具有最大值的Hahn差分方程的可控性 周艾仁（Airen Zhou） 朱云（Yun Zhu） 赵长斌（Changbin Zhao）

《Axioms》：Controllability of Hahn Difference Equations with Maxima Airen Zhou, Yun Zhu and Changbin Zhao

　　摘要：在本文中，我们研究了线性和非线性Hahn差分方程的可控性，其中非线性项涉及最大值。通过引入Grammian矩阵，我们得出了线性Hahn差分控制系统可控性的一个必要充分条件。对于包含最大值的非线性情况，我们构造了一个适当的控制输入，使其能够被重新表述为一个不动点问题，从而可以使用不动点技术。特别是，我们运用了Krasnoselskii不动点定理来得出可控性结果。最后，我们给出了两个例子来验证我们的理论发现，包括计算所需的控制函数和Grammian矩阵的逆。

1. 引言
Hahn差分方程作为经典差分方程的推广，近年来受到了研究人员的极大关注[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]。Hahn差分算子是由德国数学家Wolfgang Hahn在1949年引入的[13]；它是一个更通用的q-差分算子。当q趋近于1时，Hahn差分算子退化为一个普通的差分算子。此外，（见定义1），Hahn差分算子还退化为一个微分算子[14]。因此，Hahn差分方程可以被视为微分方程和差分方程的统一。Hahn差分方程在超几何级数、量子微积分和组合数学等领域有重要的应用[15,16,17,18]。近年来，Hahn差分方程在控制理论中的应用也日益受到重视。

在现代控制理论中，可控性是系统设计和分析中的一个核心概念。简单来说，可控性是指通过适当的控制输入，系统可以在有限时间内从任何初始状态被引导到期望的状态。随着科学技术的快速发展，控制理论的应用已经扩展到包括航空航天、机器人技术、生物医学工程和经济管理在内的广泛领域[19,20,21,22,23,24]。因此，对各种控制系统可控性的深入研究具有理论和实际意义。

Furthermore，值得注意的是，在实际控制系统中非线性现象无处不在。其中，由最大值项控制的非线性系统构成了非线性动力学中的一个核心类别[25,26,27,28]。这些系统在各个领域中广泛存在。例如，在神经网络中，神经元激活函数通常包含最大值运算；在经济模型中，投资决策可能取决于多个因素的最大值；在工程控制中，往往需要对某些变量施加最大限制以避免系统过载。因此，研究包含最大值项的非线性系统具有重要的实际意义。

到目前为止，已经取得了一些关于包含最大值项的差分方程的结果。然而，对于包含最大值项的Hahn差分方程的研究仍然相对有限，特别是关于其可控性的研究尤其稀少。基于上述背景，本文旨在研究包含最大值项的Hahn差分方程的可控性。具体来说，我们将考虑以下形式的Hahn差分系统：
(1)
其中Hahn差分算子为Hahn差分算子，是初始值，控制函数的控制值取自某个集合，具体定义将在下文给出。

对于非线性情况(2)：
由于Hahn差分方程上的绝对值积分不等式（见引理2），我们需要研究(2)在某集合上的可控性（见(3)）。这里，函数在某点处是连续的。

2. 基础知识
我们用表示所有在该集合上连续可微的向量函数（见定义1和引理1）。同样地，和也表示所有在该集合上分别可积和平方可积的向量函数。

定义1 ([12,13])。然后定义Hahn差分算子如下：
其中和是固定的实数，由给出。

引理1 ([12,29])。设在某点处可微。那么
(i) (ii) (iii) (iv)
定义的k次迭代为
这使我们能够引入一个称为Jackson–N?rlund积分的-积分概念。

定义2 ([12,29])。设，并让。在上的-积分定义为
其中
前提是该级数在和处收敛。

引理2 ([29,30])。假设在J上-可积。如果对所有都成立，那么对于，有
关于-可微性和-可积性的基本性质和结论，读者可以参考文献[12,29,31,32,33,34]。

定义3 ([29])。设在某点连续，并满足对所有。那么-指数函数和定义如下：
和
我们推断对于所有，收敛到一个非零值。特别是，乘积(4)和(5)的收敛性来自于收敛性（详见[3]）。在特殊情况下，我们得到
和

此外，为了保证函数的收敛性，我们额外假设
根据定理3.2 [12]，假设，并且对所有都是可逆的。那么系统(1)/(2)有一个唯一的解，可以表示为
和

我们引入以下引理和定义。
引理3（Krasnoselskii不动点定理，见[35,36]）。设是Banach空间X中的一个有界闭凸子集，和是从到的映射，对于每对，都有。如果是一个收缩映射，并且是紧凑且连续的，那么方程在上有解。

定义4（见[37]）。如果对于任何初始函数，任何期望的终止状态和任何终止时间，都存在一个控制使得(1)/(2)的对应解满足和，则系统(1)/(2)是可控的。

3. 主要结果
3.1. 线性情况
我们检验系统(1)的可控性，并定义以下新的Grammian矩阵：
(10)
我们现在准备提出一个确保系统(1)可控性的必要充分条件。
定理1. 系统(1)在J上是可控的当且仅当在(10)中定义的矩阵是非奇异的。
证明。充分性。由于是非奇异的，其逆存在。因此，我们可以定义控制为：
(11)
其中
(12)
向量是在被指定之前的任意值。
将(11)代入(6)得到
(13)
通过(12)连接(10)和(13)，可以容易得出
(14)
初始条件(6)得到满足。使用(14)结合定义4，系统(1)在J上是可控的。
必要性。我们通过反证法来证明。假设是奇异的，那么存在一个非零向量使得
进一步，可以得到
这意味着
(15)
因为系统(1)是可控的，根据定义4存在一个控制使得初始状态在时间趋于零，即
(16)
其中表示n维零向量。
同样，存在一个控制使得初始状态在时间趋于，即
(17)
那么通过(16)和(17)，我们有
(18)
将(18)左乘得到
从(15)我们推导出，因此 = ，这与假设不等于零矛盾。因此，是非奇异的。这完成了证明。

3.2. 非线性情况
我们提出以下假设：由给出的算子
有一个逆，并且存在一个常数使得
注1. 从[36][注2]可知，有
(19)
存在一个常数使得以下Lipschitz条件对所有都成立
给定，让我们考虑一个任意函数，并定义控制函数如下：
(20)
现在我们提出通过不动点方法建立主要结果的核心思想。我们首先证明，在控制(20)下，由给出的算子具有一个不动点y，它对应于系统(2)的一个解。接下来，我们验证和，表明控制将系统(2)从转移到在有限时间内。
对于任何，显然每个都是的有界、闭集和凸子集。为了方便，记为。
接下来，使用Krasnoselskii不动点定理（见引理3）来建立系统(2)的可控性结果。
定理2。假设条件和成立。那么如果对于任何初始函数，任何期望的终止状态和任何终止时间，存在一个控制使得(1)/(2)的对应解满足和。

3. 主要结果
3.1. 线性情况
我们检验系统(1)的可控性，并定义以下新的Grammian矩阵：
(10)
我们现在准备提出一个确保系统(1)可控性的必要充分条件。
定理1. 如果且在(10)中定义的矩阵是非奇异的，则系统(1)在J上是可控的。
证明。充分性。由于是非奇异的，其逆存在。因此，我们可以定义控制为：
(11)
其中
(12)
向量是在被指定之前的任意值。
将(11)代入(6)得到
(13)
通过(12)连接(10)和(13)，可以容易得出
(14)
初始条件(6)得到满足。使用(14)结合定义4，系统(1)在J上是可控的。
必要性。我们通过反证法来证明。假设是奇异的，那么存在一个非零向量使得
进一步，可以得到
这表明
(15)
因为系统(1)是可控的，根据定义4存在一个控制使得初始状态在趋于零，即
(16)
其中表示n维零向量。
同样，存在一个控制使得初始状态在时间趋于，即
(17)
那么通过(16)和(17)，我们有
(18)
将(18)左乘得到
从(15)我们推导出，因此 = ，这与假设不等于零矛盾。因此，是非奇异的。这完成了证明。

4. 例子
在本节中，我们主要提供一个例子来验证我们的理论发现。此外，我们引入了由一个紧凑且连续的算子定义的以下范数。
例1. 考虑线性Hahn差分控制系统
(23)
其中
对于这个纯线性系统，上的Grammian矩阵定义如(10)所示：
(24)
使用A和B的显式形式，以及Hahn矩阵指数的定义和，我们数值计算了(24)中的积分。这得到了Grammian矩阵
因此是非奇异的，根据定理1，系统(23)在上是可控的。

例2. 我们检验以下系统
(25)
其中我们设置
和
这里，我们可以容易看出对于任何，和，
因此，满足条件，其中选择为。
从(8)和(9)来看，由于，，
因此，我们得到
这表明条件(21)得到满足。
因此，定理2的所有假设都得到满足，从而系统(2)在上是可控的。

5. 结论
本文旨在建立线性和非线性Hahn差分控制系统的可控性结果，其中非线性项涉及最大值。我们通过构造Grammian矩阵得出了新的可控性标准：对于线性情况，通过构建Grammian矩阵；对于非线性情况，通过重新表述问题并应用不动点技术。