+\Delta (n-N/2)/N$选择，带宽$\Delta =0.77$，$k_n$是从线性色散关系得到的波数。这正是Blaser等人（参考文献Blaser, Lenain和Pizzo2025）使用的公式，它允许我们将我们的结果与他们的实验和数值结果进行比较。图12. 使用二阶和三阶理论比较了波群下的表面拉格朗日漂移，如图4和8所示，与Stokes漂移的一阶近似（SD I）进行了比较。无量纲带宽参数 $\Delta = 0.77$ 和陡度 $S$ 从 0 变化到 0.3，以与 Blaser 等人（参考文献 Blaser, Lenain 和 Pizzo2025）的图 3(a) 进行比较。圆圈（$\bullet$）表示他们的完全非线性数值模拟（其中 $\Delta = 0.8$），三角形（$\blacktriangle$）表示平均实验结果。遵循单色波和双色波的趋势，我们注意到在 $z_0=0$ 处评估的最低阶斯托克斯漂移（SD I）将斯托克斯漂移视为每个单独模式漂移的总和（3.9），其值最小。二阶和三阶公式与实验室实验（$\blacktriangle$）和完全非线性模拟（$\bullet$）在相当高的陡度 $S$ 下都有很好的一致性，尽管我们的公式忽略了在数值结果中包含的振幅演变（也请参见附录 C 的讨论）。在这些计算中遇到的另一个问题是我们的波群缺乏联合的时空局部化。这一事实模糊了应该计算“平均”量（如 $u_E$）的尺度，并意味着我们不能总是通过适当的构建波群来数值上强制 $u_E \equiv 0$（见第 4 节的讨论）。因此，虽然可以将通过对粒子路径的积分获得的拉格朗日漂移与计算和实验获得的拉格朗日漂移进行比较（如图 12 所示），但拉格朗日漂移与（事先未知的）斯托克斯漂移之间的差异是一个依赖于平均所取域的欧拉平均流。5.2 随机多色波 随机波是我们通常在海洋中可能找到的波的最接近的数学理想化：一个傅里叶分量的相位与下一个不相关，因此产生的模式虽然偶尔会显示出明显的群结构，但非常不规则。最低阶的随机相位也意味着更高阶的相位之和和差异是随机的，这是由于忽略了与非线性耦合相关的慢速相位相干效应（Andrade 和 Stuhlmeier 参考文献 Andrade 和 Stuhlmeier2023）。在这种情况下，无法明确定义欧拉平均速度所需的平均是不可行的。在最好的情况下，我们可以对足够多的单个波进行平均，期望这样的长时间内的欧拉平均速度会很小。在聚焦的波群表现出局部特征的情况下，例如在表面传播方向的流和在深度的回流之间存在明确的分界——这些特征已经通过 van den Bremer 及其同事使用波包公式得到了很好的描述（van den Bremer 和 Taylor 参考文献 van den Bremer 和 Taylor2016; van den Bremer 和 Breivik 参考文献 van den Bremer 和 Breivik2018; van den Bremer 等人参考文献 van den Bremer, Whittaker, Calvert, Raby 和 Taylor2019; Calvert 等人参考文献 Calvert, Whittaker, Raby, Taylor, Borthwick 和 Van Den Bremer2019），但在随机海中缺乏明显的“群结构”，意味着我们应该预期这些局部效应会被平均掉。优点是我们可以测试（平均而言）斯托克斯漂移公式（5.4）是否适用，因为它显然无法捕捉到围绕群本身的时空局部化流（所有项都是正的）。图 13 显示了从 200 个具有随机相位的非规则海面的实现计算得出的深度下的漂移速度（以较浅的曲线显示）。水平拉格朗日漂移速度是根据图 7 中的速度场使用一阶、二阶和三阶理论计算得出的，并与斯托克斯漂移近似（5.4）（SD I）和（SD I + II）进行比较。图 13 展示了计算 200 个随机海面实现引起的粒子位移的结果。使用高斯振幅谱（5.2），其中 $A=0.05$ 和参数 $k_p=2.5$ m?1 以及 $\sigma =0.7$，但并不是为了在特定位置实现线性聚焦而分配相位，而是为每个实现随机生成这些相位。蓝线代表一阶理论，红线代表二阶理论，黄线代表三阶理论，其中突出的较深曲线代表给定阶的所有实现的平均值。在每种情况下，积分大约持续 80 个峰值周期，这足以清晰地区分粒子漂移。由于自由波成分，在 $z=1.25$ m 的深度，大部分运动都被过滤掉了。线性理论给出的位移范围非常狭窄，红色实现几乎不偏离平均值，并且与线性斯托克斯漂移（SD I）非常吻合。在某些实现中，二阶和三阶位移相当大，这取决于涉及的相位关系。然而，正如预期的那样，对于随机波，任何深度都没有系统的回流，因为这样的（时空）局部化流动被平均掉了，从而产生了我们在图 13 中观察到的净向前漂移。此外，所有理论都从上方随着深度的增加而趋于零，显示出我们迄今为止观察到的相同顺序：线性理论预测的漂移最小，其次是二阶和三阶。修正（II）在（5.4）中被发现比仅使用经典的斯托克斯漂移项（I）有所改进。5.3 参数波谱 前几节的比较基于在不同阶次上的显式计算，支持在计算整个水柱中的斯托克斯漂移时包含四次差分谐波项。在缺乏关于开阔海洋中欧拉流的信息的情况下，斯托克斯漂移是可以直接从波场估计的拉格朗日漂移的组成部分。正如我们所看到的，差分谐波成分提供了这个斯托克斯漂移的有用近似。对于海洋科学和工程中的许多应用来说，用能量谱而不是振幅谱来呈现这样的结果，并探索其对一些常见参数谱形状的后果是有利的。对于连续波数谱 $E(k)$，我们将其与模态振幅 ${a_n^2}/{2} =: E_n = E(k) \,{\rm d}k$ 相关联，其中均匀的网格间距 ${\rm d}k$ 假设趋于零。在这个假设下，将离散的多色斯托克斯漂移（5.4）与二阶贡献重写为（5.5）是直接的 \begin{align} u_S = 2 \int _0^\infty E(k) \omega (k) k e^{2kz} \,{\rm d}k + 4 \int _0^\infty \int _{k'}^\infty \frac {\omega ^2(k) E(k) E(k') (k-k')^3}{\omega (k)-\omega (k')} e^{2(k-k')z} \,{\rm d}k \,{\rm d}k', \end{align}，其中第一项与 Kenyon（参考文献 Kenyon1969）发现的结果相同，第二项来自于在深水中的二阶项的包含。许多关键讨论都集中在高频截止对表面附近斯托克斯漂移的关键作用上，包括 Breivik、Janssen 和 Bidlot（参考文献 Breivik, Janssen 和 Bidlot2014）以及 Clarke 和 Van Gorder（参考文献 Clarke 和 Van Gorder2018）和 Lenain 和 Pizzo（参考文献 Lenain 和 Pizzo2020）的更近期工作。正如 Clarke 和 van Gorder（参考文献 Clarke 和 Van Gorder2018）指出的，如果斯托克斯漂移用频率 $u_S \sim \int E(\omega ) \omega ^3 \,{\rm d} \omega$ 重新表示，并且谱的高频尾部是这样的 $E(\omega )\sim \omega ^{-n}$，那么对于 $n\leq 4$，我们有一个发散的表达式。他们提出的解决方案，引入一个波打频作为光谱斯托克斯漂移计算的上限，被 Lenain 和 Pizzo（参考文献 Lenain 和 Pizzo2020）认为对于次表面斯托克斯漂移是合理的，但对于后续的计算，我们将使用 Lenain 和 Melville（参考文献 Lenain 和 Melville2017）建议的最大波数 $k_M$，并且被 Lenain 和 Pizzo（参考文献 Lenain 和 Pizzo2020）采用。作为第一个比较，我们考虑了平衡范围内风生成的波的 Phillips 谱，用弧频率表示为（5.6）\begin{align} E(\omega ) = \begin{cases} \alpha g^2 \omega ^{-5} &\text{ 对于 } \omega \gt \omega _p,\\ 0 &\text{ 对于 } \omega \leq \omega _p, \end{cases} \end{align}，其中我们取 $\alpha =0.0083$，如 Breivik 等人（参考文献 Breivik, Janssen 和 Bidlot2014）所采用的。我们将峰值频率 $\omega _p$ 与摩擦速度 $u_*$（见 Holthuijsen 参考文献 Holthuijsen2007）相关联，以确定 $k_M$，并在图 14 中展示结果。图 14. 比较了具有 $T_p=10$ s 的 Phillips 谱的斯托克斯漂移公式。面板（a）比较了表面附近的斯托克斯漂移，直到峰值波数的 e-折叠深度（$k_p=0.04$ m?1）。面板（b）比较了一个峰值波长以下深度的斯托克斯漂移公式。面板（a）使用（5.5）中的第一项（SD I）或同一方程中的两项（SD I + II）显示了表面附近的斯托克斯漂移。两者之间的差异是显著的，但强烈依赖于高频截止 $k_M$ 的选择。这与 Lenain 和 Pizzo（参考文献 Lenain 和 Pizzo2020）的非常相关的讨论一致（在那里，他们报告由于未能考虑高频而低估了斯托克斯漂移高达 50%，但他们没有考虑差分谐波的效应）。这种差异在我们深入流体时仍然存在，在面板（b）中，一个峰值波长以下深度的明显差异约为 1%。定义斯托克斯输运 $V_S$ 为（5.7）\begin{align} V_S = \int _{-\infty }^0 u_S(z) \,{\rm d}z, \end{align}，我们发现总斯托克斯输运变化了近 9%。如果我们只计算峰值频率的 $e$-折叠深度以下的斯托克斯输运，我们仍然观察到由于包含差分谐波项（II）而大约有 2% 的变化。Phillips 谱仅描述了高频尾部，因此考虑更现实的参数谱是有趣的：接下来我们考虑一个 Pierson–Moskowitz（PM）谱，对应于在无限 fetch 下恒定风速下的完全发展的海。图 15 中显示的情况对应于风速 $U_{10}=10$ m s?1（相应的 $U_{19.5}\approx 1.026 U_{10}$）和峰值频率 $f_p$ 为 0.17 Hz。蓝线显示了 Kenyon（参考文献 Kenyon1969）的公式（对应于（5.5）中的第一项，标记为 SD I），红线显示了（5.5）中的两项（标记为 SD I + II）。作为参考，我们注意到从 $k_M$ 获得的高频截止 $f_M$ 是 6.3 $f_p$。我们还注意到，可以切断低频并从 $k_p$ 开始计算（5.5）中的外部积分，而不会实质性影响结果，正如 Breivik 等人（参考文献 Breivik, Bidlot 和 Janssen2016）和 Lenain 和 Pizzo（参考文献 Lenain 和 Pizzo2020）所建议的。图 15. 比较了具有 $U_{10}=10$ m s?1 的 PM 谱的斯托克斯漂移公式。面板（a）比较了表面附近的斯托克斯漂移，直到峰值波数的 $e$-折叠深度（$k_p=0.1$ m?1）。面板（b）比较了一个峰值波长以下深度的斯托克斯漂移公式。公式之间的差异在表面和深度都非常明显。在表面，当我们考虑差分谐波项时，我们发现表面漂移增加了超过 40%，在峰值波数的 $e$-折叠深度的一半时减少到略少于 2%。有趣的是，在更大的深度，如面板（b）所示，差异更加明显，这突出了两种公式在超过一个峰值波长的深度处的不同渐近性。我们发现，在（5.5）中保留两项会导致斯托克斯输运增加了近 3.3%，对于 $U_{10}=10$ m s?1。这种差异的主要部分来自近表面输运，而峰值 $e$-折叠深度以下的输运仅占 0.1%。对于 JONSWAP 谱形状，也可以进行相同的分析，结果与图 15 中发现的结果非常相似。我们还可以比较（5.5）中的其他谱形状的斯托克斯漂移公式，例如 Ochi 和 Hubble（参考文献 Ochi 和 Hubble1976）描述的涌浪谱。在图 16 中，我们展示了最可能的 Ochi–Hubble 形状，对应于显著波高 $H_s=3$ m 和两个斯托克斯漂移计算。当包含次谐波项（II）时，表面漂移的变化超过了20%，而整个水柱中的斯托克斯输运$V_S$略微增加了1%以上。图16显示了对于$H_s=3$米的Ochi-Hubble谱，不同斯托克斯漂移公式的比较。图(a)展示了波数$k$函数的光谱形状，而图(b)和(c)分别比较了使用(5.5)的第一项（SD I）和两项（SD I + II）的情况。6. 讨论与结论 近年来，波诱导的颗粒漂移问题引起了越来越多的关注，尤其是在海洋污染传输方面。然而，对相关流体动力学的探索并不广泛。值得注意的例外是van den Bremer和Taylor的最新文章（参考文献van den Bremer和Taylor2016）以及van den Bremer等人的后续研究（参考文献van den Bremer, Whittaker, Calvert, Raby和Taylor2019），这些研究将关注重点放在了与局部波群相关的传输问题上，并进行了二阶分析。我们的目标是通过使用一阶、二阶和三阶理论，系统地探索颗粒在周期波中的漂移情况，从单色波逐渐过渡到随机海况。单色波或前进的斯托克斯波已经被广泛研究，因此它们可以作为任何非线性波动理论发展的有用测试案例。这些波使我们能够与表面的精确解（参考文献Longuet-Higgins1987）以及在欧拉（Zhao和Liu2022）和拉格朗日（Clamond2007）变量中的高阶近似解进行比较。此外，这些波可以通过指定波高、周期以及欧拉流（Fenton1990）来轻松且唯一地定义，这意味着可以直接比较不同阶数的近似波。在没有欧拉流的情况下，这种波的欧拉平均流在$z=0$及以上处消失，因此拉格朗日平均速度等于斯托克斯漂移。使用线性波动理论的经典公式来近似斯托克斯漂移显示，这种方法非常准确，至少与其他无粘性、无旋的理论结果相比是这样。然而，对于陡度较大的波，从线性波动理论得到的斯托克斯漂移公式倾向于低估表面的漂移并高估深层处的漂移。在这种情况下，我们发现Longuet-Higgins（参考文献Longuet-Higgins1987）给出的拉格朗日表面漂移的精确结果，以及Blaser等人（参考文献Blaser, Lenain和Pizzo2025）在拉格朗日变量中得到的四阶、深度依赖的结果，可以通过使用更高阶解来求解粒子轨迹映射得到的拉格朗日漂移来接近。为了理解开阔海域更复杂的波（和波群）模式，我们随后研究了由两个傅里叶谐波生成的双色波相关的非稳态流动。不幸的是，关于双色波的实验非常少，现有的结果（如Westhuis、Groesen和Huijsmans（参考文献Westhuis, Groesen和Huijsmans2001）的研究）主要关注自由表面的升高和不稳定性的发展，而不是诱导流动。其他关于双色波中水平速度的比较（Stansberg、Gudmestad和Haver（参考文献Stansberg, Gudmestad和Haver2008）仅依赖于数值模拟。问题还在于双色波本身并不容易定义，因为包含更高阶效应会导致模式之间的相位移动。这使得不同理论之间的比较充满困难，尽管双色波列是三阶水波问题的精确解（Mei等人参考文献Mei, Stiassnie和Yue2018），但文献中似乎没有可用的精确数值解和相关的运动学描述。尽管如此，我们的研究仍能对双色波引起的流动提供一些见解。众所周知，水柱像一个过滤器，首先抑制最高频率，并随着深度的增加过滤掉越来越低的频率。因此，单色波的颗粒运动通常被认为在表面下半波长以下可以忽略不计。正是这种对线性自由波成分的过滤效应，导致拉格朗日理论中双色波的漂移显著减少。然而，非线性引入了更长的束缚波，在深度处变得占主导地位，这一点在Longuet-Higgins和Stewart（参考文献Longuet-Higgins和Stewart1964）的开创性工作中得到了确认。在波群的中心下方，我们发现这些束缚波可以诱导出与波传播方向相反的显著的空间局部流动。然而，当平均到双色波的周期时，更高阶项的总体效果是增加波传播方向的漂移，与线性理论相反。三阶贡献导致了额外的束缚波，但也导致了色散修正，这倾向于略微减缓漂移。在双色波的情况下，二阶的势包括新的差异谐波，与单色波的势不同，后者在了一阶和二阶时是相同的。这为使用泰勒级数展开中的二阶势来更新斯托克斯漂移公式提供了动力。这个新项，捕捉了二阶差异谐波的斯托克斯漂移，可以根据涉及的波数对深度依赖的漂移做出实质性贡献。当简单地在二阶或三阶理论中积分粒子轨迹ODEs时，以及使用Blaser等人（参考文献Blaser, Lenain和Pizzo2025）提出的四阶拉格朗日漂移时，也可以捕捉到这种贡献。这证实了通过包含差异谐波来修改斯托克斯漂移公式是有用的，但重要的是要假设所有模式（包括次谐波）都在深水中（稍后讨论）。同样重要的是要强调，新的差异谐波斯托克斯漂移项本身无法直接观察：它是对斯托克斯漂移的近似，与任何欧拉平均速度一起构成了拉格朗日平均速度。实际上，正是后者负责颗粒的运动，直接测量斯托克斯漂移（例如在实验室中）需要同时知道欧拉速度和拉格朗日速度。具有两个以上基本谐波的波在最低阶时变得越来越复杂——从代数角度推导解析理论时如此，从实际描述各种参数范围的角度来看也是如此。与双色波类似，对于聚焦的波群，我们在深度处看到了与波传播方向相反的强烈局部位移，但发现平均漂移（在波群的有限周期内）仍然是正的，对于包含次谐波效应的非线性理论，其值略大。我们的工作与van den Bremer及其同事（参考文献van den Bremer和Taylor2016；van den Bremer等人参考文献van den Bremer, Whittaker, Calvert, Raby和Taylor2019；Higgins等人参考文献Higgins, van Den Bremer和Vanneste2020）报告的结果之间的一个重要区别是，我们考虑的波群是周期性的，而不是局部的。这导致了围绕平均拉格朗日漂移的定性不同结论。特别是对于这些周期性情况，我们发现（当适当平均一个周期，或者在随机波场的情况下，适当长的时间）整个水柱中的净拉格朗日漂移方向与波传播方向一致，与使用局部波群时在过渡深度以下发现的净位移相反，后者随着$x-c_g t \rightarrow \pm \infty$（其中$c_g$为群速度）趋于零。我们进一步探讨了通过包含差分谐波项来扩展Kenyon（参考文献Kenyon1969）的通用公式的后果，发现了几种参数光谱形状的表面斯托克斯漂移和斯托克斯输运发生了显著变化。这些变化强烈依赖于高频率的解析（参见Lenain和Pizzo参考文献Lenain和Pizzo2020），并且很有趣地看到这些效应是否可以在实际实验或适当的 ensemble-averaged flume实验中看到，或者通过适当的蒙特卡洛模拟来恢复。在整个过程中，我们的目标是提供与非线性势流中波相关的漂移的系统和透明的阐述。为此，我们做了许多简化。其中值得注意的是忽略了自由表面的粘性效应，这已经为人所知，因为Longuet-Higgins（参考文献Longuet-Higgins1953）的工作表明它起着重要作用。我们同样忽略了方向效应。尽管我们的方法可以不经修改地适应以包括波的方向传播，但这样做会增加额外的复杂性。然而，与真实海况相比时，方向传播是关键的，值得跟随Higgins等人（参考文献Higgins, van Den Bremer和Vanneste2020）的最新工作来探索这些效应。最后，也是最重要的一点是，我们依赖于无限水深的简化。这使我们能够提出许多简单且紧凑的公式，这些公式在现有文献中很难找到，并有助于清晰地呈现结果。然而，重要的是要注意，即使自由波不感觉到底部，长的束缚波也可能“感觉到底部”，因此包含有限深度是至关重要的。实际上，有限深度效应也会显著影响单色波的颗粒漂移，这是从Longuet-Higgins（参考文献Longuet-Higgins1953）的工作到现在（Grue和Kolaas参考文献Grue和Kolaas2017）一直在研究的主题。我们打算在后续工作中处理有限深度的波。还有许多其他值得关注的案例。可以认为，继斯托克斯波之后，下一个最复杂的——并且已经是不稳定的——解决方案是驻波。虽然在欧拉（Schwartz和Whitney参考文献Schwartz和Whitney1981；Bryant和Stiassnie参考文献Bryant和Stiassnie1994）和拉格朗日（Chen和Hsu参考文献Chen和Hsu2009）变量中有一些高阶解，但该理论远不如周期性前进波的完整。系统地探索各种阶数的驻波运动学，与这里为前进波建议的类似，将是未来工作的一个有趣领域。由于我们假设所有模式的无限水深和欧拉平均流的消失，因此很难与在封闭水槽中获得的实验结果进行比较，在那里欧拉平均流通常是深度依赖的，因此是非旋转的。这样的剪切流和斯托克斯漂移的作用最近也与修改后的非线性薛定谔方程相关联（Li和Chabchoub参考文献Li和Chabchoub2024）进行了研究。我们的方法可以很容易地适应以包括均匀流，从而能够比较更高阶的欧拉和拉格朗日运动学（后者由Chen, Hsu和Hwung参考文献Chen, Hsu和Hwung2012推导）。欧拉平均流是否可能产生，特别是在与振幅演变相关的情况下或在更高阶时，因此是否会改变本手稿中讨论的一些结果，是另一个有趣的问题，值得进一步研究。包括剪切流的可能性也为未来带来了挑战。在欧拉变量中，弱非线性理论通常使用泰勒展开将边界条件转移到半空间（因此将流体域限制在$z\leq 0$），这带来了不幸的后果。这导致了一大批旨在评估波峰和波谷之间表面区域运动学的文献，从Wheeler（参考文献Wheeler1970）的拉伸方法开始，一直持续到今天。例如，Stansberg等人（参考文献Stansberg, Gudmestad和Haver2008）或Johannessen（参考文献Johannessen2010）最近对这些方法进行了比较。我们尚未解决在欧拉变量中识别波峰和波谷之间的运动学问题，但我们尝试了一致地、逐阶地探索了各种波。在考虑到上述所有注意事项的基础上，重要的是要指出，像WAVEWATCH III这样的操作模型中采用的漂流公式是最简单的无限深度Stokes漂流公式（参见Li等人2016年的研究）。这表明我们仍然需要更好地理解这一公式及其所包含的简化，并探讨如何对其进行进一步的改进。我们希望当前的工作能在这一方向上迈出一个小步伐。

致谢：作者想要感谢三位匿名审稿人提供的批评性和有洞察力的反馈以及众多的意见，这些都显著地提升了本文的质量。同时，作者也非常感谢Nicholas Pizzo教授的有益讨论。最后，作者还要感谢维也纳大学数学系的热情款待。

利益声明：作者声明没有利益冲突。

附件A：关于Stokes展开的非唯一性
与Stokes波相关的扰动展开在教科书中通常按照一系列步骤来描述。实际上，其中有许多选择，包括是否在势能中加入$x$或$t$的线性项，以及如何处理展开式中出现的常数。关于这些选择的一些有益讨论可以在Svendsen的教科书中找到（参见Svendsen 2005年，第8章）。这里我们想指出一个较少被关注的非唯一性方面（尽管可以参考Janssen 2009年的评论，附件A）。对于选定的线性波振幅，Stokes展开是非唯一的，这就需要明确指定势能。例如，以下三组三阶解具有相同的线性振幅$a$：
(A1a)
\begin{align}
\phi (\xi, z) &= \frac {ag}{\omega } e^{kz} \sin (\xi ) \\
[-12pt] \nonumber
\end{align}
(A1b)
\begin{align}
\zeta (\xi ) &= a \left ( 1+ \frac {a^2 k^2}{8} \right ) \cos (\xi ) + \frac {a^2 k}{2} \cos (2\xi ) + \frac {3}{8} a^3 k^2 \cos (3\xi ) \\
[9pt] \nonumber
\end{align}
和
(A2a)
\begin{align}
\phi (\xi, z) &= \frac {ag}{\omega } \left (1-\frac {a^2 k^2}{4}\right ) e^{kz} \sin (\xi ) \\
[-12pt] \nonumber
\end{align}
(A2b)
\begin{align}
\zeta (\xi ) &= a \left ( 1- \frac {a^2 k^2}{8} \right ) \cos (\xi ) + \frac {a^2 k}{2} \cos (2\xi ) + \frac {3}{8} a^3 k^2 \cos (3\xi ) \\
[9pt] \nonumber
\end{align}
前者(A1a)-(A1b)是由Wehausen和Laitone在1960年（参考文献Wehausen and Laitone 1960, (27.25)）提出的，当三阶势能设为零时自然会出现这种情况。然而，在每个阶数上，拉普拉斯方程的解都允许添加形式为$\sin (\xi )$的首谐波项。后者(A2a)-(A2b)是从Zakharov公式得出的自然形式（也参见Janssen 2009年的参考文献，(A.16)；Gao等人2021年的参考文献，(6.7c)）。这种扰动展开的灵活性解释了Zhang和Chen在1999年（参考文献Zhang and Chen 1999）在匹配这些解时发现的看似矛盾的现象。在处理单色波时，需要注意，当考虑固定高度的波时，必须调整(A1a)-(A1b)和(A2a)-(A2b)解。根据这些公式，波的高度定义为$H=\zeta (0)-\zeta (\pi /2)$，它与线性振幅$a$的关系可以通过以下公式表示：
(A3)
\begin{align}
H_1 = 2a + a^3 k^2, \quad H_2 = 2a + \frac {1}{2}a^3 k^2,
\end{align}
其中下标1指的是(A1a)-(A1b)，下标2指的是(A2a)-(A2b)。对于给定的高度，这些表达式可以通过迭代反推得到(A4)：
\begin{align}
a = \frac {1}{2}H_1 - \frac {1}{16}H_1^3 k^2 + \frac {3}{128}k^4 H_1^5 - \cdots = \frac {1}{2}H_2 - \frac {1}{32}H_2^3 k^2 + \frac {3}{512}k^4 H_2^5 - \cdots .
\end{align}
将这个结果代入到三阶解中，可以恢复出例如Fenton（参考文献Fenton 1990）找到的关于$H$的系数。

附件B：更高阶势能的系数
这里我们提供了§2.3中提到的二阶和三阶势能贡献的系数。其中出现的核函数$A^{(i)}, \, B^{(i)}$遵循Krasitskii（参考文献Krasitskii 1994）的用法。
二阶系数为：
(B1)
\begin{align}
\mathcal{C}^{(2)}_{i+j} &= \frac {1}{\pi } \sqrt {\frac {g}{2 \omega _{i+j}}} \left ( A^{(1)}_{i+j,i,j} - A^{(3)}_{-i-j,i,j} \right ) - \frac {1}{4 \pi ^2} \sqrt {\frac {\omega _i}{\omega _j}}|k_j|, \\
[-12pt] \nonumber
\end{align}
(B2)
\begin{align}
\mathcal{C}^{(2)}_{i-j} &= -\frac {1}{\pi } \sqrt {\frac {g}{2 \omega _{i-j}}} A^{(2)}_{j-i,i,j} + \frac {1}{4 \pi ^2} \sqrt {\frac {\omega _i}{\omega _j}}|k_j|. \\
[9pt] \nonumber
\end{align}
三阶系数为：
(B3)
\begin{align}
\mathcal{C}^{(3)}_{i+j+k} &= \frac {1}{\pi } \sqrt {\frac {g}{2 \omega _{i+j+k}}} \left [ B^{(1)}_{i+j+k,i,j,k} - B^{(4)}_{-i-j-k,i,j,k} \right ] \\
&\quad - \frac {1}{4 \pi ^2} \left [ \sqrt {\frac {\omega _k}{\omega _{i+j}}} |k_i+k_j| \left ( A^{(1)}_{i+j,i,j} - A^{(3)}_{-i-j,i,j} \right ) \right. \\
&\quad \left . + \sqrt {\frac {\omega _{i+j}}{\omega _k}} |k_k| \left ( A^{(1)}_{i+j,i,j} + A^{(3)}_{-i-j,i,j} \right ) \right ] \\
&\quad - \frac {1}{32 \pi ^3} \sqrt {\frac {2 \omega _j \omega _k}{g \omega _i}} \left [ |k_i| \left ( |k_i| - |k_i+k_j| - |k_i+k_k| \right ) \right ], \\
[-12pt] \nonumber
\end{align}
(B4)
\begin{align}
\mathcal{C}^{(3)}_{i-j-k} &= -\frac {1}{\pi } \sqrt {\frac {g}{2 \omega _{i-j-k}}} B^{(2)}_{j+k-i,i,j,k} + \frac {1}{4 \pi ^2} A^{(2)}_{j-i,i,j} \left [ \sqrt {\frac {\omega _{j-i}}{\omega _k}} |k_k| + \sqrt {\frac {\omega _k}{\omega _j-i}}}|k_i - k_j| \right ] \\
&\quad - \frac {1}{32 \pi ^3} \sqrt {\frac {2 \omega _j \omega _k}{g \omega _i}} \left [ |k_i| \left ( |k_i| - |k_i-k_j| - |k_i-k_k| \right ) \right ], \\
[-12pt] \nonumber
\end{align}
(B5)
\begin{align}
\mathcal{C}^{(3)}_{i+j-k} &= - \frac {1}{\pi } \sqrt {\frac {g}{2 \omega _{i+j-k}}} B^{(3)}_{k-i-j,i,j,k} - \frac {1}{4 \pi ^2} \left [ \sqrt {\frac {\omega _k}{\omega _i+j}}}|k_i+k_j| \left ( A^{(1)}_{i+j,i,j} - A^{(3)}_{-i-j,i,j} \right ) \right. \\
&\quad \left . - \sqrt {\frac {\omega _{i+j}}{\omega _k}} |k_k| \left ( A^{(1)}_{i+j,i,j} - A^{(3)}_{-i-j,i,j} \right ) \right ] \\
&\quad + \frac {1}{32 \pi ^3} \sqrt {\frac {2 \omega _j \omega _k}{g \omega _i}} \left [ |k_i| \left ( |k_i| - |k_i+k_j| - |k_i-k_k| \right ) \right ], \\
[-12pt] \nonumber
\end{align}
(B6)
\begin{align}
\mathcal{C}^{(3)}_{i-j+k} &= - \frac {1}{4 \pi ^2} A^{(2)}_{j-i,i,j} \left [ \sqrt {\frac {\omega _{j-i}}{\omega _k}} |k_k| - \sqrt {\frac {\omega _k}{\omega _j-i}}} |k_i - k_j| \right ] \\
&\quad - \frac {1}{32 \pi ^3} \sqrt {\frac {2 \omega _j \omega _k}{g \omega _i}} \left [ |k_i| \left ( |k_i| - |k_i-k_j| - |k_i+k_k| \right ) \right ]. \\
[9pt] \nonumber
\end{align}

图17：具有和不具有时间演化的调制不稳定简并四波的粒子路径比较。图(a)显示了载波波$k_a$（600秒）大约300个周期$T_a$内的复振幅演化。图(b)显示了相应的自由表面，展示了调制的增长和衰减。图(c)显示了一个最初位于$(x_0,z_0)=(0,-0.4)$的粒子在10个$T_a$内的位置，分别展示了有（蓝色）和无（红色）振幅演化的情况。图(d)显示了傅里叶振幅$|B_i|$的相应演化，其中初始振幅用红色表示，$t=10 T_a$后的振幅用蓝色表示。这个$10T_a$的周期也在图(a)中展示（黑色曲线的起点大约在$t=250$秒，起点和终点用$\circ$标记）。图(e)和图(f)与图(c)和图(d)类似，但捕捉了能量从侧带向载波的转移。如前所述，使用了简写符号$\omega _{i\pm j}$来表示$\omega (k_i \pm k_j) = \sqrt {g |k_i \pm k_j}|$，以及对$\omega _{i\pm j \pm k}$的类似表示。

附件C：振幅演化对粒子运动学的影响
在§2.2中，我们认为在计算粒子轨迹和相关漂流时忽略傅里叶振幅的演化是合适的。这是基于缓慢的振幅演化（发生在$O(\epsilon ^2)$的时间尺度上）与快速粒子运动（其时间尺度原则上是$O(1)$，即与波周期成正比）之间的尺度分离。正如我们所见，单个粒子的运动取决于波的相位，因此对拉格朗日漂流的单一估计在某种意义上只是一个平均值。我们的方法论通过使用一阶、二阶和三阶理论来计算单色波（图3）、双色波（图7）和多色波（图13）的粒子水平漂流就证明了这一点。我们在图17中通过一个极端示例来探讨振幅演化的影响，该示例考虑了一个调制不稳定的波，其$k_a=1$ m?1和（线性）陡度$\epsilon _a=0.15$，以及两个最初很小的扰动$k_b=k_a+p$和$k_c=k_a-p$，其中$p=0.15$。为了清晰起见，我们的比较排除了二阶和三阶束缚模式（见§2.3），仅关注振幅演化的影响。在初始时间$t=0$，自由表面基本上是单色的（图17 b），几乎所有的能量都是载波波$|B_a|$。随后，不稳定性导致能量在载波和侧带$|B_b|$和$|B_c|$之间交换，这可以通过解Zakharov方程（2.9）来捕捉，并在图17(a)中展示。注意，能量交换的特征时间$T_a/\epsilon _a^2 \sim 90$秒，其中$T_a$是载波周期。图17的图(c)显示了一个初始深度为$z_0=-0.4$米的粒子的轨迹。该粒子从时间$t\approx 250$秒开始被跟踪10个$T_a$——在图(a)的左侧用黑色曲线表示。这里的振幅演化使得能量从载波转移到侧带，直到傅里叶振幅达到平衡。能量交换在图(d)中捕获，其中初始傅里叶振幅用红色显示（载波大于侧带），10个$T_a$后的最终傅里叶振幅用蓝色显示。在图(c)中，我们使用仅初始振幅（红色曲线）和图(a)中的时变振幅演化（蓝色曲线）来计算粒子轨迹。图(e)显示了振幅偏离平衡的相应演化，即从$|B_a|=|B_b|=|B_c|$开始，如图(f)所示，并沿着图(a)中的黑色曲线跟踪10个$T_a$。如前所述，这是一个极端情况，其特征是谱非常窄，从单色波到强烈调制的波列的谱演化非常显著（见图b）。然而，在单个载波周期$T_a$内，振幅演化基本上可以忽略不计，即使在$10 T_a$的时间尺度上也不显著。此外，由于振幅演化而导致的粒子路径的任何变化都取决于粒子的相位位置以及我们处于能量交换周期的哪个阶段。在图18中，我们考虑了一种较为温和的非线性相互作用（尽管仍然足够有趣），其中允许一个高斯谱（$k_p=2.5$ m?1，$\sigma =0.2$ m?1和$A=0.04$ m，根据（5.2））由10个傅里叶模式组成，最大初始斜率$S=0.15$，根据立方Zakharov方程（2.9）演化。模式之间的能量交换导致自由表面包结构的变化（见图a），由于谱拓宽，如图(e)所示，该演化大约持续了$100 T_p$。

图18：具有恒定（红色）和演化（蓝色）高斯振幅谱的粒子轨迹和漂流，其中$k_p=2.5$ m?1。初始谱（图e，$t=0$）的最大斜率为$S=0.15$，根据Zakharov方程演化，导致谱拓宽和能量交换（图e）。因此，自由表面结构发生了变化（图a）。图(b)和(c)分别显示了在$t=0$秒和$t=70$秒开始的10个峰值周期内，低于波谷水平（$z_0=-0.4$米）的粒子轨迹。图(d)显示了平均在20个峰值波长上的深度依赖的拉格朗日漂流，其中最低阶Stokes漂流公式（SD I）用黄色圆圈表示。图18的(b)和(c)面板展示了从$t=0$秒和$t=70$秒开始的10个峰周期内粒子路径的演化过程。与图17类似，蓝色曲线表示由Zakharov方程捕捉到的振幅演变情况，而红色曲线则使用了恒定的初始振幅。由于频谱变化较为缓慢，在$t=0$秒附近，两个面板中的粒子路径几乎没有差异（见(b)面板）。然而，随着时间的推移，波场明显发生变化，粒子路径也就不再可能完全一致了。尽管如此，当我们对20个峰波长范围内的粒子轨迹漂移进行平均处理后，我们发现振幅演化的拉格朗日漂移结果与(c)面板中展示的恒定振幅情况下的结果非常吻合。实际上，由于排除了束缚模式，我们发现拉格朗日漂移与公式(5.4)中的线性Stokes漂移公式项(I)非常接近——这一结果在(c)面板中用黄色圆圈标出。Blaser等人（参考文献Blaser, Lenain和Pizzo2025）的最新研究使用全非线性势流求解器，研究了在色散聚焦和振幅演化共同作用下的波包的Stokes漂移现象。本附录的重点与他们的研究有所不同，因为我们并未聚焦于一个孤立的波包，也没有考察整个波包的传输过程；尽管如此，像这里开发的这种简单的立方非线性理论在多大程度上能够解释他们数值模拟中的一些结果，仍然是一个值得未来进一步研究的有趣问题。