六维中的协变裂子电动力学 尼古拉·马焦雷

《Symmetry》：Covariant Fracton Electrodynamics in Six Dimensions Nicola Maggiore

　　摘要 我们提出了一个六维空间中的协变版本的类麦克斯韦分形电动力学模型，该模型使用具有标量规范对称性 ?????????? =??????Λ 的对称张量规范场。这种设定提供了一个相对论性框架，在该框架中，分形粒子运动性的限制直接源自规范不变性以及与物质的允许耦合。我们构建了应力-能量张量，并展示了其迹具有普遍的、依赖于维数的结构，在 ?? =6 时该迹变为全导数。在源存在的情况下，该理论强制电荷和偶极矩守恒，从而捕捉到孤立电荷的不运动性和偶极束缚态的运动性。这种结构也可以被视为广义全局对称性的高阶形式。 1. 引言我们在一个明显协变的环境中研究标量-电荷分形电动力学，该环境基于一个对称的二维规范场 ??????? 和标量规范对称性 ?????????? =??????Λ。一个动机是将该理论置于相对论性框架中，以便可以在单一框架内分析应力-能量张量、与外部源的耦合以及运动性限制的起源，而无需手动引入非相对论性限制。一个关键结果是应力-能量张量的迹具有普遍的、依赖于维数的结构：在 ?? =6 时，迹简化为全导数，表明了在平坦空间中的经典尺度不变性。这并不自动意味着在应力-能量张量层面存在一个局部的、明显规范不变的迹形式，尽管在施加运动方程后可以找到一个无迹的形式。六维设置的意义在于，它确定了当前张量规范结构获得其最简单局部威尔逊实现的分维：基本的二阶导数作用是边缘的，规范参数的缩放分配与标准场论对规范对称性的预期相匹配。从这个角度来看，协变性之所以有用，并不是因为分形相位本身是相对论性的，而是因为它分离了负责限制运动性的对称性原则。特别是，它清晰地区分了直接来自局部规范对称性的内容——可接受的源耦合、守恒的多极矩以及相关的运动性规则——以及那些依赖于特定非相对论实现的内容。这种构造应该被视为一个补充的场论框架，而不是标准凝聚态描述的替代品。规范对称性还限制了可接受的源 ???????：一致性要求 ????????????? =0，这意味着电荷和偶极矩的守恒，并为更高阶的广义全局对称性提供了一个最小的入口点。分形相位的一个特征是存在其运动性受多极守恒定律约束的激发态，最显著的是守恒电荷和守恒偶极矩的共存。在许多有效的描述中，这些约束是在非相对论性环境中直接施加的[1]，或者编码在更高阶的规范结构中，其中规范势是一个空间对称张量[2,3]。协变表述很有吸引力，因为它明确了对称性的起源以及分形约束的有效范围：它指定了哪些源/背景耦合与一致的分形部分兼容，而不是事后依赖非相对论性直觉。它还提供了对允许变形的紧凑组织。早期关于受限动力学和“分形”行为的例子既出现在拓扑过保护的晶格模型中，也出现在稳定器代码的构建中，包括Chamon的量子玻璃模型[4]以及后来的分形代码，如Haah的立方码[5]及其后代[6,7]。相关的微观实现和对偶构造包括两自旋哈密顿量和广义晶格规范理论[8,9]。特别有影响力的连续介质视角是由二维 ???(1) 规范理论及其广义电磁学所提供的，这些理论在规范对称性层面直接捕捉了次维度粒子的运动性和多极守恒[2,3,10]。相关连续介质构造和基于对称性的表述在[11,12,13]中发展，并在[14,15]中得到了进一步阐述。这些结构组织了分形相位及其场论变形，包括希格斯/部分禁闭机制和分形临界性[16,17,18]。另一种补充的观点强调了子系统和分形对称性及其规范化，导致了分层分形序和相应的连续介质层状场论描述[19,20,21,22]。基于多极对称性和相关算子代数的代数方法也已发展[23]。有关分形相的更广泛背景和额外观点，请参阅综述和入门文献[24,25]。有关晶格模型、数值计算和现象学的更多讨论，包括电路和无序现象，可以在[26,27]中找到。关于涉及二维及以上规范场的规范程序的早期一般讨论，例如可以参考文献[28]。据我们所知，之前尚未研究过六个时空维度的协变标量-电荷分形规范理论。尽管如此，六维设置具有更广泛的理论意义。在相对论性场论中，六维空间众所周知为尺度和共形结构提供了一个独特的舞台，例如六维超共形理论[29,30,31,32]所示。我们并不认为当前的对称张量分形理论属于这些类别。相反，这些例子更普遍地表明，当局部性、规范对称性和缩放受到严格约束时，?? =6 经常扮演着结构上的特殊角色。在当前情况下，这种角色与标准赋值 [Λ] =0 下，局部二阶导数的类麦克斯韦作用在六维空间中是边缘的这一事实有关。因此，六维空间可以被视为当前张量规范结构的自然威尔逊参考点。在其他维度中也发展了与之精神上密切相关的协变处理，特别是在 ?? =4 中对于类麦克斯韦理论及其与线性化引力的关系[33,34,35]。我们的工作重点关注 ?? =6，这是唯一一个在幂计数中使局部二阶导数动态度局部的维度，同时允许标量规范参数保持无量纲的维度。这使得 ?? =6 成为检查协变张量规范理论最经济的局部不动点的自然维度，而不是一个已经带有量纲耦合的有效理论。因此，六维空间将始终是我们的首选参考点。在整个讨论中，每当提到 ?? =6 被单独指出时，这个说法是在标准赋值 [Λ] =0 的前提下理解的。在这种有限的意义上，六个时空维度的角色是威尔逊式的和结构性的：它确定了张量规范对称性的最简单局部协变不动点，而不是关于物理时空的现象学主张。因此，我们考虑了一个基于对称的二维场 ??????? =??????? 的协变张量规范理论，其规范对称性为 ??fract????????=??????Λ，(1) 其中 Λ 是一个标量局部规范参数。变换 (1) 可以通过常规的无穷小微分同胚 ????????????=???????+??????? (2) 获得，要求向量参数 ???? 是标量 ????=12???Λ 的梯度。(3) 因此，变换 (1) 有时被称为“纵向微分同胚”。我们采用标准场论约定，即规范参数是无量纲的，[Λ]=0 (4)，这固定了 [???????]=2。(5) 在这种赋值下，示意形式的局部二阶导数动作用 ∫??????? ??? ??? 的质量维度为 ?? ?6，因此仅在 ?? =6 时是边缘的。从这个意义上说，?? =6 对于当前的张量规范对称性来说，与 ?? =4 对于普通的麦克斯韦理论占据了相同的结构位置。我们在 ?? =6 中发展了相应的理论，并明确了在这种设置下特别透明的几种结构。首先，我们通过对部分积分、Bianchi恒等式和运动方程等价性来分类主要的规范不变变形，并将其归结为一个独立集合。其次，我们构建了对称的应力-能量张量并分析了其迹：普遍的 (?? ?6) 结构意味着在 ?? =6 时，广义的三阶场强项消失了，迹简化为全导数。然后，我们探讨了在局部、明显规范不变应力-能量张量层面上可以推进到何种程度的迹改进，并且我们指出了相应的障碍，同时展示了在施加运动方程后仍然存在无迹表示的形式，这与Callan–Coleman–Jackiw (CCJ) [36] 的标准分析精神一致。第三，我们提出了一个 5 +1 分解，该分解在真空中以及存在源的情况下为规范不变的电和磁变量产生了一个紧凑的广义类麦克斯韦系统，再现了协变框架中的标志性运动性限制。我们在 ?? =6 中的结果补充了其他维度中的现有处理，在这些维度中，相同的规范对称性自然被视为定义了一个具有量纲耦合的有效场论。关于标量-电荷分形理论及其连续介质实现的背景，我们参考了规范原理构造[37]、弹性对偶性[38]和强调更高阶全局结构的连续QFT方法[12,39]。关于广义全局对称性的更广泛观点，我们参考了参考文献[27,40,41]。在这项工作中，我们在统一的协变处理中强调了以下几点：(i) 具有无量纲标量规范参数的六维自然性视角，这突出了 ?? =6 是唯一一个在幂计数中使局部二阶导数动态度局部的维度，同时保持规范参数无量纲；(ii) 应力-能量张量的系统构建，包括普遍的 (?? ?6) 缛结构和对局部、明显规范不变的无迹改进的规范不变障碍；(iii) 对协变理论的明确 5 +1 约束分析和自由度计数，以及紧凑的类麦克斯韦 ??/?? 系统及其与源的耦合。本文的组织结构如下。第2节我们介绍了广义的高阶场强 ?????????? 并构建了与幂计数兼容的最一般不变作用。第3节讨论了威尔逊算子分类和规范不变变形之间的基础关系。第4节发展了以规范不变电和磁变量表示的 5 +1 分解，推导了广义麦克斯韦系统，并展示了通过电荷和偶极矩的守恒来强制运动性约束的方式。第5节进行了应力-能量张量的构建，以及对其迹的分析和可能的改进问题。第6节汇集了我们的结论和展望。附录包含了补充的技术细节。2. 协变理论：场强和最小作用通过对抗称化一个导数获得了严格不变的类场强张量，??????????≡?????????????????????。(6) 它在 (??,??) 中是反对称的，并遵守循环恒等式 ??????????+??????????+??????????=0，(7) 这是规范场 ??????? 对称性的直接结果。此外，Bianchi型恒等式也成立：?????????????+?????????????+?????????????=0。(8) 在整个过程中，我们使用混合对称性的三维张量 (6)，它提供了最直接的麦克斯韦风格构造。也可以使用由三项构建的对称三指标不变量 ????????? 来协变地表述该理论；这两种表述是等价的，因为 ? 是 F 的代数投影。我们在附录A中收集了这些内容，并以规范不变的电/磁变量来表述我们的主要结果，这两种描述是一致的。我们考虑了在 ?? =6 中的类麦克斯韦作用 ??fract=?14?∫??6?????????????????????????，(9) （整体归一化可以通过场重新缩放来吸收）。在六维空间中严格遵守 dim?(?) ≤6 和局部性的要求下，规范不变性限制了主要作用只包含两个导数：导数较少的项不是规范不变的，而高阶导数项的 dim?(?) >6，因此被幂计数排除。因此，尊重幂计数的最一般不变泛函必然由两个独立的结构组成。除了 ????????????????????? 外，还可以形成规范不变迹向量 ????≡?????????=????????????????,??≡??????，(10) 及其平方 ?????????。对于对称的 ???????，第二次收缩 ????????????????????? 不是独立的：可以找到精确的恒等式 ?????????????????????????????=12???????????????????，(11) 这直接来自于对称性 ??????? =??????? 和 F 的前两个指标的反对称性。因此，与幂计数兼容的最一般作用表示为 ??0=?14?∫??6???(?????????????????????+?????????????)，(12) 其中包含一个无量纲参数 ??。一个特别相关的选择是线性化的爱因斯坦-希尔伯特作用，在我们的符号中表示为 ?LG=?14??????????????????????+12????????，(13) 对应于 (12) 中的 ?? =?2。在二次拉格朗日量层面，这确定了作用与爱因斯坦-希尔伯特动态度匹配的 ?? 的唯一值。然而，这本身并不将标量规范对称性 (1) 扩展到完整的线性化微分同胚不变性 (2)；后者必须单独施加。我们将使用最简单的类麦克斯韦代表形式（9）作为方便的参考作用量，并将编码在????3????中的剩余二次结构视为允许的二次导数变形。我们在闵可夫斯基符号????3?? =diag?(?,+,+,+,+,+)下工作。在这种选择下，以及（9）中的整体符号，对于物理自由度而言，自由哈密顿量是正的。我们通过在第5节和附录B中计算??00来明确验证符号。我们的范围相应地是有限的：以下所有声明都指的是完全由规范不变场强????3??3??定义的类麦克斯韦理论，这对应于一般家庭（12）中的?? =0。在一般家庭中，[42]中识别的不稳定性出现在涉及????3????项的动力学结构中，这些结构的??值会产生类幽灵模式。在?? =0时，作用量不包含????3????的贡献，且哈密顿量密度是半正定的，这直接在第5节和附录B中得到证实。我们不假设这种正性扩展到更广泛的家庭；有关稳定性分析，请另见[43]。对（9）关于????3??进行变分，得到麦克斯韦型场方程???????3??3??=0。（14）Bianchi恒等式（8）提供了补充的运动学关系，这与电磁学有直接类比。在这里以及以下内容中，“类麦克斯韦”仅指由规范不变场强及其Bianchi恒等式构建的二次导数结构；它并不意味着规范内容或传播谱与普通电动力学相同。根据质量维度分配（5），动力学项（9）是边缘的。等价地，[????3??3??] =3且[????3??3??2????3??3??] =6。这个声明应该在标准场论的维度分配下理解，即[Λ] =0。在这个意义上，?? =6是一个自然的Wilsonian参考点：当[Λ] =0且[????3??] =2时，二次导数动力学项是边缘的，因此更高阶的局部规范不变变形自然地根据它们的质量维度相对于二次导数理论排序。此外，在局部性和幂计数范围内，没有非平凡的局部规范不变相互作用项在主导的二阶导数阶（三次、四次等）；因此，主导理论是高斯的，就像在线性化引力中一样。第3节通过分类局部不变量并使用分部积分、Bianchi恒等式和运动方程来具体化这种组织。将这里开发的类麦克斯韦标量-规范理论与众所周知的六维线性化爱因斯坦理论进行比较是有启发性的（例如，参见参考文献[44]，其中讨论了任意维度的线性化爱因斯坦引力）。如前所述，规范变换（1）可以被视为线性化微分同胚（2）的纵向子集。对于一般二次作用量（12）中的特定值?? =?2，二次拉格朗日量与线性化爱因斯坦-希尔伯特动力学项是一致的。然而，这不应该被理解为两种理论的完全等价：当前模型仍然只保留了标量规范对称性（1），而普通线性化引力则具有完整的矢量规范不变性（2）。只有在将规范对称性从（1）扩大到（2）之后，才能恢复标准的六维线性化引力。六维设置强调了两种理论之间的概念性区别。普通线性化引力没有传播的标量迹模式：这是由于完整的线性化微分同胚不变性以及相关的约束。相比之下，在当前的类麦克斯韦理论中，迹????3????是物理的：它经历了所有的规范冗余，并贡献了一个在线性化引力中不存在的标量极化。这种差异直接反映在第4节的5 + 1分解中，其中横向张量部分与六维引力子的九种极化相匹配，而额外的标量模式是断裂规范结构的特征。这种比较清楚地表明，类断裂麦克斯韦理论不应被解释为简单的线性化引力系统，而应该被视为一种不同的协变规范结构，其物理内容和移动性约束在质量上与自旋-2动力学有本质的不同。正如我们稍后将看到的，在（1）下的理论不变性意味着对称源的协变约束，??????????3?? =0，这反过来又导致在?5中总电荷和总偶极矩的守恒，如第4节中所回顾的。这是断裂运动学的标志。这些约束可以作为高阶矩（“多极”）全局对称性来组织，正如在连续QFT对断裂和相关系统的处理中所强调的。我们的协变公式提供了一种紧凑的方式来编码相同的守恒定律，同时保持庞加莱协变性。我们在这里不尝试对相应的广义对称性进行系统分类，但在解释源和守恒定律时偶尔会使用这种语言。

3. Wilsonian结构：算子分类和基关系
基本的规范不变构建块是广义场强????3??3??（6），其中[??] =3。局部标量密度由F及其导数构建，指标通过????3??缩合，必要时通过????3??3??3??3??3??缩合。我们分类了直到八阶质量维度的局部规范不变算子，即包括对二次导数理论的前四个导数修正，并总结了由总导数等价性、Bianchi恒等式和运动方程引起的基关系。有关涉及高于一阶的张量规范场的更一般规范程序的分析，请参见参考文献[28]。
在六维质量维度下，局部性和严格的幂计数dim2(?) ≤6不允许超出（12）中已经显示的两个二次结构的规范不变算子，即????3??3??2????3??3??和????3????，其中???? ≡????3??3??。这个双参数二次部分是与普通麦克斯韦理论的关键区别，在普通麦克斯韦理论中，二次导数不变量基本上是唯一的，直到一个??项。因此，-leading非平凡的局部变形在偶数宇称部分出现在八阶质量维度。关于奇数宇称部分，唯一可以仅从最小规范不变场强构建的奇数局部标量密度是?(6)odd=????3??3??3??3??3??3????3??3??2????3??3??（15），这是一个总导数。因此，它是普通拓扑??项的高阶推广。因此，奇数宇称部分在最小场内容内不提供非平凡的体积变形。
一组方便的八阶质量偶数宇称导数算子是
??(1)?=(???????3??3??)3(???????3??3??)（16）
??(2)?=(???????3??3??)3(???????3??3??)（17）
??(3)?=(???????3??3??)3(???????3??3??)（18）
它们并非都是独立的。在总导数的范围内，这些导数不影响作用量，Bianchi恒等式（8）意味着??(3)?可以简化为??(1)?和??(2)?的线性组合。我们在附录C中提供了简洁的推导和一组有用的简化恒等式。此外，通过变分（9）并使用（14），??(2)?与平方的运动方程（?????fract/???????3??）2成比例。因此，可以在不影响壳上可观测量的情况下移除??(2)?。在最小导数基中，可以保留??(1)?作为主导的高阶导数修正。在EFT中，移除与运动方程成比例的算子是标准的，但在当前背景下，重要的是验证这种基选择与理论耦合到通用外部源时的移动性约束是否兼容。因此，我们保持外部源耦合??ext=?∫???3??????3??3????3??（19），只要源满足??????????3??=0（20），这个耦合就是规范不变的。用于在体积中消除EOM平方算子的局部场重新定义会产生涉及????3??的高阶导数接触项，但它不改变上述的规范不变性条件，因此不修改第4节中讨论的相关电荷/偶极约束。
一个自然的问题是，????3??3??源自对称势的限制????3??3??=???????3??????????3??（21）是否在（??,??）中的反对称性和循环恒等式（7）之外施加了额外的代数恒等式，可能会降低四次不变空间的维度。对于纯代数不变量（如???），答案是否定的：势的起源（21）没有在（??,??）中的反对称性和循环恒等式（7）之外施加进一步的局部恒等式。我们还注意到混合对称张量????3??3??的一个有用的局部满射性陈述：任何遵循????3??3?? =?????3??3??以及循环恒等式（7）的张量都可以在局部实现为对称秩-2势的反对称化导数。为了证明这一点，只需为常数????3??3??提供一个明确的构造。定义????3??3??≡123(????3??3??+????3??3??）（22），这在（??,??）中显然是对称的。使用（??,??）中的反对称性和（7），可以验证????3??3???????3??3??=????3??3??（23）。然后对称势????3??2(??) ≡????3??2(????）再现了（21）：???????3??????????3??=????3??3???????3??=????3??3??（24）。特别是，对于仅从????3??3??的收缩构建的不变量，势的起源（21）没有在（7）之外施加额外的局部代数恒等式。只有在包括导数之后，才会出现额外的简化，这时Bianchi恒等式、总导数等价性和运动方程关系变得有效。

4. ?? +?? 分解：广义麦克斯韦方程和移动性约束
我们的六维协变公式允许在规范不变的电荷和磁变量之间进行透明的5 +1分解。这使得真空运动方程（14）和源约束（20）特别明确，并提供了直接协变的电荷和偶极子守恒途径。我们现在执行分解?? =(0,??)，其中?? =1,...,5，在这种情况下，规范变换（1）变为??3????=?2?Λ,??3???3??=?????Λ,??3????3??=??????Λ（25）。与普通电动力学完全类似，我们将广义电张量定义为场强的时空分量，????3??≡???3??3??=??????3?????????3??（26）。这个定义反映了电场与麦克斯韦场强的时空分量的标准识别。实际上，在普通电动力学中，我们有????≡???3??=?????????????（27），因此（26）是自然的二阶推广。场强的纯空间分量，????3??3??=???????3??????????3??（28），在约束之前具有（52）×5 =50个代数分量。在（??,??）中施加反对称性已经内置；循环恒等式（7）提供了（53）=10个额外的独立约束（每个三个不同空间指标选择一个），从而在????3??3??中留下50 ?10 =40个独立分量。其在五维欧几里得空间中的Hodge对偶是一个反对称的二形式???????，具有（52）=10个独立分量。如附录A中所澄清的，???????是方程的磁部分的紧凑符号变量；未被Hodge投影捕获的????3??3??的其余分量通过???????3??3??直接进入安培定律，完整的空间场强是基本对象。它可以在五维欧几里得空间中Hodge对偶化为一个反对称的二形式，???????≡13!?????3??3??3??3??3????3??3??，????3??3??=123????3??3??3?????（29），因此?? =123????3??3??3???? ∧??3????提供了一个紧凑的磁变量。在没有源的情况下，协变运动方程（14）分解为以下真空系统。选择（??,??）=(0,??)得到电高斯定律???????3??=0（30），而选择（??,??）=(??,??)得到安培定律??????3??????????3??=0???????3???123????3??3????3?????????3??=0（31）。从Bianchi恒等式（8）可以得到法拉第定律?????????=123???????3??3?????????3??（32），以及磁高斯定律???????=0（33）。方程（30）–（33）在五维空间中形成了完整的广义麦克斯韦系统。

4.1. 约束和传播模式
5 +1分解还阐明了理论的受限性质。有关系统计算自由度方法的最新一般讨论，例如，请参见参考文献[45]。对于类麦克斯韦代表形式（9）（?? =0），受限结构可以完全明确地陈述：????不出现在作用量中，???3??是非动力学的，对???3??的变分施加了高斯型约束（35）。这是下面给出的自由度计算的起点。对于类麦克斯韦代表形式（9）（?? =0），????不出现在作用量中并且完全解耦。与????3??共轭的规范动量与????3??成正比，Π??3??≡???(??为了与具有标量规范对称性的相关二阶理论的规范约束结构进行比较，请参见[42]；物理内容的差异反映了不同的动力学结构，如第2节所讨论的。真空方程意味着相对论性的色散。在（31）和（32）之间消除B，得到波动方程?2?????????Δ???????=0（36），以及约束?????????? =0。广义电场的平面波可以写为????????(??,??→??) =??????? ???????????+???→??·??→??，其中??2 =??→??2且???????????? =0。在凝聚态文献中，许多关于标量电荷分数子相的处理采用了非相对论性的缩放，其中磁性部分携带额外的空间导数，从而得到动力学指数?? =2和?? ～??2。在这里，我们通过构造采用了一个在5+1维中的二阶洛伦兹协变作用量，因此传播的规范模式遵循相对论性色散??2 =??→??2。这种选择不影响分数子的流动性限制，这些限制是运动学的，并且源自规范不变性以及下面推导出的源约束????????????? =0。在动量空间中，记录残余的标量规范对称性对空间电势极化???????的作用也是有用的：???????????=?????????Λ（37）。这个条件仅移除了???????的标量纵向部分，即形式为????????的分量。它不约束迹?????，因此与???????成比例的各向同性迹分量（“迹模式”）仍然存在。此外，高斯定律（30）在动量空间中意味着????????????=0?????????????=0（38），这强制执行了物理极化的横向性。选择坐标使得→??指向第5个轴，???? =(0,0,0,0,??)，方程（38）给出?????=0（??=1,…,5）（39），因此所有沿→??有一个指标的分量都消失了。剩下的独立分量是对称张量???????，其中??,?? =1,…,4，即在四维横向空间中的二阶对称张量。一个对称的4×4张量有10个独立分量。总结来说，对于非零动量模式，五个关系???????????? =0强制执行了规范不变电极化的横向性，而电势极化仅在标量位移??????? ～??????? +??????????Λ下被识别。在施加这些横向性条件并除以这个单一的标量规范冗余后，剩余的是四维小群空间中的对称横向张量。剩余的极化在小群SO?(4)下变换，并分解为迹和迹less部分，???????=(????????1????????3??????)+1????????3??????（40），对应于SO?(4)下的9⊕1分解。将我们的二阶规范场的传播内容与六维中的无质量引力子的传播内容进行比较是有启发性的。迹less部分带有9个极化，与6D无质量自旋-2场的物理自由度相匹配。此外，我们的理论包含一个额外的标量极化，即迹?????，它不能通过标量规范对称性（37）被移除。这反映了????????? =??????Λ只是线性化微分同胚（2）的纵向子集。因此，与普通的线性化引力不同，迹模式没有被移除，仍然是物理谱的一部分。在这项工作中，我们关注的是类似麦克斯韦的代表（9），其中对称性保持为标量的，额外的标量模式是物理谱的一部分。附录B中提出了一个补充的哈密顿约束分析，确认了相同的传播内容和物理子空间上的正性。总的来说，该理论在六维中传播十个局部自由度。

4.2. 源和流动性约束
通过（19）将理论与对称的外部源???????耦合，修改了场方程为?????????????=???????（41），而（1）下的规范不变性强加了协变约束?????????????=0（42）。在5+1形式中，定义?? ≡????，方程（43）表示为?2???+2???????????+?????????????=0（43）。在??上积分并假设标准的衰减条件，得到总电荷守恒??=∫???????，??????????=0（44），并且，乘以????并分部积分，得到偶极矩守恒????=∫?????????????，????????????=0（45）。在协变设置中，源约束????????????? =0还有一个在非相对论情况下没有直接类比的结果。乘以????并积分，发现守恒不仅适用于空间分量????，也约束了时间部分。具体来说，分部积分并使用标准的衰减条件，可以得到∫????? ?????是独立守恒的：∑?????∫????? ?????=0（46）。结合Q和????的守恒，这意味着孤立的带电激发在完整时空中被限制为不可移动：它不能作为世界线传播，而是在空间和时间上都是局部的。在这个意义上，它更准确地被描述为类瞬子而不是具有受限流动性的粒子。第6节将这记录为分数子流动性约束的适当协变重述。
理解这些守恒定律的一个有用方法是以下方式。如果一个孤立的电荷q被位移????移动，它对偶极矩的贡献将变化Δ???? =?? ????。除非?? =0，否则即使刚性移动也会改变守恒量????，因此孤立的带电激发不能作为单个粒子移动。相比之下，中性的偶极束缚态可以移动而不改变总电荷和固定的总偶极矩，因为相反的电荷贡献了补偿性位移。因此，孤立的电荷不能移动而不改变????，而中性的复合体可以。孤立的电荷的不可移动性——以及只有电荷中性束缚态才能移动的可能性——是分数子行为的定义性运动学特征。为了直观理解，图1总结了孤立的电荷（其刚性移动会改变守恒的偶极矩）和中性偶极子（其刚性移动不会改变偶极矩）之间的对比。图1. 标量电荷相中总电荷和总偶极矩同时守恒所暗示的流动性约束的示意图。(a) 将孤立的电荷移动????会使偶极矩变化Δ???? =?? ???? ≠0。(b) 中性偶极子的刚性移动保持Δ?? =0和Δ???? =????∑?????? =0，因此复合体可以移动而不违反守恒定律。作为一个简单的例子，考虑一个局部的点电荷轨迹??2(??,??→??) =?? ??(5)(??→?? ????2(??))，其中?? =??和???? =?? ?????2(??)。偶极矩的守恒意味着˙?????2(??) =0对于?? ≠0，即孤立的电荷是不可移动的，而总?? =0的中性偶极子可以一致移动并且????固定。在协变语言中，这意味着孤立的带电激发不是由自由传播的世界线自由度描述的；相反，它在时空中是以类瞬子的方式局部的。我们仅使用这个术语来解释上面推导出的相对论性流动性约束。这在协变场论设置中精确地表达了标准示意图直觉，即单个分数子电荷是被钉住的，而中性偶极子可以传播。
在E和B的术语中，有源的麦克斯韦系统变为??????????=??????（47），??????????12?????????????????????????=????????（48），?????????=12??????????????????????????（49），??????????=0（50）。

5. 在?? =??中的应力-能量张量：迹、改进和壳外问题
我们通过将理论与背景度规耦合并改变作用量来定义应力-能量张量：???????2(??)=?2√???3???????????????2(??)|??=??（51）。这里仅将背景度规变化用作在相对论性类麦克斯韦理论中定义对称应力张量并分析其迹属性的平面空间工具。我们不假设也不需要一个在任意几何形状上保持标量规范对称性的完全一般的曲率背景完成；有关将分数子规范理论与曲率背景耦合的微妙的详细讨论，请参见[46,47,48,49]。对于类麦克斯韦作用量（9），可以通过在??????????中替换? →?（将???????视为二阶张量），用???????改变显式收缩，并分部积分来计算???????（52）。结果可以组织为F的类麦克斯韦双线性项加上一个超势项，???????=??????????2??????????1????????????????3??2??????????+?????????????3??（52），其中???????3??具有黎曼张量的代数对称性，并参数化了添加相同守恒的超势的标准歧义。使用定义（26）和（29）的广义电场和磁场张量，我们有???????3??2???????3??=?2???????????????+2???????????????（53）。结合（9）中的整体符号选择，这意味着????=12???(??????????+???????????????)≥0（54）。附录B中给出了导致相同正性声明的补充规范约束分析。
用广义电场和磁场重写守恒定律也是有用的。定义能量密度??≡????=12???(??????????+???????????????）（55），并使用有源的广义麦克斯韦系统（47）–（50），可以找到????=????3???????????+????????????????=12?????????????????????????????????+12?????????????????????????????????????????????????（56）。前两项合并成一个空间散度，因此????+???????=????????????????（57），其中广义坡印廷向量????≡?12????????????????????????????（58）。因此，在真空中，????+???????=0（59）。方程（57）是坡印廷定理的自然张量类比：u是局部能量密度，????是相应的能量通量，???????????????测量传递给外部源的局部功率。
收缩（52）并使用运动方程去除与?????????成比例的项，得到以下仅依赖于类麦克斯韦??2结构的迹恒等式，直到一个总导数：??????=????64??????2??????+???????（60），其中????可以用超势???????3??表示为????≡???????3??（61）。因此，在?? =6时，??????=???????（62）。注意，在?? =6时???项的消失是由质量维度固定的，不依赖于规范选择。
规模不变性和共形不变性之间的区别是众所周知的。在局部QFT中，规模不变性允许迹是一个总导数，?????? =???????，其中????通常被称为维里电流。共形不变性更加严格：它要求这个维里电流可以通过局部改进来移除，即????可以写成???? =(???1)???Φ对于某个局部标量Φ，以便改进的应力-能量张量一个简单的显式选择是 Φ≡14????????????（公式67），这是由 ?????? 构建的最简单的四维局部标量；它不是规范不变的，但对于在壳上的代表来说是允许的。这导致 ??′????=????????+12?????????????????（公式68）。因此，在壳上的 ??′???? 消失（直到一个总导数），明确了在标准边界条件下 ?? =6 参考理论在平坦空间中经典上具有尺度不变性的含义。6. 结论与展望在这项工作中，我们基于一个对称的 rank-2 张量规范场 ???????(??) 和标量规范对称性 ????????=??????Λ，发展了一个六维协变形式的标量电荷分数子电动力学。我们的主要动机是找到一个相对论性框架，在该框架中可以用局部和显式协变的语言表达分数子系统的特征运动学，同时控制应力-能量张量和规范不变变形的组织。在这个意义上，?? =6 被选为类麦克斯韦理论的自然参考维度：二阶导数的动能项是次要的，规范参数可以取无量纲，从而为这种张量规范结构提供了一个自然的尺度不变起点。我们讨论中六个时空维度的作用并不是直接现象学上的。相反，?? =6 作为一个自然的协变参考点，在这个点上局部性、规范对称性和尺度同时最为透明，而较低维度的实现则更自然地被解释为远离临界维度的有效描述。尽管目前的六维公式主要是由于其结构简单性和二阶导数动能项的次要性而提出的，但值得注意的是这种规范结构可能自然出现在几个更广泛的背景下。首先，rank-2 对称张量场在弦理论中扮演着核心角色，其中闭合弦的无质量激发包括引力子和额外的混合对称张量场。即使当前的标量电荷规范对称性与线性化微分同胚不一致，它自然地适用于在紧凑化或受限弦背景的有效描述中出现的高阶规范场的一般分类。其次，在具有自发破缺的高阶形式对称性的有效场理论中，或在与弹性对偶性相关的非洛伦兹极限中，对称张量场经常作为低能量自由度出现。在这样的背景下，多极矩的守恒可能表现为一个涌现的约束或微观子系统对称性的残余。最后，在具有受限移动性的格子模型的连续极限、广义弹性理论和高阶矩流体动力学中也出现了类似的张量规范结构。尽管这项工作中开发的六维模型并不是作为一个直接的现象学理论，但其协变性和局部性使其成为在较低维度构建有效理论或在相对论性场论框架内解释高阶矩广义全局对称性的有用参考点。分析的一个中心物理结果是，标量电荷分数子理论的特征移动性约束直接来源于规范不变性。将理论与一个对称的外部源 ????????(??) 相耦合，强制满足协变约束 ?????????????=0，在 5+1 分解中这变成了总电荷和偶极矩的守恒。因此，孤立电荷是不动的，而中性偶极复合体可以传播。这样，定义性的分数子行为不是作为一个额外的非相对论性规则强加的，而是源自协变规范原理本身。在相对论性设置中，额外的守恒 ∫??5?? ??0?? 意味着孤立带电激发在时空中是局部的，而不是由传播的世界线携带的；这就是协变移动性约束更适当地被描述为类瞬子的方式。同样的 5+1 分割还将运动方程重新组织成一个对于规范不变的电和磁变量的广义麦克斯韦系统，使得理论的物理内容特别透明。第二个结果涉及应力-能量张量。对于类麦克斯韦的代表，其迹具有通用形式 ??????=????64????????2????????+???????。因此，在 ?? =6 中，显式的 ??2 贡献消失，迹简化为一个总导数，意味着在标准边界条件下平坦空间中的经典尺度不变性。同时，我们的分析表明，这一陈述比在普通的麦克斯韦理论中更为严格。在最小的局部规范不变算子代数中，可用的四维标量候选者不足以通过局部、显式规范不变的改进来消除维里项。因此，尽管仍然可以构造一个在壳上的无迹代表，但在壳外的问题在最小场内容中表现出真正的障碍。这指出了规范对称性、局部性和尺度不变性之间的非平凡相互作用，这似乎是六维理论固有的，而不是特定应力-张量代表的特性。从 Wilsonian 视角来看，六维模型也为协变分数子类规范动力学提供了一个清晰的组织中心。次要部分受到高度约束，而主要的无关变形可以在考虑 Bianchi 等式、分部积分和运动方程后减少到一组独立的结构。尽管我们在这里没有讨论量子 ??-函数或可能的相互作用 UV 完整化，但目前的构建提供了一个具体的局部框架，在这个框架中可以系统地提出这些问题。有几个方向值得进一步研究。第一个问题是，对于基于 BRST 的公式或扩展的场内容，对局部显式规范不变无迹代表的障碍是否持续存在。第二个问题是边界条件和缺陷，在那里 5+1 公式可能有助于澄清广义对称性的实现和相关的物理可观测量。在 [55] 中分析了相关边界诱导在协变 rank-2 理论中的结构。更广泛地说，了解这里的六维模型应该仅仅被视为一个特殊的高斯参考点，还是作为分数子量子场理论更广泛相对论性公式的起点将是非常有趣的。在这个更广阔的视角下，当前模型为六维景观中添加了一个对称张量分数子的例子，在这个景观中，尺度和共形结构通常获得一种特别严格的形式，即使场内容和对称性原则与六维 SCFTs 有很大的不同。