有界上三角算子矩阵的亚非交换伪-Browder本质谱的扰动 闵苏（Min Su）与 吴德玉（Deyu Wu）

《Axioms》：The Perturbation of the Sub-Noncommutative Pseudo-Browder Essential Spectrum of Bounded Upper Triangular Operator Matrices Min Su and Deyu Wu

　　摘要
设 ?? >0，???(?? ×??) 是定义在可分希尔伯特空间 ?? ×?? 上的所有 2 ×2 有界上三角算子矩阵的巴拿赫代数。在本文中，我们首先建立了上三角算子矩阵特殊情况下的谱等式——对角块算子矩阵 ??0 =(??00??)。我们得到 ????????,???(??0) =???????,???(??) ∪???????,???(??)，其中 ?? ∈{1,2,4}，???????,???(·) 和 ????????,???(·) 分别表示非交换伪上（或下）半-Browder 本质谱、非交换伪-Browder 本质谱、次非交换伪上（或下）半-Browder 本质谱以及次非交换伪-Browder 本质谱。其次，基于 Cao 和 Bai 的工作，我们研究了在可分希尔伯特空间上 2 × 2 有界上三角算子矩阵 ???? =(????0??) 的次非交换伪-Browder 本质谱 ??????4,???(·) 的扰动。我们得到 ???∈?(??)??????4,???(????)=?????1,???(??)∪?????2,???(??)∪Δ，其中 Δ 包含所有满足条件的 ?? ∈? 和 ???? ∈?(??)，使得 ∥???? ∥
1. 引言
设 ?? 为一个可分希尔伯特空间，?? 和 ?? 表示其上所有有界线性算子和可逆算子的集合。如果 ?? ≠ ??，则分别用 ??? 和 ??? 表示 ?? 和 ?? 上的算子的伴随算子、定义域、核和值域。算子 ?? 的零度定义为 ??? 的维数，用 |??| 表示。算子 ?? 的亏格定义为 ??? 的余维数，用 ???| 表示。算子 ?? 的上升和下降分别用 ???+ 和 ???? 表示，其中 n 是一个非负整数。特别地，空集上的下确界取为 ∞。如果 ?? 是闭集（或 ??? 是闭集），则称 ?? 为上半-Fredholm 算子（或下半-Fredholm 算子）。如果一个算子既是上半-Fredholm 算子也是下半-Fredholm 算子，则称其为 Fredholm 算子。设 ??、??、?? 和 ?? 分别表示 ?? 上所有上半-Fredholm 算子、下半-Fredholm 算子和 Fredholm 算子的集合。对于某个算子 ??，其指数用 ρ(??) 表示。如果 ?? 是下半-Fredholm 算子（或上半-Fredholm 算子），则称 ?? 为下半-Browder 算子（或上半-Browder 算子）。如果 ?? 和 ?? 是半-Fredholm 算子或 Fredholm 算子，则称 ?? 为 Browder 算子。设 ??、?? 和 ?? 分别表示 ?? 上所有上半-Browder 算子、下半-Browder 算子和 Browder 算子的集合。算子 ?? 的上半-Browder 本质谱和下半-Browder 本质谱分别定义为 ……

作为功能分析的一个重要分支，块算子矩阵的谱理论致力于通过它们的谱特征来表征算子的代数结构和拓扑性质。它在微分方程和量子力学等应用学科中具有广泛的应用前景[1,2]。例如，耦合系统的稳定性和能量衰减本质上是由相应的块算子矩阵的谱分布控制的[2]。如果一个算子 ?? 有一个不变子空间，则 ?? 相对于某种分解具有上三角形式… 因此，研究算子 ?? 的问题简化为研究 2 × 2 上三角块算子矩阵的谱问题。因此，如何将块算子矩阵的谱问题转化为对角元素算子之间的谱等式一直是该领域的研究目标之一[3]。

近年来，全球的研究人员对上三角块算子的完整谱、各种本质谱、Weyl 谱和局部谱进行了系统的研究，获得了大量关于谱包含关系和谱等式的定理，以及相应的充分条件或必要条件。例如，对于 Browder 在 [4,5] 中提出的 Browder 本质谱，Cao [6]、Zhang [7,8] 和 Bai 等人在 [9,10] 中成功构建了上三角块算子矩阵的 Browder 本质谱与其对角算子 A 和 B 之间的谱等式关系。这些结果表明，在适当的条件下，完整算子的 Browder 本质谱可以通过其对角元素的半-Browder 本质谱、上升、下降、零度和亏格来表征。

受伪谱概念的启发[11,12,13]，Abdmouleh 等人[14,15] 引入了伪-Browder 本质谱的概念。对于任何算子 ?? 和 ??，伪上（或伪下）半-Browder 本质谱和伪-Browder 本质谱分别定义为… 这从扰动分析的角度扩展了经典的 Browder 本质谱理论。基于上述定义，Abdmouleh 等人[14,15] 得出了以下结论… 同样地，对于伪-Browder 本质谱，谱等式是否仍然成立？它们是否可以通过其对角元素来表征？因此，本研究探讨了 2 × 2 上三角块算子的伪-Browder 本质谱等式成立的条件。

根据 [15,16] 中给出的伪-Browder 本质谱的定义，我们首先介绍了非交换伪-Browder 本质谱的相关定义。对于任何算子 ?? 和 ??，非交换伪上半-Browder 本质谱、非交换伪下半-Browder 本质谱和非交换伪-Browder 本质谱分别定义为… 特别对于上三角块算子，相应的非交换伪上（或伪下）半-Browder 本质谱和非交换伪-Browder 本质谱定义为… 这些被称为次非交换伪上（或伪下）半-Browder 本质谱和次非交换伪-Browder 本质谱，其中 ???(?? ×??) 表示定义在可分希尔伯特空间上的所有 2 × 2 有界上三角算子矩阵的巴拿赫代数。特别是，当… 时，上述定义适用。

在本研究中，首先，我们建立了上三角算子矩阵特殊情况下的谱等式——对角块算子矩阵… 我们得到… 其次，对于上三角块算子矩阵… 我们推导出… 其中存在某些“洞” W。因此，根据引理5，该算子是一个Browder算子。如果(2)成立，我们可以定义一个下有界的算子。设……并定义算子……那么可以表示为……其中，和。显然，和是单射；因此……根据引理4，我们得到……并且由于……因此……因此，根据引理5，该算子是一个Browder算子。

案例2。如果……那么……根据引理8和9，我们发现该算子是一个Browder算子。

命题2。设……不失一般性，我们可以假设……那么存在一个……使得……或者……设……那么……如果……那么根据引理3，我们知道……因此……设……那么存在一个……使得……或者……设……那么……如果……那么根据引理3，我们知道……因此……设……那么存在一个……和……使得……即……设……那么由于……我们得出结论……

注1：这个定理扩展了[6]中的推论2.5，关键的改进在于非交换伪Browder本质谱在小幅扰动下仍然成立。推论1。设……，……。如果……那么……定理5。设……，……。那么……其中……证明。设……那么存在一个……使得……或者……设……那么……如果……那么根据引理3，我们有……因此……设……那么存在一个……使得……或者……设……那么……如果……那么该算子不是封闭的或者……如果该算子不是封闭的，那么根据引理2，该算子也不是封闭的；因此……反之，设……那么对于任何……我们有……和……因此……并且对于任何……由于……我们有……，……和……根据引理3和7，我们知道该算子是一个上半Browder算子，即……

推论2。设……，……其中……如果……那么……定理6。设……，……其中……那么……其中……证明。设……那么存在一个……使得……或者……设……那么……当……时，该算子不是封闭的或者……如果该算子不是封闭的，那么根据引理2，该算子也不是封闭的；因此……如果……或者……设……那么存在一个……使得……或者……如果……那么根据引理3，我们知道……因此……反之，设……那么对于任何……我们有……和……因此……并且对于任何……我们有……，……和……根据引理3和7，我们知道该算子是一个下半Browder算子，即……

推论3。设……，……其中……如果……那么……定理7。设……，……其中……那么……其中……证明。设……那么以下至少有一个成立：(1)；(2)。如果(1)成立，那么对于任何……我们有……和……因此……考虑到……我们有……对于所有的……根据引理5，这意味着……并且由于……我们有……根据引理5，我们得到……因此……如果(2)成立，类似地我们得到……反之，设……那么对于任何……我们有……和……根据引理3和7，我们有……因此……

推论4。设……，……其中……如果……那么……

5. 讨论

本文研究了在可分希尔伯特空间上2×2上三角块算子的非交换伪Browder本质谱的谱等价问题。首先，介绍了非交换伪Browder算子的相关概念。利用对角线元素值域的零空间和正交补的性质，得到了上三角算子矩阵（即对角块算子矩阵）特殊情况下谱等价成立的条件。其次，建立了上三角块算子的谱等价关系：……其中……与……满足……这一结果改进了曹[6]、张[8]和白[9,10]之前的工作，他们研究了Browder本质谱的类似等价关系（即……）。我们的分析表明，当……时，由于非交换框架允许的独立扰动，对角线元素A和B之间的相互作用变得更加复杂。最后，提出了等价关系成立的条件，其中W是某些空的并集。这一结果详细描述了……及其对角分量的伪半Browder谱之间的关系。我们的结果表明，对于伪Browder谱，这些关系涉及与无限上升、下降等相关的额外集合。这些术语量化了小幅扰动破坏单个算子半Browder属性的程度，从而影响矩阵算子的整体稳定性。

由于作者时间和研究能力的限制，仍有许多问题需要进一步研究，例如：(i)上述无界算子的谱等价问题。(ii)在有界和无界上三角块算子在交换扰动下的伪Browder本质谱等价问题。(iii)一般块算子的伪Browder本质谱问题。

总之，本文对块算子的非交换Browder本质谱等价性进行了初步研究。尽管取得了一些成果，但仍存在一定的局限性。在此基础上，未来将进行更深入的探索，以改进相关理论和方法，努力获得更系统和完善的研究结果。