《Beni-Suef University Journal of Basic and Applied Sciences》：Existence and uniqueness results for mixed pantograph fractional differential equations equipped with the p-Laplacian operator with impulsive boundary conditions
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本文针对带有p-Laplacian算子的混合型分数阶脉冲微分方程边值问题，利用Leray–Schauder和Banach不动点定理，证明了该问题解的存在性与唯一性，为相关非线性边值问题的研究提供了理论支撑。
在数学物理和工程科学的众多领域，从材料记忆特性到生物系统的突发性生理活动，传统的整数阶微积分模型往往难以精准刻画复杂的物理过程。这时，能够描述“记忆”和“遗传”特性的分数阶微分方程（FDEs）便展现出独特优势。然而，当系统涉及非线性扩散（如p-Laplacian算子）或状态突变（脉冲效应）时，方程解的数学性质变得极为复杂，其“存在性”与“唯一性”这一基础数学问题成为理论应用的瓶颈。
针对这一挑战，发表在《Beni-Suef University Journal of Basic and Applied Sciences》上的这项研究，深入探讨了带有p-Laplacian算子的混合型分数阶脉冲微分方程边值问题。该工作成功建立了在混合边界和脉冲条件下解的存在唯一性理论框架，为这类复杂系统的数值模拟与实际应用夯实了数学地基。
关键技术方法
本研究属于理论数学研究，主要采用不动点定理与算子理论进行解析证明。具体技术路径包括：通过构建Green函数将微分方程转化为等价的积分方程；利用Leray–Schauder度理论处理非线性项的增长条件，证明解的存在性；应用Banach不动点定理在Lipschitz条件下证明解的唯一性；对混合型（Caputo与Riemann–Liouville混合）导数及p-Laplacian非线性算子进行精细的范数估计。
研究结果与发现
1. 模型建立与等价转化
通过引入p-Laplacian算子φp(s)=|s|p-2s（p>1）及混合分数阶导数，构建了包含脉冲效应的混合边值问题模型。研究首先推导了该问题对应的积分方程形式，并构造了相关的Green函数，将复杂的微分方程求解问题转化为算子方程的不动点问题，为后续应用泛函分析工具奠定了基础。
2. 解的存在性证明
基于Leray–Schauder非线性抉择（Nonlinear Alternative of Leray–Schauder Type），研究证明了在非线性项满足次线性增长条件、且脉冲函数有界的前提下，该混合边值问题至少存在一个解。这一结果不依赖于小参数限制，适用于较广泛的非线性项类型。
3. 解的唯一性证明
在假设非线性项和脉冲函数满足Lipschitz条件的框架下，研究应用Banach压缩映射原理证明了若Lipschitz常数足够小，则方程的解是唯一的。这一结论为数值算法的稳定性提供了理论保障。
4. 算例验证
论文最后提供了两个具体的数值算例。算例一通过设定满足定理条件的参数，验证了存在性结论；算例二构造了满足Lipschitz条件的函数，展示了唯一性定理的有效性，证明了理论结果的可实现性。
结论与意义
本研究系统解决了带有p-Laplacian算子的混合分数阶脉冲微分方程解的存在性与唯一性问题。理论结果表明，在合理的增长性条件和Lipschitz条件下，此类复杂系统具有适定的解结构。该工作不仅推广了整数阶微分方程和经典分数阶方程的理论结果，也为处理具有突变特性（如神经动力学、控制系统的开关行为）的实际问题提供了坚实的数学工具，推动了非线性泛函分析在交叉学科中的应用。
