基于星形图的分形图Zagreb型指数 贾新天，王文杰

《Axioms》：Zagreb-Type Indices of the Fractal Graphs Based on Star Graphs Xintian Jia and Wenjie Wang

　　摘要：扎格莱布型指数是一种基于节点度的拓扑指数。第一个扎格莱布指数（F指数）和Y指数分别表示所有节点度的平方、立方和四次的总和。这些指数对于理解各种物质的化学反应、物理特性和生物活性非常有用。在本研究中，我们探讨了Y指数与图拉普拉斯谱之间的联系。此外，我们引入了基于星形图的分形图，这是一种扩展的Vicsek图类，并推导出了两代图之间特征值演变的规则。最终，我们利用谱图论为基于星形图的分形图的第一个扎格莱布指数、F指数和Y指数提供了精确的封闭形式表达式。

1. 引言
在过去的几十年中，复杂图的研究吸引了来自各个学科研究人员的越来越多的关注[1,2,3]。这一领域具有重要意义，因为拓扑指数能够定量描述分子结构，并被广泛用于预测化学化合物的物理和化学性质。它们主要可以分为基于度的指数和基于距离的指数[4,5]。在本文中，我们重点关注扎格莱布型指数，这是一类由节点度构建的拓扑指数。

设G是一个具有n个节点的图，它由节点集和边集组成。符号用来表示集合的基数。因此，和分别表示图中的节点总数和边数。如果i和j是G中相邻的两个节点，连接它们的边表示为。图G中节点i的度，即其相邻节点的数量，表示为。

如[6]中所述，原始的扎格莱布指数包括第一个扎格莱布指数和第二个扎格莱布指数。它们的定义如下：1972年，Gutman和Trinajsti?在研究分子结构的完全-电子能量时引入了这些指数。这些指数反映了分子框架内的分支程度，并与分子的能量相关联。有关这些概念的详细描述可以在文献[6]中找到。随着时间的推移，这两个指数逐渐成为表征分子性质的重要工具，并在许多书籍和综述中被引用[7,8,9,10]。此外，某些论文还探讨了这两个指数的数学性质[11,12,13]。

在大量的先前研究中，扎格莱布指数及其衍生物被用于研究分子复杂性[14,15,16,17]、手性[18]、ZE-异构性[19]和异质系统[20]。此外，这些指数在定量结构-活性关系（QSAR）和定量结构-性质关系（QSPR）的相关研究中也被广泛使用[21]。2015年，Furtula和Gutman重新引入了一个之前被遗忘的指数（F指数）[22,23]，其定义为。F指数首次出现在[6]的论文中。然而，它在参考文献[6]和随后的许多出版物中都没有引起任何关注，因此这个指数被称为“被遗忘的指数”。2014年，发现F指数在化学中的一个令人惊讶的用途，表明这个被忽视的拓扑指数可以大大提高第一个扎格莱布指数的物理化学相关性[23]。2020年，Alameri等人提出了Y指数[24]，其定义为。目前，Y指数主要应用于纳米管的研究[25,26]。上述四个指数统称为扎格莱布型指数。

Vicsek分形是分形网络的一个代表性范例，在广泛的科学和工程领域中得到了广泛应用[27,28,29,30]。本研究中探讨的基于星形图的分形图构成了扩展的Vicsek分形类，它们被描述为规则的超分支大分子。因此，它们属于与树状聚合物同一类别，并且不会受到后者生长问题的影响[31]。目前，大量研究集中在它们的动态性质上，如机械性能和介电性能，以及包括沸点、汽化焓和熵在内的物理性质。

尽管谱分析被广泛用于研究图的动态特性和计算各种拓扑指数[31,32,33,34]，但其应用于扎格莱布型指数的情况仍然很少。扎格莱布型指数是典型的基于度的拓扑指数，它们严重依赖于局部结构信息，而图的拉普拉斯谱则表征了其全局连接性、振动、扩散和代数结构。这两种描述符分别代表了图的局部结构特征和全局代数性质。建立它们之间的精确关系可以填补局部量和全局量之间的理论空白，并进一步洞察拓扑指数的物理意义和数学本质。在这项工作中，我们旨在通过谱分析统一各种扎格莱布型指数，以表征动态和物理性质。

在本文中，我们探讨了这些扎格莱布型指数与拉普拉斯谱之间的联系，然后计算拉普拉斯谱，以获得基于星形图的分形图的扎格莱布型指数的显式公式。我们得到了以下主要结果：
定理1. 第一个扎格莱布指数的一般表达式是
定理2. F指数的一般表达式是
定理3. Y指数的一般表达式是

扩展的Vicsek图经常被用来模拟大分子或树状聚合物。通过定理1-3，研究人员可以预测物理化学性质——如沸点、熔点、生物活性和能量——而无需进行昂贵的实验。特别是在组合化学和制药领域，理解这些指数有助于筛选具有特定生物活性的分子结构。

本文的结构如下。第2节概述了后续分析中将使用的关键引理。第3节详细介绍了基于星形图的分形图的构建方法。第4节推导了连续几代图的拉普拉斯谱的递归公式。第5节逐步证明了定理1-3。最后，我们在第6节总结了这项工作的主要发现。

2. 前提
设表示图G的度矩阵，表示图G的邻接矩阵。邻接矩阵的元素定义如下：
图G的拉普拉斯矩阵表示为，可以使用公式表示。此外，表示的谱。

在本文中，对于任何幂为k、阶为q的方阵X，让表示其第行第列的元素。让表示与节点i距离为1的节点集，即i的邻居节点集，表示与节点i距离为2的节点集。

的谱、的谱以及图G的度矩阵之间存在以下关系：定理4（[35]）。设G是一个具有拉普拉斯矩阵L的n个节点的图。那么
其中t是G中三角形的数量。

类似地，我们推导了的谱与图G的度矩阵之间的关系。

定义1. 如果一个图G没有三角形，则称G为无三角形的图。

定理5. 设G是一个具有拉普拉斯矩阵L的n个节点的无三角形图。那么
其中s是G中四边形的数量。

证明。我们首先计算得到以下方程：
设t和s分别是图中的三角形和四边形的数量，和分别表示包含节点i的三角形和四边形的数量。根据矩阵运算规则，我们计算上述方程中每个项的对角元素，得到
此外，的对角元素是
所以我们得到
由于G是无三角形的图，对于所有的i，我们有
其中s是G中四边形的数量。

□

3. 基于星形图的分形图的结构
设表示基于星形图的分形图，其中和分别表示节点集和边集。相应地，和表示第t代图中的节点总数和边数。我们将初始图定义为一个包含个节点和m条边的星形图。按照Vicsek多边形的构建方法，我们在上定义了一个迭代函数系统（IFS）来生成基于星形图的分形图[36]。变换由给出。设是在上支持的自我相似概率测度。因此，对于任何序列，我们通过写来简化表示法。因此，表示的第n阶段副本，并满足测度条件。

传统的Vicsek图对应于特定的情况。以作为示例，我们在图1中展示了前三代图的示意图及其相关特征。图1. 分形图的前三个阶段，由特征。基于图的迭代构建，节点和边数的公式由以下方程给出：

和

定义2. 基于星形图的分形图的拉普拉斯矩阵是
其中和分别表示的度矩阵和邻接矩阵。

4. 基于星形图的分形图的拉普拉斯谱
设表示的谱，并让表示特征值的重数。接下来，我们利用谱降维技术推导出拉普拉斯矩阵谱的显式表达式。

定理6. 定义、和为方程的解，其中λ表示拉普拉斯矩阵的任意特征值。因此λ是使得、、和是的特征值的值。此外，由、和表示的重数与的特征值的重数相同。

证明。为了便于未来的计算，我们将的节点分为两组：和。这里，表示所有新添加到的节点，而包括从继承下来的所有节点。然后我们有

此外，、、和分别表示图中度为1、2和m的节点集。鉴于图中节点度只有三种可能的情况：1、2和m，我们将集合分为三个不相交的集合。显然，和中的所有节点都是新节点，而中的节点都是旧节点。因此，我们得到

根据节点的演化机制，我们将任何给定的节点分为以下三种不同的情况之一：情况A，其中；情况B，其中；以及情况C，其中。接下来，我们将在这些三种情况的框架内研究这个问题。

基于节点的演化机制，我们将任何给定的节点分为以下三种不同的情况之一：情况A，其中；情况B，其中；以及情况C，其中。此外，从图的角度来看，这三种情况分别对应于图中度为1、2和m的节点。

设是拉普拉斯矩阵的特征值，是相关的特征向量，其中表示与节点i相关的分量。根据定义，我们有以下结果：
（1）情况A：考虑图中恰好连接到一个属于的邻居节点的任意旧节点，如图2所示。图2. 情况A的演化机制示意图。红色节点表示节点i，而绿色节点是中的邻居节点。为了这次分析的目的，我们将关注旧节点被指定为的情况，同时承认类似的推理也适用于其他情况。设和。根据方程（1）和图2中的表示，必须建立以下关系：

（2）

（3）

（4）

（5）

从方程（2）和（3）中，我们可以得到

（6）

从方程（4）和（5）中，我们得到

（7）

根据方程（6）和（7），我们得到

情况B：考虑图中恰好连接到一个邻居节点的任意节点，并且在图中恰好连接到一个邻居节点，如图3所示。有关更多详细信息，请参阅附录A，其中包含该断言的部分证明。图3展示了情况B的进化机制。红色节点代表节点i，而绿色节点是红色节点的邻居。情况C：对于任何节点，都有两类不同的邻居节点。在第1部分中，节点i与中的一个节点相邻，并且在图中恰好有n个来自的邻居节点，如图4所示。在第二部分中，节点i的所有m个邻居节点都属于，如图5所示。有关情况C的详细证明，请参阅附录B。图4展示了情况C第1部分的进化机制。红色节点代表节点i，而绿色节点是红色节点的邻居。图5展示了情况C第2部分的进化机制。红色节点代表节点i，而绿色节点是红色节点的邻居。上述结果使我们得出结论，是与其对应特征向量相关的特征值。两代之间的特征值关系清楚地说明了与之间的双射关系，从而完全确定了。此外，可以得出。假设意味着存在一个与相关的额外特征向量，但在中缺乏相应的特征向量。这种情况意味着这个额外的特征向量在中将拥有一个相关的特征向量，这与我们的初始假设相矛盾。因此，我们可以断言确实是有效的。最后，定理6的证明已经完成。

□定理6表明，矩阵的大多数特征值都源自其谱结构的特定组成部分。具体来说，的特征值主要是通过转换关系从的谱中得出的：的每个非零特征值对应于的三个特征值。这种对应关系进一步反映在特征向量的线性独立性上，由函数、和生成的线性独立特征向量的数量与的线性独立特征向量的数量一一对应。此外，由于是一个实对称矩阵，它的所有特征值都对应于线性独立特征向量——这是实对称矩阵的谱定理所保证的属性，这进一步增强了特征值结构的清晰度和正交性。

定义3. 设表示一组有限的实数。集合定义为

定理7. 图的拉普拉斯谱为

其中。

证明。通过的构造，我们得到拉普拉斯矩阵：因此我们计算。所以我们有

现在我们将注意力转向定理6。它揭示了对于代数，除了特征值0之外，任何一代的特征值的一个子集都是由前一代的谱决定的，遵循每个特征值生成三个不同特征值的模式。因此，我们为定义。通过利用图结构和连续代之间的关系，我们得到

其中

由于该定理是正确的。

□ 5. 定理1–3的证明

现在，通过使用先前获得的特征值并结合定理4和5，我们将依次证明定理1–3。基于星形图的分形图是通过从树结构迭代生长形成的。由于分形的自相似性，它们在任何一代都保持树结构，因此没有三角形。根据定理4和5的含义，我们得到以下表达式：

其中是的特征值。

根据定理6和Girolamo Cardano [37] 的工作，可以得出

(8)

(9)

(10)

通过方程(8)–(10)，我们可以得到

(11)

同样，我们得到

(12)

(13)

首先，我们利用方程(11)结合定理7来推导以下结果：

当时。

B.指数

通过方程(12)和定理7，我们得到

当。并且在的情况下，我们有。

C.指数

根据图的配置，对于，可以很容易地推导出

(14)

随后，我们使用方程(13)和(14)，以及定理7，进行如下计算：

当。此外。

6. 结论

在这项研究中，我们推导出了将Y指数与拉普拉斯谱联系起来的数学表达式。随后，我们构建了一类基于Vicsek图的分形图，并计算了它们对应的拉普拉斯谱。然后我们使用拉普拉斯谱来制定第一Zagreb指数、F指数和Y指数的一般表达式。这三个指数都随着迭代次数t呈指数增长，这与图的自我相似构建完美匹配。随着指数阶数的增加，它们对高度中心化节点的敏感性变得更强，进一步反映了图的核心-边缘层次结构。常数项表明，初始结构的影响随着迭代的增加而迅速减弱，图结构在足够多次迭代后趋于均匀。

然而，关于与第二个Zagreb指数相关的拉普拉斯谱的表达式的研究尚未解决。此外，建立特定图的拉普拉斯谱或标准化拉普拉斯谱之间的关系仍然是一个未解决的研究问题。鉴于分形图的广泛应用，探索其他图型的Zagreb指数对于更好地理解它们的多样结构和动态特性至关重要。