无限图端空间的一个表示定理

《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》：A representation theorem for end spaces of infinite graphs

　　摘要：无限图的端空间自然地推广了Freudenthal边界概念，并处于图论、几何群论和拓扑学之间的交叉点。我们的主要结果是，每个端空间都可以用一种特殊的顺序树来拓扑表示。我们的主要证明工具是一个我们引入的结构定理，该定理能够清晰地描绘出任何图的顺序树状结构，从而在图的端点与顺序树的极限型下降链之间建立自然的双射关系。

1. 引言：直观上，图的端点捕捉了图向无限远处扩展的不同方向。最简单的情况是由（有根的）树类构成的。在这里，端点对应于从根点出发的不同射线，它们的端空间正是完全超可度量空间（参见例如 [Reference Hughes29]）。端点的概念可以从树自然地推广到任意图。根据Halin的工作 [Reference Halin25]，图G的一个端点是一组射线的等价类，如果对于每一个有限的顶点集X，这些射线最终都属于$G-X$的同一个分量，则这些射线是等价的。通过赋予以下拓扑结构，可以将G的端点集转换成端空间$\Omega(G)$：对于每一个有限的$X\subseteq V(G)$和$G-X$的每一个分量C，我们将C中射线所代表的端点集声明为基本开集，并采用所有这些基本开集生成的拓扑。例如，无限完全图和$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$网格都有一个端点，而无限二叉树的端空间与Cantor集合同胚。端点在将关于有限图的结果扩展到无限图的过程中起着关键作用（参见例如 [Reference Aurichi and Real2, Reference Carmesin, Hamann and Miraftab11, Reference Diestel15, Reference Georgakopoulos21, Reference Gollin and Heuer24, Reference Joó30]）。或许令人惊讶的是，端点最近也被用于相反的方向：通过研究它们的覆盖空间来研究有限图的结构（参见例如 [Reference Carmesin10, Reference Carmesin, Kontogeorgiou, Kurkofka and Turner12, Reference Diestel, Jacobs, Knappe and Kurkofka18, Reference Georgakopoulos22]）。在Bass–Serre理论中 [Reference Serre47]，Stallings定理利用端点来检测群中的乘积结构，如并合的自由积或HNN-扩展 [Reference Stallings50, Reference Stallings51]。然而，尽管我们在理解端空间方面取得了显著进展 [Reference Diestel14, Reference Diestel and Kühn19, Reference Kurkofka and Melcher35, Reference Kurkofka, Melcher and Pitz36, Reference Polat44, Reference Polat45, Reference Sprüssel49]，我们仍然无法完全了解它们的精确拓扑特性。实际上，图的端空间比树的端空间要复杂得多。例如，设G是由一个不可数完全图K通过分别为K中的每个顶点v添加一个新的射线$R_v$并识别每个$R_v$的第一个顶点为v得到的。那么在包含K中射线的那个端点处，$\Omega(G)$不是第一可数的，因此$\Omega(G)$不是可度量的。因此，图的端空间不能用树来表示，这就引出了一个自然的问题：是否存在一类足够广泛的图，能够表示所有作为图端空间出现的拓扑空间？我们的表示定理对这个问题给出了肯定的回答。

2. 定义：顺序树是一个偏序$T=(T,\leqslant)$，它有一个称为根的最小元素，且T中的所有链都按$\leqslant$良序排列。如果T可以分割成可数多个反链，则称T为特殊顺序树。T中的一条路径是一个下降闭合链。没有最大元素的路径被称为高射线。通过将路径与其特征函数对应起来，所有路径的集合$\mathcal{P}(T)$是${\left\lbrace {0,1} \right\rbrace}^{T}$中的一个封闭且紧凑的子空间。空间$\mathcal{P}(T)$是与T相关联的路径空间。射线空间$\mathcal{R}(T)$是$\mathcal{P}(T)$中的一个子空间，它包含了T中的所有高射线。Brochet和Diestel [Reference Brochet and Diestel5]定义了当一个图类似于给定的顺序树时的情况：T-图是一个顶点集为T的图，其中边仅连接可比较的顶点，每个后继节点与其直接的前驱节点相邻，并且极限节点与其最终多的前驱节点相邻（参见 [Reference Pitz41] 以获取概述）。Diestel和Leader定义了T-图G是均匀的，如果对于每个极限节点$t\in T$，都存在有限多个节点$t_1\lt\cdots \lt t_n$位于t之下，且每个位于$t$和$t$之间的边都始于某个$t_i$（参见 [Reference Diestel and Leader20]）。

3. 定理1（表示定理）：对于一个拓扑空间X，以下条件是等价的：(1) X与某个图的端空间同胚；(2) X与某个在（特殊）顺序树T上的均匀T-图的端空间同胚；(3) X与某个特殊顺序树T的射线空间同胚。由于特殊顺序树上的T-图不包含不可数的完全图子图，我们根据(2)得出结论，每个端空间都可以用一个没有不可数完全图子图的图来表示（详见第9节）。断言(3)具有不同的意义，因为它描述了与顺序树相关联的拓扑空间来表示图的端空间。通过从图转换到顺序树，我们将端点（即射线的相当复杂的等价类）替换为T中的高射线，从而获得了图端点的规范表示系统。Diestel在1992年提出了对图端空间的拓扑表征的需求 [Reference Diestel13, 5·1]。第二作者将使用断言(3)作为提供此类表征的关键工具（参见 [Reference Pitz43]）。现在我们描述一些用于证明定理1的要素。推论$\mathrm{(3)} \Rightarrow \mathrm{(2)}$是基于Diestel和Leader的一个规范方法 [Reference Diestel and Leader20, Theorem 6·2]：从具有反链分割$\{U_n\;:\;n \in \mathbb{N} \}$的特殊顺序树T构建一个在T上的均匀图G：T中的后继节点与其前驱节点相连，并给定一个极限点$t \in T$，递归地选择下游邻居$t_0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots\lt t$，使得每个$n_{i}$都是在$t_{i-1} \lt t_i \lt t$的条件下最小的（详见定理4·6的详细讨论）。虽然G依赖于$\{U_n \;:\;n \in \mathbb{N} \}$的具体选择，但我们证明任何两个在同一特殊顺序树T上的均匀图都有自然同胚的端空间，并且与$\mathcal{R}(T)$同胚。对于反向的推论$\textrm{(2)} \Rightarrow \textrm{(3)}$，我们额外证明了在顺序树T上存在均匀图意味着T必须是特殊的。推论$\textrm{(2)} \Rightarrow \textrm{(1)}$是显然的，而证明定理1的主要难点是推论$\textrm{(1)} \Rightarrow \textrm{(2)}$，即为任意图G构建一个在特殊顺序树T上的均匀T-图H，使得$\Omega(G)$与$\Omega(H)$同胚。事实上，本文的大部分内容都集中在证明这一推论上。为此，我们提出了一种针对所有连通图的结构定理，该定理基于我们在本文中引入的新概念——分割树，这一概念受到了Brochet和Diestel工作的启发 [Reference Brochet and Diestel5]。简单来说，分割树是图G的一个子结构，它具有顺序树T的形状，并结合了图最小子图理论中的算法深度优先搜索树和树分解的关键方面。形式上，G的分割树是一对$(T,\mathcal{V})$，其中$T=(T,\leqslant)$是一个顺序树，$\mathcal{V}=(V_t \;:\; t\in T)$是将V(G)划分为连通顶点集$V_t$的分割：(i) $G/\mathcal{V}$是T-图；(ii) 对于T中的每个后继节点$t$，$\bigcup_{t'\geqslant t}V_{t'}$的邻域在G中是有限的；以及(iii) 对于所有非极限节点$t\in T$，都有$|V_t|=1$。粗略地说，如果G的端点与T的高射线之间存在双向对应的双射关系，则称$(T,\mathcal{V})$展示了G的端点。如果这种对应关系尊重序列的收敛性，我们称$(T,\mathcal{V})$是顺序忠实的。结构定理表明：每个连通图G都有一个顺序忠实的分割树，它能展示出所有的端点。除了在证明定理1中的关键步骤外，这个结构定理在其他情况下也可能很有用。在第9节中，我们提出了对Halin的端点忠实生成树猜想的一个变体，以及Carmesin的结果 [Reference Carmesin9, 5·17]的简短推导，即每个图都允许一组有限的顺序分离来区分图中的任意两个端点。作为证明定理2的要素，我们引入了一种称为“包围任意顶点集$U\subseteq V(G)$”的新方法，这种方法直观上允许在不改变哪些端点可以通过有限多个顶点分离的情况下最大化地扩展U。自本文完成以来，这种包围方法已经找到了进一步的应用（参见例如 [Reference Aurichi, Júnior and Real1, Reference Koloschin, Krill and Pitz34, Reference Pitz42]）。

本文的组织结构如下：第2节回顾了关于端空间和T-图的术语和事实。第3节介绍了包围顶点集的方法。第4节讨论了均匀T-图的另一种视角，并建立了均匀性と特殊顺序树之间的等价关系。第5节研究了均匀T-图的端空间，并展示了它们与射线空间$\mathcal{R}(T)$的自然同胚性，从而完成了定理2中$\textrm{(2)} \Leftrightarrow \textrm{(3)}$的证明。第6节介绍了分割树并证明了其核心属性。我们在第7节证明了结构定理（定理2）。在第8节，我们从定理2推导出定理1中剩余的推论$\textrm{(1)} \Rightarrow \textrm{(2)}$。最后，在第9节中，我们介绍了一些应用示例。

2. 端空间和T-图：回顾：对于图论术语，我们遵循[Reference Diestel16]中的用法，特别是[Reference Diestel16, 第8章]中关于图的端点和端空间$\Omega(G)$的描述。如果对于所有$y \in Y$，$f^{-1}(y)$都是有限的，则函数$f \colon X \to Y$是有限到一的。

2·1. 端空间：图$G = (V,E)$中的单向无限路径称为射线，射线的子射线称为其尾部。如果没有任何有限的顶点集可以将图$G$中的两条射线分隔开，则这两条射线是等价的；对应的射线等价类就是图G的端点。图G的端点集由$\Omega = \Omega(G)$表示。通常，图的端点用$\omega$表示，但在这里我们用$\varepsilon$或$\eta$来表示端点，以避免与序数$\omega_1$等混淆。如果$X \subseteq V$是有限的，并且$\varepsilon \in \Omega$是一个端点，那么存在$G-X$的一个唯一分量，它包含了$\varepsilon$中每条射线的尾部，我们用$C(X,\varepsilon)$表示这个分量。那么$\varepsilon$就位于分量$C(X,\varepsilon)$中。如果C是$G-X$的任意分量，我们用$\Omega(X,C)$表示包含$\varepsilon$的G的端点集，并简写为$\Omega(X,\varepsilon) \;:\!=\; \Omega(X,C(X,\varepsilon))$。最后，如果$\mathscr{C}$是$G-X$的任意分量集合，我们用$\Omega(X,\mathscr{C}) \;:\!=\; \bigcup\,\{\Omega(X,C) \colon C \in \mathscr{C}\}$表示这个集合。所有满足$X\subseteq V$且C是$G-X$的分量的集合$\Omega(X,C)$构成了$\Omega$上的一个拓扑基础。这个拓扑是Hausdorff的，并且它是零维的，因为它的基础由闭集和开集组成。端点空间的一个关键性质是它们满足Fréchet-Urysohn条件：这意味着闭包可以通过收敛序列来定义，即当且仅当存在某些$x_n \in X$使得$x_n \to x$（当$n \to \infty$时），才有$x \in \overline{X}$，其中$X \subseteq \Omega(G)$是$G$的一个子集。特别地，这意味着如果一个函数$f$在两个端点空间之间是连续的，那么它也是序列连续的；因此，在本文的后续部分，我们只检查序列连续性。注意，在考虑端点空间$\Omega(G)$时，我们总是可以假设G是连通的；添加一个新顶点并在每个连通分量中为其选择一个邻居不会影响端点空间。回想一下，一个梳子是由一条射线R（梳子的主干）和无限多条不相交的有限路径组成的，这些路径的第一个顶点都在R上。这些路径的最后一个顶点就是这个梳子的“齿”。给定一个顶点集U，一个附属于U的梳子是其所有“齿”都在U中的梳子；而一个附属于U的星形结构则是一个所有“叶子”都在U中的细分无限星形结构。那么，“齿”的集合就是这个梳子的“附着集”，“叶子”的集合就是这个星形结构的“附着集”。引理2·1（星形梳子引理）：设U是连通图G中的一个无限顶点集。那么G要么包含一个附属于U的梳子，要么包含一个附属于U的星形结构。我们说G的一个端点$\varepsilon$包含在M的闭包中，其中M是G的一个子图或G的顶点集，当且仅当对于每一个有限顶点集$X\subseteq V$，其构成的连通分量$C(X,\varepsilon)$都与M相交。等价地，$\varepsilon$位于M的闭包中当且仅当G包含一个以$\varepsilon$为其中心的梳子。我们用$\partial_{\Omega} {M}$表示$\Omega$中所有属于M闭包的G的端点的集合。

2·2. 正则树：给定一个图H，如果路径P是非平凡的并且恰好在其端点处与H相交，我们就称P为H-路径。特别地，任何长度为1的H-路径的边都不可能是H的边。如果图G中的每一个T-路径的端点在T的树序中都是可比的，那么根树$T\subseteq G$在G中是正则的（参见[参考文献Diestel16]）。从Jung[参考文献Jung32]开始，正则树已经成为无限图论中最有用的结构工具之一。正则树的相关结果包括：当存在正则生成树时Jung给出的特征描述[参考文献Jung33]，Halin的结果表明没有（胖）子图的图具有正则生成树[参考文献Diestel17、Halin和Bollobás27、Pitz37、Pitz40]，以及关于正则生成树的禁止子图的结果[参考文献Bowler、Geschke和Pitz4、Diestel和Leader20、Halin28、Pitz38、Pitz39]。关于不一定为生成树的正则树的应用，请参见[参考文献Bürger和Kurkofka6、Kurkofka、Melcher和Pitz36]。

引理2·2：设G是任意的连通图，$v\in G$是图G中的任意一个顶点。那么存在一个以v为根的、在包含关系上最大的正则树$T\subseteq G$。$G-T$的每一个连通分量都有一个无限邻域，在T中每个这样的邻域的下闭包决定了T的一个正则射线。证明：根据Zorn引理，存在以v为根的、在包含关系上最大的正则树$T\subseteq G$。根据正则树的定义，$G-V(T)$的每一个连通分量的邻域在T的树序中形成一个链。我们声称所有这样的邻域实际上是无限的，从而决定了T的一个唯一正则射线。实际上，假设相反的情况，即$G-V(T)$的某个分量C有一个有限邻域。设t是在T的树序中C的所有邻点中最大的一个。那么我们可以通过添加任意一条t-C边来扩展T为一个以v为根的更大的正则树，但这与假设矛盾。

2·3. T-图：如果一个偏序集$(T,\leqslant)$有一个唯一的最小元素（称为根），并且所有形如$\lceil t \rceil = \lceil t \rceil_T \;:\!=\; \{t' \in T\;:\; t'\leqslant t\}$的子集都是良序的，则称该偏序集为序树。记$\lfloor t \rfloor = \lfloor t \rfloor_T \;:\!=\; \{t' \in T\;:\; t\leqslant t'\}$。我们简写$\mathring{\lceil t\rceil}\;:\!=\;\lceil t\rceil\setminus\{t\}$和$\;:\!=\;\lfloor t\rfloor\setminus\{t\}$。对于子集$X\subseteq T$，我们简写$\lceil X\rceil\;:\!=\;\bigcup_{t\in X}\lceil t\rceil$和$\lfloor X\rfloor\;:\!=\;\bigcup_{t\in X}\lfloor t\rfloor$。T中的极大链称为T的一个分支；注意每个分支都继承了T的良序。T的高度是其分支的序类型的最大值。图T中点$t$的高度是$\mathring{\lceil t\rceil}$的序类型。所有高度为i的点组成的集合$T^i$是T的第i层，我们用$T^{\lt i} \;:\!=\; \bigcup\{T^j\;:\; j \lt i\}$和$T^{\leqslant i} \;:\!=\; \bigcup\{T^j\;:\;j \leqslant i\}$来表示。如果$t \lt t'$，我们使用常规的区间表示法，例如$(t,t') = \{s \colon t\lt s \lt t'\}$来表示t和t′之间的节点。如果t和t′之间没有节点，我们称t′是t的后继节点，t是t′的前驱节点；如果t不是任何节点的后继节点，它被称为极限节点。如果一个序树可以被划分为可数多个反链，则称其为特殊的序树；如果其后继节点可以被划分为可数多个反链，则称其为半特殊的序树。在序树T中，一个下闭链$\mathscr{C}$的顶点$t\in T\setminus\mathscr{C}$是满足$\mathring{\lceil t\rceil}=\mathscr{C}$的极限节点。注意，一个链$\mathscr{C}\subseteq T$可能有多个顶点。如果$V(G) = T$且G中任意边的两个端点在T中是可比的，则称序树T在图G中是正则的。如果图G中的T是一个T-图，且任意点t的所有下邻居在$\mathring{\lceil t\rceil}$中是共尾的，我们称G为T-图。关于T-图，我们提到了以下标准结果，并建议读者参考[参考文献Brochet和Diestel5，第2节]了解更多细节。

引理2·3：设$(T,\leqslant)$是一个序树，G是一个T-图。(i) 对于T中不可比的顶点t和t′，集合$\lceil{t}\rceil \cap \lceil{t'}\rceil$在G中将t与t′分隔开。(ii) G的每一个连通子图都有一个唯一的T-最小元素。(iii) 如果$T' \subseteq T$是下闭的，那么$G - T'$的连通分量都可以由$\lfloor{t}\rfloor$生成，其中t在$T\setminus T'$中是最小的。(iv) 对于T中任意两个顶点$t\leqslant t'$，区间[t, t′]在G中是连通的。

3. 覆盖集和集中顶点集：一个顶点集或子图$U \subseteq G$的附着集是指形如N(C)的任何子集，其中C是$G-U$的一个连通分量。如果一个集合或子图U的所有附着集都是有限的，则称该集合或子图在G中的附着是有限的。设G是一个连通图。如果一个顶点集$U \subseteq V(G)$的覆盖集$U^* \supseteq U$的所有附着集都是有限的，并且$\partial_{\Omega} { U^*} = \partial_{\Omega} {U}$，则称$U^*$为$U$的覆盖集。我们将在下面的定理3·3中证明覆盖集的存在性。我们需要一个预备引理。如果对于每一个有限顶点集$X\subseteq V$，只有有限多的$U$中的顶点位于$\bigcup_{\varepsilon \in \partial_{\Omega} {U}} C(X,\varepsilon)$之外，那么称顶点集U在其边界$\partial_{\Omega} {U}$中是集中的。如果一个顶点集U在某个端点$\varepsilon$中是集中的，我们指的是$\partial_{\Omega} {U} = {\left\lbrace {\varepsilon} \right\rbrace}$的情况。回想一下，如果对于$P=(P,{\leqslant})$中的每一个$p\in P$，都存在一个$x\in X$使得$x\geqslant p$，那么$P$的子集X在$P$和${\leqslant}$中是共尾的。我们说一个根树$T\subseteq G$包含一个集合U是共尾的，如果$U\subseteq V(T)$并且U在T的树序中是共尾的。注意，这样的树很容易构造：任何以U为根的、在包含关系上最小的子树T都必然包含U（无论我们选择T的哪个顶点作为根）。

引理3·1：设G是任意的图，$U\subseteq V(G)$是一个顶点集，假设$T\subseteq G$是一个以U为根的根树，并且包含U是共尾的。那么以下断言成立：(i) $\partial_{\Omega} {T} = \partial_{\Omega} {U}$；(ii) 如果U的附着是有限的，那么T的附着也是有限的；(iii) 如果U是集中的，那么T也是集中的。证明：断言(i)和(ii)已经在[参考文献Bürger和Kurkofka6，引理2·13]以及[参考文献Pitz39，引理4·3]中得到证明。为了方便读者，我们一次性给出这三个属性(i)–(iii)的完整证明。为此，假设$T\subseteq G$是一个以U为根的根树，并且包含U是共尾的。 claim 3·2：如果X是一个有限的顶点集，$\mathscr{C}$是$G-X$的连通分量的集合，并且V(T)与$\bigcup \mathscr{C}$无限次相交，那么已经可以推出U与$\bigcup \mathscr{C}$无限次相交。为了证明这一点，假设相反的情况，即对于某个有限的顶点集X和某些$G-X$的连通分量$\mathscr{C}$，我们有$\bigcup \mathscr{C}$与U有限次相交，但V(T)与$\bigcup \mathscr{C}$无限次相交。通过增加X的元素，我们可以假设$\bigcup \mathscr{C} \cap U = \emptyset$。由于V(T)是无限的而$\lceil{X}\rceil$是有限的，因此存在$t \in (T \setminus \lceil{X}\rceil) \cap \bigcup \mathscr{C}$。那么$\lfloor{t}\rfloor \subseteq \bigcup \mathscr{C}$确保U不被包含在内，这与假设U在T中是共尾的相矛盾。现在来证明(i)：考虑任何不在$\partial_{\Omega} {U}$中的端点$\varepsilon$。那么存在一个有限的顶点集X使得$C(X,\varepsilon)$不包含U。根据claim 3·2，V(T)也与$C(X,\varepsilon)$有限次相交，从而证明$\varepsilon \notin \partial_{\Omega} {T}$。证明(iii)的思路类似。最后，对于(ii)，考虑$G-T$的一个分量C′。那么存在一个$G-U$的分量C使得$C' \subseteq C$。假设U的附着是有限的，那么$X=N(C)$是有限的。将claim 3·2应用于X和C可以得出V(T)与C有限次相交。因此$N(C') \subseteq X \cup (V(T) \cap V(C))$是有限的，所以T的附着是有限的。

定理3·3：在连通图G中，任何[集中]的顶点集U都有一个连通的[集中]覆盖集$U^*$。此外，可以选择这样的连通覆盖集$U^*$：对于$G-U$的每一个分量C，都有$U^* \cap C$是连通的。证明：根据Zorn引理，存在一个以U为根的、在包含关系上最大的梳子集合。记这些梳子的集合为$\mathcal{R}$。设S是所有附属于U的（无限）星形结构的中心组成的集合。我们将证明$$U^* \;:\!=\; U \cup \bigcup_{R \in \mathcal{R}} V(R) \cup S$$是U的覆盖集。证明依赖于以下断言：claim 3·4：如果X是一个有限的顶点集，$\mathscr{C}$是$G-X$的连通分量的集合，并且$U^*$与$\bigcup \mathscr{C}$无限次相交，那么U也与$\bigcup \mathscr{C}$无限次相交。为了证明这一点，考虑某个有限的顶点集X，并假设$\mathscr{C}$是$G-X$的连通分量的集合，并且U与$\bigcup \mathscr{C}$有限次相交。那么S与$\bigcup \mathscr{C}$不相交。接下来考虑一个与$\bigcup \mathscr{C}$相交的脊$R \in \mathcal{R}$。由于R最终位于$C \notin \mathscr{C}$中的一个分量中，因此R与$\bigcup \mathscr{C}$有限次相交。此外，R也与X相交，由于$\mathcal{R}$中的骨架是两两不相交的，因此从$\mathcal{R}$出发与$\bigcup\mathscr{C}$相交的骨架最多有$|X|$个，并且每个骨架都只与$\bigcup\mathscr{C}$相交有限次。因此，$\bigcup_{R \in \mathcal{R}} V(R)$也与$\bigcup \mathscr{C}$相交有限次，从而证明了该命题。现在我们来证明$\partial_{\Omega} {U^*} = \partial_{\Omega} {U}$：考虑任何不属于$\partial_{\Omega} {U}$的端点$\varepsilon$，那么存在一个有限的顶点集X，使得$C(X,\varepsilon)$不包含U。根据命题3·4，$U^*$也与$C(X,\varepsilon)$相交有限次，这证明了$\varepsilon \notin \partial_{\Omega} {U^*}$。如果U是集中的，那么$U^*$也是集中的，这个结论可以通过命题3·4类似地得出。为了证明$U^*$具有有限的粘附性，假设相反的情况：存在$G-U^*$的一个分量C，其邻域是无限的。那么根据定理2·1，我们总能找到一个以v为中心或以R为骨架的星形结构或梳状结构，其中v或R包含在C中。那么对于所有与v不相交的有限顶点集X，v或R的尾巴必定存在于某个与$U^*$无限相交的$G-X$的分量中，从而根据命题3·4，U也与该分量无限相交。但是，这样就可以归纳地构造出一个以v为中心或以R为骨架的星形结构或梳状结构连接到U上，这与我们的假设矛盾。为了得到一个同时满足条件的连通包络，注意到G中存在包含$U^*$的包含关系最小的子树，使得对于$G-U$的每个分量C，$T \cap C$都是连通的：对于$G-U$的每个分量C，取一个生成树$T_C$，并将这些生成树扩展成G的一个有根生成树T。那么根据定理3·1，$U^*$的向下闭包就可以作为所需的包络。关于一个比我们的包络概念更强的概念，但其存在性的证明要复杂得多，可以参考Polat的论文[Reference Polat45]；在我们提出的包络概念之前，Bürger和第一作者在[Reference Bürger and Kurkofka7，定理1]中也使用了类似的概念。回忆一下，在拓扑空间X中，如果一个序列$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$收敛于集合$A \subseteq X$，记作$x_n \to A$（当$n \to \infty$），则意味着包含A的每个开集也几乎包含了所有的$x_n$。如果$A= {\left\lbrace {x} \right\rbrace}$是一个单元素集合，那么这就简化为通常的收敛概念$x_n \to x$。我们只对单个端点应用以下引理。然而，为了将来参考，我们在这里将其以适用于一组紧凑端点的最优形式陈述。引理3·5：设U是G中一个具有有限粘附性的集中顶点集，并且假设$\partial_{\Omega} {U}$是紧凑的。设$(\varepsilon_n)_{n\in \mathbb{N}}$是$\Omega(G) \setminus \partial_{\Omega} {U}$中任意的一系列端点，并用$D_n$表示$\varepsilon_n$所在的$G-U$的唯一分量。那么$\varepsilon_n \to \partial_{\Omega} {U}$（当$n \to \infty$）当且仅当映射$\mathbb{N} \ni n\mapsto N_G(D_n)$是单射。证明：首先，假设对于某个有限的集合$X \subseteq U$，有无限多个$n\in \mathbb{N}$使得$N_G(D_n) = X$。设$\mathscr{C}$表示$G-X$中包含来自$\partial_{\Omega} {U}$的端点的所有分量。那么$\Omega(X,\mathscr{C})$是一个围绕$\partial_{\Omega} {U}$的开邻域，它避免了无限多个$\varepsilon_n$，这证明了$\varepsilon_n \not\to \partial_{\Omega} {U}$。现在假设映射$\mathbb{N} \ni n\mapsto N_G(D_n)$是单射，并且假设相反的情况：序列$\varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots$在G的端点空间中不收敛于$\partial_{\Omega} {U}$。那么存在一个围绕$\partial_{\Omega} {U}$的开集，它避免无限多个$\varepsilon_n$，由于$\partial_{\Omega} {U}$的紧凑性，我们可以找到一个有限的顶点集$X\subseteq V(G)$，使得无限多个$\varepsilon_n$位于$\bigcup_{\varepsilon \in \partial_{\Omega} {U}} C(X,\varepsilon)$之外。由于映射$n\mapsto D_n$的纤维是有限的，我们可以不失一般性地假设这个有限的顶点集X不与这些端点所在的任何分量$D_n$相交。因此，无限多个邻域$N_G(D_n)$避免了$\bigcup_{\varepsilon \in \partial_{\Omega} {U}} C(X,\varepsilon)$。但是由于这些邻域都包含在U中的顶点，而映射$n\mapsto N_G(D_n)$的纤维是有限的，这些邻域的并集是U中的一个无限子集，它位于$\bigcup_{\varepsilon \in \partial_{\Omega} {U}} C(X,\varepsilon)$之外，这与U是集中的假设相矛盾。

4. 均匀T图和特殊顺序树
定义4·1：一个T图G具有以下特性：
(i) 如果对于每一个极限序数$\sigma$，所有的$G-T^{\leqslant\sigma}$的分量都有有限的邻域，则称G具有有限粘附性；
(ii) 如果对于每一个极限$t\in T$，都存在一个有限的集合$S_t\subseteq\mathring{\lceil t\rceil}$，使得所有大于t的$t'$的邻居都包含在$S_t$中，则称G具有均匀有限粘附性。T图具有均匀粘附性的性质是由Diestel和Leader在[Reference Diestel and Leader20]中提出的，并且在[Reference Geschke, Kurkofka, Melcher and Pitz23]中也得到了证明。接下来的两个引理阐明了有限粘附性和均匀有限粘附性之间的关系。

引理4·2：对于一个T图G来说，以下条件是等价的：
(i) G具有有限粘附性；
(ii) 对于每一个序数$\sigma$，所有的$G-T^{\leqslant\sigma}$的分量都有有限的邻域；
(iii) 对于T中的每一个后继序数$t$，形式为$\lfloor{t}\rfloor$的顶点集在G中都有有限的邻域。

证明：
(i) $\Rightarrow$ (ii)：对于极限序数$\sigma$，这一点显而易见。假设$\sigma$是一个非极限序数，考虑$G-T^{\leqslant\sigma}$的任意一个分量C。假设相反的情况：C有无限多个邻居。由于这些邻居构成一个良序序列，并且$\sigma$是一个非极限序数，我们可以找到一个无限的邻居链$\omega$-chain $t_0\lt t_1\lt\cdots$以及一个极限序数$t\in T^{\lt\sigma}$，使得对于所有的$n\lt\omega$，都有$t_n\lt t$。设$\mu$表示t的高度，并注意到$\mu$是一个极限序数。那么$G-T^{\leqslant \mu}$中包含C的分量有无限的邻域，这与我们关于G具有有限粘附性的假设相矛盾。
(ii) $\Rightarrow$ (iii)：假设t是一个后继序数，并设$\sigma$是t的前驱序数。根据定理2·3(iii)，包含t的$G-T^{\leqslant \sigma}$的唯一分量由$\lfloor{t}\rfloor$生成，因此它有有限的邻域。
(iii) $\Rightarrow$ (i)：设$\sigma$是一个极限序数。根据定理2·3(iii)，$G-T^{\leqslant \sigma}$的分量由$\lfloor{t}\rfloor$生成，因此根据假设(ii)，这些分量有有限的邻域。

引理4·3：对于一个T图G来说，以下条件是等价的：
(i) G具有均匀有限粘附性；
(ii) 对于T中的每一个极限序数$t$，形式为$\lfloor{t}\rfloor$的顶点集在G中都有有限的邻域；
(iii) 对于T中的每一个极限序数$t$，所有的顶点集在G中都有有限的邻域。

证明：
(i) $\Rightarrow$ (ii)：如果G具有均匀有限粘附性，那么对于T中的每一个极限序数$t$，形式为$\lfloor{t}\rfloor$的顶点集的所有邻居都包含在有限集合$S_t\cup\{t\}$中。
(ii) $\Rightarrow$ (iii)：假设相反的情况：某些形式为$\lfloor{t}\rfloor$的顶点集有无限多个邻居。那么我们可以找到一个无限的邻居链$\omega$-chain $t_0\lt t_1\lt\cdots$以及一个极限序数$\ell\leqslant t$，使得对于所有的$n\lt\omega$，都有$t_n\lt\ell$。但是这样就会导致形式为$\lfloor{t}\rfloor$的顶点集也有无限的邻域，这与假设相矛盾。
(iii) $\Rightarrow$ (i)：设t是T的一个极限节点。那么形式为$\lfloor{t}\rfloor$的顶点集如预期那样满足条件。

比较定理4·2(iii)和定理4·3(iii)可以解释“均匀”这一名称的含义，并特别表明均匀有限粘附性意味着有限粘附性。

引理4·4：如果G是一个具有有限粘附性的T图，并且$t\in T$是一个极限序数，那么t的邻居在$\mathring{\lceil t\rceil}$中形成一个共尾的$\omega$-chain。

证明：t的邻居形成了一个无限链$\mathscr{C}\subseteq\mathring{\lceil t\rceil}$。由于G具有有限粘附性，在$\mathring{\lceil t\rceil}$中的每一个后继序数之下，只有有限多个$\mathscr{C}$的元素。因此$\mathscr{C}$必须是一个$\omega$-chain。

我们的下一个结果描述了在哪种类型的顺序树T上存在具有（均匀）有限粘附性的T图，这取决于T是特殊的还是半特殊的。对于这些类别的顺序树，记住以下经典定义是有帮助的：回顾[Reference Baumgartner3]，如果一个偏序P可以嵌入到一个偏序Q中，即存在一个映射$f \colon P \to Q$，使得$p \lt p'$意味着$f(p) \lt f(p')$（注意，这样的映射不需要是单射）。定理4·5（Baumgartner和Galvin [Reference Baumgartner3，第4·1节]）。设$(T,\leqslant)$是一个顺序树：
(i) $(T,\leqslant)$是特殊的，当且仅当$(T,\leqslant)$可以嵌入到$(\mathbb{Q},\leqslant)$中。
(ii) $(T,\leqslant)$是半特殊的，当且仅当$(T,\leqslant)$可以嵌入到$(\mathbb{R},\leqslant)$中。

我们现在给出所承诺的描述：
定理4·6：设$(T,\leqslant)$是一个顺序树。
(i) 如果存在一个具有均匀有限粘附性的T图，那么$(T,\leqslant)$是特殊的。
(ii) 如果存在一个具有有限粘附性的T图，那么$(T,\leqslant)$是半特殊的。

证明：
(i) 首先假设T是特殊的，并且具有反链分割$\{U_n\colon n \in \mathbb{N} \}$。根据Diestel, Leader和Todorcevic [Reference Diestel and Leader20]的方法，我们按照以下方式构造一个T图：后继节点与它们的前驱节点相连，并且给定一个极限序数$t \in T$，递归地选择一些下邻居$t_0 \lt_T t_1 \lt_T t_2 \lt_T \cdots\lt_T t$，使得$t_i \in U_{n_i}$，并且每个$n_{i}$都是最小的。我们声称这样构造的T图G具有均匀有限粘附性。实际上，可以选择$S_t$由所有包含在比包含t的反链索引更小的反链中的$\mathring{\lceil t \rceil}$的元素组成。反过来，假设存在一个具有均匀有限粘附性的T图G，其根为r。我们认为存在一个递归函数$f \colon (T - r) \to T$，使得每个分支都可以被可数个反链覆盖（根据Todorcevic [Reference Todorcevic53，定理2·4]的已知结论，T本身也是特殊的）。实际上，将所有后继节点映射到它们唯一的前驱节点，并将一个极限序数t映射到$(\textrm{max}\, S_t,t)$中的任意一个邻居。这个递归映射在T的分支上是${\leqslant}2-1$的：假设相反的情况，存在两个极限序数$t\lt t'$，使得$f(t) = f(t')$。由于$t' \gt t \gt f(t) = f(t')$，我们有$f(t') \in S_t$，但这与假设矛盾。
(ii) 假设T的后继节点具有反链分割$(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$。按照上述相同的方法，我们构造一个T图：后继节点与它们的前驱节点相连，并且给定一个极限序数$t \in T$，递归地选择一些下邻居$t_0 \lt_T t_1 \lt_T t_2 \lt_T \cdots\lt_T t$，使得$t_i \in U_{n_i}$，并且每个$n_{i}$都是最小的。我们声称这样构造的T图G具有有限粘附性。实际上，对于任何极限序数$\sigma$和$G-T^{\leqslant\sigma}$的任意一个分量C，都有$C = \lfloor{s}\rfloor$，其中s是某个极限序数$t \in T^\sigma$的唯一后继节点，根据定理2·3(iii)。因此，N(C)是有限的，因为$N(C) \cap \mathring{\lceil t\rceil}$的所有元素都属于比包含s的反链索引更小的反链。反过来，假设存在一个具有有限粘附性的T图G。设$L\subseteq T$包含所有在T中有后继节点的极限序数，对于$L$中的每一个极限序数$\ell$，令集合$S(\ell)$包含$\ell$在T中的所有后继节点。我们通过以下方式从T构造一个新的顺序树T′：首先为$L$和$S(\ell)$中的每一个$\ell$和$s$添加一个新的节点$v(\ell,s)$，并声明$v(\ell,s)$是$\ell$的后继节点和s的前驱节点。然后删除L。请注意，存在一个自然的满射 $\varphi\colon T' \to T$，它在 $T\setminus L$ 上是恒等映射，并且将每个 $v(\ell,s)$ 映射到 $\ell$。显然，这个满射具有这样的性质：$\varphi^{-1}(\ell)$ 中的任意两个不同元素都是互相不可比的。设 $G'$ 是一个 T'-图，其顶点集为 $V(G')\;=\;T'$，并且其边集 $E(G')$ 包含所有满足 $t \lt t' \in T' \wedge \varphi(t)\varphi(t') \in E(G)$ 的边对。考虑 $T'$ 的一个极限点 $t=v(\ell,s)$。由于 G 具有有限的粘着力，因此 $\lfloor{s}\rfloor_T$ 在 G 中有一个有限的邻域，记为 $S_s$。由于 $T'$ 中的每个 $t' \gt t$ 都满足 $\varphi(t') \in \lfloor{s}\rfloor_T$，因此集合 $S_t=\varphi^{-1}(S_s) \cap \lceil t\rceil_{T'}$ 证明了 G' 具有均匀有限的粘着力。（为了看出 $S_t$ 是有限的，注意到由于 $\varphi^{-1}(\ell)$ 中的元素互相不可比，对于 $S_s$ 中的每个 $\ell$，我们有 $|\varphi^{-1}(\ell) \cap \lceil t\rceil_{T'}| \leqslant 1$。）根据以上性质，可以得出 $T'$ 是特殊的，因此它允许一个可数的反链分割。这诱导了 T' 的后继者上的一个反链分割。推论 4·7：如果 G 是一个具有有限粘着力的 T-图，那么 T 的所有分支都是可数的。证明：如果 G 是一个具有有限粘着力的 T-图，那么结合前面的定理可以证明 T 可以嵌入到 $(\mathbb{R}, \leqslant)$ 中。特别地，对于 T 的每个分支 B，都存在一个从 $(B, \leqslant)$ 到 $(\mathbb{R}, \leqslant)$ 的保持顺序的注入映射。由于 B 是良序的，而 $\mathbb{R}$ 中不包含不可数的良序子集，因此 B 是可数的。

5. 具有有限粘着力的 T-图的端空间
回顾引言中提到的内容，如果一个顺序树 T 中的向下封闭链 $\mathscr{C}$ 的顺序类型是一个极限序数（等价于：$\mathscr{C}$ 没有最大元素），那么我们称 $\mathscr{C}$ 为 T 的高射线。我们用 $\mathcal{R}(T)$ 表示 T 的所有高射线的集合。在本节中，我们将展示如何通过 T 的高射线来理解具有有限粘着力的 T-图的端空间。注意到在这种情况下，根据定理 4·7，T 中的所有高射线都具有共尾性 $\omega$。为此，设 G 是任何具有有限粘着力的 T-图。每个 $t \in T$ 都诱导出 T 的一个二分划分 $\{\lfloor{t}\rfloor, \, T\setminus\lfloor t\rfloor\}$。由于 T 是 G 的顶点集，因此有 $\Omega(G) = \partial_{\Omega} {\lfloor{t}\rfloor} \cup \partial_{\Omega} {(T\setminus\lfloor{t}\rfloor)$。对于 G 的每个端点 $\varepsilon$，定义 $\sigma(\varepsilon) = \{t \in T \mid \varepsilon \in\partial_{\Omega} {\lfloor{t}\rfloor} \setminus \partial_{\Omega} {(T\setminus\lfloor{t}\rfloor)\}$。显然，$\sigma(\varepsilon)$ 是 T 中的一个向下封闭链。在下一节的结尾，我们将看到引理 5·1 的证明。映射 $\sigma$ 是端空间 $\Omega(G)$ 与所有高射线的集合 $\mathcal{R}(T)$ 之间的双射，对于每个具有有限粘着力的 T-图 G 都成立。现在我们根据它们在 T 中对应高射线的组合行为来描述统一 T-图的端点的收敛序列 $\varepsilon_n \to \varepsilon$。设 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}$ 是某个拓扑空间中的序列，$A \subseteq \mathbb{N}$。我们说当 $A$ 是无限的且子序列 $(x_{n})_{n \in A}$ 收敛到 x 时，序列 $x_n \to x$ 对于 $n \in A$ 和 $n \to \infty$ 成立。引理 5·2：设 G 是一个统一的 T-图。设 $\varepsilon$ 和 $\varepsilon_n$（$n \in \mathbb{N}$）是 G 的端点，$\varrho \;=\;\sigma(\varepsilon)$ 和 $\varrho_n \;=\;\sigma(\varepsilon_n)$ 是它们在 T 中对应的高射线。设 $A \subseteq \mathbb{N}$ 包含所有满足 $\varrho \subsetneq \varrho_n$ 的数 n，并设 $B \;=\; \mathbb{N} \setminus A$。(i) 当且仅当 A 是无限的，并且对于 $\varrho$ 的每个顶点 t，只有有限多的 $n \in A$ 使得 $t \in \varrho_n$ 时，序列 $\varepsilon_n \to \varepsilon$ 在 $\Omega(G)$ 中收敛对于 $n \in A$ 和 $n \to \infty$ 成立。(ii) 当且仅当 B 是无限的，并且对于 $\varrho$ 的每个后继节点 t，只有有限多的 $n \in B$ 使得 $\varrho \cap \varrho_n \subseteq \mathring{\lceil t\rceil}$ 时，序列 $\varepsilon_n \to \varepsilon$ 在 $\Omega(G)$ 中收敛对于 $n \in B$ 和 $n \to \infty$ 成立。证明：(i) 我们间接证明前向蕴含。为此，假设存在 $\varrho$ 的一个顶点 t，使得对于无限多的 $n \in A$ 有 $t \in \varrho_n$。那么有限的顶点集 $S_t \cup\{t\}$ 同时将 $\varepsilon$ 和 $\varepsilon_n$ 分开，这是一个矛盾。对于后向蕴含，设 $X \subseteq V(G)$ 是任意有限的顶点集；我们需要找到一个足够大的数 $N \in \mathbb{N}$，使得对于所有 $n \geq N$，$\varepsilon_n$ 都属于 $C(X,\varepsilon)$。设 Y 是所有满足 $\lfloor t\rfloor$ 与 X 相交的 $\varrho$ 的顶点 t 的集合。根据假设，我们找到一个足够大的 $N \in \mathbb{N}$，使得所有满足 $n \in A$ 且 $n \geq N$ 的高射线 $\varrho_n$ 避开了 Y。我们声称所有对应的端点 $\varepsilon_n$ 都属于 $C(X,\varepsilon)$。为此，给定任意满足 $n \geq N$ 的 $n \in A$。设 $t'_0\lt t'_1\lt\cdots$ 是高射线 $\varrho_n$ 中的一个共尾的 $\omega$-链，且 $t'_0$ 是 $\varrho$ 的一个顶点。设 $t_0\lt t_1\lt\cdots$ 是高射线 $\varrho$ 中的一个共尾的 $\omega$-链，且 X 在 $\varrho$ 中没有顶点大于或等于 $t_0$，并且 $t_0$ 是 $t'_0$ 的邻居。由于根据定理 2·3 (iv)，T-图 G 中的间隔 $[t_k,t_{k+1}]$ 和 $[t'_k,t'_{k+1}]$ 对于所有 $k \in \mathbb{N}$ 都是连通的，我们找到射线 $R\in\varepsilon$ 和 $R_n\in\varepsilon_n$，它们分别从 $t_0$ 和 $t'_0$ 开始，并且避开了 X。由于 $t_0 t'_0$ 是 G 的一条边，因此 $\varepsilon_n$ 属于 $C(X,\varepsilon)$。(ii) 我们间接证明前向蕴含。为此，假设存在 $\varrho$ 的一个后继节点 t，使得对于无限多的 $n \in B$ 有 $\varrho\cap\varrho_n\subseteq\mathring{\lceil t\rceil}$。那么根据定理 4·2，$N_G(\lfloor t\rfloor)$ 是一个有限的顶点集，并且它同时将无限多的 $\varepsilon_n$ 与 $\varepsilon$ 分开。对于后向蕴含，设任意有限的顶点集 $X \subseteq V(G)$。设 $t\in\varrho$ 是任意一个后继节点，且 $X \subseteq V_{\mathring{\lceil t\rceil}$。根据假设，我们找到一个足够大的数 $N \in B$，使得对于所有 $n \geq N$，$\varepsilon_n$ 都属于 $C(X,\varepsilon)$（其中 $n \in B$）。设 $t_0\lt t_1\lt\cdots$ 是高射线 $\varrho$ 中的一个共尾的 $\omega$-链，且 $t_0$ 是 $\varrho$ 的一个顶点。由于根据定理 2·3 (iv)，$[t_n,t_{n+1] \subseteq\varrho$ 在 G 中是连通的，我们在 $G-X$ 中找到射线 $R\in\varepsilon$ 和 $R_n\in\varepsilon_n$，它们分别从 t 和 $t'_0$ 开始，并且避开了 X。由于 $t_0 t'_0$ 是 G 的一条边，因此 $\varepsilon_n$ 属于 $C(X,\varepsilon)$。(ii) 我们间接证明前向蕴含。为此，假设存在 $\varrho$ 的一个后继节点 t，使得对于无限多的 $n \in B$ 有 $\varrho\cap\varrho_n\subseteq\mathring{\lceil t\rceil}$。那么根据定理 4·2，$N_G(\lfloor t\rfloor)$ 是一个有限的顶点集，并且它同时将无限多的 $\varepsilon_n$ 与 $\varepsilon$ 分开。对于后向蕴含，设任意有限的顶点集 $X \subseteq V(G)$。设 $t\in\varrho$ 是任意一个后继节点，且 $X \subseteq V_{\mathring{\lceil t\rceil}$。根据假设，我们找到一个足够大的数 $N \in B$，使得对于所有 $n \geq N$，$\varrho_n$ 都属于 $C(X,\varepsilon)$（其中 $n \in B$）。设 $t_0\lt t_1\lt\cdots$ 是高射线 $\varrho$ 中的一个共尾的 $\omega$-链，并且 X 在 $\varrho$ 中没有顶点大于或等于 $t_0$，并且 $t_0$ 是 $t'_0$ 的邻居。由于根据定理 2·3 (iv)，$[t_n,t_{n+1] \subseteq\varrho$ 在 G 中是连通的，我们在 $G-X$ 中找到射线 $R\in\varepsilon$ 和 $R_n\in\varepsilon_n$，它们分别从 t 和 $t'_0$ 开始，并且避开了 X。因此对于所有 $n \geq N$，有 $\varepsilon_n \in\Omega(X,\varepsilon)$。现在我们展示对于统一的 T-图，定理 5·2 中描述的拓扑结构就是 $\mathcal{R}(T)$ 的拓扑结构。引言中对 $\mathcal{R}(T)$ 作为 ${\left\lbrace {0,1} \right\rbrace}^T$ 的子空间的定义等价于以下断言：$\mathcal{R}(T)$ 的拓扑结构是最小的拓扑结构，在这个拓扑结构中，所有形如 $[t] = \{x \in \mathcal{P}(T)\;:\; t \in x\}$ 及其补集 $[t]^\complement = \{x \in \mathcal{P}(T) \;:\; t \notin x\}$ 的集合都是开集。引理 5·3：对于射线空间，某个高射线 $x \in \mathcal{R}(T)$ 的局部邻域基 $\mathscr{C}(x)$ 由以下形式的集合给出：$[t,F'] \;=\; [t] \setminus \bigcup_{s \in F'} [s] = [t] \setminus [F']$，其中 $t \in x$ 且 F' 是 x 的有限个顶点集。证明：根据我们子基的定义，每个开集 U 都包含一个基本集 B，其形式为 $x \in B = \bigcap_{t \in E} [t] \cap \bigcap_{s \in F'} [s]^\complement= \bigcap_{t \in E} [t] \setminus \bigcup_{s \in F'} [s] \subseteq U$，其中 $E,F' \subseteq T$ 是有限的集合。选择 $|E| + |F'|$ 最小的 B。由于 $x \in B$ 意味着 $E \subseteq x$，我们可以用 E 的最大元素替换 E。因此，$|E| \leqslant 1$。接下来，我们声称对于 $F'$ 中的每个 $s$，都存在 x 的一个顶点 $\tilde s$ 使得 $\tilde s \leqslant s$。实际上，如果存在 $\lceil s_0\rceil \cap x \subsetneq x$，那么选择 $t \in x \setminus (E \cup \lceil s_0\rceil)$，得到 $x \in [t] \setminus \bigcup_{s \in F'_0} [s] \subseteq B$（其中 $F'_0 = F' \setminus {\left\lbrace {s_0} \right\rbrace}$），这与 $|E|+|F'|$ 的最小性矛盾。因此，对于 $F'$ 中的每个 $s$，都存在 x 的一个顶点 $\tilde s$ 使得 $\tilde s \leqslant s$，并且通过设置 $F = \{\tilde s \;:\; s \in F'\}$，我们得到 $x \in [t,F] \subseteq B \subseteq U \subseteq \mathcal{R}(T)$，其中 $t \in x$ 且 F 是 x 的有限个顶点集。以下结果证明了我们的表示定理 1 中的等价关系 $\textrm{(2)} \Leftrightarrow \textrm{(3)}$。命题 5·4：统一 T-图的端空间自然同构于 $\mathcal{R}(T)$。证明：设 G 是一个统一的 T-图。那么根据定理 4·6，T 是特殊的。根据定理 5·2，端空间 $\Omega(G)$ 自然同构于在 $\mathcal{R}(T)$ 上的拓扑结构 $\tau_{seq}$，该拓扑结构是通过如下方式描述收敛序列来定义的：设 x 和 $x_n$（$n \in \mathbb{N}$）是特殊顺序树 T 中的高射线。设 $A\subseteq \mathbb{N}$ 包含所有满足 $x \subsetneq x_n$ 的数 n，并设 $B\;=\; \mathbb{N} \setminus A$。(i) 当且仅当 A 是无限的，并且对于 x 的每个顶点 t，只有有限多的 $n \in A$ 使得 $t \in x_n$ 时，序列 $x_n \to x$ 对于 $n \in A$ 和 $n \to \infty$ 成立。(ii) 当且仅当 B 是无限的，并且对于 x 中的每个节点 t，只有有限多的 $n \in B$ 使得 $x \cap x_n \subseteq \mathring{\lceil t\rceil}$ 时，序列 $x_n \to x$ 对于 $n \in B$ 和 $n \to \infty$ 成立。设 $\tau$ 表示射线空间 $\mathcal{R}(T) \subseteq {\left\lbrace {0,1} \right\rbrace}^T$ 上的标准拓扑。为了验证 $\tau$ 和 $\tau_{seq}$ 引导相同的闭集，给定 $X \subseteq \mathcal{R}(T)$，我们需要证明对于 $x \in \overline{X}$ 关于 $\tau$ 成立当且仅当存在一个序列 $(x_n) \subseteq X$ 使得 $x_n \to x$ 在 $\tau_{seq}$ 中成立。对于前向蕴含，假设 $x \in \overline{X} \setminus X$。如果存在无限多个 x 的顶点 $s_n$（$n \in \mathbb{N}$）使得 $[s_n] \cap X \neq \emptyset$，那么选择 $x_n \in [s_n] \in X$ 并注意到根据 (i)，$x_n \to x$ 在 $\tau_{seq}$ 中成立。因此，我们可以假设只有有限多的顶点 $F = {\left\lbrace {s_1,\ldots, s_k} \right\rbrace}$ 使得 $X \cap [s_i] \neq \emptyset$。设 $X' = X \setminus [F]$。由于 $[F] \not\ni x$ 是闭开的，因此 $x \in \overline{X'}$。设 $t_n$ 是 x 中的一个递增的、共尾的序列（由于 T 是特殊的，这样的序列存在）。由于 $\bigcap_{n \in \有时，当$T'$由一个长公式给出时，我们会写作$V\restriction T'\;:\!=\;V_{T'}$。定义6·1：G的一个划分树是一对$(T,\mathcal{V})$，其中T是一棵顺序树，$\mathcal{V}=(V_t\colon t\in T)$是将V(G)划分为若干个连通顶点集$V_t$（也称为部分），并且满足以下条件：(PT1)收缩子图$\dot{G}\;:\!=\;G/\mathcal{V}$（删除所有产生的平行边和循环）是一个T-图；(PT2) $(T,\mathcal{V})$具有有限的粘合性，即对于$T$中的每个后继节点$t$，都有$N_G(V_{\lfloor t\rfloor})$是有限的；(PT3)所有非极限节点$t$对应的部分$V_t$必须是单元素集。第一个条件意味着只有连通图才能有划分树。第二个条件根据定理4·2(iii)表明T-图$\dot{G}$具有有限的粘合性。然而，反向蕴含不成立：T-图$\dot G$可以具有有限的粘合性，同时(PT2)不一定成立。例如，设$T\;:\!=\;\{t_\alpha\;:\;\alpha\in\omega+2\}$按照自然顺序排列，对于所有$\alpha\in T\setminus\{\omega\}$，有$V_{t_\alpha}\;:\!=\;\{\alpha\}$，并且设$V_{t_\omega}\;:\!=\;\{v_n\;:\;n\in \mathbb{N} \}$与所有其他的$V_{t_\alpha}$不相交。定义$\mathcal{V}\;:\!=\;(V_{t_\alpha}\;:\;\alpha\in T)$。设G是在$\bigcup_{\alpha\in T}V_{t_\alpha}$上的图，其中每个$\alpha\lt\omega$都通过一条边与其后继节点相连，每个$v_n$都与所有$\alpha\lt\omega$相连，且$\omega+1$与所有$v_n$相连。那么$\dot G$是一个具有有限粘合性的T-图。但是$(T,\mathcal{V})$不满足(PT2)，因为$N(V_{\lfloor \omega+1\rfloor})=V_{t_\omega}$，所以$(T,\mathcal{V})$不是G的划分树。注意，如果G是一个具有有限粘合性的T-图，那么通过让$V_t\;:\!=\;\{t\}$对于所有$t\in T$，T可以定义G的一个划分树$(T,\mathcal{V})$。引理6·2：如果$(T,\mathcal{V})$是图G的一个划分树，那么T的所有分支都是可数的。证明：由于$(T,\mathcal{V})$具有有限的粘合性，T-图$\dot{G}$也具有有限的粘合性，因此我们可以应用定理4·7到$\dot{G}$。回想一下前一节的内容，我们已经确切地知道T-图$\dot G$的端面是什么样的。现在我们研究G的端面与$\dot{G}$的端面之间的关系。设G是任意图，$(T,\mathcal{V})$是G的任意划分树。$T$中的每个节点$t$诱导了一个二分$\{V_{\lfloor t\rfloor},V_{T\setminus\lfloor t\rfloor}\}$，因此对于所有的$t$，有$\Omega(G)=\partial_{\Omega} {V_{\lfloor t\rfloor}}\cup \partial_{\Omega} {V_{T\setminus\lfloor t\rfloor}}$。对于G的每个端面$\varepsilon$，定义\[\begin{align*} O(\varepsilon)\;:\!=\;\{t\in T\mid \varepsilon\in\partial_{\Omega} {V_{\lfloor t\rfloor}}\setminus \partial_{\Omega} {V_{T\setminus\lfloor t\rfloor}}\}。\end{align*}显然，$O(\varepsilon)$是T中的一个非空向下闭链，并且它是可数的，因为根据定理6·2，T的所有分支都是可数的。如果$O(\varepsilon)$没有最大元素，那么$O(\varepsilon)$是T的一个高射线，我们说$\varepsilon$对应于这个高射线。否则$O(\varepsilon)$有一个最大元素$t$，那么我们说$\varepsilon$位于$t$处，并且在部分$V_t$中。引理6·3：如果$O(\varepsilon)$有一个最大元素$t$，那么$t$必须是一个极限节点，对应的部分$V_t$是无限的，并且$\varepsilon$中的每条射线在$G[V_{\lfloor t\rfloor}]$中都有一个尾部，并且无限次地与$V_t$相交。证明：由于$t$包含在$O(\varepsilon)$中，端面$\varepsilon$不在$V_{T\setminus\lfloor t\rfloor}$的闭包中，即$\varepsilon$中的每条射线在$G[V_{\lfloor t\rfloor}]$中都有一个尾部。设$s_i$（$i\in I$）是T中$t$的后继节点。由于没有$s_i$包含在$O(\varepsilon)$中，并且$(T,\mathcal{V})$具有有限的粘合性，$\varepsilon$中的每条射线与每个顶点集$V_{\lfloor s_i\rfloor}$只相交有限次。由于$V_t$在子图$G[V_{\lfloor t\rfloor}$中两两分离所有的顶点集$V_{\lfloor s_i\rfloor}$，这些子图包含了$\varepsilon$中的每条射线的尾部，因此$\varepsilon$中的每条射线都无限次地与$V_t$相交。特别地，$V_t$是无限的，所以$t$必须是一个极限节点。考虑映射$\tau\colon\Omega(G)\to \mathcal{R}(T)\sqcup T$，它将G的每个端面映射到它在T中对应的高射线或位置。如果$\tau$在$\Psi$和T的高射线之间有一个双射$\tau\restriction\Psi\colon\Psi\to\mathcal{R}(T)$，并且将不在$\Psi$中的每个端面映射到T的某个点，我们说$(T,\mathcal{V})$展示了G的一组端面$\Psi$。引理6·4：设$(T,\mathcal{V})$是图G的划分树，并且$\varrho\subseteq T$是一条高射线，设$u_0,u_1,\ldots$是G的顶点，设$t_0\lt t_1\lt\cdots$是$\varrho$中的一个共尾$\omega$-链，使得对于所有的$n\in \mathbb{N}$，有$u_n\in V_{t_n}$。那么$G[\,V\restriction\{t\in\varrho\colon t\geqslant t_0\}\,]$包含一个附着在$\{u_n\mid n\in \mathbb{N} \}$上的组合。此外，这个组合的骨架属于G的一个端面$\varepsilon$，该端面对应于$\varrho$（因为$O(\varepsilon)=\varrho$）。证明：由于$\dot{G}$是一个T-图，根据定理2·3(iv)，每个区间$[t_n,t_{n+1}]$在它是连通的，因此它包含一条射线R，使得$V(R)\subseteq\varrho$并按正确的顺序遍历所有的$t_n$。利用诱导的子图$G[V_t]$（其中$t\in T$是连通的），可以直接从R构造出所需的组合。引理6·5：设$(T,\mathcal{V})$是G的划分树，并且设$\varepsilon$是G的一个端面，它对应于高射线$\varrho\subseteq T$。那么\[\bigcap_{t\in\varrho}\partial_{\Omega} {\,}\big(\bigcup\,\{V_s\mid s\in\varrho\text{ and }s\geqslant t\}\,\big)=\{\varepsilon\}。\]特别地，G没有其他端面对应于$\varrho$。证明：首先，我们显示$\varepsilon$包含在等式左侧的交集中。为此，设任意$t\in\varrho$，并定义$X\;:\!=\;\bigcup\,\{V_s\mid s\in\varrho\text{ and }s\geqslant t\}$。假设相反地$\varepsilon$不包含在$\partial_{\Omega} {X}$中。那么$\varepsilon$包含一条避开X的射线R。由于$t \in \varrho$意味着$\varepsilon \notin \partial_{\Omega} {V_{T\setminus\lfloor t\rfloor}}$，R的尾部（因此没有例外）避开了$V_\varrho$。根据定理2·3(iii)，$G-V_{\varrho}$的分量是形式为$V_{\lfloor{r}\rfloor}$的，其中$r$在$T-\varrho$中是最小的，由于$\varepsilon$对应于$\varrho$，包含R的$G-V_{\varrho}$的分量必须是形式为$G[V_{\lfloor{r}\rfloor}]$的，其中$r$是$\varrho$的顶点。这最后一个陈述意味着$\varepsilon\in\partial_{\Omega} {V_{\lfloor{r}\rfloor}}$。根据$O(\varepsilon) = \varrho$的定义，$r\notin\varrho$意味着$\varepsilon\in\partial_{\Omega} {V_{T\setminus \lfloor{r}\rfloor}$，因此我们可以将R扩展为G中的一个组合，该组合附着在$V_{T\setminus \lfloor{r}\rfloor}$上。然而，由于$\dot{G}$是一个T-图，并且$(T,\mathcal{V})$具有有限的粘合性，为了获得这个组合而添加到R中的所有路径中，除了有限个之外，都必须经过X，这导致$\varepsilon\in\partial_{\Omega} {X}$，这是一个矛盾。剩下的是证明等式的正向包含关系。为此，设$\delta$是等式左侧交集中的一个元素。我们刚刚已经显示$\varepsilon$也是这个交集的元素。选取$\varepsilon$中的射线$R$和$S$。我们显示R和S在G中是等价的。设$t_0\lt t_1\lt\cdots$是高射线$\varrho$中的一个共尾$\omega$-链，并定义$X_n\;:\!=\;\bigcup\,\{V_s\mid s\in\varrho,s\geqslant t_n\}$。我们将R和S都扩展为G中的组合$C_R$和$C_S$，其中$C_R$和$C_S$的齿分别由$X_n$中的$u_R^n$和$u_S^n$组成。由于T-图$\dot{G}$中的所有区间$[t_n,t_{n+1}]$是连通的（根据定理2·3(iv)），我们可以直接从R构造出所需的组合。引理6·6：每个G的划分树$(T,\mathcal{V})$展示了对应于T的高射线的G的端面。证明：根据定理6·4，T的每个高射线都有一些G的端面对应于它。根据定理6·5，T的每个高射线最多只有一个G的端面对应于它。引理6·7：设$(T,\mathcal{V})$是G的划分树，并且$t\in T$是一个极限节点。那么$N(V_{\lfloor t\rfloor})$集中在G中唯一对应于高射线$\mathring{\lceil t\rceil}$的端面上。证明：使用定理6·6，我们可以设$\varepsilon$是G中唯一对应于高射线$\mathring{\lceil t\rceil}$的端面。为了证明$N(V_{\lfloor t\rfloor})$集中在$\varepsilon$中，只需证明对于$V_{\lfloor t\rfloor}$的每个无限邻居集U，都存在一个附着在U上的组合，其骨架在$\varepsilon$中。为此，设U是$V_{\lfloor t\rfloor}$的任意无限邻居集。由于$\mathring{\lceil t\rceil}$是一条高射线，它包含一个共尾$\omega$-链$t_0\lt t_1\lt\cdots$，并且由于$(T,\mathcal{V})$具有有限的粘合性，根据定理4·4，U中的所有顶点除了有限个之外都包含在$V\restriction\{t'\in T\mid t_n\leqslant t'\lt t\}$中，对于每个$n\in \mathbb{N}$。因此我们在$\mathring{\lceil t\rceil}$中找到一个共尾$\omega$-链$t'_0\lt t'_1\lt\cdots$，使得$V_{t'_n}$包含U中的每个顶点$u_n$，对于所有的$n\in \mathbb{N}$。将定理6·4应用于$\{u_n\mid n\in \mathbb{N} \}$得到所需的组合。现在假设T是任何顺序树，并且G是一个具有有限粘合性的T-图。那么通过让$V_t\;:\!=\;\{t\}$对于所有的$t\in T$，T定义了G的一个划分树$(T,\mathcal{V})$。根据定理6·3，G的任何端面都不能位于这个划分树的某个部分中，所以G的每个端面都通过$\tau$对应于T的高射线。然后根据定理6·6，$(T,\mathcal{V})$展示了G的所有端面。为了区分这种情况和一般情况，我们在这种情况下用$\sigma$表示双射$\Omega(G)\to\mathcal{R}(T)$。这证明了定理5·1。7. 顺序忠实划分树展示所有端面对于任何均匀T-图G，定理5·2允许我们通过T中高射线的组合行为来完全理解$\Omega(G)$的拓扑。在这一节中，我们将这个引理从均匀T-图推广到任意连通图：我们展示了每个连通图G都允许有一个划分树$(T,\mathcal{V})$，对于该划分树，我们可以证明定理5·2的类似版本。我们构造的划分树将具有两个额外的属性，这些属性是获得定理5·2类似版本所必需的。第一个属性是划分树展示了底层图的所有端面。第二个属性称为“顺序忠实”，稍微技术性一些，但我们在下面的定理7·1中将会看到这个属性正好捕获了我们需要的内容。假设G是任意图，并且$(T,\mathcal{V})$是G的划分树。如前一节所述，设$\tau\colon\Omega(G)\to \mathcal{R}(T)\sqcup T$表示将G的每个端面映射到它在T中对应的高射线或位置。如果G的端面$\varepsilon$位于$\lfloor t\rfloor\subseteq T$中，并且位于$V_{\lfloor t\rfloor}$中，那么要么点$\tau(\varepsilon)$包含在$\lfloor t\rfloor$中，要么高射线$\tau(\varepsilon)$包含$t$。如果$\varepsilon$对应于T的高射线，并且对于$\varepsilon_n)_{n\in \mathbb{N}$（G的端面的序列），这些端面位于$\tau(\varepsilon)$的后继节点$\s_n$的向上闭包$\lfloor s_n\rfloor$中，我们有$\varepsilon_n\to\varepsilon$在$\Omega(G)$中的收敛性，只要对于每个有限顶点集$X\subseteq V(G)$，只有有限个$n\in \mathbb{N}$使得$N_G(V_{\lfloor s_n\rfloor})=X$。如果$(T,\mathcal{V})$在G的每个对应于T的高射线的端面上都是顺序忠实的，那么我们称$(T,\mathcal{V})$是顺序忠实的。实际上，如果一个连通图允许一个既展示所有端面又顺序忠实的划分树，那么我们可以证明定理5·2的类似版本：引理7·1。设G是任意连通图，并且$(T,\mathcal{V})$是G的一个顺序忠实划分树，它展示了G的所有端面。设$\varepsilon$和$\varepsilon_n$（$n\in \mathbb{N} $）是G的端面，并且设$\varrho\;:\!=\;\tau(\varepsilon)$和$\varrho_n\;:\!=\;\tau(\varepsilon_n)$是T中对应的高射线。设$A\subseteq \mathbb{N}$包含所有满足$\varrho\subsetneq\varrho_n$的数$n$，并且设$B\;:\!=\; \mathbb{N} \setminus A$。对于集合$A$中的每个元素$n$，我们用$s_n$表示在$\varrho_n$中表示$\varrho$的顶点的后继节点。 (i) 当$A$是无限集且对于每一个有限顶点集$X\subseteq V(G)$，只有有限多个$n\in A$满足$X=N_G(V_{\lfloor{s_n}\rfloor})$时，我们才有$\varepsilon_n\to\varepsilon$的收敛性，在$\Omega(G)$中成立，并且当$n\to\infty$时也是如此。 (ii) 当对于每一个后继节点$t\in\varrho$，只有有限多个$n\in B$满足$\varrho\cap\varrho_n\subseteq\mathring{\lceil t\rceil}$时，我们才有$\varepsilon_n\to\varepsilon$的收敛性，在$\Omega(G)$中成立，并且当$n\to\infty$时也是如此。证明：(i) 前向的结论是显而易见的。反向的结论基于假设$(T,\mathcal{V})$是序列忠实的分割树。 (ii) 我们通过反证法来证明前向的结论。因此，假设对于$B$中的每个$n$，当$n\to\infty$时，有$\varepsilon_n\to\varepsilon$，同时存在一个后继节点$t\in\varrho$和一个无限子集$B'\subseteq B$使得$\varrho\cap\varrho_n\subseteq\mathring{\lceil t\rceil}$。根据(PT2)，则$X={N_G(V_{\lfloor t\rfloor})$是有限的。对于$B'$中的每个$n$，由于$\varrho\cap\varrho_n\subseteq\mathring{\lceil t\rceil}$，$n$的最终值$\varepsilon_n$位于$C(X,\varepsilon)$之外。因为根据假设$B'$是无限的，这与$n\to\infty$时$\varepsilon_n\to\varepsilon$矛盾。为了证明反向的结论，我们需要证明对于$B$中的每个$n$，当$n\to\infty$时，有$\varepsilon_n\to\varepsilon$。为此，设$X\subseteq V(G)$是任意一个有限顶点集。设$t\in\varrho$是任意一个后继节点，并且$X\subseteq V_{\mathring{\lceil t\rceil}}$。根据假设，存在一个足够大的自然数$N$，使得对于所有$n\geqslant N$，都有$t\in\varrho_n$。我们声称对于所有$n\geqslant N$，都有$\varepsilon_n\in\Omega(X,\varepsilon)$。实际上，考虑任意这样的$n$，并任意选择$V_{t}$中的一个顶点。定理6·4表明存在一条射线$R_n\in\varepsilon_n$，它包含在$G[\,V\restriction\{t'\in\varrho_n\colon t'\geqslant t\}\,]$中，并且从$v$开始。类似地，定理6·4表明存在一条射线$R\in\varepsilon$，它包含在$G[\,V\restriction\{t'\in\varrho\colon t'\geqslant t\}\,]$中，并且从$v$开始。那么$R_n\cup R$是$G$中的一条双射线，它在$\varepsilon_n$中避开了$X$，在$\varepsilon$中避开了另一个顶点，从而得出$\varepsilon_n\in\Omega(X,\varepsilon)$。在本节的剩余部分，我们将证明每一个连通图都存在具有这两个性质的分割树，这就是定理2的内容。证明需要以下引理：引理7·2。设$G$是任意一个连通图，设$C$是$G$的任意一个连通诱导子图，其邻居节点集中在$G$的一个端点$\varepsilon$处。那么存在一个非空的连通顶点集$U\subseteq V(C)$，满足以下所有条件：(i) $U$要么是有限的，要么集中在$\varepsilon$处；(ii) $C-U$的每个分量在$G$中的邻居节点都是有限的；(iii) 对于$G$的每个端点序列$(\varepsilon_n)_{n\in \mathbb{N}}$，其中每个$\varepsilon_n$都属于$C-U$的某个分量$D_n$，映射$\mathbb{N} \ni n\mapsto N_G(D_n)$是单射，并且收敛于$\varepsilon$；(iv) $N_G(U)\cap N_G(C)$是无限的。证明：设$G_C$是从$G[C\cup N(C)]$中去除所有连接$N(C)$中任意两个顶点的边后得到的图。根据星形梳状引理(2·1)，$G_C$要么包含一个星形图，要么包含一个附加在$N(C)$上的梳状图$Z$。设$G^+_C$是$G_C$的超图，我们在此使$N(C)$成为一个完全图。设$\varepsilon^+$是$G^+_C$中的一个端点，它包含了由$N(C)$诱导的团中的射线。注意到由于$B'$是无限的，这与$n\to\infty$时$\varepsilon_n\to\varepsilon$相矛盾。为了证明反向的结论，我们需要证明对于$B$中的每个$n$，当$n\to\infty$时，有$\varepsilon_n\to\varepsilon$。为此，设$X\subseteq V(G)$是任意一个有限顶点集。设$t\in\varrho$是任意一个后继节点，并且$X\subseteq V_{\mathring{\lceil t\rceil}}$。根据假设，我们找到一个足够大的自然数$N$，使得对于所有$n\geqslant N$，都有$t\in\varrho_n$。我们声称对于所有$n\geqslant N$，都有$\varepsilon_n\in\Omega(X,\varepsilon)$。实际上，考虑任意这样的$n$，并任意选择$V_{t}$中的一个顶点。定理6·4表明存在一条射线$R_n\in\varepsilon_n$，它包含在$G[\,V\restriction\{t'\in\varrho_n\colon t'\geqslant t\}\,]$中，并且从$v$开始。类似地，定理6·4表明存在一条射线$R\in\varepsilon$，它包含在$G[\,V\restriction\{t'\in\varrho\colon t'\geqslant t\}\,]$中，并且从$v$开始。那么$R_n\cup R$是$G$中的一条双射线，它在$\varepsilon_n$中避开了$X$，在$\varepsilon$中避开了另一个顶点，从而得出$\varepsilon_n\in\Omega(X,\varepsilon)$。在本节的其余部分，我们将证明每一个连通图都存在具有这两个性质的分割树，这就是定理2的内容。证明需要以下引理：引理7·2。设$G$是任意一个连通图，设$C$是$G$的任意一个连通诱导子图，其邻居节点集中在$G$的一个端点$\varepsilon$处。那么存在一个非空的连通顶点集$U\subseteq V(C)$，满足以下所有条件：(i) $U$要么是有限的，要么集中在$\varepsilon$处；(ii) $C-U$的每个分量在$G$中的邻居节点都是有限的；(iii) 对于$G$的每个端点序列$(\varepsilon_n)_{n\in \mathbb{N} }$，其中每个$\varepsilon_n$都属于$C-U$的某个分量$D_n$，映射$\mathbb{N} \ni n\mapsto N_G(D_n)$是单射，并且收敛于$\varepsilon$；(iv) $N_G(U)\cap N_G(C)$是无限的。证明：设$G_C$是从$G[C\cup N(C)]$中去除所有连接$N(C)$中任意两个顶点的边后得到的图。根据星形梳状引理(2·1)，$G_C$要么包含一个星形图，要么包含一个附加在$N(C)$上的梳状图$Z$。设$G^+_C$是$G_C$的超图，我们在此使$N(C)$成为一个完全图。设$\varepsilon^+$是$G^+_C$中的一个端点，它包含了由$N(C)$诱导的团中的射线，并注意到在图$G^+_C$中$N(C)\cup Z$集中在$\varepsilon^+$处。现在在$G^+_C$内部应用定理3·3，找到一个连通的包络图$U^*$，它包含$N(C) \cup Z$中的节点，并且集中在$\varepsilon^+$处，因此$U\;:\!=\; U^* \cap C$是连通的。我们验证$U$满足(i)–(iv)。(i) 假设$U$是无限的。我们需要证明对于$G$的任意有限顶点集$X$，$U$中的几乎所有顶点都包含在$C(X,\varepsilon)$中。根据假设，$N(C)$中的几乎所有顶点都包含在$C(X,\varepsilon)$中，如果需要，我们可以通过增加$X$的大小来假设$C(X,\varepsilon)$是$G-X$中唯一包含$N(C)$中顶点的分量。由于$U^*$集中在$\varepsilon^+$处，因此$U^*$中的几乎所有顶点都可以在$G^+_C - X$中与$N(C)$相连。那么在$G - X$中也同样成立，因此所有这些顶点都属于$C(X,\varepsilon)$。因此，我们已经证明了$U^*$中的几乎所有顶点（因此也包括$U$中的顶点）都属于$C(X,\varepsilon)$，正如我们所愿。(ii) $C - U$的每个分量也是$G_C^+ -U^\ast$的分量，因此根据包络图的定义，它具有有限的邻居节点。注意在这里我们在$G$中还是$G_C^+$中取邻居节点并不重要，因为$N_G(C)$包含在$U^\ast$中。(iii) 给定一个如(i)中所述的端点序列$(\varepsilon_n)_{n\in \mathbb{N} }$，首先注意到$U$必须是无限的。因此根据(i)，$U$集中在$\varepsilon$处，所以根据定理3·3，结论成立。(iv) 由于选择了$Z \subseteq U^*$，所以$N_G(U)\cap N_G(C)$是无限的。定理1·2。每一个连通图都有一个序列忠实的分割树，它可以显示所有端点。证明：设$G$是任意一个连通图。我们将使用以下符号。假设$(T_1,\mathcal{V}_1)$和$(T_2,\mathcal{V}_2)$是$G$的两个分割树，并且$T_1$有一个最终层。此外，假设$\mathcal{V}_1=(V_t^1\mid t\in T_1)$和$\mathcal{V}_2=(V^2_t\mid t\in T_2)$。如果满足以下两个条件，我们写作$(T_1,\mathcal{V}_1)\leqslant (T_2,\mathcal{V}_2)$：(i) $T_2$扩展了$T_1$，使得$T_2\setminus T_1$中的所有点都位于$T_1$的最终层之上；(ii) 对于$T_1$中最终层以下的每个$t$，有$V^1_t=V^2_t$，并且对于$T_1$中最终层中的每个$t$，有$V_t^1=V^2_{\lfloor t\rfloor}$。我们将无限构造一个序列$((T_i,\mathcal{V}_i))_{i\leqslant\kappa}$，其中$(T_i,\mathcal{V}_i)$是序列忠实的分割树$(T_0,\mathcal{V}_0)\lt (T_1,\mathcal{V}_1) \lt \cdots$，这里的$\kappa$是一个序数$\kappa\leqslant\omega_1$。每个$T_i$都将有一个最终层$F_i$，其限制高度至少为i，并且每个$(T_i,\mathcal{V}_i)$都将显示$G$中不位于$F_i$中的所有端点。在构造过程中，我们将确保每个点$C\in F_i$是$G$的一个连通诱导子图，并且$V^i_C$等于这个子图的顶点集，即$V^i_C=V(C)$。我们将在第一个序数$\kappa$处终止构造，此时有$T_{\kappa+1}=T_\kappa$。最后，我们将论证$(T_\kappa,\mathcal{V}_\kappa)$是所需的分割树。为了开始构造，我们使用定理2·2，使得$T_0$是从一个包含关系最大的正规树$T_0'\subseteq G$得到的序树，通过将$G-T_0'$的每个分量$C$声明为$T_0$中的一个顶点。我们设$V^0_t\;:\!=\;\{t\}$对于所有$t\in T_0'$，并且$V^0_C\;:\!=\;V(C)$对于$G-T_0'$的所有分量$C$。那么$(T_0,\mathcal{V}_0)$是序列忠实的，因为$T_0$不包含限制的後继节点。并且根据定理6·6，它显示了$G$中不位于任何$V_C^0$中的所有端点。在一般的步骤$0\lt i \lt \kappa$中，假设我们已经构造了所有$j\lt i$的$(T_j,\mathcal{V}_j)$，并且对于所有$j\lt k\lt i$，都有$(T_j,\mathcal{V}_j)\lt(T_k,\mathcal{V}_k)$。然后我们设$T\;:\!=\;\bigcup\,\{T_j\mid j\lt i\}$。我们考虑两种情况，即$i$是一个后继序数或一个限制序数。情况1：如果$i$是一个后继序数$i=j+1$。那么$T=T_j$有一个限制高度为$F_j$的最终层。考虑$F_j$中的任意一个点$C$。点$C$是$T$的一个高射线$\varrho$的顶点，并且根据定理6·6，对于这个高射线$\varrho$，存在一个唯一的$G$中的端点$\varepsilon$，使得$\tau(\varepsilon)=\varrho$。此外，根据定理6·7，$C$是$G$的一个连通子图，其邻居节点集中在$\varepsilon$处。我们应用定理7·2到$C\subseteq G$和$\varepsilon$上，找到一个非空的连通顶点集$U_C\subseteq V(C)$，满足以下条件：(i) $U_C$要么是有限的，要么集中在$\varepsilon$处；(ii) $C-U_C$的每个分量在$G$中的邻居节点都是有限的；(iii) 对于$G$的每个端点序列$(\varepsilon_n)_{n\in \mathbb{N} }$，其中每个$\varepsilon_n$都属于$C-U$的某个分量$D_n$，映射$\mathbb{N} \ni n\mapsto N_G(D_n)$是单射，并且收敛于$\varepsilon$；(iv) $N_G(U_C)\cap N_G(C)$是无限的。在$C-U_C$的每个分量$D$中，我们使用定理2·2选择一个包含关系最大的正规树$T(C, D)$，其根点发送到$U_C$。然后$D-T(C,D)$的每个分量$K$在$G$中的邻居节点都包含在$U_C\cup T(C,D)$中，其中$N(K)\cap U_C$是有限的（因为根据(ii)，而$N(K)\cap T(C,D)$是无限的；实际上，$K$在$T(C, D)$中的无限多个邻居节点决定了$T(C, D)$中的一个正规射线$R(K)$。我们通过两个步骤从$T$得到树$T_i$，如下所示。首先，对于$T=T_j$的最终层$F_j$中的每个$C$和$C-U_C$的每个分量$D$，我们添加由$T(C, D)$直接定义的序树，使得$T(C, D)$的根点成为$C$的后继节点。其次，对于$D-T(C,D)$的每个分量$K$，我们将其作为高射线$\lceil R(K)\rceil_{T_i}$的顶点。家族$\mathcal{V}_i$的定义如下：(i) 对于$T-F_j$中的每个$t$，我们设$V^i_t\;:\!=\;V^j_t$。(ii) 对于$F_j$中的每个$C$，我们设$V^i_C\;:\!=\;U_C$。(iii) 对于$T(C,D)$中的每个$t$，我们设$V^i_t\;:\!=\;\{t\}$。(iv) 对于$T^i$的最终层中的每个$K$，我们设$V^i_K\;:\!=\;V(K)$。显然，如果$(T_i,\mathcal{V}_i)$是一个分割树，则$(T_j,\mathcal{V}_j)\leqslant (T_i,\mathcal{V}_i)$。我们声称$(T_i,\mathcal{V}_i)$是$G$的一个分割树。(PT1)通过(iv)得到。条件(ii)确保$(T_i,\mathcal{V}_i)$具有有限的粘性(PT2)。(PT3)通过构造得到。为了证明分割树$(T那么 $\tau(\varepsilon)$ 不能是 $T-F_j$ 的一个点，因为 $(T_j,\mathcal{V}_j)$ 显示了所有不在 $F_j$ 点上的 G 的端点。同时，$\tau(\varepsilon)$ 也不能是 $C\in F_j\subseteq T_i$ 的一个点，因为这将意味着 $\varepsilon\in\partial_{\Omega} {U_C}$（根据定理 6·3），而根据 (i)，端点 $\varepsilon$ 那时会被发送到高射线 $\mathring{\lceil C\rceil}_{T_i}$ 而不是 C。因此，$\tau(\varepsilon)\in F_i$ 是唯一的可能性，正如所期望的。情况 2。在第二种情况下，i 是一个极限点，所以 T 没有最终层次（否则对于某个 $j\lt i$，构造过程早就终止了）。那么对于每个 $t\in T$，都存在一个最小的序数 $j(t)\lt i$，使得 t 包含在 $T_{j(t)}$ 中但不在最终层次 $F_{j(t)}$ 中，所以对于所有 $j\in [j(t),i)$，有 $V_t^j=V_t^{j(i)}$。我们让 $V_t^i\;:\!=\;V_t^{j(t)}$ 对于所有 $t\in T$ 都成立。如果 C 是 $G-\bigcup_{t\in T}V_t^i$ 的任何组成部分，那么对于每个 $j\lt i$，都存在一个唯一的点 $C_j\in F_j$ 且 $C\subseteq C_j$，并且 $B(C)\;:\!=\;\{C_j\mid j\lt i\}$ 是一个分支 T。我们通过将每个组成部分 C 作为 T 的分支 B(C) 的顶点来从 T 获得 $T_i$。让 $V_C\;:\!=\;V(C)$ 对于所有这些顶点都成立，完成了 $(T_i,\mathcal{V}_i)$ 的定义。为了确保 $(T_i,\mathcal{V}_i)$ 是一个分割树，我们必须证明每个 C 在 $G/\mathcal{V}_i$ 中都有一个共终邻域。由于 $(T_i,\mathcal{V}_i)$ 有有限的粘着性，只需证明所有包含 C 的部分的 T 的点的集合 $T_C$ 是 B(C) 的一个无限子集即可。包含关系 $T_C\subseteq B(C)$ 是显而易见的，因为每个 $G/\mathcal{V}_j$ 都是一个 $T_j$-图，在这个图中 $C_j$ 是一个最大顶点。所以假设相反的情况，即 $T_C$ 是有限的，并考虑任何 $j\lt i$ 且 $T_C\subseteq T_j-F_j$。那么 $C=C_j$，因为否则 $C\subsetneq C_j$ 就会在 $C_j$ 中有一个不在任何 $V_t$ 部分中的邻居，这与 $T_C$ 的定义矛盾。但是这样一来 $C_j$ 就会有一个有限的邻域，这与 $C_j\in F_j$ 是 $T_j$-图中的极限高度顶点的事实矛盾。为了证明 $(T_i,\mathcal{V}_i)$ 是顺序忠实的，考虑 G 的任何端点 $\varepsilon$，如果 $\tau(\varepsilon)$ 是 $T_i$ 的一个高射线。如果 $\tau(\varepsilon)$ 是任何 $T_j$（其中 $j\lt i$）的高射线，那么我们就完成了证明，因为根据假设 $(T_j,\mathcal{V}_j)$ 在 $\varepsilon$ 处是顺序忠实的。否则 $\tau(\varepsilon)$ 是 T 的一个分支，且所有顶点都在 $F_i$ 中，所以 $(T_i,\mathcal{V}_i)$ 在 $\varepsilon$ 处也是顺序忠实的，这个原因是这些顶点在 $T_i$ 中没有后继者。为了证明 $(T_i,\mathcal{V}_i)$ 显示了所有不在 $F_i$ 点上的 G 的端点，根据定理 6·6，只需证明每个满足 $\tau(\varepsilon)\in T_i$ 的 G 的端点 $\varepsilon$ 都满足 $\tau(\varepsilon)\in F_i$。假设相反的情况，即 G 有一个端点 $\varepsilon$ 使得 $\tau(\varepsilon)\;=\!:\;t\in T_i$ 是一个在 $F_i$ 以下的点。那么 t 位于 $F_j$ 以下，对于所有 $j\;:\!=\;j(t)\lt i$，这与我们的假设矛盾，即 $(T_j,\mathcal{V}_j)$ 显示了所有不在 $F_j$ 点上的 G 的端点。我们在第一个序数 $\kappa$ 处终止构造，此时 $T_{\kappa+1}=T_{\kappa}$。那么 $\kappa\leqslant\omega_1$，因为每个 $(T_\alpha,\mathcal{V}_\alpha)$ 定义了一个粘着性有限的 $T_\alpha$-图 $G/\mathcal{V}_\alpha$，它有一个至少高度为 $\alpha$ 的最终层次 $F_\alpha$，根据定理 4·7，这些 $T_\alpha$-图不可能有不可数分支。根据假设，$(T_\kappa,\mathcal{V}_\kappa)$ 是一个顺序忠实的分割树，它显示了所有不在 $F_\kappa$ 点上的 G 的端点。我们声称 $(T_\kappa,\mathcal{V}_\kappa)$ 显示了所有 G 的端点。为此，只需证明没有 G 的端点 $\varepsilon$ 位于 $F_\kappa$ 的点上。实际上，没有 G 的端点可以位于 $F_\kappa$ 的点上，因为否则构造过程就不会终止。因此，$(T_\kappa,\mathcal{V}_\kappa)$ 就是所需的分割树。

8. 定理 1 的证明
首先注意到定理 4·6 和定理 5·4 建立了定理 1 中的等价关系 $\textrm{(2)} \Leftrightarrow \textrm{(3)}$。因此，只剩下证明蕴含关系 $\textrm{(1)} \Rightarrow \textrm{(2)}$：每个端点空间都与某个顺序树 T ′ 上的均匀图 G′ 的端点空间同胚。设 $\Omega(G)$ 是任何端点空间，并回想一下我们可以假设 G 是连通的。根据定理 2，我们找到了一个顺序忠实的分割树 $(T,\mathcal{V})$，它显示了 G 的所有端点。不失一般性，所有非极限点 $t\in T$ 都被命名，使得 $V_t=\{t\}$。构造 $\boldsymbol{T'}$ 和 $\boldsymbol{G'}$。直观上，我们通过仔细分割 T 的极限节点来从 T 获得 T ′。形式上，我们定义了一个顺序树 T ′ 和一个满射 $\varphi\colon T'\to T$ 如下：设 $L\subseteq T$ 包含 T 中所有至少有一个后继者的极限点，对于每个 $\ell\in L$，设集合 $S(\ell)$ 包含 $\ell$ 在 T 中的所有后继者。对于非极限点 $t\in T$，我们用 $N_t$ 表示 $V_{\lfloor t\rfloor}$ 在 G 中的有限邻域。对于每个极限点 $\ell\in L$，我们设 $\mathcal{N}_\ell\;:\!=\;\{N_t\colon t\in S(\ell)\}$。我们按以下方式从 T 获得顺序树 T ′：首先，为每个 $\ell\in L$ 和 $X\in\mathcal{N}_\ell$ 添加一个新的节点 $v(\ell,X)$，我们声明它是 $\ell$ 的后继者，并且是所有 $t\in S(\ell)$ 的前驱者，且 $N_t=X$。然后删除 L。我们让满射 $\varphi\colon T'\to T$ 在 $T\setminus L$ 上是恒等的，并且它将每个 $v(\ell,X)$ 发送到 $\ell$。那么 $\varphi$ 是满射的。此外，它是一个同态（即 $t' \lt s'$ 在 T ′ 中意味着 $\varphi(t') \lt \varphi(s')$ 在 T 中），但它只在极限点处是非单射的，即如果 $t' \neq s'$ 但 $\varphi(t') = \varphi(s')$，那么 t ′ 和 s ′ 都是 T ′ 的极限点（由于同态性质，有 $\lceil \mathring{t}'\rceil = \lceil \mathring{s}'\rceil$）。特别地，$\varphi$ 定义了一个从 T ′ 的高射线到 T 的双射 $\varrho\mapsto\varphi[\varrho]$，我们用 $\Phi$ 表示它。最后，设 G ′ 是图，其中 $V(G')\;:\!=\;T'$，并且 $$E(G') \;:\!=\; \{tt' \;:\; t \lt t' \in T' \; \wedge \; \varphi(t)\varphi(t') \in E(\dot{G})\}$$。$G'$ 是一个均匀的 ${T'}$-图。首先，我们验证 G ′ 是一个 T ′-图。根据 E(G ′) 的定义，很明显 E(G ′) 中任何边的端点在 T ′ 中都是可比较的。因此，剩下的就是证明任何点 $t\in T'$ 的所有下邻居在 $\lceil \mathring{t}\rceil$ 中是共终的。为此，设 $t' \lt t$ 在 T ′ 中是任意的。我们需要找到某个 $x \in T'$ 使得 $t' \leqslant x \lt t$ 且 $xt \in E(G')$。由于 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(t') \lt \varphi(t)$。由于 $\dot{G}$ 是一个 T-图，存在 $y \in T$ 使得 $\varphi(t') \leqslant y \lt \varphi(t)$ 且 $y \varphi(t) \in E(\dot{G})$。由于 $\varphi$ 是满射并且保持层次，存在一个唯一的 $x \in T'$ 使得 $t' \leqslant x \lt t$ 且 $\varphi(x) = y$。那么 $xt \in E(G')$，正如所期望的。然后我们验证 T ′-图 G ′ 是均匀的。为此，设 $t = v(\ell,X)$ 是 T ′ 的任何极限点。回想一下 X 是 G 中的有限顶点集，我们用 $\dot{X} \subseteq T$ 表示在 T 中与 X 有非平凡交集的有限多个节点。我们声称 $S_t \;:\!=\; \varphi^{-1}(\dot{X}) \cap \lceil \mathring{t}\rceil$ 正如所期望的。首先，由于 $\varphi$ 是同态，$S_t$ 是有限的。现在我们论证任何 $t'\gt t$ 在 T ′ 中的所有下邻居都在 $S_t$ 以下。所以考虑某个 $x \lt t \lt t'$ 且 $xt' \in E(G')$。那么 $\varphi(x) \lt \varphi(t) \lt \varphi(t')$ 且 $\varphi(x) \varphi(t') \in E(\dot{G})$。现在 $t' \gt v(\ell,X)$ 在 T ′ 中意味着根据构造 $\varphi(x) \in \dot{X}$，因此 $x \in S_t$，正如所期望的。端点空间是同胚的。由于 $(T,\mathcal{V})$ 是 G 的一个顺序忠实的分割树，我们有一个自然的从 G 的端点到 T 的高射线的双射 $\tau\colon\Omega(G)\to\mathcal{R}(T)$，定理 7·1 提供了端点序列 $\varepsilon_n \to \varepsilon$ 收敛的组合描述，通过它们相关的高射线 $\tau(\varepsilon_n)$ 和 $\tau(\varepsilon)$。类似地，由于 G ′ 是一个均匀的 T ′-图，我们有一个自然的从 G ′ 的端点到 T ′ 的高射线的双射 $\sigma\colon\Omega(G')\to\mathcal{R}(T')$，定理 5·2 提供了端点序列 $\varepsilon'_n \to \varepsilon'$ 收敛的组合描述，通过它们相关的高射线 $\sigma(\varepsilon'_n)$ 和 $\sigma(\varepsilon')$。为了完成证明，我们展示双射 $\Phi \colon \mathcal{R}(T') \to \mathcal{R}(T)$ 可以提升为一个同胚 $$f\;:\!=\; \tau^{-1} \circ \Phi \circ \sigma \colon \Omega(G') \to \Omega(G)$$，如下图所示：
为了实现这个目标，考虑 $\Omega(G')$ 中的端点 $\varepsilon'_n$（对于 $n \in \mathbb{N} $）和 $\varepsilon'_\star$，它们在 $\Omega(G)$ 中的像分别是 $\varepsilon_s \;:\!=\; f(\varepsilon'_s)$（对于 $s \in \mathbb{N} \cup \{\star\}$）。我们展示 $\varepsilon'_n \to \varepsilon'_\star$ 在 $\Omega(G')$ 当且仅当 $\varepsilon_n \to \varepsilon_\star$ 在 $\Omega(G)$。写 $\varrho'_s\;:\!=\;\sigma(\varepsilon'_s)$ $\mathcal{R}(T')$ 和 $\varrho_s\;:\!=\;\tau(\varepsilon_s)$ $\mathcal{R}(T)$ 对于相关的 high-rays。根据 f 的定义，我们有 $\varrho_s \;:\!=\; \Phi(\varrho'_s)$ 对于所有 $s \in \mathbb{N} \cup \{\star\}$。根据 $\Phi$ 的定义，我们有 $$\{n \in \mathbb{N} \;:\; \varrho_\star \subsetneq \varrho_n\} = A = \{n \in \mathbb{N} \;:\; \varrho'_\star \subsetneq \varrho'_n\}$$。对于每个 $n\in A$，让 $s_n$ 表示在 $\varrho_n$ 中 $\varrho$ 的顶点的后继者。那么 $\varepsilon'_n \to \varepsilon'_\star \in \Omega(G')$ 当 $n \to \infty$ 对于所有 $n \in A$ $\Leftrightarrow$ $|A| = \infty$，并且对于 $\varrho'_\star$ 的每个顶点 $t=v(\ell,X)$，只有有限多的 $n \in A$ 使得 $t \in \varrho'_n$ $\Leftrightarrow$ $|A| = \infty$，并且对于每个有限的 $X\subseteq V(G)$，只有有限多的 $n\in A$ 使得 $X=N_{s_n}$ $\Leftrightarrow$ $\varepsilon_n \to \varepsilon_\star \in \Omega(G)$ 当 $n \to \infty$ 对于所有 $n \in A$，其中第一个等价关系是定理 5·2 (i) 而第三个是定理 7·1 (i)。为了看到第二个等价关系的反向蕴含，考虑 $\varrho'_\star$ 的任何顶点 $t=v(\ell,X)$。对于每个 $\varrho'_n$ 中的 $t\in\varrho'_n$，我们有（因为 $\ell$ 是 $s_n$ 的前驱者）$N_{s_n}=X$ 根据 $\Phi$ 的定义。由于只有有限多的 $n\in A$ 使得 $X=N_{s_n}$，后者意味着只有有限多的 $n\in A$ 使得 $t\in\varrho'_n$。为了看到第二个等价关系的正向蕴含，考虑任何有限的 $X\subseteq V(G)$。对于每个 $\varrho_n$，我们有 $N_{s_n}$ 与 $V_{\ell_n}$ 相交，其中 $\ell_n$ 是 $\varrho$ 中的顶点，但 $N_{s_n}$ 避开了 $\varrho$ 的所有其他顶点 $\ell$，因为 $\dot{G}$ 是一个 T-图。因此 $N_{s_n}=X$ 对于某些 $n\in A$ 意味着只有那些 $\varrho_m$ 使得 $N_{s_m}=\ell_n$ 才可能满足 $N_{s_m}=X$。因此，我们有 $N_{s_m}=X$ 当且仅当 $v(\ell_n,X)\in\varrho'_m$，并且根据假设只有有限多的这样的 m。类似地，设 $B= \mathbb{N} \setminus A$，我们得到 $\varepsilon'_n \to \varepsilon'_\star \in \Omega(G')$ 当 $n \to \infty$ 对于所有 $n \in B$ $\Leftrightarrow$ $|B| = \infty$，并且对于 $\varrho'_\star$ 的每个后继者 $t\in\varrho'_\star$，只有有限多的 $n\in B$ 使得 $\varrho'_\star \cap\varrho'_n\subseteq\mathring{\lceil t\rceil}_{T'}$ $\Leftrightarrow$ $|B| = \infty$，并且对于每个后继者 $t\in\varrho_\star$，只有有限多的 $n\in B$ 使得 $\varrho_\star\cap\varrho'_n\subseteq\mathring{\lceil t\rceil}_T$ $\Leftrightarrow$ $\varepsilon定理2的应用
回想一下，如果映射H的每个端点到包括它在内的G的端点可以定义H和G端点之间的一一对应关系，则H是G的一个端点忠实的子图（end-faithful subgraph）。Halin猜想每个连通图都有一个作为子图的端点忠实的生成树。Halin证实了他的猜想，适用于所有可数图；而Polat则证实了这一猜想适用于所有没有$\aleph_1$-正则树细分结构的图[参考Polat46]，也参见[Bürger和Kurkofka8]。然而，Halin的猜想在20世纪90年代初被Seymour和Thomas[参考Seymour和Thomas48]以及Thomassen[参考Thomassen52]独立地证伪了。Carmesin[参考Carmesin9]指出，如果要求生成树只对特定类型的端点保持忠实（即那些在Freudenthal边界上表现为无穷远的端点），那么Halin的猜想就是成立的。这引出了一个问题：是否还有另一种方式可以修改Halin的猜想，使其适用于图的所有端点。利用定理2，我们给出了一个肯定的答案：我们展示了如果将“树”（tree）改为“T-图”（T-graph），并将“子图”（subgraph）改为“收缩次图”（contraction-minor），同时保留所有端点，Halin的端点忠实生成树猜想仍然成立。设H是G的一个次图，其分支集为$V_h$（$h\in V(H)$）。如果对于某个子序列$(v_n)$，都有$v_{n_k}\in V_{h_k}$，那么H中的射线$h_0 h_1\ldots$就追踪了G中的射线$v_0 v_1\ldots$。根据标准论证，对于H的每个端点$\varepsilon$，都存在G中的一个唯一端点$\hat\varepsilon$，使得$\varepsilon$中的每条射线都追踪$\hat\varepsilon$中的某条射线。我们说H是G的一个端点忠实的次图，如果映射$\varepsilon\mapsto\hat\varepsilon$是一一对应的映射$\Omega(H)\to\Omega(G)$。如果映射$\varepsilon\mapsto\hat\varepsilon$是一个同胚映射$\Omega(H)\to\Omega(G)$，那么我们说H是G的一个拓扑端点忠实的次图。推论9·1：每个连通图都包含了作为一个端点忠实收缩次图的T-图，对于某个半特殊顺序树T（semi-special order-tree）。证明：设G是一个连通图，我们要证明G包含一个作为端点忠实收缩次图的T-图，对于某个半特殊顺序树T。根据定理2，我们可以找到一个顺序忠实的划分树$(T,\mathcal{V})$，它展示了G的所有端点。设$\dot G=G/\mathcal{V}$是具有顶点集T和分支集$V_t$（$t\in T$）的G的收缩次图。那么根据(PT1)，$\dot G$是一个T-图，并且它具有有限的粘合性（如定理6·1下方所述）。因此根据定理4·6，T是半特殊的。为了证明收缩次图$\dot G$是端点忠实的，我们考虑通常的映射$\sigma\colon\Omega(\dot G)\to\mathcal{R}(T)\sqcup T$，并设$\dot\varepsilon$是$\dot G$的任意一个端点。由于$\dot G$是一个具有有限粘合性的T-图，根据定理5·1，映射$\sigma$限制为$\Omega(\dot G)\to\mathcal{R}(T)$的一一对应映射。设$\varrho\;:\!=\;\sigma(\dot\varepsilon)$是$\dot\varepsilon$对应的T中的高射线。我们任意选择$\varrho$中的一个共尾链$t_0\lt t_1\lt\cdots$。根据定理2·3(iv)，存在一条在$\dot G[\varrho]$中按递增顺序遍历节点$t_i$的射线$\dot R$。那么$\dot R\in \dot\varepsilon$，因为$\dot R$对应的端点在$\varrho$中（$\dot\varepsilon$也是如此），并且$\sigma$是单射。根据定理6·4，存在一条被$\dot R$追踪的射线$R\subseteq G[V_\varrho]$，并且它对应于$\varrho$。因此对于包含$R$的端点$\varepsilon\in\Omega(G)$，有$\tau(\varepsilon)=\varrho$，其中$\tau\colon\Omega(G)\to\mathcal{R}(T)\sqcup T$。总之，$\dot R\in\dot\varepsilon$追踪$R\in\varepsilon$，且$\varepsilon\in\tau^{-1}(\sigma(\dot\varepsilon))$。由于$(T,\mathcal{V})$展示了G的所有端点，映射$\tau$限制为$\Omega(G)\to\mathcal{R}(T)$的一一对应映射，并且我们已经看到$\sigma\colon\Omega(\dot G)\to\mathcal{R}(T)$是一一对应的，所以$\tau^{-1}\circ\sigma\colon\Omega(\dot G)\to\Omega(G)$也是一一对应的。因此，$\dot G$是G的一个端点忠实的次图。

开放问题9·2：每个连通图G是否都包含一个作为拓扑端点忠实次图的T-图H，对于某个（半）特殊顺序树T？图的划分（separation of a graph G）是一对无序的集合$\{A,B\}$，使得$A\cup B=V(G)$，并且在G中$A\setminus B$和$B\setminus A$之间没有边。我们称$A\cap B$为集合$\{A,B\}$的分隔符（separator）。基数$|A\cap B|$是集合$\{A,B\}$的顺序（order）。如果集合$\{A,B\}$具有有限顺序，那么$\{\partial_{\Omega} {A},\partial_{\Omega} {B}\}$是$\Omega(G)$的一个闭开划分（clopen bipartition）。如果两个图的划分$\{A,B\}$和$\{C,D\}$在交换A和B或C和D的名字后满足$A\subseteq C$且$B\supseteq D$，则称它们是嵌套的（nested）。设M是G的一组划分。我们说M是嵌套的，如果它的元素是两两嵌套的。我们说M区分了G的两个端点$\varepsilon_1,\varepsilon_2$，如果存在一个有限顺序的划分$\{A,B\}\in M$，使得$\varepsilon_1\in\partial_{\Omega} {A}$且$\varepsilon_2\in\partial_{\Omega} {B}$，或者反之亦然。定理2引出了Carmesin[参考Carmesin9，5·17]通过30页的证明得出的以下深刻结果：推论9·3：每个图G都有一个由有限顺序划分组成的嵌套集合M，使得M区分了G的每一对端点。证明：不失一般性，假设G是连通的。根据定理2，G有一个顺序忠实的划分树$(T,\mathcal{V})$。对于$T$中的每个后继元素$t$，我们定义$\begin{align*} S_t\;:\!=\;N_G(V_{\lfloor t\rfloor})\quad\text{和}\quad A_t\;:\!=\;V_{\lfloor t\rfloor}\cup S_t\quad \text{和}\quad B_t\;:\!=\;V\restriction (T\setminus\lfloor t\rfloor)。\end{align*}$那么根据(PT2)，$\{A_t,B_t\}$是G的一个有限顺序划分，其分隔符为$S_t$。我们声称所有这些有限顺序划分$\{A_t,B_t\}$的集合M是嵌套的。如果$t\lt t'$，那么$A_{t'}\subseteq A_t$，因此$B_{t'}\supseteq B_t$。如果t和t′是不可比较的，那么$A_t\subseteq B_{t'}$且$B_t\supseteq A_{t'}$。因此M是嵌套的。最后，我们证明M区分了G的每一对端点。对于每个$\{A_t,B_t\}$，定义$\Omega_t\;:\!=\;\partial_{\Omega} {A_t}$。由于$(T,\mathcal{V})$是顺序忠实的，映射$\tau$是$\Omega(G)$和$\mathcal{R}(T)$之间的一一对应映射。每个集合$\Omega_t$恰好包含G中那些对应的高射线$\tau(\varepsilon)\subseteq T$的端点，且$\tau(\varepsilon)$以$\lceil t\rceil$作为初始段。现在设$\varepsilon_1,\varepsilon_2$是G的两个不同端点。不失一般性，假设$\tau(\varepsilon_1)$不在$\tau(\varepsilon_2)$中。设$t′$是$\tau(\varepsilon_1)\setminus\tau(\varepsilon_2)$中的最小元素，并设$t$是$\tau(\varepsilon_1)$中的高射线中的后继元素。那么$\varepsilon_1\in\Omega_t$，而$\varepsilon_2\notin\Omega_t$，因此$\{A_t,B_t\}$区分了$\varepsilon_1$和$\varepsilon_2$。

9·2. 定理1断言(2)的应用
推论9·4：禁止不可数团（uncountable clique minors）并不会降低端空间的复杂性，即每个端空间都同胚于一个没有不可数团次图的图的端空间。证明：根据定理1(2)，每个端空间都同胚于一个在顺序树T上的均匀T-图的端空间，而根据定理4·6，这个T必须是特殊的。只需证明特殊顺序树上的均匀图不包含不可数团次图即可。假设相反，某个具有有限粘合性的T-图包含了一个不可数团次图。根据Jung[参考Jung31]的结果，这个图也会包含一个不可数团的细分。根据定理4·7，这个团中的某一对分支顶点v, w在T中必须是不可比较的。根据定理2·3(i)，集合$\lceil v \rceil \cap \lceil w \rceil$是v和w之间的一个可数分隔符，这是一个矛盾。相比之下，根据Halin[参考Halin和Bollobás27，定理10·1]的结果，禁止可数无限团的细分会得到一个正常的生成树，因此在这种情况下端空间是可度量化的。端的度是其中两两不相交的射线集合的大小的上确界；Halin[参考Halin26]表明这个上确界总是可以达到的。
推论9·5：禁止不可数度的端点并不会降低端空间的复杂性，即每个端空间都同胚于一个每个端点都具有有限度的图的端空间。证明：根据定理1(2)，每个端空间都同胚于一个在顺序树T上的均匀T-图的端空间。因此只需证明顺序树上所有端点的度都是可数的。设G是一个具有有限粘合性的T-图，设$\varepsilon$是G的一个端点。设$\varrho\;:\!=\;\sigma(\varepsilon)$，并假设出于反证，集合$\{R_i\mid i\lt\aleph_1\}$是端点$\varepsilon$中不可数多的两两不相交射线的集合。由于根据定理4·7，$\varrho$具有共尾性$\omega$，并且由于G具有有限粘合性，因此除了可数多的射线$R_i$之外，所有射线$R_i$都包含在$G[\,\lfloor U\rfloor\,]$中，其中U是$\varrho$的所有顶点的集合。选取任意一条射线$R_i\subseteq G[\,\lfloor U\rfloor\,]$。那么根据定理2·3(ii)，$R_i$有一个唯一的T-最小顶点$R_i'$，因此$R_i$有一个避开U的尾部$R_i'$。特别地，存在一个顶点$s\in T$，它是$\varrho$的一个顶点的后继，并且满足$R_i'\subseteq G[\,\lfloor{s}\rfloor\,]$。但那么邻域$N_G(\lfloor{s}\rfloor)$——根据定理4·2是有限的——将$R_i'$与$\varepsilon$分开，这是一个矛盾。

9·3. 定理1断言(3)的应用
拓扑空间X的一个长度为$\sigma$的离散扩展是一个递增序列$(X_i \colon i \lt \sigma)$，其中$X_i$是X的非空闭子集，满足：
(1) $X = \bigcup_{i \lt \sigma} X_i$；
(2) 对于所有$i+1\lt\sigma$，$X_0$和$X_{i +1} \setminus X_i$是离散的；
(3) 对于所有$\ell \lt \sigma$的极限，有$X_\ell = \overline{\bigcup_{i \lt \ell} X_i}$。显然，每个Hausdorff空间X都有一个长度为$|X|$的离散扩展，参见[参考Polat45，注释7·3]。以下关于端空间具有“短”扩展的显著定理是由Polat[参考Polat45，定理8·4]通过20页的证明得出的深刻结果：推论9·6：每个端空间都允许有一个长度最多为$\omega_1$的离散扩展。证明：根据定理1(3)，只需证明对于特殊顺序树T的射线空间$\mathcal{R}(T)$也是如此。对于每个极限$\ell \lt \omega_1$，设$X_\ell \subseteq \mathcal{R}(T)$是属于$T^{\lt\ell}$的高射线集合。由于T的每个高射线都具有可数顺序类型，因此$\mathcal{R}(T) = \bigcup_\ell X_\ell$是一个闭集的递增覆盖。为了得到一个离散的发展，对于每个极限$\ell \lt \omega_1$和每个$n \in \mathbb{N}$，我们现在定义一个集合$X_{\ell + n}$，其中$X_{\ell} \subseteq X_{\ell + n} \subseteq X_{\ell + \omega}$，具体如下：对于$T^{\ell + n}$中的每个节点t，如果可能的话，选择一个高射线$\varrho_t \in X_{\ell+\omega}$，且$t \in \varrho_t$（等价于：$\varrho_t \in [t]$，根据定理5·3的语言）。设$X_{\ell + n}$包含之前集合$X_{\ell + n -1}$中的所有高射线以及所有选定的$\varrho_t$。那么$(X_i \colon i \lt \omega_1)$就是所需的离散发展。实际上，根据构造，所有集合都是闭集，$X_{i+1} \setminus X_i$是离散的，并且对于所有极限$\ell \lt \omega_1$，有$X_\ell = \overline{\bigcup_{i \lt \ell} X_i}$。

致谢
我们感谢Ruben Melcher就端空间这一主题进行了富有成果的讨论，这些讨论促成了定理3·3的提出。

脚注：
1. 回想一下，如果V(G)可以被划分为连接顶点集$V_h$（$h\in V(H)$），并且当且仅当G包含$V_h$和$V_{h'}$之间的边时，$hh ′$是H中的一条边，那么H是G的一个收缩次图（contraction-minor）。