几何同构类中的最小挠曲线

《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》：Minimal torsion curves in geometric isogeny classes

　　摘要 本文介绍了在固定几何同构类内研究最小挠曲线的过程。对于一个$\overline{{\mathbb{Q}}}$-同构类$\mathcal{E}$中的椭圆曲线和$N \in {\mathbb{Z}}^+$，我们希望确定与$\mathcal{E}$中任一椭圆曲线相关联的模曲线$X_1(N)$上点的最小度数。我们考虑了$\mathcal{E}$为有理数的情况，即包含具有有理j-不变量的椭圆曲线，或者$\mathcal{E}$由具有复乘（CM）的椭圆曲线组成。如果$N=\ell^k$是某个质数的幂，我们在限制在奇数度数的点的情况下给出了一个完整的特征描述，同时也在$\mathcal{E}$为CM的情况下进行了研究。我们在更一般的设置中也包含了一些部分结果。

1. 引言 模曲线$X_1(N)$是定义在${\mathbb{Q}}$上的代数曲线，其非cuspidal点参数化了具有N阶特徵的椭圆曲线。理解$X_1(N)$上度数为d的点是在度数为d的数域上定义的椭圆曲线的挠子群进行分类的关键步骤——这个问题仅在$d \leq 4$的情况下得到解决[参考文献Derickx, Etropolski, van Hoeij, Morrow和Zureick-Brown20，参考文献Derickx和Najman21，参考文献Kamienny34–参考文献Kenku和Momose36，参考文献Mazur39]。根据Riemann–Roch定理，$X_1(N)$在任何大于其亏格的度数上都有无限多个点，因此只需描述低度数的点即可。一类重要的低度数点是散在点，即$x\in X_1(N)$，对于这些点，度数最多为$\deg(x)$的点只有有限个。排除$X_1(N)$上的意外散在点将对该领域中的重大未解决问题产生影响，包括Serre的一致性问题（参见参考文献Bourdon和Najman11，定理1·3）以及模曲线$X_0(N)$的一致性猜想；见参考文献Balakrishnan和Mazur3，猜想18以及参考文献Adzaga, Keller, Michaud-Jacobs, Najman, Ozman和Vukorepa1，猜想1·1）。这些应用进一步激发了对于低度数点更深入理解的需求。虽然通常研究$X_1(N)$上的低度数点相当困难，但通过限制考虑的点类别，这个问题可以变得更易处理。一条研究路线仅考虑与具有复乘（CM）的椭圆曲线相关联的点；例如，参见参考文献Bourdon和Clark7，参考文献Clark14，参考文献Clark, Genao, Pollack和Saia15。与在K中的 imaginary 二次域中满足某个阶数${\mathcal{O}}$的CM椭圆曲线相关联的$X_1(N)$上点的最小度数在参考文献Bourdon和Clark7的定理1·2中给出。人们可能更一般地希望描述在K中满足任意阶数的CM椭圆曲线相关的$X_1(N)$上点的最小度数。由于满足${\mathcal{O} \subseteq K$的CM椭圆曲线在$\overline{{\mathbb{Q}}$上与满整环的CM椭圆曲线同构，这本质上是以下问题的一个特例：对于一个给定的椭圆曲线的几何同构类$\mathcal{E}$和固定的$N\in {\mathbb{Z}}^+$，与$\mathcal{E}$中的椭圆曲线相关联的$X_1(N)$上点的最小度数是多少？以及$\mathcal{E}$中的哪些椭圆曲线可以在$X_1(N)$上达到最小可能的度数？我们在本文中研究了这些问题。设$\mathcal{E}$是一个椭圆曲线的几何同构类。也就是说，对于$\mathcal{E}$中的任意$E_1,E_2$，存在一个在$\overline{{\mathbb{Q}}$上定义的同构$\varphi\,:\, E_1 \rightarrow E_2$。我们希望找到最小的d，使得存在一个度数为d的F且$E/F \in \mathcal{E}$，使得E(F)包含一个阶数为N的点P。我们称E为$\mathcal{E}$中水平为N的最小挠曲线。因为F的度数是最小的，所以与$(E,P)\in X_1(N)(\overline{{\mathbb{Q}})$相关的闭点的剩余域的度数也是d，因此我们也可以将E视为通过其j-不变量$j_{min}$在$\overline{{\mathbb{Q}}$上识别的曲线。在本文中，我们研究了奇数幂水平的最小挠曲线。对于CM同构类，我们得到了一个近乎完整的特征描述。

定理1·1. 设$\mathcal{E}$是一个在imaginary 二次域K中满足某个阶数的CM椭圆曲线的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类。对于一个质数$\ell$，与$\mathcal{E}$中的任意$E$相关联的$X_1(\ell^k)$上点的最小度数在命题9·1、9·2和9·3中给出。如果$\ell$在K中是分裂的，那么在K中由满整环生成的CM椭圆曲线是$\mathcal{E}$中水平为$\ell^k$的最小挠曲线，且$[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}}]=h_K$，其中$h_K$是K的类数。否则，随着$k \rightarrow \infty$，$[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}}] \rightarrow \infty$。如果$\mathcal{E}$是在K中满足某个阶数的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类的CM椭圆曲线，那么对于$\mathcal{E}$中的任何$E$，都有$[{\mathbb{Q}}(j(E))\,:\,{\mathbb{Q}} \geq h_K$。因此，当$\ell$在K中是分裂的时，最小挠曲线的$[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}}]$对$\mathcal{E}$来说是最小的。然而，如果$\ell$在K中是惰性的或分裂的，那么$[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}}]$通常不会对$\mathcal{E}$来说是最小的，并且实际上会随k的增长而增长。这些最小挠曲线具有特殊的算术性质，例如在${\mathbb{Q}}(j_{min})$上定义了一个高阶$\ell^k$-同构，这更多地弥补了${\mathbb{Q}}(j_{min})$的度数。这种现象之前在[参考文献Bourdon和Pollack13，注释2·7]中已经观察到CM奇数度数点的情形中观察到。我们用以下例子来说明。例1·2. 设$\mathcal{E}$是标签为27.a1的$E/{\mathbb{Q}}$的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类。这里$K={\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$，我们取$\ell=3$，它在K中是分裂的。与$\mathcal{E}$中的椭圆曲线相关联有两个有理j-不变量，即$-12288000$和0。因此，由$\mathcal{E}$中的$E$的j-不变量生成的扩展的最小度数是1。然而，根据命题9·3，水平为$3^k$的最小挠曲线的j-不变量生成的扩展的度数至少为$3^{(k-5)/2}$。因此，对于$k \geq 6$，不存在具有有理j-不变量的最小挠曲线，且${\mathbb{Q}}(j_{min})$的度数必须随k的增长而增长。即使在非CM同构类中，最小挠曲线也可能具有生成度数意外大的j-不变量。例1·3. 设$\mathcal{E}$是包含标签为9225.l1的$E/{\mathbb{Q}}$的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类。这里$j(E)\in {\mathbb{Q}}$，但在第8节中我们看到，对于$\mathcal{E}$中水平为49的最小挠曲线，有$[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}}] \geq 2$。这个类别值得注意，因为$\mathcal{E}$包含一个在$X_1(49)$上产生度数为42的点的椭圆曲线，这比任何$j(x)\in {\mathbb{Q}}$的$x \in X_1(49)$的度数都要低。见推论8·3。我们的下一个结果涉及$\mathcal{E}$为有理数的情况，即包含在${\mathbb{Q}}$中具有j-不变量的椭圆曲线。对于非CM类，我们在限制在奇数度数的点的情况下获得了最小挠曲线的特征描述，加强了[参考文献Bourdon和Najman11，命题4·1]。定理1·4. 设$\mathcal{E}$是一个非CM的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类的椭圆曲线。如果$E \in \mathcal{E}$且$x=[E,P]\in X_1(\ell^k)$是奇数度的点，则$\ell \in \{2,3,5,7,11,13\}$。与$E' \in \mathcal{E}$相关联的$X_1(\ell^k)$上最小的奇数度数点在命题5·1、6·1和7·1中给出，同时以下可除性条件成立，并且对所有这样的$\mathcal{E}$都是最佳的：(i) 如果$\ell =13$，则$3 \cdot 13^{2k-2} \mid \deg(x)$；(ii) 如果$\ell =11$，则$5 \cdot 11^{2k-2} \mid \deg(x)$；(iii) 如果$\ell=7$且$\mathcal{E}$不包含$j(E')= 3^3\cdot5\cdot7^5/2^7$的E’，则$7^{2k-2} \mid \deg(x)$；(iv) 如果$\ell=7$且$\mathcal{E}$包含$j(E')= 3^3\cdot5\cdot7^5/2^7$的E’，则$9 \cdot 7^{\max(0,2k-3)} \mid \deg(x)$；(v) 如果$\ell=5$，则$5^{\max(0,2k-3)} \mid \deg(x)$；(vi) 如果$\ell=3$，则$3^{\max(0,2k-4)} \mid \deg(x)$；(vii) 如果$\ell=2$，则$k \leq 3$且$1 \mid \deg(x)$。此外，在来自$\mathcal{E'} \in \mathcal{E}$的$X_1(\ell^k)$上的奇数度数点中，最小奇数度的点总是可以与$j(E_{min} \in \mathcal{E}$相关联，其中$j(E_{min}) \in {\mathbb{Q}}$，或者与具有有理j-不变量的椭圆曲线$\ell$-同构。注释1·5. 对于$\ell=7$的特殊类别也在另一个背景下被识别出来。根据Sutherland[参考文献Sutherland47]，在${\mathbb{Q}}$上，具有$j(E)=3^3\cdot5\cdot7^5/2^7$的椭圆曲线$E/{\mathbb{Q}}$提供了唯一反例，违反了质数阶有理同构的局部-全局原理。特别是，定理1·4表明，在给定假设下，存在一个对于$\mathcal{E}$的水平为$\ell^k$的最小挠曲线，它最多与具有有理j-不变量的椭圆曲线$\ell$-同构。除了奇数度数的点之外，命题8·1表明对于包含具有$\ell$-adic Galois表示的水平为$\ell$的有理椭圆曲线的$\mathcal{E}$，同样的条件也成立。这些是以下结果的特殊情况，该结果是Serre的Open Image定理[参考文献Serre43]的一个后果。定理1·6. 设$\mathcal{E}$是一个非CM椭圆曲线的有理$\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类，且设$\ell$是质数。存在一个常数$C=C(\mathcal{E},\ell)$，使得对于任何$k \in {\mathbb{Z}}^+$，来自$\mathcal{E'} \in \mathcal{E}$的$X_1(\ell^k)$上的最小度数的点可以与$j_{min}\in \mathcal{E}$相关联，该$j_{min}$与某个$d\leq C$的有理j-不变量$d$-同构。因此，与定理1·1中处理的CM情况不同，总是存在一个水平为$\ell^k$的最小挠曲线，其j-不变量在度数有限的扩展中。不幸的是，我们的证明没有明确给出常数C；见定理4·3。如果$\mathcal{E}$包含一个在K中具有$\ell$-adic Galois表示的非CM椭圆曲线$E/{\mathbb{Q}}$，那么根据命题8·1，$C=\ell$。然而，我们未能找到C与$\mathcal{E}$中的$E/{\bb{Q}}$的水平之间的更一般联系，尽管自然会询问是否存在这样的联系（注释4·4）。

1.1. 一般方法。如果$\mathcal{E}$是一个非CM椭圆曲线的有理几何同构类，那么对于$\mathcal{E}$中的任何$E$，存在一个在$\overline{{\mathbb{Q}}$上定义的同构$\varphi\,:\, E \rightarrow E_0$，其中$E_0$是在${\bb{Q}}$上定义的椭圆曲线的基础扩展。如果需要，我们可以通过替换E、$E_0$和同构$\varphi$到数域F上来进行假设。一个关键的观察是，在F上，两个$\ell$-adic Galois表示在${\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_{\ell})$中的指数相同：\begin{equation*}[{\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_{\ell})\,:\,{\mathrm{im}} \rho_{E/F, \ell^{\infty}}]=[{\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_{\ell})\,:\,{\mathrm{im}} \rho_{E_0/F, \ell^{\infty}}]。\end{equation*} 例如，参见[参考文献Greenberg32，命题2·1·1]。这可以用来根据$[{\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_{\ell})\,:\,{\mathrm{im}} \rho_{E_0/{\bb{Q}}, \ell^{\infty}}$来给出与$\mathcal{E}$相关联的$X_1(\ell^k)$上点的度数的下界。我们得到了以下命题，它加强了[参考文献Bourdon和Najman11，引理4·6]。命题1·7. 设$\mathcal{E}$是一个非CM椭圆曲线的有理$\overline{{\bb{Q}}$-同构类。假设$\ell$是质数且$k \in {\bb{Z}}^+$。存在$E_0/{\bb{Q}} \in\mathcal{E}$和$x \in X_1(\ell)$，使得$j(x)=j(E_0)$，并且与$\mathcal{E}$相关联的$X_1(\ell^k)$上任何点的度数可以被\begin{equation*}\delta \,:\!=\, \begin{cases}\deg(x)\cdot \ell^{\max(0,2k-2-d)} \text{ 如果 $\ell$ 是奇的},\\\deg(x) \cdot \ell^{\max(0,2k-3-d)} \text{ 如果 $\ell=2$},\end{cases}\end{equation*}整除，其中$d \,:\!=\, {\mathrm{ord}}_{\ell}([{\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_{\ell})\,:\, {\mathrm{im}} \rho_{E_0/{\bb{Q}}, \ell^{\infty}}])$。在某些情况下，我们通过明确构造在$X_1(\ell^k)$上产生度数为$\delta$的$E' \in \mathcal{E}$来证明这些下界是最佳的。一个自然的例子是当$d=0$且$\ell$是奇数时，$E_0$的一个扭曲是$X_1(\ell^k)$的最小挠曲线；如果$d\gt0$，则$j(E') \notin {\bb{Q}}$。在其他情况下，可以通过证明在$X_1(\ell^k)$上度数为$\delta$的点会产生一个不会出现在${\mathrm{im}} \rho_{E_0/{\bb{Q}},\ell^{\infty}}$中的子群来加强命题1·7的下界；见命题6·6。在整篇文章中，我们利用了Rouse和Zureick-Brown [参考文献Rouse and Zureick-Brown42]以及Rouse、Sutherland和Zureick-Brown [参考文献Rouse, Sutherland and Zureick-Brown41]对${\mathbb{Q}}$上椭圆曲线的$\ell$-adic伽罗瓦表示图像的部分分类方法。注意1·8：设$\mathcal{E}$是非CM椭圆曲线的有理$\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类。根据定理1·6，对于$X_1(\ell^k)$，任何最小的挠曲线至多与具有有理j-不变量的椭圆曲线同源，这里的C不依赖于k。因此，存在一个有限的j-不变量集合$\mathcal{J}=\{j_1, j_2, \ldots, j_r\}$，使得对于任意$k \in {\mathbb{Z}}^+$，都存在一个属于$\mathcal{J}$的j-不变量的$\ell^k$级别的最小挠曲线。然而，我们的证明并没有明确给出$\mathcal{J}$的具体内容，所以我们可能无法通过检查有限数量的j-不变量来获得结果。另一方面，对于固定的$k \in {\mathbb{Z}}^+$，由于任何最小挠曲线的j-不变量生成的扩展度至多为$\deg(X_1(\ell^k) \rightarrow X_1(1))$，因此可以进行有限次检查。关于CM同源类的结果在很大程度上依赖于第一作者与Clark的合作研究 [参考文献Bourdon and Clark6, 参考文献Bourdon and Clark7]。1·2：其他相关工作中，Cremona和Najman [参考文献Cremona and Najman18]证明了关于定义在奇数度数域上的${\mathbb{Q}}$-曲线的挠点的许多结果。任何这样的椭圆曲线必然与具有有理j-不变量的曲线同源，这直接关联到我们对有理几何同源类中最小挠曲线的研究。这类${\mathbb{Q}}$-曲线在[参考文献Bourdon and Najman11]中也有研究，其中第一作者和Najman展示了包含j-不变量为$-140625/8$的椭圆曲线的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类是唯一能在任何模曲线$X_1(N)$上产生奇数度数散点的有理非CM类。Genao [参考文献Genao27]的较新工作提供了关于属于有理$\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类的椭圆曲线上的挠子群大小的“典型”界限，他的后续工作[参考文献Genao28]进一步探讨了这类挠子群的多项式界限。第一作者和Clark [参考文献Bourdon and Clark7]的早期工作给出了与固定阶数的虚二次域中的椭圆曲线相关的$X_1(N)$上的点的最小度数。1·3：代码：我们频繁使用计算机代数系统Magma [参考文献Bosma, Cannon and Playoust5]。所有代码均可在https://github.com/abbey-bourdon/minimal_torsion_curves获取。2. 背景和符号 2·1：约定：在整个文章中，F表示一个数域，$\overline{F}$表示F的一个固定代数闭包。我们用${\mathrm{Gal}}_F$表示绝对伽罗瓦群${\mathrm{Gal}}(\overline{F}/F)$。对于定义在F上的椭圆曲线E和$N\in{\mathbb{Z}}^+$，集合$E(\overline{F})$中所有阶数为N的点被称为E[N]。这是一个秩为2的自由${\mathbb{Z}}/N{\mathbb{Z}}$-模。任何椭圆曲线$E/F$对应于形式为$y^2=x^3+Ax+B$的方程，我们可以定义其j-不变量为$j(E) \,:\!=\, 1728 ({4A^3}/{4A^3+27B^2})$。这个F中的元素在$\overline{F}$-同构的意义上表征了E，我们称任何满足$j(E')=j(E)$的E’为E的一个扭曲。对于一个质数$\ell$，我们对${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}/\ell{\mathbb{Z}}$和${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell})$的子群的表示遵循[参考文献Rouse, Sutherland and Zureick-Brown41, 参考文献Sutherland48]。对于$\ell$-adic图像，这被称为“RSZB标签”，遵循[参考文献Sutherland48]中的作者命名法，其形式为N.i.g.n，其中N是级别，i是指数，g是亏格，n是一个用于区分非共轭子群的正整数。我们还通过它们的L函数和模形式数据库[16]（LMFDB）标签来引用特定的${\mathbb{Q}}$上的椭圆曲线。我们总是将模曲线$X_1(N)$视为定义在${\mathbb{Q}}$上的代数曲线；详见第2.4节。所谓闭点，我们指的是$X_1(N)(\overline{{\mathbb{Q}})$中属于${\mathrm{Gal}}_{{\mathbb{Q}}}$-轨道的点。如果$x \in X_1(N)$是闭点，我们定义x的度数为其剩余域${\mathbb{Q}}(x)$的度数。通过取伽罗瓦共轭的和，这样的闭点可以被视为一个度数为d的不可约${\mathbb{Q}}$-有理有效除子。2·2：伽罗瓦表示：设E是一个定义在数域F上的椭圆曲线，$\ell$是一个质数。对于任意$k \in {\mathbb{Z}}^+$，${\mathrm{Gal}}_F$的元素会诱导$E(\overline{F})$中阶数为$\ell^k$的点的自然自动同构，记为$E[\ell^k]$。这种作用记录在与E相关联的模$\ell^k$伽罗瓦表示中，\begin{equation*}\rho_{E,\ell^k}\,:\, {\mathrm{Gal}}_F \rightarrow {\mathrm{Aut}}(E[\ell^k]) \cong {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}/\ell^k{\mathbb{Z}}).\end{equation*} 通过选择合适的基，当k遍历所有正整数时，这些模$\ell^k$伽罗瓦表示组合起来就形成了与E相关的$\ell$-adic伽罗瓦表示，\begin{equation*}\rho_{E,\ell^{\infty}}\,:\, {\mathrm{Gal}}_F \rightarrow {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell}),\end{equation*}，它编码了$E(\overline{F})$中所有阶数为$\ell$的点的伽罗瓦作用。如果E是非CM的，那么根据Serre的开图像定理[参考文献Serre43]，${\mathrm{im}} \rho_{E,\ell^{\infty}}$是${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell})$的一个开子群。因此存在一个非负整数d，使得${\mathrm{im}} \rho_{E,\ell^{\infty}}=\pi^{-1}({\mathrm{im}} \rho_{E,\ell^d})$，其中$\pi\,:\,{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell}) \rightarrow {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}/\ell^d{\mathbb{Z}})$是自然降维映射。满足这一条件的最小的$\ell^d$被称为$\ell$-adic伽罗瓦表示的级别。除了${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}/\ell{\mathbb{Z}}$外，所有已知作为与非CM椭圆曲线在${\mathbb{Q}}$上的模$\ell$伽罗瓦表示的图像出现的群（直到共轭）都列在[参考文献Sutherland48]的表3和表4中。这个列表对于$\ell \leq 13$是完整的，由Zywina [参考文献Zywina50]和Balakrishnan, Dogra, Müller, Tuitman, 和 Vonk [参考文献Balakrishnan, Dogra, Müller, Tuitman and Vonk2]的工作完成，并且Sutherland [参考文献Sutherland48, 推论1·1]和Zywina [参考文献Zywina50, 推论1·12]都猜想对于所有的$\ell$这个列表也是完整的。对于$\ell \geq 17$，我们有以下结果（定理2·1（Mazur [参考文献Mazur40], Serre [参考文献Serre44], Bilu, Parent和Rebolledo [参考文献Bilu, Parent and Rebolledo4]）：假设$E/{\mathbb{Q}}$是一个非CM椭圆曲线，且$\ell \geq 17$是一个质数。如果${\mathrm{im}} \rho_{E,\ell}$不等于${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}/\ell{\mathbb{Z}}$，也不与[参考文献Sutherland48]表3或表4中的任何群共轭，那么${\mathrm{im}} \rho_{E,\ell}$包含在$C_{ns}^+(\ell)$中，这是${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}/\ell{\mathbb{Z}}$的一个非分裂Cartan子群的正规化子群。定理2·1的改进出现在[参考文献Zywina50, 命题1·13]中，这也已在[参考文献Le Fourn and Lemos37, 附录B]中得到证明。最近，Furio和Lombardo [参考文献Furio and Lombardo26]表明，对于大于37的质数，非分裂Cartan子群的正规化子的真子群不会出现。结合之前的工作，[参考文献Furio and Lombardo26, 定理1·6]意味着以下结果。定理2·2（Furio, Lombardo [参考文献Furio and Lombardo26]）：假设$E/{\mathbb{Q}}$是一个非CM椭圆曲线，且$\ell \geq 17$是一个质数。如果${\mathrm{im}} \rho_{E,\ell}$不等于${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}/\ell{\mathbb{Z}}$，也不与[参考文献Sutherland48]表4中的任何群共轭，那么${\mathrm{im}} \rho_{E,\ell}$与$C_{ns}^+(\ell)$共轭。对于椭圆曲线$E/{\mathbb{Q}}$的$\ell$-adic伽罗瓦表示的图像，已经有许多部分分类结果。首先假设E是非CM的。由于Rouse和Zureick-Brown [参考文献Rouse and Zureick-Brown42]的工作，已知作为${\mathrm{im}} \rho_{E,2^{\infty}}$出现的群。对于奇质数$\ell$，Sutherland和Zywina [参考文献Sutherland and Zywina49]已经确定了无限重复出现的图像，而Rouse、Sutherland和Zureick-Brown [参考文献Rouse, Sutherland and Zureick-Brown41]的工作为$3 \leq \ell \leq 11$提供了额外的分类结果，这些结果在计算了6个剩余模曲线上的有理点后是完整的。如果E具有复数乘法结构，参见Lozano-Robledo [参考文献Lozano-Robledo38]的工作。2·3：具有同源的椭圆曲线：假设$E/F$是一个具有F-有理循环N-同源的椭圆曲线，对于$N\in {\mathbb{Z}}^+$，这意味着存在一个由${\mathrm{Gal}}_F$固定的阶数为N的循环子群。因此存在$P \in E(\overline{F})$, 使得对于任何$\sigma \in \text{Gal}_F$，都存在某个$\alpha \in ({\mathbb{Z}}/N{\mathbb{Z}})^\times$使得$\sigma(P) = \alpha P$。这定义了一个称为同源特征的同态：\begin{align*}\chi \,:\, {\mathrm{Gal}}_F &\rightarrow (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times \\\sigma &\mapsto \alpha.\end{align*} 如果$\chi$的图像落在$\{\pm 1\}$中，那么存在E的一个扭曲，使得对应于P的点变为F-有理的。一般来说，我们有以下命题。命题2·3：设$N\geq 3$是一个整数，且$E/F$是一个具有F-有理循环同源的椭圆曲线，其度数为N。存在一个阿贝尔扩张$L/F$，使得$[L\,:\,F] \mid ({\varphi(N)}/{2})$，以及一个$E/L$的二次扭曲E’，使得E’(L)有一个阶数为N的点。证明：这是[参考文献Bourdon, Clark and Stankewicz8, 定理5·5]的一个结果。2·4：模曲线：在本文中，我们感兴趣的是模曲线$X_1(N)$上点的度数，其中N是一个正整数。回想一下，$X_1(N)$是一个定义在${\mathbb{Q}}$上的代数曲线，其非尖点对应于具有阶数为N的椭圆曲线的同构类。如果E是一个定义在数域F上的椭圆曲线，且$P\in E(F)$的阶数为N，那么(E, P)通过这种模空间解释给出了$X_1(N)$上的一个F-值点。根据定义，这是一个${\mathbb{Q}}$-概形之间的态射$f\,:\,\text{Spec}\, F \rightarrow X_1(N)$，f的像是相关的闭点，记为[E, P]。更多细节见[参考文献Diamond and Shurman23, 第7·7节]，[参考文献Diamond and Im22]，[参考文献Shimura45, 第6·7节]，[参考文献Silverman46, 附录C, 第13节]，或[参考文献Deligne and Rapoport19]或[参考文献Deligne and Rapoport19]。如果$x\in X_1(N)$是一个闭点，我们定义x的度数为其剩余域${\mathbb{Q}}(x)$的度数。对于一个非尖点x，我们可以通过以下结果明确构造${\mathbb{Q}}(x)$：引理2·4：设$E/\overline{{\mathbb{Q}}}$是一个椭圆曲线，且$P \in E(\overline{{\mathbb{Q}})$是一个阶数为N的点。那么闭点$x=[E,P] \in X_1(N)$的剩余域由\begin{equation*}{\mathbb{Q}}(x)={\mathbb{Q}}(j(E),\mathfrak{h}(P)),\end{equation*}给出，其中$\mathfrak{h}\,:\, E \rightarrow E/{\mathrm{Aut}}(E) \cong \mathbb{P}^1$是E的Weber函数。存在一个定义在${\mathbb{Q}}(x)$上的Weierstrass方程，使得$P \in E({\mathbb{Q}}(x))$，且${\mathbb{Q}}(x)$包含在E和P都定义的任何数域中。证明：例如，见[参考文献Bourdon and Najman11, 引理2·5]和[参考文献Deligne and Rapoport19, 第274页，命题VI·3·2]。注意2·5：如果$E/{\mathbb{Q}}(j(E))$对应于形式为$y^2=x^3+Ax+B$的方程，并且$P=(x,y) \in E$，那么我们可以取\begin{equation*} \mathfrak{h}(P) = \begin{cases} x & AB \neq 0 \\ x^2 & B = 0 \\ x^3 & A = 0 \end{cases}。注意如果E是非CM的，则$AB \neq 0$。因此根据引理2·4，我们可以通过因式分解除法多项式来计算与非CM椭圆曲线相关的$X_1(N)$上闭点的度数。更多细节见[参考文献Shimura45, 第107页]，其中包含了更清晰的与模型无关的Weber函数公式。我们的许多结果首先依赖于构造一个明确的点 $x \in X_1(\ell^k)$，其中 $k$ 是某个小的整数，然后使用模曲线之间的映射度数公式来获取关于 $x$ 的提升次数的信息。命题 2·6：对于正整数 $a$ 和 $b$，存在一个 ${\mathbb{Q}}$-有理映射 $f\,:\,X_1(ab) \rightarrow X_1(a)$，它将 [E, P] 映射到 [E, bP]。此外，有
$$
\deg(f) = c_{f}\cdot b^2 \prod_{p \mid b,\, p \nmid a} \left(1-\frac{1}{p^2},
$$
其中 $c_{f}=1/2$ 如果 $a \leq 2$ 且 $ab \gt 2$，否则 $c_{f}=1$。证明：模空间的解释确保了映射在 ${\mathbb{Q}}$ 上是定义良好的，度的计算基于 [Diamond 和 Shurman23, p·66]。

2·5：复数乘法
如果一个椭圆曲线 E 定义在一个数域 F 上，并且其上自同态环严格大于 ${\mathbb{Z}}$，那么这个椭圆曲线就具有复数乘法（CM）。在这种情况下，${\mathrm{End}}_{\overline{F}}(E) \cong \mathcal{O}$，$\mathcal{O}$ 是一个二次虚数域 K 中的序。我们有 $\mathcal{O}={\mathbb{Z}}+\mathfrak{f}\mathcal{O}_K$，其中 $\mathcal{O}_K$ 是 K 中的整数环，$\mathfrak{f}$ 是称为 $\mathcal{O}$ 的导数的一个正整数。如果 $\mathfrak{f}=1$，那么 $\mathcal{O}=\mathcal{O}_K$，即 K 中的最大序。每个二次虚数序都由其判别式唯一确定，即
$$
\Delta=\Delta(\mathcal{O})=\mathfrak{f}^2\Delta_K,
$$
其中 $\Delta_K$ 是 K 的判别式。除非 $\Delta=-3$ 或 $-4$，否则 $\# \mathcal{O}^{\times}=2$，在这些情况下分别有 $\# \mathcal{O}=6$ 或 4。如果 E 通过序 $\mathcal{O}$ 在 K 中具有复数乘法，那么根据 [Cox17, 定理 11·1]，我们有 $[{\mathbb{Q}}(j(E))\,:\,{\mathbb{Q}}]=h(\mathcal{O})$，其中 $h(\mathcal{O})$ 是 $\mathcal{O}$ 的类数。如果 $\mathfrak{f}=1$，那么 $h(\mathcal{O})=h_K$，即 K 的类数。如果 $\mathfrak{f}\gt1$，那么根据 [Cox17, 推论 7·2]，我们有
$$
h(\mathcal{O}) = [{\mathbb{Q}}(j(E))\,:\,{\mathbb{Q}}]=h_K \frac{\mathfrak{f} }{[\mathcal{O}_K^{\times}\,:\,\mathcal{O}^{\times}]} \prod_{p \mid \mathfrak{f}} \left( 1- \left(\frac{\Delta_K}{p} \right) \frac{1}{p}).
$$
任何两个属于 $\mathcal{O}$-CM 椭圆曲线的 j-不变量都是伽罗瓦共轭代数整数。

3. 初步结果
在本节中，我们首先建立一个关于同构定义域的简要技术结果（第 3·1 节），这基本上是基于 Cremona 和 Najman [Cremona 和 Najman18, 推论 A·5] 或 Clark [Clark14, 定理 3·2] 的先前工作。这在第 3·2 节中被用来证明一个关于模曲线上点的通用可除性条件，这些点对应于一个固定的有理 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类非 CM 椭圆曲线，从而加强了 [Bourdon 和 Najman11, 引理 4·6] 的结论。在第 3·3 节中，我们总结了一个关于由有理循环同构连接的椭圆曲线所附带的伽罗瓦表示的像的引理。

3·1：同构的定义域
设 $\mathcal{E}$ 是一个有理的 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类非 CM 椭圆曲线。根据定义，存在 $E_0\in\mathcal{E}$ 使得 $j(E_0)\in {\mathbb{Q}}$，并且对于任何 $E\in \mathcal{E}$，都存在一个 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同构 $\varphi\,:\,E \rightarrow E_0$。由于可以通过引理 2·4 使用 E 的任何魏尔斯特拉斯模型来计算 $X_1(N)$ 上闭点的度数，我们可以自由地用二次扭折来替换 E 和 $E_0$，以便更方便地表示 $\varphi$。下面的引理基本上是基于事实：${\mathbb{Q}}(j(E),j(E_0))={\mathbb{Q}}(j(E))$ 包含在与 E 相关联的 $X_1(N)$ 上任何闭点的剩余域中，而这正是同构 $\varphi$ 的模空间；参见 [Clark14, 第 3.3 节] 或 [Cremona 和 Najman18, 推论 A·5]。

引理 3·1：设 $\mathcal{E}$ 是一个有理的 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类非 CM 椭圆曲线，并设 $E \in \mathcal{E}$。假设 $x=[E,P] \in X_1(\ell^k)$，其中 $\ell$ 是某个质数，$k$ 是一个正整数，并且设 $F \,:\!=\, {\mathbb{Q}}(x)$。存在一个 $E/F$ 的魏尔斯特拉斯方程，使得 $P \in E(F)$，并且存在一个 F-有理循环同构 $\varphi\,:\, E \rightarrow E_0$，且 $j(E_0)\in{\mathbb{Q}}$。证明：由于 $\mathcal{E}$ 是有理的，存在 $E_0\in \mathcal{E}$ 使得 $j(E_0)\in {\mathbb{Q}}$。根据定义，存在一个在 $\overline{{\mathbb{Q}}$ 上定义的同构 $\varphi\,:\, E \rightarrow E_0$，我们可以假设它是循环的，度数为 N；参见 [Cremona 和 Najman18, 引理 A·1]。设 C 表示它的核。根据引理 2·4，有 $F={\mathbb{Q}}(j(E),\mathfrak{h}(P))$，并且存在一个 $E/F$ 的魏尔斯特拉斯方程，使得 $P \in E(F)$。[Clark14, 定理 3·2] 的证明策略表明 C 是 F-有理的，我们现在将解释这一点。假设 $\sigma(C) \neq C$ 对于某个 $\sigma \in {\mathrm{Gal}}_F$，并考虑诱导的同构 $E^{\sigma} \rightarrow (E/C)^{\sigma}$。由于 $j(E/C)=j(E_0) \in {\mathbb{Q}}$，我们看到 $j((E/C)^{\sigma})=j(E_0)$。因此，与 $E_0$ 的同构组合产生了一个循环 N-同构 $\psi\,:\, E \rightarrow E_0$，其核为 $\sigma(C)$。但是，只有当 E 具有复数乘法时，才可能有来自 E 到 $E_0$ 的两个具有不同核的循环 N-同构（详见 [Clark14, 定理 3·2] 的最后一段）。我们得出了一个矛盾。

3·2：通用可除性条件
设 $\mathcal{E}$ 是一个有理的 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类非 CM 椭圆曲线。固定一个质数 $\ell$ 和一个正整数$k$。如果 $E \in \mathcal{E}$，那么我们可以将 $[E,P] \in X_1(\ell^k)$ 的度数与某个 $E_0\in\mathcal{E}$ 的 $[E_0,P_0] \in X_1(\ell)$ 的度数联系起来，其中 $j(E_0)\in {\mathbb{Q}}$。这在以下命题中得到了形式化，该命题加强了 [Bourdon 和 Najman11, 引理 4·6] 并证明了命题 1·7。

命题 3·2：设 $\mathcal{E}$ 是一个有理的 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类非 CM 椭圆曲线。假设 $\ell$ 是一个质数，$k \in {\mathbb{Z}}^+$。存在 $E_0/{\mathbb{Q}} \in\mathcal{E}$ 和 $x\in X_1(\ell)$ 使得 $j(x)=j(E_0)$，这样与 $\mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(\ell^k)$ 上的任何点的度数都可以被
$$
\begin{cases}
\deg(x)\cdot \ell^{\max(0,2k-2-d)} \text{ 如果 $\ell$ 是奇数}, \\
\deg(x) \cdot \ell^{\max(0,2k-3-d)} \text{ 如果 $\ell=2},
\end{cases}
$$
整除，其中 $d \,:\!=\, {\mathrm{ord}}_{\ell}([{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell})\,:\, {\mathrm{im}} \rho_{E_0, \ell^{\infty}})$。

注 3·3：设 $k \in{\mathbb{Z}}^{\geq 2}$。由于对于奇数 $\ell$ 有 $\deg(X_1(\ell^k) \rightarrow X_1(\ell))=\ell^{2k-2}$，并且对于 $\ell=2$ 有 $\deg(X_1(2^k) \rightarrow X_1(2))=2^{2k-3}$，当 $d=0$ 时这些下界是最佳的。在这种情况下，$E_0$ 本身就是 $X_1(\ell^k)$ 的一个最小挠曲线。在某些情况下确实如此；例如，参见引理 5·3。然而，对于其他 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同构类，这些界可以进一步细化。参见命题 6·1。

证明：设 $E \in \mathcal{E}$，并固定一个在 $E$ 中的阶为 $\ell^k$ 的点 $P$。定义 $F \,:\!=\, {\mathbb{Q}}(j(E),\mathfrak{h}(P))$。根据引理 3·1，存在一个 $E/F$ 的魏尔斯特拉斯模型，其中 $P \in E(F)$，并且存在一个 F-有理循环同构 $\varphi\,:\, E \rightarrow E'$，且 $j(E')\in{\mathbb{Q}}$。根据 [Bourdon 和 Najman11, 引理 4·6]，我们有 $[F\,:\,{\mathbb{Q}}]$ 可以被
$$
\begin{cases}
\ell^{\max(0,2k-2-d)} \text{ 如果 $\ell$ 是奇数}, \\
\ell^{\max(0,2k-3-d)} \text{ 如果 $\ell=2},
\end{cases}
$$
整除，其中 $d={\mathrm{ord}}_{\ell}([{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell})\,:\, {\mathrm{im}} \rho_{E_0, \ell^{\infty}})$ 对于任何 $j(E_0)=j(E')$ 的椭圆曲线 $E_0/{\mathbb{Q}}$。根据 [Bourdon 和 Najman11, 推论 4·3 (2)]，曲线 $E’$ 在一个度数为 $\ell$ 的扩展 $F'/F$ 上有一个阶为 $\ell$ 的点。特别地，存在一个闭点 $x=[E',P'] \in X_1(\ell)$ 使得 ${\mathbb{Q}}(x) \subseteq F'$。因此
$$
\deg(x) \mid \ell \cdot [F\,:\,{\mathbb{Q}].
$$
由于 $j(E')=j(E_0)$，存在一个点 $P_0\in E_0$ 使得闭点 $x=[E_0,P_0]$。如果 $\deg(x)$ 与 $\ell$ 互质，那么 $\deg(x) \mid [F\,:\,{\mathbb{Q}}$，结论随之成立，因为 F 是由引理 2·4 与 [E, P] 相关联的闭点的剩余域。所以假设 $\deg(x)=\ell \cdot n_0$。注意到 $\ell \nmid n_0$，因为 $\deg(X_1(\ell) \rightarrow X_1(1))\lt\ell^2$，所以 $n_0 \mid [F\,:\,{\mathbb{Q}}$。如果存在一个与 $E_0$ 相关联的点 $x_1\in X_1(\ell)$ 且 $\deg(x_1) \mid n_0$，那么结论同样成立，只需用 $x_1$ 替换 $x$。否则，通过检查与 $E_0$ 相关联的模 $\ell$ 伽罗瓦表示的可能像（如 [González-Jiménez 和 Najman30, 定理 5·6, 表 1 和 2] 中所述），我们看到我们必须处于以下情况之一（关于子群标签的解释见第 2·1 节）：
(i) $\ell=5$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,5}=5B.1.2, \,5B.1.3,\text{ 或 } 5B.4.2$；
(ii) $\ell=7$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,7}=7B.1.3, \, 7B.1.4,\text{ 或 }7B.6.3$；
(iii) $\ell=13$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,13}=13B.3.2, \, 13B.3.7,\, 13B.5.2 \text{ 或 }13B.4.2$；
(iv) $\ell=17$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,17}=17B.4.6$；
(v) $\ell=37$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,37}=37B.8.2$。
在每种情况下，都存在一个 ${\mathbb{Q}}$-有理循环子群 C 属于 $E_0$，使得 $E_0/C$ 在这个列表之外的模 $\ell$ 下的像；参见 [Sutherland48, 定理 3·32, 表 3 和 4]。也就是说，在每种情况下，都存在一个与 $E_0/C$ 相关联的 $X_1(\ell)$ 上的点，其度数可以整除 $n_0$，并且结果可以用 $E_0/C$ 代替 $E_0$ 来证明。

注 3·4：从证明中我们可以看出，命题 3·2 的陈述对于任何满足以下条件的 $E_0/{\mathbb{Q}} \in \mathcal{E}$ 都成立：
(i) $\ell=5$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,5} \neq 5B.1.2, \,5B.1.3\text{ 或 } 5B.4.2$；
(ii) $\ell=7$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,7} \neq 7B.1.3, \, 7B.1.4\text{ 或 }7B.6.3$；
(iii) $\ell=13$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,13} \neq 13B.3.2, \, 13B.3.7,\, 13B.5.2 \text{ 或 }13B.4.2$；
(iv) $\ell=17$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,17} \neq 17B.4.6$；
(v) $\ell=37$，${\mathrm{im}} \rho_{E_0,37} \neq 37B.8.2$。

3·3：同构下伽罗瓦表示的像
命题 3·5：设 $E_1/F$ 是一个非 CM 椭圆曲线，并固定一个质数 $\ell$。假设 $\varphi: E_1 \rightarrow E_2$ 是一个 F-有理循环 $\ell^r$-同构，其中 $r \in {\mathbb{Z}}^+$。那么：
(i) ${\mathrm{im}} \rho_{E_2,\ell^k}$ 完全由 ${\mathrm{im}} \rho_{E_1,\ell^{r+k}}$ 决定；
(ii) 如果 ${\mathrm{im}} \rho_{E_1,\ell^{\infty}}=\pi^{-1}({\mathrm{im}} \rho_{E_1,\ell^{k_1}})$ 对于接下来，我们假设$\mathcal{E}$是非CM的（见注释3），并设$E_0\in \mathcal{E}$是一条具有有理j-不变量的椭圆曲线。固定一个素数$\ell$。在定理4·3中，我们证明了对于任何$k \in {\mathbb{Z}}^+$，存在一条属于$\mathcal{E}$的最小挠曲线$E$，使得从$E$到$E_0$的同源映射的度数为至多C，这里的C是一个不依赖于k的常数。这意味着引言中所述的定理1·6也是成立的。4·1. 固定模曲线下的最小挠曲线。命题4·1：设$\mathcal{E}$是一个有理的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类椭圆曲线。对于一个固定的正整数N，存在有限多条在$\overline{{\mathbb{Q}}$上线性同构意义下的$X_1(N)$的最小挠曲线。证明：设d是与$\mathcal{E}$相关联的$X_1(N)$上的点的最小度数，并设$j_{min}$是与$\mathcal{E}$相关联的最小挠曲线的j-不变量。那么$[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}}] \leq d$。如果$\mathcal{E}$是CM的，那么结论成立，因为在某个有界度数的扩展中只有有限多的CM j-不变量（因为给定类数的虚二次域——因此也是虚二次序数——只有有限多个，参见Heilbronn33）。所以假设$\mathcal{E}$是非CM的。设$E_{min}\in \mathcal{E}$是一条满足$j(E_{min})=j_{min}$的椭圆曲线。由于$\mathcal{E}$是有理的，存在一条属于$\mathcal{E}$的椭圆曲线$E_0/{\mathbb{Q}}$，它与$E_{min}$之间有一个定义在$\overline{{\mathbb{Q}}$上的同源映射$\varphi\,:\, E_0 \rightarrow E_{min}$。根据Cremona和Najman18的引理A·1，我们可以假设$\varphi$是一个度数为n的循环映射。根据Clark14的命题3·2或Cremona和Najman18的推论A·5，这个同源映射的模空间是$\begin{equation*}{\mathbb{Q}}(j_{min},j(E_0))={\mathbb{Q}}(j_{min})\end{equation*}$。因此，可以通过在${\mathbb{Q}}(j_{min})$中替换$E_0$和$E_{min}$（适当的扭曲）来定义$\varphi$，特别地，定义在这个域上的$E_0$的一个扭曲是一个有理的循环n-同源映射。由于同源映射是扭曲不变的（即，如果$E_1, E_2$是两个具有相同j-不变量的F上的椭圆曲线，那么$E_1$有一个F-有理的循环n-同源映射当且仅当$E_2$也有），因此$E_0$可以在${\mathbb{Q}}(j_{min})$上获得一个有理的循环n-同源映射，而${\mathbb{Q}}(j_{min})$是一个度数至多为d的数域。根据Serre的开图像定理（参见Serre43），与$E_0/{\mathbb{Q}}$相关联的adelic Galois表示的像在${\mathrm{GL}}_2(\widehat{{\mathbb{Z}})$中的指数是有限的。对于固定的d，这意味着$E_0$中的一个循环子群的阶是有界的，这个循环子群可以在任何度数至多为d的数域F上变得F-有理。因此，只有有限多个C的值使得$E_{min} \cong E_0/C$在$\overline{{\mathbb{Q}}$上成立。注释4·2：在一个固定的几何同源类中，最小挠曲线可能是唯一的，也可能不是唯一的（在$\overline{{\mathbb{Q}}$上线性同构的意义上）。例如，设$E_0/{\mathbb{Q}}$是LMFDB标签为38.b2的椭圆曲线，并让$\mathcal{E}$表示它的几何同源类。由于存在$P_0 \in E_0({\mathbb{Q})$的度数为5，那么与$\mathcal{E}$相关联的$X_1(5)$上的点的最小度数是1，因此任何$X_1(5)$的最小挠曲线都必须有一个在${\mathbb{Q}}$中的j-不变量。根据引理3·1，$\mathcal{E}$中另一个j-不变量为${\mathbb{Q}}$的椭圆曲线$E'$只有$j(E')=-{37966934881}/{4952198}$。然而，这条曲线并不产生$X_1(5)$上的最小度数的点。因此，在$\overline{{\mathbb{Q}}$-同构的意义上，$E_0$是$X_1(5)$的唯一最小挠曲线。另一方面，设$E_0/{\mathbb{Q}}$是LMFDB标签为50.b1的椭圆曲线，并让$\mathcal{E}$表示它的几何同源类。那么类似的论证表明，任何与$E_0$ ${\mathbb{Q}}$-同源的椭圆曲线都是$X_1(3)$的最小挠曲线，这在这个类中给出了4条不同的最小挠曲线，在$\overline{{\mathbb{Q}}$-同构的意义上。这些曲线的代表可以在LMFDB的同源类50.b中找到。4·2. 不同水平的最小挠曲线：如果我们允许N变化，那么在一个固定的几何同源类中（在$\overline{{\mathbb{Q}}$上线性同构的意义上），可能存在无限多条对于$X_1(N)$来说是最小的椭圆曲线。例如，假设一个非CM椭圆曲线$E/{\mathbb{Q}}$的$\ell$-adic Galois表示是满射，并且设C是E中的一个循环子群，其阶为$\ell^k$，对于$k \in {\mathbb{Z}}^+$。椭圆曲线$E/C$可以定义在扩展${\mathbb{Q}}(C)$上，其度数为$\ell^{k-1}(\ell+1)$，并且具有一个${\mathbb{Q}}(C)$-有理的循环$\ell^k$-同源映射。根据命题2·3，曲线$E/C$在$X_1(\ell^k)$上产生一个度数为$\ell^{2k-2}(\ell^2-1)/2$的闭点。根据命题3·2，这是E的几何同源类的最小曲线。然而，如果$\mathcal{E}$是一个有理的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类的非CM椭圆曲线，那么总是存在一个对于$X_1(\ell^k)$来说是最小的挠曲线，其到有理椭圆曲线的同源映射的度数是有界的。定理4·3：设$\mathcal{E}$是一个有理的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类的非CM椭圆曲线，并设$\ell$是一个素数。存在一个常数$C=C(\mathcal{E},\ell)$，使得对于任何$k \in {\mathbb{Z}}^+$，来自$\mathcal{E}$的$X_1(\ell^k)$上的最小度数的点可以与$\mathcal{E}$中的$j_{min}$相关联，而$j_{min}$与某个$d\leq C$的有理j-不变量是d-同源的。证明：根据命题3·2，存在$E_0/{\mathbb{Q}}\in \mathcal{E}$和$x=[E_0,P_0] \in X_1(\ell)$，使得与$\mathcal{E}$相关联的$X_1(\ell^n)$上的任何点的度数都可以被$\begin{equation*}d_{\text{min}}(\ell^n)\,:\!=\, \begin{cases}\deg(x)\cdot \ell^{\max(0,2n-2-d)} \text{ 如果 $\ell$ 是奇数},\\\deg(x) \cdot \ell^{\max(0,2n-3-d)} \text{ 如果 $\ell=2$},\end{cases}\end{equation*}$整除，其中$d \,:\!=\, {\mathrm{ord}}_{\ell}([{\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_{\ell})\,:\, {\mathrm{im}} \rho_{E_0, \ell^{\infty}}])$。我们注意到根据Serre的开图像定理（参见Serre43），${\mathrm{im}} \rho_{E_0,\ell^{\infty}}$的级别是$\ell^{k_0}$，对于某个$k_0 \in {\bb{Z}}^{\geq 0}$。如果需要，可以用更大的整数替换$k_0$，我们可以假设$2k_0-2-d \geq0$如果$\ell$是奇数，以及$2k_0-3-d \geq 0$如果$\ell=2$。现在，设$k$是一个满足$k \geq k_0$的整数。那么根据命题3·2，存在$\alpha_0 \in {\mathbb{Z}}^+$，使得与$E_0 \in \mathcal{E}$相关联的$X_1(\ell^k)$上的最小闭点的度数为$\begin{align*}d_{\text{min},E_0}(\ell^k)&= d_{\text{min}}(\ell^k) \cdot \alpha_0\\&= d_{\text{min}}(\ell^{k_0})\cdot \ell^{2(k-k_0)}\cdot \alpha_0.\end{align*}$。由于$\deg(X_1(\ell^k) \rightarrow X_1(\ell^{k_0}))=\ell^{2(k-k_0)}$，关于${\mathrm{im}} \rho_{E_0,\ell^{\infty}}$的级别的假设意味着$\begin{equation*}d_{\text{min},E_0}(\ell^{k_0})= d_{\text{min}}(\ell^{k_0}) \cdot \alpha_0.\end{equation*}$。特别地，$\alpha_0$不依赖于k。首先假设对于足够大的k，$E_0$是$X_1(\ell^k)$的最小挠曲线。那么根据命题4·1，存在一组有限的椭圆曲线$E_0, E_1, \ldots, E_s$，使得对于任何正整数n，来自$\mathcal{E}$的$X_1(\ell^n)$上的最小度数的点可以与某个$0 \leq i \leq s$的$E_i$相关联。我们可以假设同源映射$\varphi\,:\,E_i \rightarrow E_0$是度数为$d_i$的循环映射（参见Cremona和Najman18的引理A·1）。在这种情况下，结果是成立的，其中$C=\max\{d_0, d_1, \ldots, d_s\}$。另一方面，假设对于所有$k\geq k_0$，$E_0$不是$X_1(\ell^k)$的最小挠曲线。那么存在一个$E_1 \in \mathcal{E}$，它是某个$X_1(\ell^{k_1})$的最小挠曲线，其中$k_1 \geq k_0$。选择一个在$F\,:\!=\, {\bb{Q}}(j(E_1))$上定义的$E_1$的Weierstrass方程。如果需要，可以用更大的整数替换$k_1$，我们可以假设${\mathrm{im}} \rho_{E_1,\ell^{\infty}}=\pi^{-1}({\mathrm{im}} \rho_{E_1, \ell^{k_1}})$。根据假设，存在一个正整数$\alpha_1$，使得$\alpha_1\lt\alpha_0$，对于所有$k \geq k_1$都有$\begin{equation*}d_{\text{min},E_1}(\ell^{k})=d_{\text{min}}(\ell^k)\cdot \alpha_1\end{equation*}$。如果对于足够大的k，$E_1$是$X_1(\ell^k)$的最小挠曲线，那么就像之前一样，我们已经得到了结果。以这种方式继续，会产生一个递减的正整数序列$\alpha_{0}\gt\alpha_1\gt\alpha_2 \ldots$，因此这个过程必须在有限步骤后停止。注释4·4：明确常数$C=C(\mathcal{E},\ell)$将会很有趣，也许可以用可以从椭圆曲线$E_0/{\mathbb{Q}}$计算出的不变量来表示。从定理4·3中，我们可以立即推出以下推论。推论4·5：设$\mathcal{E}$是一个有理的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类的非CM椭圆曲线。存在一组有限的j-不变量$j_1, \ldots, j_s \in \mathcal{E}$，使得对于任何$n \in {\mathbb{Z}}^+$，来自$\mathcal{E}$的$X_1(\ell^n)$上的最小度数的点可以与某个$j_i$相关的椭圆曲线相关联，其中$1 \leq i \leq s$。5. 非CM类和素数$\ell \geq 5$的结果：本节的主要结果是以下内容，它证明了对于$\ell \geq 5$的定理1·4。它改进了Bourdon和Najman11的命题4·1，该命题给出了适用于所有有理非CM类$\mathcal{E}$的可除性条件，但没有解决它们是否是最优的。命题5·1：设$\mathcal{E}$是一个有理的$\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类的非CM椭圆曲线。假设$\ell \geq 5$是一个素数。如果$E \in \mathcal{E}$并且$x=[E,P]\in X_1(\ell^k)$是一个奇数度的点，对于$k \in {\mathbb{Z}}^+$，那么$\ell \in \{5,7,11,13\}$并且$\delta \mid \deg(x)$，其中$\delta$定义如下：(i) 如果$\ell=5$并且$\mathcal{E}$不包含具有有理循环25-同源的$E'/{\bb{Q}}$，那么$\delta=5^{2k-2}$；(ii) 如果$\ell=5$并且$\mathcal{E}$包含具有有理循环25-同源的$E'/{\bb{Q}}$，那么$\delta=5^{\max(0,2k-3)}$；(iii) 如果$\ell=7$并且$\mathcal{E}$包含${\mathrm{im}} \rho_{E',7}\in\{7B.1.1,7B.1.6,7B.6.1\}$的$E'/{\bb{Q}}$，那么$\delta=7^{2k-2}$；(iv) 如果$\ell=7$并且$\mathcal{E}$包含${\mathrm{im}} \rho_{E',7}\in\{7B.1.2,7B.6.2, 7B.2.1,7B\}$的$E'/{\bb{Q}}$，那么$\delta=3\cdot 7^{2k-2}$；(v) 如果$\ell=7$并且$\mathcal{E}$包含$j(E')= 3^3\cdot5\cdot7^5/2^7$的$E’$，那么$\delta=9 \cdot 7^{\max(0,2k-3)}$；(vi) 如果$\ell =11$，那么$\delta=5 \cdot 11^{2k-2}$；(vii) 如果$\ell =13$，那么$\delta=3 \cdot 13^{2k-2}$。此外，存在一个在$X_1(\ell^k)$上的度数为$\delta$的点，它与$\mathcal{E}$中的$j_{min}$至多是$\ell$-同源的。除非$\ell=7$并且$\mathcal{E}$包含$j$-不变量为$3^3\cdot5\cdot7^5/2^7$的椭圆曲线，否则可以取$j_{min}\in {\bb{Q}}$。5·1. 预备结果：我们从关于包含在${\bb{Q}}$上的椭圆曲线的有理循环同源的几何同源类$\mathcal{E}$的预备结果开始。当这种情况发生时，我们将说$\mathcal{E}$在$X_0(\ell)({\bb{Q}})$中提供了一个点。在这种情况下，结果主要是由于以下定理和命题3·2。定理5·2（Greenberg [参考Greenberg32]，Greenberg, Rubin, Silverberg和Stoll [参考Greenberg, Rubin, Silverberg和Stoll31]）：设$E/{\bb{Q}}$是一个具有素数阶$\ell$的${\bb{Q}}$-有理循环同源的非CM椭圆曲线。通过选择基，我们可以假设${\mathrm{im}} \rho_{E,\ell^{\infty}}$是${\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_{\ell})$的一个子群。(i) 如果$\ell\geq 7$，那么${\mathrm{im}} \rho_{E,\ell^{\infty}}$包含${\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_{\ell})$的一个Sylow pro-$\ell$子群；(ii) 假设$\ell=5$。如果$\mathbb{Q}$-同源类中的椭圆曲线没有两个独立的度数为5由于 $\deg(X_1(\ell^k) \rightarrow X_1(\ell))=\ell^{2k-2}$，在 $X_1(\ell^k)$ 上的 x 的提升表明这种可除性条件是以 $j_{min}=j(E_0)$ 为最优的。现在，假设 $\ell=5$ 且 $\mathcal{E}$ 包含具有有理循环 25-同源性的 $E'/{\mathbb{Q}}$。根据定理 5·2，我们有 ${\mathrm{ord}}_{5}([{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{5})\,:\, {\mathrm{im}} \rho_{E', 5^{\infty}}])=1$。通过用一个与 ${\mathbb{Q}}$ 同源的曲线替换 E’，我们可以假设 E’ 有两个独立的 5-同源性。5-adic Galois 表示的指数由 [Reference Greenberg32, proposition 2·1·1] 不变。那么 ${\mathrm{im}} \rho_{E',5}$ 是以下情况之一，我们将分别考虑每种情况：(1) 5Cs.1.1, 5Cs.1.3, 或 5Cs.4.1：如果需要，通过用二次扭曲替换 E’，我们可以假设 ${\mathrm{im}} \rho_{E',5}=5Cs.1.1$。根据命题 3·2 和注释 3·4，我们看到 $5^{\max(0,2k-3)}$ 能整除与 $\mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(5^k)$ 上任意点的度数。曲线 E’ 有一个由度数为 5 的有理点 P 生成的子群 $C_1$ 和一个度数为 5 的独立有理循环子群 $C_2$。那么 $E_2\,:\!=\, E'/C_2$ 有一个有理循环 25-同源性，且 P 的像在 $E_2({\mathbb{Q})$ 中是一个度数为 5 的点，位于其核中。因此，同源特征 $\chi\,:\, {\mathrm{Gal}}_{{\mathbb{Z}}} \rightarrow ({\mathbb{Z}}/25{\mathbb{Z}})^{\times}$ 的像落在子群 $\{a \,:\, a \equiv 1 \pmod{5}\}$ 中，因此其度数能被 5 整除。由此可见，$E_2$ 在一个度数能被 5 整除的扩展中达到了一个度数为 25 的有理点。根据命题 2·6，对于所有 $k \geq 2$，在 $X_1(5^k)$ 上存在这种点的提升，其度数最多为 $5^{2k-3}$。因此，对于所有 k 来说，这个条件都是最优的，且 $j_{min}=j(E_2)$。

由于 $\deg(X_1(\ell^k) \rightarrow X_1(\ell))=\ell^{2k-2}$，在 $X_1(\ell^k)$ 上的 x 的提升表明这个可除性条件是以 $j_{min}=j(E_0)$ 为最优的。现在，假设 $\ell=5$ 且 $\mathcal{E}$ 包含具有有理循环 25-同源性的 $E'/{\mathbb{Q}}$，其中包含一个有理循环 25-同源性。根据定理 5·2，我们有 ${\mathrm{ord}}_{5}([{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{5})\,:\, {\mathrm{im}} \rho_{E', 5^{\infty}}])=1$。通过用一个与 ${\mathbb{Q}}$ 同源的曲线替换 E’，我们可以假设 E’ 有两个独立的 5-同源性。根据 [Reference Greenberg32, proposition 2·1·1]，5-adic Galois 表示的指数不变。那么 ${\mathrm{im}} \rho_{E',5}$ 是以下情况之一，我们将分别考虑每种情况：(1) 5Cs.1.1, 5Cs.1.3 或 5Cs.4.1：如果需要，通过用二次扭曲替换 E’，我们可以假设 ${\mathrm{im}} \rho_{E',5}=5Cs.1.1$。根据命题 3·2 和注释 3·4，我们看到 $5^{\max(0,2k-3)}$ 能整除与 $\mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(5^k)$ 上任意点的度数。曲线 E’ 有一个由度数为 5 的有理点 P 生成的子群 $C_1$ 和一个度数为 5 的独立有理循环子群 $C_2$。那么 $E_2\,:\!=\, E'/C_2$ 有一个有理循环 25-同源性，且 P 的像在 $E_2({\mathbb{Q})$ 中是一个度数为 5 的点，并位于其核中。因此，同源特征 $\chi\,:\, {\mathrm{Gal}}_{{\mathbb{Q}}} \rightarrow ({\mathbb{Z}}/25{\mathbb{Z}})^{\times}$ 的像落在子群 $\{a \,:\, a \equiv 1 \pmod{5}\}$ 中，因此其度数能被 5 整除。由此可见，$E_2$ 在一个度数能被 5 整除的扩展中达到了一个度数为 25 的有理点。根据命题 2·6，对于所有 $k \geq 2$，在 $X_1(5^k)$ 上存在这种点的提升，其度数最多为 $5^{2k-3}$。因此，对于所有 k 来说，这个条件都是最优的，且 $j_{min}=j(E_2)$。

5·2. 命题 5·1 的证明。设 $F={\mathbb{Q}}(x)$。根据引理 3·1，存在一个 $E/F$ 的模型，其中 $P \in E(F)$，并且存在一个 F-有理循环同源性 $\varphi\,:\,E \rightarrow E'$，使得 $j(E')\in{\mathbb{Q}}$。由于 E 在 F 上有一个 $\ell$-同源性，根据 [Reference Cremona and Najman18, proposition 3·2]，E’ 也有一个 $\ell$-同源性。根据 [Reference Cremona and Najman18, proposition 3·3]，任何 $E_0/{\mathbb{Q}}\in\mathcal{E}$，如果 $j(E_0)=j(E')$，则它也有一个 ${\mathbb{Q}}$-有理循环的 $\ell$-同源性，除非 $\ell=7$ 且 $j(E_0)=3^3\cdot5\cdot7^5/2^7$。Mazur 的工作 [?] 表明 $\ell \leq 37$。通过应用引理 5·3 并检查与 $\mathcal{E}$ 中的 ${\mathbb{Q}}$ 上的椭圆曲线相关联的 $X_1(\ell)$ 上奇数度的点 $x$（我们可以忽略注释 3·4 中出现的像），我们发现结论成立，除非 $\ell=7$ 且 $\mathcal{E}$ 包含一个具有 j-不变量 $3^3 \cdot 5 \cdot 7^5 / 2^7$ 的椭圆曲线。让我们讨论 $\ell=7$ 且 $j(E_0)=3^3\cdot5\cdot7^5/2^7$ 的情况。回想一下 $P \in E(F)$ 是一个度数为 $7^k$ 的点。注意 $7^{k-1} P$ 是 E 上的一个度数为 7 的点，也在 F 上定义。根据 [Reference Bourdon and Najman11, corollary 4·3]，曲线 E’ 在一个度数为 1 或 7 的扩展 $F'/F$ 上有一个度数为 7 的有理点。同样，通过考虑根据命题 2·6 给出的度的限制的这种点的提升，我们看到对于所有 $j_{min}=j(E_2)$ 的 k 来说，这个条件都是最优的。

命题 5·1 的证明。设 $F={\mathbb{Q}}(x)$。根据引理 3·1，存在一个 $E/F$ 的模型，其中 $P \in E(F)$，并且存在一个 F-有理循环同源性 $\varphi\,:\,E \rightarrow E'$，使得 $j(E')\in{\mathbb{Q}}$。由于 E 在 F 上有一个 $\ell$-同源性，根据 [Reference Cremona and Najman18, proposition 3·2]，E’ 也有一个 $\ell$-同源性。根据 [Reference Cremona and Najman18, proposition 3·3]，任何 $E_0/{\mathbb{Q}}\in\mathcal{E}$，如果 $j(E_0)=j(E')$，则它也有一个 ${\mathbb{Q}}$-有理循环的 $\ell$-同源性，除非 $\ell=7$ 且 $j(E_0)=3^3\cdot5\cdot7^5/2^7$。Mazur 的工作 [?] 表明 $\ell \leq 37$。通过应用引理 5·3 并检查与 $\mathcal{E}$ 中的 ${\mathbb{Q}}$ 上的椭圆曲线相关联的 $X_1(\ell)$ 上奇数度的点 $x$（我们可以忽略注释 3·4 中出现的像），我们发现结论成立，除非 $\ell=7$ 且 $\mathcal{E}$ 包含一个具有 j-不变量 $3^3 \cdot 5 \cdot 7^5 / 2^7$ 的椭圆曲线。让我们讨论 $\ell=7$ 且 $j(E_0)=3^3\cdot5\cdot7^5/2^7$ 的情况。回想一下 $P \in E(F)$ 是一个度数为 $7^k$ 的点。注意 $7^{k-1} P$ 是 E 上的一个度数为 7 的点，并且在 F 上也有定义。根据 [Reference Bourdon and Najman11, corollary 4·3]，曲线 E’ 在一个度数为 1 或 7 的扩展 $F'/F$ 上有一个度数为 7 的有理点。由于 $j(E') = 3^3 \cdot 5 \cdot 7^5 / 2^7$，通过除法多项式的计算，我们可以看到与 E’ 相关联的 $X_1(7)$ 上的闭点的剩余域的度数为 6 或 9，因此 $[F'\,:\,{\mathbb{Q}}]$ 能被 6 或 9 整除。由于 $[F'\,:\,F]$ 能整除 7，因此 6 或 9 必须整除 $[F\,:\,{\mathbb{Q}}$。由于 F 是一个奇数度的扩展，我们必须有 $9 \mid [F\,:\,{\mathbb{Q}}$。此外，在 [Reference Bourdon and Najman11, proposition 4·1] 中，已经证明 $3 \cdot 7^{\text{max} (0, 2k-3)}$ 能整除 $[F\,:\,{\mathbb{Q}}$。因此，$9 \cdot 7^{\text{max} (0, 2k-3)}$ 能整除 $[F\,:\,{\mathbb{Q}}$。相反，我们现在将证明在 $X_1(7^k)$ 上存在一个度数为 $9\cdot7^{\text{max}(0, 2k-3)}$ 的点，它与 $\mathcal{E}$ 相关联。如果需要，通过用二次扭曲替换 $E_0$，我们可以假设 $E_0$ 的 LMFDB 标签为 2450.y1。通过除法多项式的计算，我们确认 $E_0$ 在 $X_1(7)$ 上产生一个度数为 9 的闭点，这满足了 $k=0$ 的情况。此外，$E_0$ 在模 7 下的像是 7Ns.2.1，其度数为 18，由以下矩阵生成：\begin{equation*}\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2 & 0\\{0} &1\end{pmatrix}。\end{equation*} 一个 Magma 计算表明 7Ns.2.1 包含一个与由 \begin{equation*}\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}.\end{equation*} 生成的群共轭的索引为 3 的子群。因此，在一个三次扩展 F 上，曲线 $E_0$ 达到了两个独立的 7-同源性，并且与一个具有有理循环 49-同源性的椭圆曲线 $E_1/F$ 是 F-同源的。根据命题 2·3，曲线 $E_1$ 在 $X_1(49)$ 上产生一个度数能被 9 \cdot 7 整除的闭点。前一节表明它的度数必须是 $9 \cdot 7$，由于 $\deg(X_1(7^k) \rightarrow X_1(7^2))$ 的度数为 $7^{2k-4}$，因此命题 3·2 的可除性条件是最优的。

6. 对于非 CM 类和 $\ell =3$ 的结果 在这一节中，我们将证明以下结果，其中包括可以改进命题 3·2 的可除性条件的情况。如果 $\ell=3$，它证明了定理 1·4。有关用于 ${\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_3)$ 子群的符号的讨论，请参见第 2.1 节。命题 6·1。设 $\mathcal{E}$ 是一个非 CM 椭圆曲线的有理 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类。如果 $E \in \mathcal{E}$ 且 $x=[E,P]\in X_1(3^k)$ 是一个奇数度的点，对于 $k \in {\mathbb{Z}}^+$，那么 $\delta \mid \deg(x)$，其中 $\delta$ 定义如下：\begin{equation*}\delta \,:\!=\, \begin{cases}3^{\max(0,2k-3)} \text{ 如果存在一个 $E'/{\mathbb{Q}} \in \mathcal{E}$ 使得 ${\mathrm{im}} \rho_{E',3^{\infty}} \in \{9.36.0.6, 9.36.0.8\},\\3^{\max(0,2k-2-d)} \text{ 否则},\end{cases}\end{equation*} 其中 $d ={\mathrm{ord}}_{3}([{\mathrm{GL}}_2({\bb{Z}}_{3})\,:\, {\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}])$ 对于任何 $E_0/{\mathbb{Q}} \in \mathcal{E}$。这些通常是最佳的：(i) 假设不存在一个 $E'/{\mathbb{Q}} \in \mathcal{E}$ 使得 ${\mathrm{im}} \rho_{E',3^{\infty}} \in \{9.12.0.2, 9.36.0.2, 9.36.0.7, 9.36.0.8\}$。对于任何 $k \in {\mathbb{Z}}^+$，存在一个与 $j_{min} \in \mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(3^k)$ 上的度数为 $\delta$ 的点；(ii) 假设存在一个 $E'/{\mathbb{Q}} \in \mathcal{E}$ 使得 ${\mathrm{im}} \rho_{E',3^{\infty}} \in \{9.12.0.2, 9.36.0.7, 9.36.0.8\}$。对于 $k=1$ 或 $k \geq 3$，存在一个与 $j_{\min} \in \mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(3^k)$ 上的度数为 $\delta$ 的点。如果 $k=2$，那么 $3\delta \mid \deg(x)$ 并且存在一个与 $j_{min} \in \mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(3^k)$ 上的度数为 $3\delta$ 的点；(iii) 假设存在一个 $E'/{\mathbb{Q}} \in \mathcal{E}$ 使得 ${\mathrm{im}} \rho_{E',3^{\infty}}=9.36.0.2$。对于 $k=1$ 或 $k \geq 4$，存在一个与 $j_{min} \in \mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(3^k)$ 上的度数为 $\delta$ 的点。否则 $3\delta \mid \deg(x)$ 并且存在一个与 $j_{min} \in \mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(3^k)$ 上的度数为 $3\delta$ 的点。除非我们在情况 (ii) 中且 $k\gt2$ 或情况 (iii) 中且 $k\gt3$，否则可以取 $j_{min} \in {\mathbb{Q}}$由于R的阶为$3^r$，我们必须有$3 \nmid \alpha$或$3 \nmid \beta$。首先假设$3 \nmid \alpha$。根据$\langle R \rangle$的F-有理性以及上述对${\mathrm{im}} \rho_{E/F, 3^r}$的描述，存在$\sigma \in {\mathrm{Gal}}_F$和$\gamma_1 \in ({\mathbb{Z}}/3^r{\mathbb{Z}})^{\times}$，使得
$$
\sigma(R) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha \\ 2\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\gamma_1 \alpha \\ \gamma_1 \beta\end{pmatrix}.
$$
因此$\gamma_1 = 1$，这意味着$\beta = 0$。现在假设$3 \nmid \beta$。同样地，存在$\gamma_2 \in ({\mathbb{Z}}/3^r{\mathbb{Z}})^{\times}$，使得
$$
\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha+\beta \\ \beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\gamma_2 \alpha \\ \gamma_2 \beta\end{pmatrix}.
$$
再次得到$\gamma_2 = 1$，从而$\beta = 0$。根据命题6·6，假设F是一个奇数度的数域，$E/F$是一个椭圆曲线，且$P\in E(F)$的阶为$3^k$（$k \geq 2$）。设$\varphi\,:\,E \rightarrow E'$是一个F-有理同构，存在$E_0/{\mathbb{Q}}$使得$j(E_0)=j(E')$，并且${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=9.36.0.6$或$9.36.0.8$。那么$3^{2k-3} \mid [F\,:\,{\mathbb{Q}}]$。证明：根据[Cremona和Najman18的引理A·1]，我们可以假设$\varphi$是周期性的，并且由一个阶为$3^r\cdot n$的点生成，其中$3 \nmid n$。如果$n>1$，那么可以通过替换E为一个n-同构的曲线来假设$\varphi$的阶为$3^r$。如果${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=9.36.0.6$或$9.36.0.8$，那么${\mathrm{ord}}_{3}([{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{3})\,:\, {\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}])=2$。为了与假设矛盾，假设$3^{2k-3} \nmid [F\,:\,{\mathbb{Q}}$。根据引理6·5，我们有$r \leq k$且$\ker(\varphi) \subseteq \langle P \rangle$。首先假设$r=k-1$或$k$。设$t=r+2$，并令$\{R,S\}$是$E[3^{t}]$的一个基，使得$3^{t-k}R = P$且$3^{t-k}S=Q$。那么我们将证明$\{\varphi(R), 3^{k-2}\varphi(Q)\}$是E’的一个基[参见Bourdon, Ejder, Liu, Odumodu和Viray9]。假设存在$\alpha, \beta\in {\mathbb{Z}}/9{\mathbb{Z}}$，使得$\alpha \varphi(R)=\beta 3^{k-2}\varphi(Q)$。这意味着$\alpha R - \beta 3^{k-2} Q \in \ker(\varphi) \subseteq \langle P \rangle = \langle 3^{t-k}R \rangle$。因此$\beta 3^{t-s}S$属于由R生成的循环子群，所以$3^2 \mid \beta$，因为$\{R,S\}$是$E[3^{t}]$的一个基。因此$\alpha \varphi(R)=\beta 3^{k-2}\varphi(Q)=\mathcal{O}$，正如所愿。根据引理6·4，存在$\sigma \in {\mathrm{Gal}}_F$，使得
$$
\rho_{E/F,3^k}(\sigma) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}.
$$
同样根据引理6·4，我们有${\mathrm{im}} \rho_{E/F,3^{\infty}} = \pi^{-1}({\mathrm{im}} \rho_{E/F,3^k})$，所以根据$E[3^{t}]$的基$\{R,S\}$，我们知道存在$\sigma' \in {\mathrm{Gal}}_F$，使得
$$
\rho_{E/F,3^{t}}(\sigma') = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}.
$$
在E’的基$\{\varphi(R), 3^{k-2}\varphi(Q)\}$下，
$$
\begin{align*}
\sigma'(\varphi(R)) &= \varphi(\sigma'(R)) = \varphi(R) \\
\sigma'(3^{k-2}\varphi(Q)) &= 3^{k-2}\varphi(\sigma'(Q)) = 4\cdot 3^{k-2}\varphi(Q).
\end{align*}
$$
所以
$$
\rho_{E'/F, 9}(\sigma') = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}.
$$
经过至多一次二次扩展$L/F$，我们有$E'/L \cong_L E_0/L$。由于上述矩阵的阶为3，
$$
\rho_{E_0/L, 9}(\sigma') = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}.
$$
这意味着由$\rho_{E_0/L, 9}(\sigma')$生成的群与模9.36.0.6或9.36.0.8的阶为3的子群共轭，而Magma计算表明不存在这样的子群。现在，假设$r \leq k-2$。那么$\{3^{k-r-2} \varphi(P), 3^{k-2}\varphi(Q)\}$是E’的一个基[参见Bourdon, Ejder, Liu, Odumodu和Viray9]，因为$\ker(\varphi) \subseteq \langle P \rangle$。由于$P \in E(F)$，我们有$3^{k-r-2} \varphi(P) \in E'(F)$。此外，对于上述的$\sigma \in {\mathrm{Gal}}_F$，
$$
\begin{align*}
\sigma(3^{k-2}\varphi(Q)) &= 3^{k-2}\varphi(\sigma(Q)) = 4 \cdot 3^{k-2}\varphi(Q),
\end{align*}
$$
所以
$$
\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix} \in {\mathrm{im}} \rho_{E'/F,9}.
$$
我们再次得到矛盾。

6·2. 命题6·1的证明：设$F={\mathbb{Q}}(x)$。根据引理3·1，存在一个$E/F$的模型，其中$P \in E(F)$，并且存在一个F-有理的周期同构$\varphi\,:\,E \rightarrow E'$，使得$j(E')\in {\mathbb{Q}}$。如果需要，可以通过替换E为一个同构曲线来假设$\varphi$的阶为$3^r$。由于E在F上有一个3-同构，根据[Cremona和Najman18的命题3·2]，E’也有一个3-同构。根据[Cremona和Najman18的命题3·3]，任何$j(E_0)=j(E')$的$E_0/{\mathbb{Q}}$都有一个${\mathbb{Q}}$-有理的周期3-同构，并且根据命题2·3，$E_0$在$X_1(3)$上给出一个度数为1的闭点。根据[Rouse, Sutherland和Zureick-Brown41的推论1·3.1]，3-adic图像是以下群中的一个，我们将分别考虑每个情况。由于我们对模曲线上的闭点感兴趣，而这些点的度数在取二次扭曲时不会改变，我们可以限制在$-I$包含在3-adic图像中的情况。(1) ${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=3.4.0.1$：由于$d=0$且$\deg(X_1(3^k) \rightarrow X_1(3))=3^{2k-2}$，命题3.2的可除性条件对所有$k \in {\mathbb{Z}}^+$都是最佳的，我们可以取$j_{min}=j(E_0)$。(2) ${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=3.12.0.1$或$9.12.0.1$：如果${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=3.12.0.1$，那么$E_0$与一个椭圆曲线$E'/{\mathbb{Q}}$有3-同构，并且有一个有理的周期49-同构。根据命题3·5，E’的3-adic Galois表示完全由$\rho_{E_0, 3^{\infty}}$决定，因此只需检查一个具体的例子。通过查看LMFDB中的同构类175.b，我们看到${\mathrm{im}} \rho_{E', 3^{\infty}}=9.12.0.1$。如果需要，可以通过替换$E_0$为E’来假设$E_0$的图像为9.12.0.1。因此$E_0$对应于$X_1(3)$和$X_1(9)$上度数分别为1和3的闭点。由于$d=1$且$\deg(X_1(3^k) \rightarrow X_1(3))=3^{2k-2}$对于所有$k \geq 2$，命题3.2的可除性条件是最好的，我们可以取$j_{min}=j(E_0)$。(3) ${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=9.12.0.2$：Magma计算表明，对于具有此图像的$E_0/{\mathbb{Q}}$，存在一个三次扩展L，使得$E_0/L$有一个L-有理的9-同构和一个独立的3-同构。因此，在L上，曲线$E_0$与$E_1/L$有3-同构，并且有一个有理的周期27-同构。因此$E_1$在$X_1(27)$上给出一个度数最多为27的闭点，根据命题2.3。由于$d=1$且$\deg(X_1(3^k) \rightarrow X_1(27))=3^{2k-6}$，命题3.2的可除性条件对于所有$k \geq 3$且$j_{min}=j(E_1)$都是最佳的。(4) ${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=9.36.0.2$或$27.36.0.1$：如情况(2)所述，LMFDB中的同构类304.c表明我们可以假设$E_0$的图像为27.36.0.1。Magma计算表明，对于具有此图像的$E_0/{\mathbb{Q}}$，存在一个三次扩展L，使得$E_0/L$有一个L-有理的27-同构和一个独立的3-同构。因此，在L上，曲线$E_0$与$E_1/L$有3-同构，并且有一个有理的周期81-同构。因此$E_1$在$X_1(81)$上给出一个度数最多为81的闭点，根据命题2.3。由于$d=2$且$\deg(X_1(3^k) \rightarrow X_1(81))=3^{2k-8}$，命题3.2的可除性条件对于所有$k \geq 4$且$j_{min}=j(E_1)$都是最佳的。$\mathcal{E}$中没有椭圆曲线在其j-invariant为${\mathbb{Q}}$的情况下有度数为27的点。(5) ${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=9.36.0.3$或$9.36.0.6$：如情况(2)所述，LMFDB中的同构类22491.u表明我们可以假设$E_0$的图像为9.36.0.6。根据命题6.6，我们有$3^{\max(0,2k-3)} \mid [F:{\mathbb{Q}}$。结论随之而来，且$j_{min}=j(E_0)$。(6) ${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=9.36.0.1$、$9.36.0.4$或$9.36.0.5$：如情况(2)所述，LMFDB中的同构类432.b表明我们可以假设$E_0$的图像为9.36.0.4。$E_0$的一个扭曲有一个度数为9的有理点且$d=2$，所以命题3.2的可除性条件对于所有$k \in {\mathbb{Z}}^+$且$j_{min}=j(E_0)$都是最佳的。(7) ${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=9.36.0.7$或$9.36.0.9$：如情况(2)所述，LMFDB中的同构类1734.k表明我们可以假设$E_0$的图像为9.36.0.7。Magma计算表明，存在一个三次扩展L，使得$E_0/L$的一个扭曲$E_0^t$有一个L-有理的点度数为9（比如Q）和一个独立的3-同构（比如，其核由R生成）。然后$\psi\,:\,E_0^t \rightarrow E_1=E_0^t/\langle R \rangle$是一个度数为3的同构，其中$E_1$有一个L-有理的周期27-同构，且$\psi(Q) \in E_1(F)$是一个度数为9的点。此外，$\psi(Q)$在有理的27-同构的核中。因此，与$E_1/L$相关联的27-同构特征$\chi$的图像落在$\{1,10,19\}$中，且$E_1$在L的一个度数为3的扩展$\overline{L}^{\ker(\chi)}$中获得一个度数为27的点。因此$E_1$对应于$X_1(27)$上的一个度数为9的点。由于$d=2$，命题3.2的可除性条件对于所有$k \geq 3$且$j_{min}=j(E_1)$都是最佳的。$\mathcal{E}$中没有椭圆曲线在其j-invariant为${\mathbb{Q}}$的情况下有度数为27的点。(8) ${\mathrm{im}} \rho_{E_0, 3^{\infty}}=9.36.0.8$：根据命题6.6，我们有$3^{\max(0,2k-3)} \mid [F:{\mathbb{Q}}$。Magma计算表明，对于具有此图像的$E_0/{\mathbb{Q}}$，存在一个三次扩展L，使得$E_0/L$有一个L-有理的9-同构和一个独立的3-同构。如情况(3)所述，存在$E_1$与$E_0$有3-同构，并且在$X_1(27)$上给出一个度数最多为27的闭点。因此，命题6.6的可除性条件对于所有$k \geq 3$且$j_{min}=j(E_1)$都是最佳的。如果$k=2$且${\mathrm{im}} \rho_{E_0,3^{\infty}}=9.12.0.2, 9.36.0.2, 9.36.0.7$或$9.36.0.8$，或者$k=3$且${\mathrm{im}} \rho_{E_0,3^{\infty}}=9.36.0.2$，则根据推论3.6，可以通过选择一个具有此Galois图像的特定椭圆曲线$E_0/{\mathbb{Q}}$并计算$X_1(3^k)$上闭点的度数来获得结果，其中同构曲线的j-invariants是模多项式$\Phi_{3^r}(X,j(E_0))$的根。对于足够大的r，与$E_0$有3^r-同构的任何椭圆曲线$3^r$在$X_1(3^k)$上的任何奇数度数点如果 $\deg(\varphi)=2^r\cdot n$ 对于 $n\gt1$ 且 $n$ 为奇数，我们用一个与 $E$ n-同源的椭圆曲线来替换 $E$，这样我们就可以假设 $\varphi$ 的度数为 $2^r$。对偶同源映射 $\hat{\varphi}\,:\, E' \rightarrow E$ 也是度数为 $2^r$ 的循环映射，因此 $E’$ 拥有一个阶为 $2^r$ 的 F-有理循环子群。有理子群是扭曲不变的，所以任何满足 $j(E_0)=j(E')$ 的椭圆曲线 $E_0/{\mathbb{Q}}$ 都将拥有一个阶为 $2^r$ 的 F-有理子群，比如说由 Q 生成的。由此可知 $2^{r-1} Q$ 是 F-有理的。由于 F 的度数是奇数，因此必须有 $[{\mathbb{Q}}(2^{r-1} Q) \,:\, {\mathbb{Q}}] = 1$ 或 3。如果 $r=1$，那么可以得出 ${\mathbb{Q}}(\langle Q \rangle)={\mathbb{Q}}(2^{r-1} Q)$。否则，根据 [Reference Cremona 和 Najman18，命题 3·6]，$\begin{equation*}[{\mathbb{Q}}(\langle Q \rangle)\,:\,{\mathbb{Q}}(\langle 2Q \rangle)] \leq 2。\end{equation*}$ 由于 ${\mathbb{Q}}(\langle Q \rangle)$ 包含在 F 中，它的度数必须是奇数，因此 ${\mathbb{Q}}(\langle Q \rangle)={\mathbb{Q}}(\langle 2^{r-1}Q \rangle)={\mathbb{Q}}(2^{r-1} Q)$。在任何情况下，${\mathbb{Q}}(\langle Q \rangle)$ 的度数都是 1 或 3。如果 ${\mathbb{Q}}(\langle Q \rangle)={\mathbb{Q}}$，那么 $j(E) \in {\mathbb{Q}}$，这与 [Reference Bourdon, Gill, Rouse 和 Watson10，定理 3] 的结论相矛盾。因此 ${\mathbb{Q}}(\langle Q \rangle)$ 的度数是 3。接下来，我们将证明 $r=1$。如果不是这样，那么 $\langle 2^{r-2}Q\rangle$ 和 $2^{r-1} Q$ 会生成同一个阶为 3 的 ${\mathbb{Q}}$ 扩展。根据命题 2·3，椭圆曲线 $E_0$ 在 $X_1(4)$ 上有一个度数为 3 的闭点，这个点位于 $X_1(2)$ 上一个度数为 3 的点的上方。根据 Rouse 和 Zureick-Brown 的 2-adic 映射分类 [Reference Rouse 和 Zureick-Brown42]，这意味着 $E_0$ 有 2-adic 映射 X20b、X20a 或 X20；参见与推论 3·4 和 3·5 相关的数据文件 [Reference González-Jiménez 和 Lozano-Robledo29]。这些群的 RSZB 标签分别为 4.16.0.2、8.16.0.3 和 4.8.0.2。因此 ${\mathrm{ord}}_2([{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_2)\,:\,{\mathrm{im}} \rho_{E_0,2^{\infty}}]) = 3$ 或 4。然而，根据命题 3·2，这意味着 F 的度数是偶数。因此 $r=1$，并且 Q 的阶为 2。所以 $\varphi$ 的度数为 2，$\varphi (P)$ 是一个在 F 上定义的至少阶为 8 的点。这保证了存在一个与 E’ 相关联的闭点 $y\in X_1(4)$，其度数是奇数。由于 $E_0$ 在 $X_1(2)$ 上产生一个度数为 3 的点，E’ 也是如此，因此 $\deg(y)$ 是 3 的奇数倍数。由于 $\deg(X_1(4) \rightarrow X_1(2))=2$，这意味着 $\deg(y)=3$。但这样我们又回到了 $E_0$ 在 $X_1(4)$ 上产生一个度数为 3 的闭点，这个点位于 $X_1(2)$ 上一个度数为 3 的点的上方的情况。如上所述，${\mathrm{ord}}_2([{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_2)\,:\,{\mathrm{im}} \rho_{E_0,2^{\infty}}]) = 3$ 或 4，我们通过命题 3·2 得出矛盾。最后，我们将证明对于每个 $k \leq 3$ 的精细度数界限。如上所述，假设 $x \in X_1(2^k)$ 是与 $E \in \mathcal{E}$ 和 $F \,:\!=\, {\mathbb{Q}}(x)$ 相关联的奇数度数点。我们可以假设存在一个 F-有理循环同源映射 $\varphi\,:\,E \rightarrow E'$，其度数为 $2^r$，且 $j(E')\in {\mathbb{Q}}$，其中 E(F) 在 $X_1(2)$ 上有一个阶为 $2^k$ 的点。设 $E_0/{\mathbb{Q}}$ 满足 $j(E_0)=j(E')$。根据第二段，如果 $E_0$ 有一个阶为 2 的有理点，那么 $j(E) \in {\mathbb{Q}}$，并且根据 [Reference Cremona 和 Najman18，命题 3·2]，E 在 $X_1(2)$ 上产生一个阶为 1 的闭点。根据 [Reference González-Jiménez 和 Najman30，命题 4·6]，与 E 相关联的 $X_1(2^k)$ 上唯一的奇数度数闭点的度数为 1。因此，我们只需考虑 $E_0$ 没有阶为 2 的有理点的情况。$X_1(2)$ 的结果立即显现，所以假设 $2 \leq k \leq 3$。根据 [Reference Bourdon 和 Najman11，引理 6·3]，曲线 $E_0/{\mathbb{Q}}\in \mathcal{E}$ 在一个奇数度的数域上有完整的 2-挠性或一个 4-同源映射。由于 $E_0({\mathbb{Q}})$ 没有阶为 2 的点，这些情况发生在 $E_0$ 满足 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0,2} = \text{2Cn}$ 或 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0,2^{\infty}}\in \{4.16.0.2, 8.16.0.3, 4.8.0.2\}$ 的情况下。在任何情况下，$E_0$ 或与 $E_0$ 2-同源的椭圆曲线在立方数域上都有一个循环的 4-同源映射。根据命题 2·3，这会在 $X_1(4)$ 上产生一个度数为 3 的闭点。然而，我们将证明与 $\mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(8)$ 上没有点具有奇数度数。如果需要，我们可以通过替换 $E_0$ 为一个二次扭转来假设 2-adic 映射包含 $-I$。因此，我们可以假设 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0,2^{\infty}}=2.2.0.1$ 或 4.8.0.2；参见 [Reference Rouse 和 Zureick-Brown42] 中关于最小覆盖 X2 和 X20 的曲线。在第一种情况下，根据命题 3·2，$X_1(8)$ 上没有与 $\mathcal{E}$ 相关联的奇数度数点，所以假设 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0,2^{\infty}}=4.8.0.2$。根据推论 36，通过选择具有这种伽罗瓦映射的特定椭圆曲线并计算与 $E_0$ 2^r-同源的椭圆曲线在 $X_1(8)$ 上的点的度数，可以得到结果，其中同源曲线的 j-不变量是模多项式 $\Phi_{2^r}(X,j(E_0))$ 的根。Magma 计算显示 2 是与任何与 $E_0$ 2^r-同源的椭圆曲线在 $X_1(8)$ 上的点的度数的因数，正如所期望的。8. $\ell$-adic 映射的阶为 $\ell$ 命题 8·1。设 $\mathcal{E}$ 是一个非 CM 椭圆曲线的有理 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类，设 $\ell$ 是一个素数。假设存在 $E_0/{\mathbb{Q}} \in \mathcal{E}$，其 $\ell$-adic 伽罗瓦表示的阶为 $\ell$。在与 $\mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(\ell^k)$ 上的点中，总是可以找到一个度数最小的点，该点最多与某个有理 j-不变量 $\ell$-同源。证明。如果 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0,\ell}$ 是满射，这是根据命题 3·2 和 $\deg(X_1(\ell^k) \rightarrow X_1(\ell))$ 的公式得出的；参见命题 2·6。假设 $\ell$ 是奇数。如果 $E_0/{\mathbb{Q}}$ 有一个有理的 $\ell$-同源映射，那么结果来自命题 5·3（如果 $\ell \geq 5$）和命题 6·1 的证明（如果 $\ell=3$）；参见情况 (i) 和 (ii)。如果 $E_0/{\mathbb{Q}}$ 没有有理的 $\ell$-同源映射，并且 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0,\ell}$ 不是满射，那么 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0, \ell^{\infty}}$ 是以下其中一个群的完整原像（见第 2.2 节）。可以验证 ${\mathrm{ord}}_{\ell}([{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell})\,:\, {\mathrm{im}} \rho_{E_0, \ell^{\infty}}])=1$。我们将分别考虑每种情况。在每种情况下，我们都会看到 $j_{min} \not\in {\mathbb{Q}}$。(i) $C_{ns}^+(\ell)$：这是一个阶为 $2(\ell^2-1)$ 的子群，通过基的选择，它包含所有矩阵 \begin{equation*}\begin{pmatrix}a & 0 \\0 & a\end{pmatrix}, a \not\equiv 0 \pmod{\ell},\end{equation*} \begin{equation*}\begin{pmatrix}a & 0 \\0 & -a\end{pmatrix}, a \not\equiv 0 \pmod{\ell}。\end{equation*} 由于 $\ell$ 是奇数，这些矩阵构成了一个阶为 $2(\ell-1)$ 的群。它的固定域的大小为 $\ell+1$，因此在阶为 $\ell+1$ 的扩展上，曲线 $E_0$ 获得了两个独立的 $\ell$-同源映射，其核分别为 $C_1$ 和 $C_2$。然后根据命题 2·3，曲线 $E_0/C_1$ 在 $X_1(\ell)$ 上获得一个度数为 $(\ell+1)\cdot \varphi(\ell)/2=(\ell^2-1)/2$ 的闭点，在 $X_1(\ell^2)$ 上获得一个度数为 $(\ell+1)\cdot \varphi(\ell^2)/2=(\ell^2-1)\cdot \ell/2$ 的闭点。由于所有与 $E_0$ 相关联的 $X_1(\ell)$ 上的闭点的度数为 $(\ell^2-1)/2$，根据命题 3·2 和 2·6，结论成立，其中 $j_{min}=j(E_0/C_1)$。(ii) 13S4, 5S4：Magma 计算显示曲线 $E_0$ 在 $X_1(\ell)$ 上获得两个独立的 $\ell$-同源映射，其核分别为 $C_1$ 和 $C_2$。根据命题 2·3，曲线 $E_0/C_1$ 在 $X_1(\ell)$ 上获得一个度数为 $6 \cdot ({\varphi(\ell)}/{2})=3(\ell-1)$ 的闭点，在 $X_1(\ell^2)$ 上获得一个度数为 $6\cdot ({\varphi(\ell^2)}/{2})=3 \ell(\ell-1)$ 的闭点。结论根据命题 3·2 和 2·6 成立，其中 $j_{min}=j(E_0/C_1)$。(iii) 7Ns, 7Ns.2.1, 7Ns.3.1, 5Ns, 5Ns.2.1, 3Ns：曲线 $E_0$ 获得两个独立的 $\ell$-同源映射，其核分别为 $C_1$ 和 $C_2$。根据命题 2·3，曲线 $E_0/C_1$ 在 $X_1(\ell)$ 上获得一个度数为 $2 \cdot ({\varphi(\ell)}/{2})=\ell-1$ 的闭点，在 $X_1(\ell^2)$ 上获得一个度数为 $2\cdot ({\varphi(\ell^2)}/{2})= \ell(\ell-1)$ 的闭点。结论根据命题 3·2 和 2·6 成立，其中 $j_{min}=j(E_0/C_1)$。现在假设 $\ell=2$。如果 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0,2}=$ 2Cs，那么 $E_0$ 在 ${\mathbb{Q}}$ 上具有完整的 2-挠性。因此它在 ${\mathbb{Q}}$ 上与一个具有 ${\mathbb{Q}}$-有理循环 4-同源映射的椭圆曲线 $E'/{\mathbb{Q}}$ 同源。根据命题 2·3，$E_0$ 在 $X_1(4)$ 上有一个度数为 1 的闭点，结论根据命题 3·2 和 $\deg(X_1(2^k) \rightarrow X_1(4))$ 的公式得出。如果 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0,2}=$ 2B 或 2Cn，那么 $E_0$ 在一个阶为 2 或 3 的扩展 K 上具有完整的 2-挠性。存在一个具有 K-有理循环 4-同源映射的 $E'/K$，结论与前一种情况相同。注释 8·2。最小度数的表达式不一定能整除所有度数。例如，命题 8·1 的证明表明，与包含 $E_0/{\mathbb{Q}}$ 且 ${\mathrm{im}} \rho_{E_0,7^{\infty}}=$ 7.28.0.1 的 $\mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(7^k)$ 上的点的最小度数是 $7^{\max(0,2k-3)}\cdot 6$。然而，在 $X_1(7)$ 上有一个与 $E_0$ 相关联的度数为 9 的点，位于这个点上方的 $X_1(7^k)$ 上的点的度数不会被 $7^{\max(0,2k-3)}\cdot 6$ 整除。下一个结果表明，在非 CM 有理几何同源类 $\mathcal{E}$ 中工作的曲线可以产生比与任何有理非 CM j-不变量相关联的点具有更低的度数。这依赖于 Furio 的最新工作 [Reference Furio24]，如第一作者与 Ejder 的工作中所应用 [Reference Bourdon 和 Ejder12]。推论 8·3。与任何非 CM 有理 $\overline{{\mathbb{Q}}$-同源类 $\mathcal{E}$ 相关联的 $X_1(49)$ 上的点的最小度数最多为 42，而与非 CM 点 $x \in X_1(49)$ 相关联的点的最小度数为 49。证明。第一个结论来自前面的命题：例如，考虑一个在 ${\mathbb{Q}}$ 上的椭圆曲线，其模 7 映射为 7Ns。对于第二个结论，注意到所有已知的非 CM 椭圆曲线 $E/{\mathbb{Q}}$ 的非满射 7-adic 映射的阶为 7；参见 [Reference Rouse 和 Zureick-Brown42]。因此，与这样的 E 相关联的 $X_1(49)$ 上的任何点的度数至少为 49。如果 $E/{\mathbb{Q}}$ 有一个满射的 7-adic 映射，那么 E 在 $X_1(49)$ 上会给出一个度数为 1176 的单个闭点。根据 [Reference Rouse, Sutherland 和 Zureick-Brown41，定理 1·1·6] 和 [Reference Furio 和 Lombardo25，定理 1·4]，其他可能作为非设 $\mathcal{E}$ 为定义在复二次域 K 上、具有 CM（CM 为 CM 中的某种结构）的椭圆曲线的 $\overline{{\mathbb{Q}}}$-同源类，设 $\ell$ 为 K 中的一个素数分解因子。那么与 $\mathcal{E}$ 相关联的曲线 $X_1(\ell^n)$ 上的点的最小度数为
$$
2\cdot h_K \cdot \ell^{n-1}(\ell-1)/w_K,
$$
且这个最小度数由在 K 中具有最大阶数的 CM 结构的椭圆曲线 $E \in \mathcal{E}$ 实现。因此，有 $[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}}]=h_K$。证明：这样的椭圆曲线 $E$ 确实在 $X_1(\ell^n)$ 上存在一个该度数的点，这一点可以从 [Bourdon 和 Clark7 的定理 6.2] 中得出；同时，由于 $\ell$ 在 K 中是分解的（根据假设），我们有 $[{\mathbb{Q}}(j(E))\,:\,{\mathbb{Q}}]=h_K$（见第 2·5 节）。接下来需要证明的是，这个度数是在所有属于 $\mathcal{E}$ 的椭圆曲线中扮演最小值的。我们可以假设 $\ell^n > 2$。由于自同态代数是同源不变的，任何属于 $\mathcal{E}$ 的椭圆曲线 $E'$ 都在 K 中具有某个阶数的 CM 结构。既然我们已经找到了具有最大阶数 CM 结构的椭圆曲线上点的最小度数，那么我们可以假设 $E'$ 在 K 中具有阶数为 $\mathfrak{f} > 1$ 的 CM 结构。对于任意属于 $X_1(\ell^n)$ 的点 $x = [E', P']$，根据 [Bourdon 和 Clark6 的定理 6.2]，我们有
$$
h_K \cdot \frac{\ell^{n-1}(\ell-1)}{2} \mid \deg(x).
$$
如果存在某个 $d \in {\mathbb{Z}^+$ 使得
$$
\deg(x) = h_K \cdot \frac{\ell^{n-1}(\ell-1)}{2} \cdot d < 2\cdot h_K \cdot \frac{\ell^{n-1}(\ell-1)}{w_K},
$$
那么必然有 $d = 1$ 且 $w_K = 2$。由此可得 $[{\mathbb{Q}}(j(E'))\,:\,{\mathbb{Q}}]=h_K$。这个扩展的度数等于该阶数 ${\mathcal{O}}$ 的类数（见第 2·5 节的方程 2·1）。由于 $w_K = 2$，因此 $[{\mathbb{Q}}(j(E'))\,:\,{\mathbb{Q}}=h_K$ 意味着 $E'$ 在 K 中具有阶数为 2 的 CM 结构。既然我们已经假设了 $E'$ 具有阶数为 $\mathfrak{f} > 1$ 的 CM 结构，那么 $E'$ 在 K 中只能具有阶数为 2 的 CM 结构。根据方程 2·1，这只有在 2 在 K 中是分解的情况下才可能。但根据 [Bourdon 和 Clark7 的定理 6.2]（当 $\ell$ 为奇数时）以及 [Bourdon 和 Clark7 的定理 6.6]（当 $\ell = 2$ 时），这种情况是不成立的。

**命题 9·2：$\ell$ 在 K 中是惰性的**
设 $\mathcal{E}$ 为定义在复二次域 K 上、具有 CM 结构的椭圆曲线的 $\overline{{\mathbb{Q}}}$-同源类，设 $\ell$ 为 K 中的一个素数且 $\ell$ 在 K 中是惰性的（即 $\ell$ 不分解）。那么与 $\mathcal{E}$ 相关联的曲线 $X_1(\ell^n)$ 上的点的最小度数为
$$
\delta \,:\!=\,
\begin{cases}
h_K \cdot \ell^{\lfloor{3(n-1)/2}\rfloor+1}(\ell^2-1)/w_K & \text{如果 $\ell = 2$,} \\
h_K \cdot \ell^{\lfloor{3(n-1)/2}\rfloor}(\ell^2-1)/w_K & \text{如果 $\ell \geq 3}.
\end{cases}
$$
这个最小度数由在 K 中具有阶数为 $\mathfrak{f} = \ell^{\lfloor{n/2}\rfloor}$ 的 CM 结构的椭圆曲线 $E \in \mathcal{E}$ 实现。此外，如果 $j_{min}$ 是水平为 $\ell^n$ 的最小挠曲线的 j-不变量且 $n \geq 5$，那么有
$$
[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}} \geq h_K \cdot \frac{\ell^{(n-5)/2}}{3}(\ell+1).
$$
因此，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}} \rightarrow \infty$。证明：假设存在椭圆曲线 $E$ 在 K 中具有阶数为 $\mathfrak{f} = \ell^{\lfloor{n/2}\rfloor}$ 的 CM 结构。根据第 9 节的第一段，我们可以找到这样的椭圆曲线 $E$。根据 [Bourdon 和 Clark7 的定理 6·1 和 6·6]，与这样的椭圆曲线 $E$ 相关联的点 $x \in X_1(\ell^n)$ 的最小度数为
$$
\deg(x) = 2^{\epsilon} \cdot T({\mathcal{O}}, \ell^n)\cdot h({\mathcal{O}},
$$
其中 $T({\mathcal{O}}, \ell^n)$ 如 [Bourdon 和 Clark7 的定理 4·1] 中所定义，且当 $\ell = 2$、$n > 1$ 时 $\epsilon = 1$，否则 $\epsilon = 0$。通过 [Bourdon 和 Clark7 的定理 4·1] 计算 $T({\mathcal{O}}, \ell^n)$ 并结合方程 2·1 计算 $h({\mathcal{O})$ 可得 $\deg(x) = \delta$。现在我们需要证明这是与 $\mathcal{E}$ 相关联的曲线 $X_1(\ell^n)$ 上点的最小可能度数。假设存在椭圆曲线 $E' \in \mathcal{E}$ 在 ${\mathcal{O}_K$ 中具有阶数为 $\ell^c\mathfrak{f}'$ 的 CM 结构，其中 $\ell \nmid \mathfrak{f}'$。根据 [Bourdon 和 Clark7 的定理 4·1 和 6·1] 以及方程 (2·1)，与 $E'$ 相关联的点在 $X_1(\ell^n)$ 上的最小度数至少为 $\delta$，且当 $c < ({n-3})/{2}$ 时这个不等式是严格的。因此，任何水平为 $\ell^n$ 的最小挠曲线都必须满足 $c \geq ({n-3})/{2}$。如果 $n \geq 5$，那么根据第 2·5 节的方程 2·1，有
$$
[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}} \geq h_K \cdot (({\ell^{(n-5)/2}})/{3})(\ell+1).
$$
结论随之成立。

**命题 9·3：$\ell$ 在 K 中是分歧的**
设 $\mathcal{E}$ 为定义在复二次域 K 上、具有 CM 结构的椭圆曲线的 $\overline{{\mathbb{Q}}}$-同源类，设 $\ell$ 为 K 中的一个素数且 $\ell$ 在 K 中是分歧的。那么与 $\mathcal{E}$ 相关联的曲线 $X_1(\ell^n)$ 上的点的最小度数为
$$
\delta \,:\!=\,
\begin{cases}
h_K & \text{如果 $\ell^n \leq 3$,} \\
h_K \cdot \ell^{\lfloor{3(n-1)/2}\rfloor+1}(\ell-1)/w_K & \text{如果 $\ell = 2, n \gt 1, {\mathrm{ord}}_2(\Delta_K) = 2$,} \\
h_K \cdot \ell^{\lfloor{3n/2}\rfloor-1}(\ell-1)/w_K & \text{否则}.
\end{cases}
$$
这个最小度数由在 K 中具有阶数为 $\mathfrak{f} = \ell^{\lfloor{n/2}\rfloor}$ 的 CM 结构的椭圆曲线 $E \in \mathcal{E}$ 实现。另外，对于水平为 $\ell^n$ 的最小挠曲线的任何 j-不变量 $j_{min}$（且 $n \geq 5$），有
$$
[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}} \geq h_K\cdot \frac{\ell^{(n-3)/2}}{3}.
$$
因此，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}} \rightarrow \infty$。证明：假设存在椭圆曲线 $E$ 在 K 中具有阶数为 $\mathfrak{f} = \ell^{\lfloor{n/2}\rfloor}$ 的 CM 结构；根据第 9 节的第一段，我们可以找到这样的椭圆曲线 $E$。根据 [Bourdon 和 Clark7 的定理 6·6]，与这样的椭圆曲线 $E$ 相关联的点 $x \in X_1(\ell^n)$ 的最小度数为
$$
\deg(x) = 2^{\epsilon}\cdot T({\mathcal{O}}, \ell^n)\cdot h({\mathcal{O}},
$$
其中 $T({\mathcal{O}}, \ell^n)$ 如 [Bourdon 和 Clark7 的定理 4·1] 中所定义，且当 ${\mathrm{ord}}_2(\Delta_K) = 2, \ell = 2$ 且 $n$ 为奇数时 $\epsilon = 1$，否则 $\epsilon = 0$。通过 [Bourdon 和 Clark7 的定理 4·1] 计算 $T({\mathcal{O}}, \ell^n)$ 并结合方程 2·1 计算 $h({\mathcal{O})$ 可得 $\deg(x) = \delta$。现在我们需要证明这是与 $\mathcal{E}$ 相关联的曲线 $X_1(\ell^n)$ 上点的最小可能度数。假设存在椭圆曲线 $E' \in \mathcal{E}$ 在 ${\mathcal{O}_K$ 中具有阶数为 $\ell^c\mathfrak{f}'$ 的 CM 结构，其中 $\ell \nmid \mathfrak{f}'$。根据 [Bourdon 和 Clark7 的定理 4·1 和 6·1] 以及方程 (2·1)，与 $E'$ 相关联的点在 $X_1(\ell^n)$ 上的最小度数至少为 $\delta$，且当 $c < ({n-3})/{2}$ 时这个不等式是严格的。因此，任何水平为 $\ell^n$ 的最小挠曲线都必须满足 $c \geq ({n-3})/{2}$，这意味着根据第 2·5 节的方程 (2·1)，有
$$
[{\mathbb{Q}}(j_{min})\,:\,{\mathbb{Q}} \geq h_K \cdot ({\ell^{(n-3)/2}}/{3}.
$$

**致谢**
我们感谢 John Cremona、álvaro Lozano-Robledo、Jeremy Rouse、Parker Schwartz 和 Andrew Sutherland 在讨论中提供的帮助。我们还要感谢 John Cremona、Michael Eddy、Tyler Genao 和 Filip Najman 对本文早期版本提出的有益评论。我们特别感谢那位匿名审稿人，他提出了许多建议，极大地改进了文章的表述。所有作者都得到了 NSF（美国国家科学基金会）的资助（项目编号 DMS-2137659）。第一作者还获得了 A. J. Sterge 教学基金和 NSF 的资助（项目编号 DMS-2145270）。

**脚注**
1. 回忆一下，一个定义在数域 k 上的曲线 C 上的闭点 x 的度数是其剩余域的度数：$[k(x)\,:\,k]$。这等价于与 x 相关联的点在 $C(\overline{k})$ 中的 Galois 轨道的大小。
2. 这里，LMFDB 标签指的是 L-函数和模形式数据库 [16] 使用的标签。
3. 回忆一下 $\text{End}(E) \otimes {\mathbb{Q}}$ 是一个同源不变量，因此整个类 $\mathcal{E}$ 要么是 CM 的，要么是非 CM 的。

**参考文献**
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