关于协调凸函数的分数量Bullen型不等式 Ohud Bulayhan Almutairi 和 Wedad Saleh

《Axioms》：Fractional Bullen-Type Inequalities for Coordinated Convex Functions Ohud Bulayhan Almutairi and Wedad Saleh

　　摘要　在本文中，我们提出了一种新的恒等式，用于二次部分可微映射。基于这个恒等式，我们推导出了新的分数型Bullen型不等式，这些不等式适用于在坐标上通过Riemann–Liouville分数积分算子是凸函数的两变量函数。通过应用积分不等式，包括H?lder不等式、改进的H?lder不等式和幂平均不等式，我们还得到了其他结果。我们将这些发现应用于特殊的平均数。我们提供了一个带有图形说明的数值例子，以证明我们理论结果的有效性和正确性。

1. 引言
凸性理论以及不等式理论是构成数学分析基础的领域之一，因为它们有广泛的实际应用。它系统地提供了许多分析近似方法，能够研究优化问题、逼近技术和稳定性分析。凸函数的一个特点是能够精确确定界限估计，这在泛函分析、变分法和逼近论中至关重要。特别是，源自凸性的精确界限估计在发展经典和现代积分不等式方面被证明是不可或缺的。凸结构通常是稳健的，并且常常以更简单的形式存在，通过这些形式可以为实际问题的应用获得一般原则。此外，随着凸性概念的发展，不等式理论也迅速发展起来：从凸结构中衍生出了许多不等式。这些不等式在理解动力系统和中微分方程的问题时非常有用，尤其是在研究稳定性、收敛性和扰动时。一种数值积分的变体技术——许多应用数学、工程和计算方法都依赖于这种技术——可以通过这些不等式来评估精确的误差估计和计算效率。

此外，文献中还存在许多涉及不同类别凸函数的不等式。这强调了凸性在不等式研究进展中的关键作用。凸函数通过其分析和几何属性，为估计函数在积分平均值下的值提供了自然的基础。这有助于许多经典不等式的出现，这些不等式对于完善涉及数值积分和逼近理论的估计是必要的。由于它们与凸性和求积公式之间的紧密联系，包含积分平均数的不等式得到了积极的研究[1,2,3]。其中之一是Bullen型不等式，它不仅为研究函数的覆盖范围提供了必要的工具，而且在其他科学领域也扮演了许多关键角色。因此，Bullen不等式对于凸性的表述如下[4]：

最近，许多研究者对改进Bullen型不等式产生了浓厚的兴趣。例如，Cakmak [5]的工作致力于通过h-凸性研究Bullen不等式。Erden和Sarikaya [6]建立了绝对值的一阶导数为凸的Bullen型不等式[6]。在[7]中研究了(s-p)凸函数的Bullen型不等式的新估计。在[8]中，彻底研究了坐标凸函数的Bullen型不等式的推广。这些不等式的其他扩展利用了分数微积分。?akmak [9]通过Riemann–Liouville算子为s-凸函数推导出了新的Bullen型不等式[9]。Hezenci和Budak [10]通过适合法分数积分建立了二次可微函数的新Bullen型不等式[10]。Zhao等人[11]为广义分数积分推导出了一些Bullen型不等式[11]。

将整数阶导数及其积分对应物扩展到任意阶的一般算子，分数微积分是一个强大的工具，因为它能够模拟许多具有非局部记忆效应的现实世界问题。这一特性捕捉了整数阶之间的即时状态的特征，在模拟表现出长期记忆行为的现象时至关重要。分数积分算子在不等式研究中也发挥着重要作用，它们在保持凸性属性的同时提供了自然的概括。其中一个算子是Riemann–Liouville分数积分，由于其可靠的分析性质及其与经典对应物的联系，已被广泛使用。这些算子已被广泛用于将基本不等式（包括Bullen、Hermite–Hadamard和Ostrowski不等式）扩展到分数设置中，当分数阶接近于1时，其结果可以简化为经典对应物的结果。一些积分不等式展示了这种统一特性。例如，Sarikaya [12]扩展了涉及两变量坐标凸性的Riemann–Liouville分数积分[12]。

定义1 ([12])。设Riemann–Liouville分数积分...
假设 是二维区间上的一个区间，且... 如果映射 在每个固定的x轴值下是凸的，那么映射 在每个固定的y轴值下也是凸的，那么可以说该映射 在坐标上是凸的。

定义2。如果函数 在所有的x和y值上满足以下不等式：
(2)
则称函数 在坐标上是凸的。

两个经典的H?lder不等式和幂平均不等式经常用于积分不等式理论的研究。

定理1（H?lder不等式[14]）。设... 如果... 那么...

定理2（改进的H?lder积分不等式[15]）。设... 如果... 那么...

定理3（幂平均不等式）。设... 如果... 那么...

Fahad等人[16]通过分数积分算子为凸函数建立了以下Bullen型不等式。

定理4。设... 如果... 且 是一个凸函数，那么不等式... 成立。

受Dragomir [13]、Sarikaya [12]和Fahad等人[16]工作的启发，我们的目标是将一维不等式扩展到二维坐标凸函数。本研究的具体目标是建立一种新的积分恒等式，用于二次部分可微映射，并通过Riemann–Liouville分数积分推导出坐标凸函数的分数型Bullen型不等式。我们利用这个恒等式通过这种坐标凸性获得了分数型Bullen函数的新上界。我们还使用H?lder不等式和改进的H?lder不等式证明了这些新不等式。我们展示了通过特定参数值可以恢复经典结果作为特例。我们进一步通过图形分析提供了一些数值例子来加强我们的理论发现。最后，我们开发了应用特殊平均数的应用。

2. 主要结果
本研究的主要贡献在本节中提出。我们首先建立了一个二次部分可微映射的基本恒等式，这构成了我们研究的基础。然后我们使用这个恒等式通过Riemann–Liouville分数积分推导出几个坐标凸函数的分数型Bullen型不等式。我们还提供了一个带有图形说明的例子来验证我们的理论发现。

2.1. 基本积分恒等式
在本小节中，我们首先为二次部分可微映射建立了一个基本积分恒等式，这是我们结果的基石。

引理1。设 是定义在 上的部分可微映射，且... 设 是包含 的开集。对于所有的x和y，以下等式成立：
...
证明。设...，定义...，使得...。定义...。因此...

推导。定义...。然后...
关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...
关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...
关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...
关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...
关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...
关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...
关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...
关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...
因此...

展开乘积：...
改变变量 和...，并使用...和...，我们得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

推导。定义...。然后...

关于部分积分：对于每个固定的x值，...
由于...和...，边界项消失，得到...

总结上述四个表达式并根据分数积分阶数收集项，正好得到所述的等式。这就完成了证明。

2.2. 分数型Bullen型不等式
使用第2.1节中建立的恒等式，我们现在通过坐标凸性推导出几个分数型Bullen型不等式。

定理5。设...，对于某个开集...。设...。假设函数 在坐标上是凸的。那么不等式...成立。

证明。根据引理1，取模并使用 的坐标凸性，我们得到...
设...
由于在 上是坐标凸的，对于每个固定的x值，我们有...
现在分别估计...

通过三角不等式和(5)，...
分离四个角部分的贡献：...

引入缩写...

然后...

这些一维积分可以如下显式计算：...

再次通过(5)，...

在每个积分中设置...

估计...

再次通过(5)，...

设置：...

估计...

再次通过(5)，...

总结四个估计值。

加上...，...，...：

使用上述显式公式：...

因此，...，...，...。这就完成了证明。

2.3. 推论
如果我们选择...和...，那么从定理5中，我们得到...

定理6。设 是定义在 上的部分可微映射，且...。设 是包含 的开集。假设在 上是坐标凸函数。那么不等式...成立，其中...，...

证明。根据引理1，取模，我们得到...
使用H?lder不等式，由于 是坐标凸函数，对于第一个积分，我们有...

考虑到对于 和...，我们有...

同样地，使用 的坐标凸性，我们有...

结合这三个估计值并收集2的幂次，我们得到...

对于第二个积分，我们已经计算了...
通过改变变量，我们得到...

通过 的坐标凸性，我们得到...

同样地，对于...，我们得到...

对于...，我们得到...

对于...，我们得到...

总结...，...，我们得到了所需的不等式。

2.4. 应用特殊平均数
我们最后开发了应用于特殊平均数的应用。根据引理1，取模后，我们得到……我们使用加权幂平均不等式来估计每一项，该不等式对每个非负权重w都成立。对于……，设置……。第一个因子等于……由于在……上坐标凸，因此……所以……其中……如定理5中所定义。因此，……对于……，设置……。第一个因子等于……应用坐标凸性，得到……其中……如定理5中所定义。因此……对于……，设置……。第一个因子等于……应用坐标凸性，得到……其中……如定理5中所定义。因此……对于……，设置……。第一个因子等于……应用坐标凸性，得到……因此……将……的界值相加，我们得到了所需的不等式。□ 2.3. 示例和图形说明在本小节中，我们将通过一个数值示例来加强我们的理论发现。示例1. 设……然后……由于在……中每个变量都是凸函数，因此在……上坐标凸。选择……和……，使得……，我们验证了定理5。左手边等于……因此，左手边是……对于右手边，在……和……：……所以……的拐点值为……因此，右手边是……由于……，定理5中的不等式得到证实。图1和图2展示了我们正在研究的不等式的行为。函数及其混合偏导数的表面图在单位正方形上展示了坐标凸结构（见图1）。同时，在图2中，随着参数……和……的变化，绘制了定理5中不等式的左手边和右手边，证实了不等式在整个区间内成立，并且两边在……附近取得可比的值。图1. 函数……在……上的表面图，展示了示例中使用的函数的坐标凸结构。图2. 定理5中的系数……作为……的函数的行为，其中……和……。所有系数在中点取得最小值。3. 应用于特殊平均数在本节中，我们将我们的结果应用于推导涉及两个变量的特殊平均数的应用。对于任意正实数……和……，我们考虑以下情况：算术平均数：……几何平均数：……对数平均数：……命题1. 设……和……。将……、……和……代入定理8中，并将其应用于坐标凸函数，得到以下不等式：……其中……证明。这是根据定理8应用于……得出的，其中……由于……对于每个固定的……，函数……在……上是凸的，并且对于每个固定的……，函数……在……上是凸的，因此……在……上对于所有……都是坐标凸的。拐点值为……对于……和……，左手边和右手边如所述。□命题2. 设……和……。将……和……代入定理5中，并将其应用于坐标凸函数，我们得到……该不等式对所有允许的值都成立且等号成立。证明。这是根据定理5应用于……得出的，其中……由于……函数……在每个变量上都是凸的，因此……在……上坐标凸。对于……和拐点值……，右手边变为……因此不等式等号成立，证明完成。□命题3. 设……和……。将……和……代入定理5中，并将其应用于坐标凸函数，得到以下不等式：……其中……是恒等平均数。证明。这是根据定理5应用于坐标凸函数……得出的，对于……为了验证坐标凸性，注意到……对于所有……，因此……在每个变量上都是凸的，因此在……上坐标凸。拐点值为……左手边分解为……其中……与……结合，右手边为……，证明完成。□ 4. 讨论和结论这个结果为 twice partially differentiable 映射建立了一个新的积分恒等式，并利用它推导了几个分数Bullen型不等式，这些不等式适用于通过Riemann–Liouville分数积分在坐标上凸的函数。这些结果将Fahad等人的[16]中的一维不等式扩展到了两变量的坐标凸设置。上界是通过三种互补的方法获得的：H?lder不等式、改进的H?lder不等式和幂平均不等式。每种方法得出的界具有不同的特点，它们共同提供了一个灵活的工具包，用于在分数坐标设置中估计Bullen型函数。理论结果通过应用于特殊平均数得到了验证，并通过带有图形说明的数值示例得到了支持，确认了所得界限的一致性和精确性。这些发现为关于两个变量的分数积分不等式的文献做出了贡献，并提供了一个统一的框架，可以作为进一步推广的基础。未来还有几个研究方向有待探索。可以探讨当前的框架是否可以扩展到更广泛的坐标凸性类别，例如h-convex、preinvex或-konvergent函数。其他分数积分算子，包括Hadamard、Katugampola或Atangana–Baleanu的算子，也可能产生有意义的推广。此外，研究推导出的不等式是否适用于数值积分误差估计或涉及坐标凸目标函数的优化问题，是一个有趣的未解决的问题。