基于磁矩的回旋动力学等离子体模型中的热电子闭合机制

《Journal of Plasma Physics》：The hot-electron closure of the moment-based gyrokinetic plasma model

　　摘要 我们推导了用于求解旋转动力学方程的热电子极限（HEL）闭合公式，即所谓的回转矩（GM）方法。通过在小的离子-电子温度比极限$\tau \ll 1$下展开旋转平均核，并仅保留本质的$\mathcal{O}(\tau )$项，我们得到了密度、平行速度以及平行和垂直温度的封闭系统。在Z箍缩几何结构中，具有HEL闭合的GM系统与Ivanov等人（2022年《J. Plasma Phys.》，第88卷，第5期，页905880506）开发的系统在数学上是等价的。数值基准测试验证了闭合公式的准确性，再现了已建立的线性增长率、非线性热传输和低碰撞动力学特性。将GM模型扩展到与托卡马克相关的$s{-}\alpha$几何结构，并与旋转动力学模拟进行比较，揭示了HEL闭合GM模型的能力和局限性：尽管在$\tau =1$时传输水平和时间动力学得到定性保留，但缺乏高阶动能矩导致无法准确预测Dimits位移和传输抑制现象。

1. 引言 对磁化聚变等离子体中湍流传输的预测性理解在很大程度上依赖于第一性原理旋转动力学（GK）模拟，其五维相空间分辨率在计算上非常耗时。这种计算成本限制了我们对聚变设备参数空间的快速探索，最终阻碍了其发展。基于矩的GK模型公式（参考Jorge, Ricci和Loureiro 2017；Mandell, Dorland和Landreman 2018；Frei等人2020，以及Frei, Ulbl, Trilaksono和Jenko 2025）将速度空间依赖性转化为一系列耦合的Hermite-Laguerre矩，我们将其称为回转矩（GMs）。实际上，模拟和理论结果表明，通常只需要比网格点少得多的矩就能达到相当的准确性（参考Frei, Hoffmann和Ricci 2022；Hoffmann等人2023b；Frei等人2025）。由于每个矩的演化方程都与高阶矩相关联，这是相位混合和有限拉莫半径效应的结果（参考Grant和Feix 1967；Jorge等人2017），因此需要闭合公式。在等离子体湍流研究中，矩层次结构的闭合方案有着悠久的历史。早期的旋转流体模型闭合公式（参考Hammett和Perkins 1990；Dorland和Hammett 1993；Snyder, Hammett和Dorland 1997；Waltz等人1997），尽管在线性增长率和朗道阻尼方面与完整的GK模拟非常接近，但往往难以准确捕捉非线性湍流饱和水平和纬向流（ZF）动态（参考Dimits 2000）。最近，一种简单的截断闭合方法，即将对某一截止值以上的所有矩设置为零，已经显示出非常好的吻合度，前提是保留的矩的数量足够多（参考Frei, Hoffmann, Ricci, Brunner和Tecchioll 2023；Hoffmann等人2023a）。然而，当保留的矩数量与旋转流体模型相当时，这种截断会破坏守恒性质，导致传输预测错误。同时，受到大涡模拟技术启发的方法已在GK中得到探索，通过截断和/或选择性抑制高阶矩来降低计算成本，同时保持物理真实性（参考Morel等人2011；Ba?ón等人2014）。尽管取得了这些进展，但仍然需要一个有效且系统合理的闭合公式，以便在仅保留较少GMs的情况下保持非线性调节机制，从而最小化计算成本，这仍然是本文的研究动机。渐近极限提供了一种可能的途径来为GM模型制定闭合公式。应用热电子极限（HEL），即考虑离子-电子温度比$\tau \ll 1$，到局部$\delta f$ GK系统（参考Beer, Cowley和Hammett 1995），并在需要保留主要动力学耦合的地方仅保留$\mathcal{O}(\tau )$修正，从而得到了Ivanov等人（参考Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra 2020；Ivanov, Schekochihin和Dorland 2022）推导出的密度、平行速度和平行温度的三场流体模型。我们将该模型称为Ivanov模型，该模型被证明能够成功再现Z箍缩几何结构中的Dimits位移和ZF特征（具有绝热电子）。尽管在简化的几何结构中取得了这些有希望的结果，但据我们所知，Ivanov模型尚未系统地与GK模拟进行基准测试，其有效性和适用范围仍不确定。这需要进一步研究HEL闭合，例如， чтобы了解Ivanov模型是否在相同的排序下出现在GM层次结构中，以及GK代码是否可以使用适当小的$\tau$参数再现HEL结果。此外，将闭合公式应用于托卡马克几何结构并与有限$\tau$ GK结果进行比较仍然是未解决的问题。在本文中，我们通过适当的$\tau$展开推导了GM模型的HEL。得到了一组流体方程（密度、平行速度、平行温度和垂直温度）。我们从理论上证明了该模型在Z箍缩几何结构中与Ivanov模型的等价性，并通过数值模拟确认了GM层次结构产生了一个封闭的四矩系统，该系统在小$\tau$范围内能够很好地再现Ivanov模型的线性和非线性结果。特别是，我们的数值研究对线性Z箍缩离子温度梯度（ITG）增长率的收敛性与先前的结果进行了基准测试（参考Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra 2020；Ivanov, Schekochihin和Dorland 2022）。非线性模拟准确地恢复了热通量水平，并在低碰撞率下再现了爆发现象或爆炸行为，捕捉到了ZF增强减弱的转变，这一点也得到了Ivanov等人的证实（参考Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra 2020；Ivanov, Schekochihin和Dorland 2022）。然后详细分析了Z箍缩几何结构中的湍流预测。接下来，我们将HEL GM模型扩展到更复杂的几何结构。具体来说，我们关注CycloneBase Case（CBC）参数下的托卡马克$s{-}\alpha$几何结构（参考Lin等人1999），这是许多GK代码考虑的标准测试案例（参考Dimits 2000）。HEL GM模型预测了类似ITG的不稳定性，并且与GK模拟相比，在热通量水平上具有定性准确性。这表明HEL闭合可以超出其形式上的有效范围应用。另一方面，HEL GM模型在接近边缘稳定性时高估了传输。例如，在考虑托卡马克几何结构时，我们没有观察到HEL模型中的Dimits位移，这表明HEL闭合没有克服Hoffmann等人（参考Hoffmann, Frei和Ricci 2023a）观察到的最低阶矩截断的局限性。这种不足表明，在接近边缘稳定性时，HEL闭合中保留的高阶矩在维持ZF调节中起着重要作用。这一比较还突出了Z箍缩几何结构中ZF活动更有利条件。这里呈现的数值结果是使用Gyacomo（参考Hoffmann, Frei和Ricci 2023a）获得的，该数值模拟代码使用GM方法解决了局部$\delta f$ GK方程。该代码使用场对齐坐标和垂直平面中的傅里叶表示法，允许在Z箍缩和托卡马克几何结构中高效模拟等离子体湍流。在Gyacomo中实现HEL GM模型时，仅保留了四个最低阶矩，并根据HEL排序缩放梯度和碰撞率。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了GM层次结构、其HEL闭合以及在Z箍缩几何结构中的简化。第3节报告了与现有结果的基准测试。第4节探讨了二维和三维中的非线性Z箍缩湍流。第5节将HEL闭合的应用扩展到$s{-}\alpha$几何结构和有限$\tau$。最后，第6节总结了我们的发现并概述了矩闭合的可能扩展。

2. 旋转动力学模型 我们使用局部的、静电的$\delta f$ GK框架和绝热电子响应来模拟磁化等离子体中的离子尺度湍流（参考Catto 1978）。该模型在场对齐坐标中演化扰动后的离子分布函数$g_i(x,y,z,s_{\parallel },w_{\perp },t)$（参考Beer, Cowley和Hammett 1995），其中$x$表示垂直于磁通表面的方向，$y$表示场线标签，$z$表示与磁场对齐的坐标，$s_{\parallel}$表示平行于磁场的速度，$w_{\perp}$表示磁矩，$t$表示时间。扰动后的分布函数满足旋转动力学方程，其标准化单位（见表1）由Frei等人（参考Frei, Hoffmann和Ricci 2022）和Hoffmann等人（参考Hoffmann, Frei和Ricci 2023a）给出（2.1）\begin{align} \partial _t g_i & + \{\langle \phi \rangle , g_i\}_{xy} + \sqrt {2\tau } s_\parallel \hat C_\parallel h_i - \frac {\sqrt {2}}{2}\sqrt {\tau } w_\perp \hat C_\parallel \ln B \partial _{s_\parallel } h_i + \frac {\tau }{q_i}(2 s_\parallel ^2+w_\perp ) \hat C_{\perp } h_i \nonumber \\[5pt] & +\left [R_N + \left (s_\parallel ^2+w_\perp -\frac {3}{2}\right ) R_T\right ]\partial _y \langle \phi \rangle = C_{i}. \end{align} 表1. 本文中使用的无量纲变量。对于无量纲变量$A$，其在物理单位中的等价物明确表示为$A^{ph}$。我们引入了声速$c_{s}=\sqrt {T_{e0}/m_s}$，离子热速度$v_{th i} = \sqrt {T_{i0}/m_i}$，磁矩$\mu$，参考电子温度$T_{e0}$，参考离子温度$T_{i0}$，离子热拉莫半径$\rho _s = c_{s}/\varOmega _i$，其中$\varOmega _i = q_i^{ph} B_0/m_i$是离子回旋频率，参考长度尺度$R_0$，参考磁场$B_0$，密度和温度梯度长度尺度$L_N$和$L_T$，以及平衡态麦克斯韦分布函数$F_{i0}$。在（2.1）中，我们引入了旋转平均静电势$\langle \phi \rangle$，场对齐坐标系的雅可比矩阵$J_{xyz}$和标准化离子分布函数的非绝热部分$h_i = g_i - \langle \phi \rangle$。参数$\tau = T_i/T_e$表示离子-电子温度比，而$R_N$和$R_T$分别代表密度和温度梯度参数。泊松括号$\{f_1,f_2\}_{xy}=\partial _x f_1 \partial _y f_2 - \partial _y f_1 \partial _x f_2$来源于非线性$\boldsymbol E\times \boldsymbol B$漂移项，而（2.2）\begin{equation} \hat{C}_{\parallel} = \frac {R_0}{J_{xyz}\hat{B}}\frac {\partial }{\partial z} \end{equation}表示磁平行算子，其中$R_0$是参考长度尺度，（2.3）\begin{equation} \hat C_{\perp}= -\left(\partial_y \ln B + \frac{G_2}{G_1}\partial_z \ln B \right)\frac{\partial}{\partial x} + \left(\partial_x \ln B - \frac{G_3}{G_1}\partial_z \ln B \right)\frac{\partial}{\partial y}\end{equation}是磁垂直算子，其中$G_1=g^{xx}g^{yy} - (g^{xy})^2$，$G_2=g^{xx}g^{yz} - g^{xy}g^{xz}$，$G_3=g^{xy}g^{yz} - g^{yy}g^{xz}$，$g^{ij}=\boldsymbol{\nabla }i \boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }j$是$i,j \in \{x,y,z\}$的度量系数（参考D’haeseleer等人1991；Beer等人1995；Frei等人2022）。碰撞项由$C_i$表示。静电势是根据准中性条件确定的，假设电子响应是绝热的（2.4）\begin{equation} \left (1 + \frac {q_i}{\tau }\left [ 1 - \varGamma _0 \right ]\right )\phi = q_i n_i + \bar \phi _{yz}, \end{equation}，其中$\varGamma _0 = I_0(\rho _i^2\boldsymbol{\nabla} _\perp ^2)e^{-\rho _i^2\boldsymbol{\nabla} _\perp ^2}$，$I_0$是一阶修正的贝塞尔函数，$\rho _i$是离子拉莫半径，$\boldsymbol{\nabla} _\perp$是垂直拉普拉斯算子，$n_i$是离子密度波动，$\bar \phi _{yz}$是在$y$和$z$方向上平均的势能。GK模型的详细信息可以在Hoffmann等人（参考Hoffmann, Frei和Ricci 2023a）中找到。

2.1. 基于矩的方法 为了解决GK玻尔兹曼方程，我们采用了一种基于矩的方法，将离子GK分布函数投影到傅里叶-Hermite-Laguerre模式的基础上（参考Mandell等人2018；Frei等人2023；Hoffmann等人）。参考文献：Hoffmann, Frei和Ricci2023a，Hoffmann, Frei和Ricci b；Mandell等人。我们将这些模式称为GMs，并表示为（2.5）\begin{equation} N_i^{pj}(k_x,k_y,z,t) = \iint \mathrm{d} x \,\mathrm{d} y \iint \mathrm{d}w_{\perp } \,\mathrm{d}s_{\parallel } g_i \,H_p(s_{\parallel })\,L_j(w_{\perp })\, e^{-i(k_x x + k_y y)}, \end{equation} 其中 $k_x$ 是径向波数，$k_y$ 是法向波数，$H_p$ 是阶数为 $p$ 的归一化物理Hermite多项式，$L_j$ 是阶数为 $j$ 的Laguerre多项式。在这个框架中，陀螺平均运算符可以用Laguerre多项式表示为（2.6）\begin{equation} \langle \phi \rangle = \sum _{n=0}^\infty \hat K_n(\ell _\perp )\,L_n(w_{\perp })\phi , \end{equation} 其中 $\ell _\perp = k_\perp ^2/2$ 且 $k_\perp ^2 = g^{xx}k_x^2 \,+\,2\, g^{xy}k_xk_y \,+\, g^{yy}k_y^2$。函数（2.7）\begin{equation} \hat K_n(\ell _\perp ) = \frac {(\tau \ell _\perp )^n}{n!} \, e^{-\tau \ell _\perp } \end{equation} 作为分离配置空间和速度空间依赖性的核函数。通过将局部的 $\delta f$ GK Boltzmann方程投影到Hermite–Laguerre基础上，可以得到以下一组GM方程（Hoffmann等人）（2.8）\begin{equation} \partial _t N_i^{pj} + \mathcal S^{pj} + \mathcal M_{\parallel }^{pj} + \mathcal M_{\perp }^{pj} + \mathcal D_{T}^{pj} + \mathcal D_{N}^{pj} = \mathcal C_i^{pj}. \end{equation} 在（2.8）中，非线性 $\boldsymbol E\times \boldsymbol B$ 漂移项为（2.9）\begin{equation} \mathcal S^{pj} = \sum _{n=0}^{\infty }\left \{\hat K_i^n\phi ,\sum _{s=0}^{n+j}d_{njs} N_i^{ps}\right \}_{k_x,k_y}, \end{equation} 其中傅里叶空间中的Poisson括号 $\left \{\boldsymbol{\cdot },\boldsymbol{\cdot }\right \}_{k_x,k_y}$，以及Laguerre卷积系数 $d_{njs}$，满足 $L_nL_j=\sum _{s=0}^{n+j}d_{njs}L_s$（Gillis & Weiss参考文献Gillis和Weiss1960）。捕获和Landau阻尼项为（2.10）\begin{align} \mathcal M_{\parallel }^{pj} &= \sqrt {\tau } \left \{\hat C_{\parallel }\aleph _i^{p\pm 1,j} - C_\parallel ^B \left [(j+1)\aleph _i^{p\pm 1,j}-j\aleph _i^{p\pm 1,j-1}\right ]\right \}\nonumber \\ &\quad+\sqrt {\tau }C_\parallel ^{B}\sqrt {p}\left[(2j+1)n_i^{p-1,j} -(j+1)n_i^{p-1,j+1} - j n_i^{p-1,j-1}\right ]\!, \end{align} 其中 $\aleph _i^{p\pm 1,j}=\sqrt {p+1} n_i^{p+1,j} + \sqrt {p} n_i^{p-1,j}$ 是根据非绝热GMs（2.11）定义的\begin{equation} n_i^{pj}=N_i^{pj}+q_i/\tau \hat K_i^j\phi \delta _{p0}. \end{equation} 磁性离心和垂直梯度漂移项为（2.12）\begin{align} \mathcal M_{\perp }^{pj} &= \frac {\tau }{q_i} \hat C_{\perp } \left [\sqrt {(p+1)(p+2)} n_i^{p+2,j} + (2p+1)n_i^{pj} + \sqrt {p(p-1)}n_i^{p-2,j}\right ] \end{align} （2.13）\begin{align} &\quad + \frac {\tau }{q_i} \hat C_{\perp } \left [(2j+1)n_i^{pj} - (j+1)n_i^{p,j+1}-jn_i^{p,j-1}\right ], \end{align} 而抗磁温度和密度梯度漂移项分别为（2.14）\begin{equation} \mathcal D_T^{pj} = R_T ik_y\left \{\hat K_i^j\left [\frac {1}{\sqrt {2}}\delta _{p2} -\delta _{p0}\right ]+ \left [(2j+1)\hat K_i^j-(j+1)\hat K_i^{j+1}-j\hat K_i^{j-1}\right ]\delta _{p0}\right \}\phi , \end{equation} 和（2.15）\begin{equation} \mathcal D_N^{pj} = R_N ik_y \hat K_a^j \phi \delta _{p0}, \end{equation}。最后，$\mathcal C_i^{pj}$ 表示离子-离子碰撞项的投影。在考虑绝热电子响应时，GM方程通过准中性关系（2.16）得到闭合\begin{equation} \Bigg [1 + \frac {q_i^2}{\tau }\bigg (1-\!\!\sum _{n=0}^{\infty }\hat K_n^2\bigg )\Bigg ]\,\phi - \bar \phi _{yz} = q_i\,\sum _{n=0}^{\infty }\hat K_n\, N_i^{0n}, \end{equation} 其中关系 $\varGamma _0 = \sum _{n=0}^{\infty }\hat K_n^2$ 被使用（Frei, Jorge和Ricci参考文献Frei, Jorge和Ricci2020）。我们将（2.8）和（2.16）组成的系统称为GM模型。它描述了GMs $N_i^{pj}$ 的演化，并且在保留无限多个GMs的极限情况下等价于局部GK模型（$p,j\to \infty$）。为了解GM系统，我们使用Gyacomo代码（Hoffmann等人参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023a，Hoffmann, Frei和Ricci b，Hoffmann, Balestri和Ricci2025），该代码对空间方向使用傅里叶方法，对时间积分使用四阶显式Runge–Kutta方案。非线性项采用 $2/3$ -去混叠方法处理（Orszag参考文献Orszag1971）。演化后的傅里叶模式的垂直波数为 $k_x = 2\pi m N_x/L_x$ 和 $k_y = 2\pi n N_y/L_y$，其中 $m = -N_x/2+1,\ldots ,N_x/2$，$n = 1\ldots ,N_y/2$，$N_x$ 和 $N_y$ 分别代表径向和法向分辨率，$L_x$ 和 $L_y$ 分别代表径向和法向盒长度。在垂直方向添加了一个形式为 $\mu _{hd} (k_\perp /k_{\perp ,max})^4 N_i^{pj}$ 的超扩散阻尼项，其中 $\mu _{hd}$ 是超扩散参数，$k_{\perp ,max}$ 是模拟中的最大垂直波数，这通常用于非线性模拟中以耗散高频模式（Jenko, Dorland和Kotschenreuther参考文献Jenko, Dorland和Kotschenreuther2000；Hoffmann等人参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023b）。沿平行方向的导数，其长度为 $L_z$，使用二阶有限差分方案在均匀网格上离散化，分辨率为 $N_z$。Gyacomo支持托卡马克和Z-pinch两种几何结构：在托卡马克几何结构中，应用扭曲和移动的周期性平行边界条件（Beer等人参考文献Beer, Cowley和Hammett1995），而在Z-pinch几何结构中，使用标准的周期性平行边界条件（Hoffmann等人参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023b）。对于托卡马克几何结构，磁通管长度由 $L_z = 2\pi N_{pol} R_0$ 给出，其中 $R_0$ 是磁轴半径，$N_{pol}$ 是多极圈数。在Z-pinch几何结构中，$L_z = 2\pi L_B$，$L_B$ 是参考磁场长度尺度，对应于托卡马克几何结构中的主半径或Z-pinch几何结构中的箍缩半径。为了比较这两种几何结构，我们设置 $R_0 = L_B$，以便 $N_{pol}$ 可以解释为磁场线围绕Z-pinch轴的缠绕次数。在之前的出版物中（Hoffmann等人参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023a，Hoffmann, Frei和Riccib，Hoffmann, Balestri和Ricci2025），Gyacomo代码使用截断闭合来演化GM模型，设置所有 $(p,j)\gt (p_{\max },j_{\max })$ 的GMs，其中 $p_{\max }$ 和 $j_{\max }$ 是Hermite–Laguerre基所考虑的最大度数。在这项工作中，我们使用单一的最大度数截断闭合，即我们设置所有 $p+2j \gt d_{\max }$ 的GMs消失，其中 $d_{\max }$ 是考虑的最大矩度数。这种截断反映了流体模型的结构，其中矩数演化到某个速度多项式度数，例如对于Braginskii型模型，$d_{\max }=2$（Braginskii参考文献Braginskii1965）。2.2. 热电子闭合 在本小节中，我们考虑最高为 $d_{\max }=2$ 的GM层次。这相当于在 $\tau \ll 1$ 的极限下演化四个GMs $N_i^{00}$、$N_i^{10}$、$N_i^{20}$ 和 $N_i^{01}$，对于单电荷离子物种（$q_i=1$）。接下来，我们首先写出保守所有 $\tau$ 某次幂项的方程，而不评估这些项是否占主导或可以忽略。不同项的排序将在下一小节中讨论，在那里将建立与Ivanov模型的等价性。我们展开核函数 $\hat K_n$（2.7），对于小的 $\tau$，即（2.17）\begin{align} \hat K_0 &= 1 - \ell _\perp \,\tau + \frac 12\,\ell _\perp ^2\,\tau ^2 + \mathcal O(\tau ^3), \end{align} （2.18）\begin{align} \hat K_1 &= \ell _\perp \,\tau - \ell _\perp ^2\,\tau ^2 + \mathcal O(\tau ^3), \end{align} （2.19）\begin{align} \hat K_2 &= \frac 12\,\ell _\perp ^2\,\tau ^2 + \mathcal O(\tau ^3). \end{align} 离子GMs的非绝热部分（2.11）可以为 $(p,j)=(0,0),\,(0,1),\,(0,2)$ 写成（2.20）\begin{align} n_i^{00} &= N_i^{00} + \Bigl (\tau ^{-1}-\ell _\perp + \frac 12\,\ell _\perp ^2\,\tau \Bigr )\,\phi + \mathcal O(\tau ^2), \end{align} （2.21）\begin{align} n_i^{01} &= N_i^{01} + \bigl (\ell _\perp - \ell _\perp ^2\,\tau \bigr )\,\phi + \mathcal O(\tau ^2), \end{align} （2.22）\begin{align} n_i^{02} &= N_i^{02} + \frac 12\,\ell _\perp ^2\,\tau \,\phi + \mathcal O(\tau ^2), \end{align} 而对于所有 $p\gt 0$ 和 $j\gt 2$，有 $n_i^{p,j} = N_i^{p,j} + \mathcal O(\tau ^2)$。我们注意到 $n_i^{00}$ 的展开中有一个 $\tau ^{-1}$ 项，这意味着 $n_i^{00}$ 会按 $\mathcal{O}(\tau ^{-1})$ 缩放。然而，当在下一小节中建立与Ivanov模型的等价性时，这一点将被 $\phi$ 的重新标准化所抵消。接下来，我们将低阶GMs识别为伪流体矩（2.23）\begin{align} n^*=N_i^{00},\quad u_{\parallel }^*=N_i^{10},\quad T_{\parallel }^*=N_i^{20},\quad T_{\perp }^*=N_i^{01},\quad q_\parallel ^*=N_i^{30},\quad q_\perp ^*=N_i^{11}, \end{align} 和（2.24）\begin{align} P_\parallel ^{\parallel *}=N_i^{40},\quad P_\parallel ^{\perp *}=N_i^{21},\quad P_\perp ^{\perp *}=N_i^{02}. \end{align} 这些与标准流体矩略有不同，因为Hermite–Laguerre基与用于评估速度矩的通常多项式基不匹配。我们假设所有伪流体矩的缩放是相似的（2.25）\begin{align} n^*\sim u_{\parallel }^* \sim T_{\parallel }^* \sim T_{\perp }^* \sim q_\parallel ^* \sim q_\perp ^* \sim P_\parallel ^{\parallel *} \sim P_\parallel ^{\perp *} \sim P_\perp ^{\perp *} \sim \mathcal{O}(1). \end{align} 现在我们将这些展开代入GM层次（2.8），考虑最高到 $\mathcal O(\tau ^2)$ 的贡献。这产生了一个由密度方程（$(p,j)=(0,0)$）、（2.26）\begin{align} \partial _t n^* + \left \{\phi ,n^*\right \} + \tau \,\left \{\ell _\perp \,\phi ,\,T_{\perp }^*-n^*\right \} + \sqrt {\tau }\,\bigl (\hat C_{\parallel } - C_\parallel ^B\bigr )\,u_{\parallel }^* \nonumber \\[6pt] + \tau \,\hat C_{\perp }\,\bigl (\sqrt {2}\,T_{\parallel }^* + 2\,n^* - T_{\perp }^*\bigr ) + \bigl (2\,\hat C_{\perp } + R_N\,i\,k_y\bigr )\,\phi \nonumber \\[-3pt] - \tau [3\hat{C}_{\perp } + (R_N+R_T)ik_y]\ell _\perp \,\phi = \mathcal C_i^{00} + \mathcal O(\tau ^2), \end{align} 平行速度方程（$(p,j)=(1,0)$）、（2.27）\begin{align} \partial _t u_{\parallel }^* + \left \{\phi ,u_{\parallel }^*\right \} + \tau \,\left \{\ell _\perp \,\phi ,\,q_\perp ^* - u_{\parallel }^*\right \} + \sqrt {\tau }\,\Bigl [\bigl (\hat C_{\parallel } - C_\parallel ^B\bigr )\sqrt {2}\,T_{\parallel }^* + \hat C_{\perp }\,n^* \nonumber \\[-3pt] - C_\parallel ^B\,T_{\perp }^*\Bigr ] + \frac {1}{\sqrt \tau }\,\hat C_{\perp }\,\phi - \sqrt \tau \,(\hat C_{\perp }+C_\parallel ^B)\,\ell _\perp \,\phi + \tau \,\hat C_{\perp }\,\bigl (\sqrt 6\,q_\parallel ^* + 4\,u_{\parallel }^* - q_\perp ^*\bigr ) \nonumber \\[-3pt] = \mathcal C_i^{10} + \mathcal O\left (\tau ^具体来说，通过省略平行速度方程、平行温度方程和垂直温度方程中的$\mathcal O(\tau)$阶项，我们得到了以下结果：
(2.31)
$$
\begin{align}
& \partial _t u_{\parallel }^* + \left \{\phi ,u_{\parallel }^*\right \} + \sqrt {\tau }\,\Bigl [\bigl (\hat C_{\parallel } - C_\parallel ^B\bigr )\sqrt 2\,T_{\parallel }^* + \hat C_{\parallel }\,n^* - C_\parallel ^B\,T_{\perp }^*\Bigr ] \\
&\qquad + \frac {1}{\sqrt \tau }\,\hat C_{\parallel }\,\phi - \sqrt \tau \,(\hat C_{\parallel } + C_\parallel ^B)\,\ell _\perp \,\phi = \mathcal{C}_i^{10} + \mathcal O\left (\tau \right ),
\end{align}
$$
(2.32)
$$
\begin{align}
& \partial _t T_{\parallel }^* + \left \{\phi ,T_{\parallel }^*\right \} + \bigg (\sqrt 2\,\hat C_{\perp } + \frac {\sqrt 2}{2}\,R_T\,i\,k_y \bigg)\,\phi = \mathcal C_i^{20} + \mathcal O(\tau ^{1/2}),
\end{align}
$$
(2.33)
$$
\begin{align}
& \partial _t T_{\perp }^* + \left \{\phi ,T_{\perp }^*\right \} - \bigl (\hat C_{\perp } + R_T\,i\,k_y\bigr )\,\phi = \mathcal C_i^{01} + \mathcal O(\tau ^{1/2}.
\end{align}
$$
为了考虑碰撞效应，我们采用了在Hermite–Laguerre基础上投影的Gyro-平均Dougherty算子（参考文献Dougherty1964；Frei等人，参考文献Frei, Hoffmann和Ricci2022）。在HEL模型中，碰撞算子项由下式给出：
(2.34)
$$
\mathcal C_i^{00} = -\,\nu \,\frac {2}{3}\,\tau \,\ell _\perp \,\Bigl (\sqrt 2\,T_{\parallel }^* + T_{\perp }^* + 5\,\ell _\perp \,\phi \Bigr ) + \mathcal O(\tau ^2),
$$
(2.35)
$$
\mathcal C_i^{10} = \nu \,\mathcal O\left (\tau \right ),
$$
(2.36)
$$
\mathcal C_i^{20} = -\,\nu \,\frac {2}{3}\,\Bigl (2\,T_{\parallel }^* + \sqrt 2\,T_{\perp }^* + 2\sqrt 2\,\ell _\perp \,\phi \Bigr ) + \mathcal O\left (\tau \right ),
$$
(2.37)
$$
\mathcal C_i^{01} = -\,\nu \,\frac {2}{3}\,\Bigl (\sqrt 2\,T_{\parallel }^* + T_{\perp }^* + 2\,\ell _\perp \,\phi \Bigr ) + \mathcal O\left (\tau \right ),
$$
其中$\nu$是归一化的离子-离子碰撞频率。需要注意的是，Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra2020）使用的基于Landau的碰撞算子与这里使用的Dougherty模型不同。因此，在$\tau$趋近于0的极限情况下，两者之间会存在轻微的差异。
在接下来的内容中，我们将(2.26)、(2.31)–(2.33)以及准中性条件(2.30)称为HEL–GM模型。HEL–GM模型中采用的混合阶闭合是一种特设的截断策略，旨在证明当取适当的极限时，Ivanov模型可以自然地从GM层次结构中演化出来。这种方法使我们能够确定Ivanov流体模型嵌入在更一般的GM层次结构中，从而证明恰当的闭合选择可以在保持其原始有效范围的同时，恢复现有的简化模型。

2.3. 与Z-pinch几何结构中的Ivanov模型的解析等价性
我们现在证明，当考虑Z-pinch磁几何结构（$R_N=0$，$\hat C_{\perp }=-\,i\,k_y$，$\hat C_{\parallel }=1$，$C_\parallel ^B=0$）时，HEL–GM模型能够恢复Ivanov模型的结果。由于Ivanov模型没有用贝塞尔函数来表达Gyro平均算子，我们直接将Gyro平均分布函数$g_i(\boldsymbol R)$（在Gyro中心坐标$\boldsymbol R$中）对于小$\tau$的展开，用粒子坐标中的分布函数$f_i(\boldsymbol x)$来表示：
(2.38)
$$
\begin{align}
g_i(\boldsymbol R) &= \Bigl \langle \,f_i(\boldsymbol x) - \boldsymbol \rho \boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\,f_i(\boldsymbol x) + \frac 12\,\boldsymbol \rho \,\boldsymbol \rho : \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{\nabla }\,f_i(\boldsymbol x)\Bigr \rangle + \mathcal O(\tau ^2) \\
&= g_i(\boldsymbol x) + \frac {\tau }{2}\,w_{\perp }\,\boldsymbol{\nabla} _\perp ^2\,g_i(\boldsymbol x) + \mathcal O(\tau ^2),
\end{align}
$$
其中$\boldsymbol \rho = \sqrt {2\tau }w_{\perp }\hat {\boldsymbol b}$是Gyro中心位移向量，$\hat {\boldsymbol b}$是沿着磁场的单位向量，$\boldsymbol{\nabla} _\perp ^2$是垂直拉普拉斯算子。回忆一下，Gyro平均算子$\langle \,\boldsymbol{\cdot }\,\rangle$满足$\langle \boldsymbol \rho \rangle =0$和$\langle \boldsymbol \rho \,\boldsymbol \rho \rangle = \tau \,w_{\perp }\,\mathbf{I}_\perp$，其中$\mathbf{I}_\perp$是垂直投影算子。一个伪流体矩，例如$n^*$，可以通过(2.39)在粒子坐标系中表示：
(2.39)
$$
n^*(\boldsymbol R) = \iint \Bigl [g_i(\boldsymbol x) + \frac {\tau }{2}\,w_{\perp }\,\boldsymbol{\nabla} _\perp ^2\,g_i(\boldsymbol x)\Bigr ] \,\mathrm{d}w_{\perp }\,\mathrm{d}s_{\parallel } + \mathcal O(\tau ^2)
$$
这里我们假设速度空间积分和垂直拉普拉斯算子之间可以交换。在局部近似下，这个假设是成立的，因为在拉莫尔半径内垂直梯度被认为是常数。Gyro中心到粒子坐标的转换不会影响更高阶的GMs，因为HEL–GM缩放忽略了平行速度方程、平行温度方程和垂直温度方程中的$\mathcal O(\tau)$阶项。然后，通过重写HEL–GM模型、(2.26)以及(2.31)–(2.33)对于以下流体矩，可以得到Ivanov模型：
(2.40)
$$
\begin{equation}
n(\boldsymbol x) = n^*(\boldsymbol x), \quad u_\parallel (\boldsymbol x) = \frac {\sqrt 2}{2}\,u_{\parallel }^*(\boldsymbol x), \quad T(\boldsymbol x) = \frac {1}{2} \big[\sqrt {2} T_{\parallel }^*(\boldsymbol x) - T_{\perp }^*(\boldsymbol x)\big] - n^*(\boldsymbol x),
\end{equation}
$$
并考虑Z-pinch几何结构$(\hat C_{\perp }=-\,i\,k_y,\,\hat C_{\parallel }=1,\,C_\parallel ^B=0)$和$\ell _\perp =\boldsymbol{\nabla} _\perp ^2/2$。为了与Ivanov模型获得解析等价性，需要用渐近小参数$\tau$来重新缩放变量。因此，这个过程改变了演化矩之间的阶次顺序，考虑到Ivanov模型中使用的高碰撞率、长波长和大纵横比极限，这是合理的。具体来说，重新缩放定义为$\hat z = 2z$，$\hat \phi =\tau \phi /2$，$\hat u_\parallel =u_\parallel /\tau$，$\hat T = \tau T/2$和$\kappa _T=\tau R_T/2$。最后，Ivanov模型的碰撞率参数$\nu$与HEL–GM碰撞频率参数$\nu$通过以下关系联系起来：
(2.41)
$$
\chi = c_f\tfrac {2}{3}\tau \nu,
$$
其中我们引入了一个经验因子$c_f$来考虑碰撞模型之间的差异。这个经验值是通过直接比较我们的HEL–GM系统与Ivanov, Schekochihin和Dorland（参考文献Ivanov, Schekochihin和Dorland2022）报告的结果中的线性增长率和非线性饱和水平来确定的，以确保在相关参数空间内的定量一致性。在这项工作的其余部分，我们设置$c_f=4$（见图5）。

总结来说，在目前的工作中，我们考虑了三种模型：(i) GK模型（2.8）和(2.16），使用GM方法和Dougherty碰撞模型来解决，这提供了此处考虑的等离子体动力学的最完整描述；(ii) HEL–GM模型，包括(2.26)、(2.31)–(2.33)和(2.30)，它是通过HEL使用混合阶闭合（即只在密度方程中保留$\mathcal{O}(\tau)$阶项，而更高阶的矩方程被截断到较低阶以确保一致性）来闭合的GM层次结构；以及(iii) 在Z-pinch几何结构中的Ivanov流体模型（见Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin和Dorland2022）中的(2.4–2.6）。在第3节中，我们展示了当考虑足够小的温度比$\tau$并且梯度和碰撞率参数相应缩放时，Gyacomo代码可以有效地恢复HEL–GM模型。这些模拟被称为HEGS模拟，因为它们不是直接解HEL–GM系统，而是从GM方程（2.8）渐近地得到的。

3. HEL–GM闭合的验证
本节的目标是证明像Gyacomo这样的GK代码在考虑适当的参数范围时可以恢复Ivanov的简化流体模型。我们通过三个主要验证步骤来强调这一点。首先，我们使用Gyacomo代码评估二维Z-pinch几何结构中存在的不稳定性的增长率，改变温度比和演化的GM数量，以显示向HEL–GM极限的适当收敛。其次，我们将Gyacomo的结果与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra2020）和Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin和Dorland2022）的线性结果进行比较，以验证当$\tau \ll 1$时得到的是同一组封闭方程。第三，我们将我们的三维模拟与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin和Dorland2022）的结果进行基准测试。此外，我们还评估了Dougherty碰撞算子对线性增长率的影响。我们首先关注线性预测。HEL–GM系统在Z-pinch几何结构中表现出几种不稳定性，包括slab ITG（sITG）和曲率驱动的ITG（cITG）模式（Rudakov和Sagdeev参考文献Rudakov和Sagdeev1961；Pogutse参考文献Pogutse1968）。另一方面，由于采用了绝热电子假设，因此不存在熵模式（Ricci等人参考文献Ricci, Rogers, Dorland和Barnes2006b；Kobayashi和Gürcan参考文献Kobayashi和Gürcan2015；Hoffmann等人参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023b）。cITG模式是由于局部磁场的曲率或垂直梯度的存在而产生的，主要在多极方向上发展，平行依赖性可以忽略不计。当$k_\parallel \neq 0$时，由于密度、平行速度和温度波动之间的耦合，会出现sITG模式，主要在平行方向上传播。

图1. 使用Gyacomo在二维Z-pinch几何结构中获得的ITG线性增长率，其中$d_{\max }=2$，$\kappa _T=0.36$，$\chi =0.1$。图2. 使用Gyacomo在二维Z-pinch几何结构中获得的ITG增长率，对于$d_{\max }=4$（十字形），$d_{\max }=2$（圆形），$d_{\max }=2$不包含$N_i^{20}$（向下三角形）和$d_{\max }=2$不包含$N_i^{01}$（向上三角形），使用$\tau =10^{-1}$（蓝色）和$\tau =10^{-3}$（红色）。梯度和碰撞率分别设置为$\kappa _T=1.0$和$\chi =0$。我们使用Gyacomo代码评估Z-pinch不稳定性的线性增长率作为$\tau$的函数，并针对不同的GM集合。Gyacomo的温度梯度参数相应地进行缩放：$R_T=\tau \kappa _T$，其中$\kappa _T$是Ivanov的温度梯度参数。图1显示了ITG线性增长率依赖于$\tau$，设置$d_{\max }=2$（4个GMs）。我们观察到，对于$\tau \lesssim 10^{-2}$，增长率变得与$\tau$无关，尽管温度梯度$R_T$在增加，这表明系统正在达到HEL–GM极限。此外，图2显示，当GM数量从4个（$d_{\max }=2$）增加到9个（$d_{\max }=4$），并且在$\tau$足够小时，可以获得相同的结果。我们还报告说，考虑少于4个GMs（$d_{\max }\lt 2$）时，无法再现相同的增长率，这突出了在HEL–GM闭合中保留$N_i^{20}$和$N_i^{01}$ GMs的重要性。这些点表明，当$\tau$足够小并且温度梯度相应缩放时，$N_i^{00}$、$N_i^{10}$、$N_i^{20}$和$N_i^{01}$ GM系统是一组封闭的方程。根据这个分析，我们在后续的HEGS中选择了$\tau =10^{-3}$和$d_{\max }=2$。图3. 使用HEL–GM线性求解器（实线），Gyacomo（$d_{\max }=2$和$\tau =10^{-3}$，圆形）以及Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra2020）（星号）在二维Z-pinch几何结构中获得的ITG增长率与多极波数。图4. 使用HEGS（设置$(P,J)=(2,1)$和$\tau =10^{-3}$在Gyacomo）获得的三维Z-pinch几何结构中的ITG线性增长率，并与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin和Dorland2022）获得的稳定性极限进行比较（虚线）。现在我们比较了HEGS与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra2020）在图3中获得的增长率。观察到很好的一致性，特别是在低碰撞率下，这表明碰撞算子是两种模型之间差异的主要来源。为了进一步检验使用Dougherty算子的影响，该算子在Gyacomo中保留了更高阶的$\tau$项，我们解决了与HEL–GM线性系统相关的特征值问题，该系统包含一个$\mathcal O(\tau)$的Dougherty模型。HEL–GM模型的特征值与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra2020）的结果更为一致，这表明差异主要来自HEGS的碰撞模型。在考虑无碰撞情况时（Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra2020）并未探讨这一点），我们发现HEL–GM求解器与HEGS的结果完全一致，这证实了Dougherty算子的更高阶项确实是观察到的差异的来源。最后，我们通过检查不同径向和平行模式数的增长率来探索图4中的线性sITG和cITG不稳定性，考虑到$\kappa _T=1$和$\chi =0.1$，并引入$L_\parallel =2L_z$，因为HEL–GM模型和Ivanov模型采用了不同的归一化方法。结果与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin和Dorland2022）的发现非常接近，在较大的$k_y$值时观察到差异，这些差异与二维情况下观察到的类似；而在较大的$k_z$值时出现的差异可能归因于Gyacomo模型中使用的有限差分方案。现在我们转向非线性模拟。我们首先在尺寸为$L_x=100$和$L_y=150$的域上进行二维模拟，分辨率为$N_x=N_y=256$。我们将温度梯度值设置为$\kappa _T=0.36$、$1$和$2$，碰撞频率设置为$\chi =10^{-3}$到$10^1$。超扩散参数设置为$\mu _{hd}=1.0$，以确保每次模拟中cITG不稳定性的线性增长率不受超扩散的影响。图5显示了使用HEGS（圆圈）和Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra2020）（星号）得到的饱和热流量，分别对应$\kappa _T=0.36$（蓝色）、$\kappa _T=1$（红色）和$\kappa _T=2$（绿色），在二维Z箍缩几何结构中。图5将HEGS得到的热流量与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochinhin和Dorland2022）的结果进行了比较。我们报告了所有考虑的温度梯度的极好定量一致性，证实HEGS捕捉到了与Ivanov模型相同的非线性物理现象。在高碰撞率的情况下，湍流热流量饱和到一个随温度梯度增加而增加的值，这反映了线性增长率的依赖性。随着碰撞率的降低，热流量显著减少，直到一个阈值以下，在该阈值以下，由于缺乏三维效应（Barnes, Parra & Schekochihin参考文献Barnes, Parra和Schekochihin2011），完全发展的cITG湍流无法饱和。我们最后旨在验证HEGS是否能够在三维Z箍缩几何结构中模拟时重现Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochinhin和Dorland2022）的结果。我们使用Gyacomo代码，设置$L_x=L_y=80$，分辨率为$N_x=N_y=128$。我们将平行分辨率设置为$N_z=16 \lceil N_{pol}\rceil$，对于$\kappa _T=0.36$；对于$\kappa _T=0.8$，设置为$N_z=50 \lceil N_{pol}\rceil$；对于$\kappa _T=3.0$，设置为$N_z=100 \lceil N_{pol}\rceil$。这里，$\lceil N_{pol}\rceil$表示将$N_{pol}$向上取整到最接近的整数。值得注意的是，在二维系统中，更高的温度梯度导致湍流未饱和（见第4节），这通过在有限的平行波数$k_z$处激发sITG模式得到了缓解（见图4）。图6显示HEGS的预测与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochinhin和Dorland2022）的结果在数量上非常接近，但对于几乎所有的$L_\parallel$值来说，传输水平略有升高。这种差异可能源于数值扩散参数的不同调整、碰撞算子的差异，以及平行方向的不同表示方法。Gyacomo没有使用$z$的光谱表示方法，这与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochinhin和Dorland2022）中使用的方法不同。尽管存在这些差异，我们观察到在相同的平行域长度下热流量值的稳定，表明在捕捉湍流动力学的主要特征方面存在一致性。图6显示了对于$\kappa _T=0.8$（左）和$\kappa _T=3.0$（右），在平行方向上，饱和热流量水平与流管域长度的关系，设置$\chi =0.1$。我们比较了HEGS（蓝色）和Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochinhin和Dorland2022）（红色）的结果。图7。（a）沿双法线方向的Z速度平均值$\langle v_{Ex}\rangle _y$，对于$\kappa _T=1.2$，通过在$\chi =0.2$的模拟重启后设置$\chi =0.16$得到。（b）ITG不稳定性的线性增长率，对于$\chi =0.20$（蓝色）和$\chi =0.16$（红色），设置$\kappa _T=1.2$和超扩散参数$\mu _{hd}=1$，用于非线性情况。黑色曲线对应于$\chi =0.16$的情况，超扩散参数$\mu _{hd}$增加了$20\,\%$。4. Z箍缩配置中的非线性传输物理在这个部分，我们分析了HEGS的非线性结果，首先关注二维情况，然后是三维情况。二维模拟显示传输水平随温度梯度的增强而增加，最有趣的是，在低碰撞率下会崩溃。为了理解导致崩溃的机制，我们考虑了一个稳态模拟，参数为$\kappa _T=1.2$和$\chi =0.2$。然后重新启动模拟，引入碰撞率减少了$20\,\%$。这导致了ZF的不稳定性和热流量的崩溃（见图7a）。我们注意到，这种碰撞率的降低几乎不影响cITG不稳定性的线性增长率，如图7b所示。（我们通过进行非线性模拟来确认增长率的差异可以忽略不计，其中超扩散的值被增加，以使低碰撞率情况的线性增长率与高碰撞率情况的相匹配，同时仍然观察到崩溃状态。）同样，我们注意到HEL–GM特征值求解器报告碰撞率对次级特征值的影响可以忽略不计。然而，当碰撞率降低时，观察到传输的崩溃。因此，我们得出结论，崩溃不是由于驱动不稳定性的线性性质的变化，而是由于驱动不稳定性的非线性饱和机制的变化。在略高于崩溃阈值的碰撞率下，湍流表现出爆发性行为，具有高和低传输的间歇性阶段，类似于捕食者-猎物循环，其中ZF（“捕食者”）抑制湍流（“猎物”），而减弱的ZF允许湍流再次增长。这种周期性相互作用是ZF湍流动力学的典型特征（Kobayashi, Gürcan & Diamond参考文献Kobayashi, Gürcan和Diamond2015；Ivanov等人参考文献Ivanov, Schekochinhin, Dorland, Field和Parra2020；Hoffmann等人参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023b）。另一方面，在较大的碰撞率下，爆发性行为被湍流主导的状态所取代，其中ZF的振幅与波动幅度相比显著减小。当碰撞率低于阈值时，热流量的突然增加与Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochinhin, Dorland, Field和Parra2020）的结果一致。在低碰撞率下，Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochinhin, Dorland, Field和Parra2020）报告了一个负的湍流粘度值，这意味着湍流不再增强ZF，从而消除了主要不稳定性的饱和机制。虽然HEGS和Ivanov等人（参考文献Ivanov, Schekochinhin, Dorland, Field和Parra2020）之间的一致性表明HEGS捕捉到了相同的物理现象，但这种机制可能仅限于HEL模型，因为它与更完整的光谱生成（GK）模型不一致。Ricci等人（参考文献Ricci, Rogers和Dorland2006a）、Hallenbert & Plunk（参考文献Hallenbert和Plunk2022）和Hoffmann等人（参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023b）显示，在二维Z箍缩GK模拟中，随着碰撞率的增加，传输量稳定增加，并且在低碰撞率下没有观察到崩溃状态。此外，Sarazin等人（参考文献Sarazin2021）通过使用Gysela代码（Grandgirard等人参考文献Grandgirard2016）进行的GK模拟，证明在低碰撞率下可以观察到向完全发展湍流的转变，而湍流粘度的符号没有改变。三维几何结构允许存在$k_\parallel \neq 0$的模式，使湍流涡旋沿着平行方向失去相关性。这种去相关减少了涡旋的平行扩展，从而降低了其径向传输能量的能力。另一方面，平行长度的扩展可以通过破坏$k_\parallel \neq 0$的模式来增加热流量。这在Vol?okas等人（参考文献Vol?okas, Ball和Brunner2023）的研究中观察到，他们通过考虑在低磁剪切下的CBC GENE模拟来研究平行域长度与热流量之间的关系。当考虑绝热电子响应时，Vol?okas等人（参考文献Vol?okas, Ball和Brunner2023）报告说，平行方向上的涡旋相关长度显著减小。此外，当域的平行伸长增加时，观察到热流量单调减少。饱和传输水平随着平行长度的增加而减少，直到达到一个渐近值。这种行为在图6中观察到，这与Vol?okas等人（参考文献Vol?okas, Ball和Brunner2023）的发现相符，表明HEGS捕捉到了平行去相关机制的主要特征。当模拟域的平行扩展较短时，湍流涡旋可以相互作用，即通过沿平行方向施加的周期性边界条件与自身相互作用，允许它们跨越整个平行域的扩展。这导致了更高的传输水平，类似于$k_\parallel =0$的二维极限情况。当域的平行扩展接近典型的涡旋相关长度$L_\parallel \sim 32$时，会出现有限的$k_\parallel$波动。一旦平行维度超过了几个相关长度，涡旋就不再能够相互作用，它们沿$z$的方向的扩展趋于饱和，热流量水平也是如此。图8通过比较不同平行方向扩展域的模拟中的温度波动快照来说明去相关机制，在弱湍流状态下（$\kappa _T=0.36$）。在平行长度较短的情况下（$L_\parallel =8$），湍流涡旋沿着整个域扩展，表明沿磁场线的强相关性。另一方面，在较长的平行域（$L_\parallel =32$）中，涡旋沿$z$方向失去相位一致性，并分裂成较短、部分去相关的结构。一旦域超过几个平行相关长度，进一步增加$L_\parallel$仅对时间平均热流量产生微弱影响，后者趋近于其渐近值。在这个状态下，动态从孤立的、充满整个域的传输爆发转变为较小、空间分离的爆发和静止斑块的叠加；它们的时间相位差平滑了整体响应，同时产生了可比较的平均热流量。图8显示了在Z箍缩ITG湍流模拟中，对于$L_\parallel = 4$（上）和$L_\parallel = 128$（下），使用Gyacomo设置$\kappa _T=0.36$、$\chi =0.1$和$\tau =10^{-3}$时，传输爆发期间的温度波动快照。虚线表示同一行的三个平面之间的交点。图9显示了在Z箍缩ITG湍流模拟中，对于$\kappa _T=0.36$（上）和$\kappa =0.8$（下），使用Gyacomo设置$L_\parallel =32$、$\chi =0.1$和$\tau =10^{-3}$时，传输爆发期间的温度波动快照。虚线表示同一行的三个平面之间的交点。最后，我们比较了显示弱湍流和强湍流的模拟（具体来说，$\kappa _T=0.38$和$\kappa _T=0.8$）。图9展示了这两种情况下的湍流温度波动快照，设置$\chi =0.1$和$L_\parallel =32$。对于$\kappa _T = 0.8$，由于sITG模式的激发，平行方向上发展出小尺度湍流，这与弱湍流状态相反。在这些模式中，二维cITG模式具有高平行相关性，主导了动力学。我们注意到，饱和湍流热通量水平对并行分辨率非常敏感，这突显了准确解析与sITG模式相关的小尺度并行结构的重要性（见图10）。当考虑较大的温度梯度时，需要更高的并行分辨率才能达到饱和状态，因为最大不稳定的并行模式数量会增加（见图4）。图10显示了在三维Z-pinch几何结构中，热通量随并行分辨率的收敛情况，其中$\kappa _T=0.8$（蓝色）和$\kappa _T=3.0$（红色），设置$\chi =0.1$以及$L_\parallel =2$。接下来，我们研究HEL闭合方法在托卡马克几何结构中的准确性。我们使用Gyacomo代码进行模拟，采用两种不同的方式：（i）使用前文确定的参数来达到Ivanov流体模型，即HEGS；（ii）使用Gyacomo GK模拟，并演化更高阶的矩，同时设置$\tau =1$。GK模拟时设置$d_{\max }=4$，因为Hoffmann等人（参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023a）表明这对于结果的数值收敛是足够的。模拟的分辨率为$(N_x,N_y,N_z)=(128,64,24)$，域大小为$L_x=L_y=120$以及$L_z=2\pi$。我们考虑了CBC的参数，这是一种标准的GK代码测试案例（Lin等人，参考文献Lin, Hahm, Lee, Tang和Diamond1999；Dimits等人，参考文献Dimits2000），使用的是托卡马克$s-\alpha$几何结构，安全因子$q_0=1.4$，局部磁剪切$\hat s = 0.8$以及反长宽比$\epsilon =0.18$。离子温度梯度设置为$\kappa _T = 3.5$，对应于$\tau =1$时的$R_T=7$，并使用有限的碰撞参数$\chi = 0.02$来促进GM层次结构的收敛（Hoffmann等人，参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023b）。这些参数基于DIII-D托卡马克核心等离子体区域的放电数据（Greenfield等人，参考文献Greenfield, Deboo, Osborne, Perkins, Rosenbluth和Boucher1997），其中电子与离子的温度比通常约为$\tau \sim 1$，这并不满足HEL假设。我们探索HEL作为截断闭合方案的替代方案，因为在考虑较少GM数量时，其准确性有限（Hoffmann等人，参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023a）。图11显示了在$s-\alpha$几何结构中，ITG模拟的线性增长率，其中GK模拟（实线）和HEGS（虚线）。图12显示了CBC的径向热通量的时间轨迹，GK模拟（实线）和HEGS（虚线）。CBC湍流是由ITG驱动的，并且当$\kappa _T$减小时会出现Dimits位移（Dimits等人，参考文献Dimits2000）。线性结果（图11）表明HEGS的增长率始终高于GK模拟的增长率，在$(k_y\rho _s,\gamma L_B/c_{s})\approx (0.75,0.9)$与$(0.5,0.25)$处达到峰值。HEGS还保持了更宽的不稳定谱，这与低$d_{\max }$截断时的趋势相似（Hoffmann等人，参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023a）。非线性热通量时间轨迹（图12）也显示HEGS的传输量更大，但相对增加较小，表明饱和通量对额外小尺度线性驱动的敏感性有限。时间相关性相当，表明湍流动力学在质量上是相似的。图13显示了不同温度梯度值下最大增长率（蓝色）和饱和热通量水平（红色）的混合长度估计$\gamma /k^2$。我们将HEGS（实线）与GK模拟（虚线）进行比较。我们现在研究HEGS预测Dimits位移的能力，并将其与图13中的GK模拟进行比较。我们评估了最大增长率的混合长度估计$\gamma /k^2$，并将其与不同温度梯度下的饱和热通量水平进行比较。虽然GK模拟显示出明显的Dimits位移，但HEGS并没有，因为在接近线性阈值时观察到了非零的热通量水平。相反，观察到具有周期性增强的传输爆发，当接近线性阈值时（$T\gtrsim 10^3$），这与Dimits位移的动力学有质的不同。这让人想起Hoffmann等人（参考文献Hoffmann, Frei和Ricci2023a）的观察结果，即在考虑$d_{\max }=2$时没有观察到Dimits位移，这表明HEL闭合方案可能不足以补偿缺失的高阶动力学效应。由于Dimits位移是由ZF的形成引起的，这表明HEGS缺乏有利于ZF形成的机制。这一观察进一步证明这些机制嵌入在更高阶的GM中，特别是在并行和垂直热通量矩$q_\parallel$和$q_\perp$以及与GM相关的能量加权压力张量（Beer等人，参考文献Beer, Cowley和Hammett1995）中，当$p\gt 2$和$j\gt 1$时。同时，我们的结果还表明，更高阶的旋流体系统方程可能能够在托卡马克几何结构中再现Dimits位移，因为它将包括负责ZF形成的高阶矩。我们现在可以利用Gyacomo在托卡马克和Z-pinch几何结构中进行GK模拟的能力，以区分几何结构与HEL限制中缺失的动力学效应的影响。我们考虑与托卡马克情况相同的参数，并在图14和15中比较了Z-pinch线性和非线性结果。在GK模拟和HEGS之间观察到的线性增长率差异与托卡马克情况中的相似，即在考虑HEGS时不稳定模式的幅度和谱增加了。在非线性情况下，GK和HEGS都产生了以ZF为主导的系统。GK模拟预测传输被抑制，而HEGS允许存在有限的传输水平，这可以归因于第4节中观察到的$k_\parallel$湍流。这个实验的结论有三个方面。首先，它指出HEGS和GK模拟之间的差异不仅仅是由于几何结构造成的。其次，它表明在HEL中捕捉弱湍流状态比捕捉强湍流状态更困难。第三，它表明无论使用哪种模型，Z-pinch几何结构都比$s-\alpha$几何结构更有利于ZF的形成，因为Z-pinch模拟显示出更低的传输水平，尽管线性增长率更大。图14显示了在Z-pinch几何结构中，ITG模拟的线性增长率，GK模拟（实线）和HEGS（虚线）。混合几何结构（绿色）是通过设置$q_0=100$、$\epsilon =0.001$和$\hat s =0$得到的$s-\alpha$几何结构。图15显示了在Z-pinch几何结构中，GK模拟（实线）和HEGS（虚线）的径向热通量的时间轨迹。为了解释这种几何依赖性，我们提出了一个基于曲率均匀性在ZF生成中作用的简化物理图景。在等离子体不稳定性理论框架中（Rogers和Dorland参考文献Rogers和Dorland2005；Ricci等人，参考文献Ricci, Rogers和Dorland2006a），ZF是由初级ITG模式的非线性相互作用引起的次级不稳定性驱动的。因此，主导的ZF径向波数$k_x^{\mathrm{ZF}}$由初级不稳定性谱决定。在Z-pinch几何结构中，曲率沿场线均匀不利，导致了一个与$z$无关的初级增长率谱，$\partial _z \gamma _{\mathrm{ITG}} = 0$。这种平行一致性促进了在平行方向上均匀的次级不稳定性，从而在整个域内驱动一个单一的主导ZF模式。结果，从初级不稳定性中提取的能量有效地被引导到一个连贯的ZF结构中，该结构可以增长到很大的幅度并有效地抑制湍流。相比之下，托卡马克几何结构的特点是曲率沿场线变化，$\partial _z \gamma _{\mathrm{ITG}} \neq 0$。因此，不同的多极位置可能会偏好不同的ZF径向尺度$k_x^{\mathrm{ZF}} = k_x^{\mathrm{ZF}}(z)$，导致竞争的纬向结构之间可能产生破坏性干涉，最终降低ZF的幅度和湍流抑制效率。由于托卡马克几何结构在$\epsilon \to 0$、$q_0 \to \infty$的极限下简化为Z-pinch几何结构（见图14），增加长宽比或安全因子可能会改善约束效果。值得注意的是，这个简化图景忽略了几种潜在的重要效应：（i）三维不稳定性，（ii）磁场剪切在调节场线沿ZF一致性中的作用，以及（iii）可能在Z-pinch几何结构中限制ZF幅度的三级不稳定性，其中更强的ZF剪切使它们更容易崩溃。这些机制的定量评估留待未来的工作。6. 结论我们研究了GM层次的HEL渐近闭合，建立了从GK公式到简化流体表示的路径。通过展开Hermite–Laguerre旋平均核在$\tau = T_i/T_e$中，并保留了一致性所需的最小$\mathcal{O}(\tau )$贡献，我们推导出了HEL–GM系统，并证明了其与具有经验校准的碰撞性参数的Ivanov Z-pinch流体模型的分析等价性。这一推导意味着Ivanov模型是GM方法的分析极限，从而为推导简化模型开辟了一条新途径。我们使用Gyacomo代码进行的数值模拟得到了一些主要结果。在线性Z-pinch模拟中的闭合验证确认，在$\tau \ll 1$的极限下，保留的四个GM（对应于密度、平行速度以及平行和垂直温度）形成了一个封闭的集合。引入一个经验常数因子（$c_f=4$）足以使我们的Dougherty碰撞模型与发表的基于Landau的算子（Ivanov等人，参考文献Ivanov, Schekochihin, Dorland, Field和Parra2020）相协调。这一结果表明，当考虑$\tau \ll 1$的极限时，Landau算子中捕获的大部分动力学效应，如速度空间的碰撞频率依赖性，都丢失了。之前对Z-pinch湍流的非线性模拟结果得到了再现。特别是，HEGS定量恢复了热通量水平，并且在低碰撞性下捕捉到了突发或爆炸行为，捕捉到了ZF减弱的转变。平行域延长研究得出的渐近传输平台与之前的分析一致（Ivanov等人，参考文献Ivanov, Schekochihin和Dorland2022；Vol?okas等人，参考文献Vol?okas, Ball和Brunner2023）。将HEL扩展到托卡马克$s{-}\alpha$几何结构，我们将其结果与$\tau =1$的GK模拟进行比较。HEGS过高预测了线性增长率和谱宽化，同时保留了热通量的定性时间结构。同时，HEGS显示出减少或缺失的Dimits位移，表明更高阶矩（平行和垂直热通量以及压力张量分量）在托卡马克配置中的ZF放大中起着关键作用，并且无法在最低阶HEL截断中恢复。最后，评估了几何结构对ZF形成的影响。Z-pinch几何结构相对于CBC托卡马克几何结构在ZF抑制传输方面表现出更强的效果。这种效果可以与Z-pinch的不良曲率联系起来，这种曲率允许连贯的ZF层覆盖整个域并持续存在，因此尽管线性增长率较高，也能更有效地抑制湍流。相比之下，托卡马克几何结构沿场线的变化曲率诱导了竞争的纬向模式，这些模式可能会破坏ZF的连贯性并削弱其对湍流的调控效果。这里提出的发现强调了在HEL简化下保留的物理效应和丢失的效应。该模型保留了湍流驱动机制，如Z-pinch中的ZF饱和机制以及在湍流主导的 regime 中控制三维饱和的平行去相关效应。然而，缺乏包括平行和垂直热通量以及压力张量分量在内的更高阶动力学矩，阻止了HEL模型准确再现托卡马克几何结构中的现象，如Dimits位移。将$\tau \ll 1$的极限应用于GM层次结构提供了一种新的闭合方案，该方案在一阶上能够定性地再现湍流主导 regime 中的传输，即使在违反热电子假设的情况下也是如此。现在可以通过保留高阶 $\tau$ 贡献和高阶 GM 方程，系统地将这种闭合方案扩展到更高阶的矩。我们的结果表明，所得到的高阶流体模型应该能够捕捉到托卡马克几何结构中的 Dimits 变化，从而扩展 HEL–GM 模型的适用范围。

致谢
作者衷心感谢 A. Vol?okas、S. Brunner、J. Ball 和 T. Adkins 的有益讨论。编辑 Alex Schekochihin 感谢审稿人对本文评价的建议。

资助
本文中介绍的模拟部分在 CINECA Marconi 超级计算机上完成（项目编号 TSVVT422），部分在 CSCS（瑞士国家超级计算中心）进行。这项工作是在 EUROfusion 联盟的框架下，通过 Euratom 研究与培训计划（授权协议编号 101052200-EUROfusion）开展的，并得到了瑞士教育、研究与创新部（SERI）的资助。然而，此处表达的观点和意见仅代表作者本人，并不一定反映欧盟、欧洲委员会或 SERI 的立场。欧盟、欧洲委员会或 SERI 对此概不负责。

利益声明
作者声明不存在利益冲突。

脚注
1. 本工作中使用的 Gyacomo 版本是开源 Git 仓库 gitlab.epfl.ch/ahoffman/gyacomo 中的 commit fbb6b65b。