《从狄利克雷特征值中恢复三维矩形盒体》 埃达尔·苏尔塔诺夫（Eldar Sultanow）、 安德烈亚斯·哈齐里欧（Andreas Hatziiliou）、 科尼利厄斯·梅（Cornelius May） 以及 纳内·克拉茨克（Nane Kratzke）

《Axioms》：Hearing the Edges: Recovering a 3D Rectangular Box from Dirichlet Eigenvalues Eldar Sultanow, Andreas Hatziiliou, Cornelius May and Nane Kratzke

　　摘要 我们研究了是否可以从拉普拉斯算子的狄利克雷谱中恢复三维域的几何参数。作为一个受控的基准示例，我们考虑了矩形盒子，其特征值是已知的，并且Weyl系数可以以封闭形式计算出来。利用热迹的短时间渐近性，我们从有限的谱数据中提取出主要的Weyl系数，并展示了它们如何编码体积、表面积和第三个谱Weyl项。这些系数通过一个明确的立方体重建公式唯一确定了盒子的边长。基于数千个特征值的数值实验证明，该方法在谱截断方面是稳定、准确且鲁棒的。因此，盒子设置为所提出的逆谱方法提供了一个严格的验证，并为将其扩展到光滑的曲面域（如三轴椭球）奠定了基础，在这些域中不再有明确的谱公式。

3. 方法步骤
重建过程包括三个主要步骤。首先，高精度生成拉普拉斯算子的有限狄利克雷特征值子集。其次，通过在适当的时间窗口内拟合热迹渐近性来提取主要的Weyl系数。最后，使用明确的代数关系从这些系数中恢复出域的几何参数。

3.1. 生成特征值
矩形盒子被选作基准示例，并非因为它的简单性，而是因为它提供了一个受控的环境，在这个环境中可以从有限的谱数据到几何重建的整个逆向流程可以被验证，而不会受到特征值计算中数值误差的干扰。
对于矩形盒子，拉普拉斯算子的狄利克雷特征值可以以封闭形式获得，因此可以任意精度地生成。利用问题的笛卡尔坐标下的精确可分性，通过对所有允许的整数三元组进行枚举并计算相应的特征值，从而得到谱。
通过系统地增加整数指标的截断界限，捕获所有低于预定阈值的特征值，并随后按升序排序。在下面报告的数值实验中，我们保留了前几千个特征值，这些特征值足以稳健地捕捉到Weyl和热迹渐近性的主要项。

3.2. 提取Weyl系数
从谱中提取几何信息基于计数函数的Weyl渐近性。对于三维域，主要行为由计数函数的三项Weyl定律控制，见[2]（第180页）、[3]（第37页）、[4]（第99页）：
这定义了在整个重建过程中使用的Weyl系数。虽然流形M的热迹在形式上被定义为无限和，但其实际的数值评估依赖于N个可用的狄利克雷特征值。因此，我们考虑截断的热迹。
在三维空间中，热迹允许众所周知的短时间渐近展开，这是通过对[5]（第192页）、[7]（第272页）和[8]（第53页）中给出的一般热迹展开进行特殊化得到的：
其中的系数编码了Weyl数据，并与域的几何不变量直接相关。
在数值设置中，通过在対数间隔的短时间网格上评估截断的热迹（4）并将其拟合到基函数、以及一个常数项上来获得系数和。
时间窗口相对于最大的可用特征值进行缩放，以抑制来自有限谱的截断效应。
从拟合的热系数中，使用全局热迹渐近性恢复Weyl系数。

3.3. 重建边长
系数取决于域的几何形状和施加的边界条件。对于由方程（1）定义的矩形盒子，第一个Weyl系数具有熟悉的几何解释，即域的体积。实际上，第一个Weyl系数满足，见Safarov和Vassiliev [3]（第xii页）。同样，主要的 heat 不变量满足，见Levitin等人 [5]（第190页），在我们的符号中表示为：
类似地，第二个Weyl系数由边界的表面积决定。对于狄利克雷边界条件，计数函数的Weyl渐近展开中的相应边界项与成正比，见[3]（第xii页）。通过经典的热核/Weyl对应关系，这产生了：
第三个Weyl系数需要特别的处理，因为矩形盒子的边界并不光滑。因此，不能用边界的积分平均曲率来经典解释。相反，通过将热迹精确分解为一维狄利克雷热核来光谱地确定该项的系数。这得到了热系数的一个明确表达式，见附录A：
总的来说，这三个Weyl系数唯一确定了矩形盒子的边长。通过结合Weyl系数的表达式（7）-（9），我们得到了三个未知边长的三个方程系统。由于这些表达式对应于的基本对称多项式，Vieta公式——例如，参见Manfrino等人 [9]（第65页）的教学概述——意味着边长是立方方程的三个根。
这种方法为直接从热核展开重建盒子的几何形状提供了一种稳健的方法。
为了清晰起见，表1总结了拟合的热迹系数与重建中使用的相应Weyl系数之间的关系。

3. 工作示例
为了说明重建过程，并在整篇文章中提供一致的参考，我们考虑了一个固定的矩形盒子作为工作示例。以下章节中使用的所有几何和谱量都来源于这个示例。相应的边长、几何不变量和Weyl系数在表2中总结。表2. 示例盒子的几何和谱特征。为了视觉定位，图1显示了相应的盒子几何形状；相应的渲染可以在GitHub上找到；见[10]。该图突出了边长的相对比例，并作为下面讨论的数值重建的几何参考。

3.1. 生成特征值
为了生成足够大且准确的矩形盒子的狄利克雷特征值样本，我们利用了拉普拉斯算子在笛卡尔坐标下的精确可分性。狄利克雷特征值由方程（2）明确给出。通过枚举所有整数三元组并对其进行升序排序，我们获得了低频狄利克雷谱的相当一部分。在下面报告的数值实验中，我们保留了前几千个特征值。用于生成谱的Mathematica笔记本可见于列表1。热量追踪拟合

如方程（4）和（5）所介绍的，Weyl系数是通过拟合的热量追踪系数恢复而来的。在数值上，这些系数是通过将计算出的热量追踪值与基函数、一个常数项进行线性最小二乘拟合得到的。这导致了一个小型过定线性系统，该系统使用伪逆来求解，如列表2中所实现的。

列表2：热量追踪评估和线性拟合。

3.2.3. 转换为Weyl系数

从热量追踪拟合中获得的系数与Weyl系数通过热量核渐近性与谱计数函数之间的标准对应关系相关联。在本文采用的归一化中，主要系数通过方程（7）确定体积项，而系数通过方程（8）确定表面积贡献。热量系数的数值提取是通过如上所述的截断热量追踪值的线性最小二乘拟合来进行的，并在列表2中实现；它们转换为Weyl系数的过程在列表3中完成。

第三个Weyl系数对于矩形盒子需要特殊处理，因为其边界不光滑，不能用积分平均曲率等经典几何解释来处理。相反，该系数的值是通过Dirichlet热量追踪的精确分解来光谱学确定的。这产生了真正的Weyl系数，然后通过方程（9）得到相应的系数。这一项的数值提取和转换也以类似的方式处理，并包含在列表2和3中。

列表3：从热量系数转换为Weyl系数。

3.2.4. 与精确值的验证

对于矩形盒子，所有Weyl系数都有封闭形式的表达式。这允许直接且明确地验证谱提取过程。特别是，第一个和第二个系数对应于域的体积和表面积，而第三个系数包含了多面体边界特有的非光滑边缘贡献。

表3将热量追踪拟合得到的Weyl系数及其相关几何不变量与它们的精确理论值进行了比较。对于所有考虑的量，相对偏差保持在标准范围内，显示出极好的一致性。这证实了所提出的基于热量的提取方法不仅恢复了主要的体积和表面积项，还以高数值精度恢复了与边缘效应相关的微妙第三Weyl系数。

3.3. 重建边长

一旦从谱中提取出了Weyl系数，重建边长的问题就简化为解决一个三次方程。如第2.3节所示，边长由多项式（10）的三个正实数根给出。

在实践中，这个方程的根是数值计算的。由于矩形盒子产生三个严格正的实数解，因此通过取根的实部并按升序排序来获得重建的边长。相应的Mathematica实现显示在列表4中。

列表4：基于Weyl系数的重建过程。

表4总结了从光谱提取的Weyl系数重建得到的边长，并将其与精确的几何值进行了比较。所有三个边长的相对误差都保持在标准范围内，证实了重建过程的准确性和数值稳定性。

4. 更少的特征值是否足够？

一个自然的实际问题是，需要多少Dirichlet特征值才能可靠地提取Weyl系数，特别是第三个系数，因为它对截断效应和数值噪声最为敏感。

为了回答这个问题，我们对方程的谱子集进行逐步缩小的提取过程。从完整的20,000个特征值开始，我们将谱子集截断到10,000个、5,000个和2,000个特征值，并研究重建系数的相对误差作为热量追踪拟合窗口下限的函数。在所有情况下，上限都选择得足够大，以抑制热量展开的高阶项。对于每个截断水平N，随着的变化，相对误差表现出显著的稳定性最小值。

一个稳健的经验性规律是，最佳的下限与最大可用特征值的倒数成比例（公式（11），其中无量纲常数取决于截断水平，以及我们在后面将展示的箱子长宽比，以及用于热量追踪拟合的最小二乘设计矩阵的条件。在我们的工作示例中，具有特征值的缩减谱中，我们观察到了这种缩放规律。这种缩放规律在图2中清晰可见，图2显示了作为不同截断水平下的无量纲参数函数的相关误差。特别是，我们发现即使只有特征值，也足以以低于1%的相对误差恢复第三个Weyl系数，前提是拟合窗口是根据公式（11）选择的。这表明所提出的方法不需要极大的谱数据集，即使是从中等大小的谱中也能稳健地提取第三个Weyl系数，只要时间窗口选择得当。

4.1. 不同长宽比下的稳定性景观

到目前为止，我们已经为工作示例确定了一个经验性缩放规则。现在我们通过在一系列矩形盒子中重复稳定性最小值的搜索来探讨这个常数的普遍性。

矩形的Dirichlet谱在均匀缩放下是不变的，这意味着我们只需固定一个常数，并通过长宽比来参数化形状。我们在对数网格上对范围内进行采样。对于每个形状，我们从（2）生成前个精确特征值。

让我们来定义稳定性最小值。对于固定的谱截断N，我们在对数时间网格上评估截断的热量追踪，并通过线性最小二乘进行四项热量追踪拟合。从拟合系数中，我们得到谱估计值，然后可以将其与精确表达式（9）进行比较。对于Dirichlet盒子，第三个Weyl系数被称为；见方程（9）。因此，我们扫描并定义稳定性最小值为。

从数值角度来看，定义稳定性最小值的热量追踪拟合可以被视为一个线性回归问题。对于每个选择，采样的热量追踪值被组装成一个数据向量，而相应的设计（特征）矩阵由给出，其中表示对数间隔的时间网格。然后通过最小二乘意义上解决过度确定的线性系统来获得热量系数。因此，稳定性最小值确定了这个回归问题在提取系数方面条件最优的范围，从而也确定了Weyl系数的提取范围。

图3将映射可视化为在长宽比变量中的3D表面，两个水平轴都应用了对数缩放，使用笔记本[12]生成。与单一的通用常数不同，这个常数强烈依赖于长宽比。中等各向异性的盒子聚集在到80的范围内，包括具有长宽比的工作示例。在接近各向同性立方体的情况下，形成一个浅盆状结构，最佳值显著下降到。对于高度各向异性的盒子（一边远小于另一边），又再次降低，并可能接近我们扫描范围的低端。通过对称性，景观在交换x和y时是不变的，整体展现出类似“火山”的明显脊状和坑状结构。

图3显示了基于特征值的四个项热量追踪拟合中重建的Weyl系数的相对误差作为无量纲参数的函数。如图2所示，所有曲线都显示出显著的稳定性最小值，反映了在非常小的时间尺度上截断误差与较大时间尺度上的次要热量项的影响之间的平衡。然而，最小值的位置在不同截断水平上并不通用：对于当前数据集，最佳的无量纲截断值明显依赖于N。特别是，在图2中，随着包含的特征值增加，最小值向更小的f值移动。根据图2的指导，我们选择特征值的减少实验，因为这个值接近在该截断范围内的观察到的稳定性最小值。我们保持，并使用具有251个采样点的对数网格。然后我们仅使用前个Dirichlet特征值重复完整的提取和重建过程。

尽管光谱输入数据大幅减少，重建的Weyl系数与其精确值仍然非常吻合。特别是，对截断效应最敏感的第三个Weyl系数的相对误差远低于1%。从Weyl系数得出的几何量也显示出相当的准确性；见表5。

表5：使用缩减的光谱输入（特征值）重建的矩形盒子的Weyl系数和派生的几何量。这些结果表明，即使只有几千个特征值可用，所提出的基于热量追踪的Weyl系数提取方法仍然稳健。特别是，一旦尊重了热量-时间窗口的稳定性最小值，就不需要微调参数。这使得该方法非常适合于数值计算非常高特征值的昂贵应用，例如弯曲或不可分离的几何形状。

4.1. 不同长宽比下的稳定性景观

到目前为止，我们为工作示例建立了一个经验性缩放规则。现在我们通过在一系列矩形盒子中重复稳定性最小值的搜索来探究这个常数的普遍性。

盒子的Dirichlet谱在均匀缩放下是不变的。因此，我们只需固定一个常数，并通过长宽比来参数化形状。我们在对数网格上对范围内进行采样。对于每个形状，我们从（2）生成前个精确特征值。

让我们来定义稳定性最小值。对于固定的谱截断N，我们在对数时间网格上评估截断的热量追踪，并通过线性最小二乘进行四项热量追踪拟合。从拟合系数中，我们得到谱估计值，然后可以将其与精确表达式（9）进行比较。对于Dirichlet盒子，第三个Weyl系数被称为；见方程（9）。因此，我们扫描并定义稳定性最小值为。

从数值角度来看，定义稳定性最小值的热量追踪拟合可以被视为一个线性回归问题。对于每个选择，采样的热量追踪值被组装成一个数据向量，而相应的设计（特征）矩阵由给出，其中表示对数间隔的时间网格。然后通过最小二乘意义上解决过度确定的线性系统来获得热量系数。因此，稳定性最小值确定了这个回归问题在提取系数方面条件最优的范围，从而也确定了Weyl系数的提取范围。

图3将映射可视化为在长宽比变量中的3D表面，两个水平轴都应用了对数缩放，使用笔记本[12]生成。与单一的通用常数不同，这个常数强烈依赖于长宽比。中等各向异性的盒子在到80的范围内聚集，包括具有长宽比的工作示例。在接近各向同性立方体的情况下，形成了一个浅盆状结构，最佳值显著下降。对于高度各向异性的盒子（一边远小于另一边），再次下降并可能接近我们扫描范围的下端。通过对称性，景观在交换x和y时是不变的，整体呈现出类似“火山”的明显脊状和坑状结构。

图3是带有特征值的Dirichlet盒子的稳定性景观。这里，表示最小化基于特征值的四个项热量追踪拟合中重建的第三个Weyl系数的相对误差的无量纲热量-时间截断。

稳定性最小值的搜索仍然稳健且成本低廉（一旦谱数据可用，它只需要在f上的一次性扫描），并且它为截断光谱数据提供了自动的、适应几何形状的选项。

4.2. 基于Laplace型渐近性的最佳截断的稳定性最小值

我们现在从稳定性最小值的经验观察转向基于Laplace型分析的启发式渐近解释。特别是，稳定性最小值的开始（在图2中表现为“皱褶”）标志着指数级抑制的截断误差和代数增长的模型误差变得可比的阶段。

以下分析旨在作为对观察到的稳定性最小值的启发式渐近解释。它依赖于用Weyl渐近密度替换离散的谱度量，这引入了不可控制的近似误差。因此，这种推导并不构成严格的证明，而提供了一种对数值观察的一致性渐近解释。因此，得到的关系应被视为启发式原则，由经典渐近理论和数值实验中观察到的稳定性行为支持。

为了形式化这种直觉，我们回顾了Laplace型渐近性中的一个经典结果。Bender和Orszag分析了形式为的积分（见[13]（第261页）。在第267页，他们推导出了当在具有非退化内部最大值时的主要渐近贡献，因此和。对于这种情况，得到（12）。

定义x无关的前因子K，我们得到结构形式，即一个乘以代数前因子K的指数因子。在我们的截断问题中，相关的贡献是指数级被抑制的。因此，我们将（12）中的指数重写为衰减形式，设定为，从而得到。

对于平衡论证，只有指数-代数结构是重要的；x无关的常数K和的确切值并不关键。因此，我们将表达式简化为结构模板，其中代数指数由特定设置确定（对于Laplace方法在非退化情况下）。注意，尽管热量追踪本身是在短时间内分析的，但在截断尾部相关的渐近参数是无量纲量。在稳定性最小值范围内，我们有，所以f正好扮演了Laplace方法中大参数x的角色。

为了将这个结构模板与我们的谱问题联系起来，我们从精确的身份开始，其中表示特征值计数函数。在后续的推理过程中，唯一的近似步骤是将离散的谱测量替换为其在三维空间中的Weyl渐近密度，其中用 表示通过微分计数函数的主要项得到的密度常数。虽然这种替换在谱渐近分析中是标准的，但我们在这里不提供明确的误差界限。因此，所有后续的关系都应该以启发式的渐近意义来解释。这种替换产生了一个连续的拉普拉斯型积分，其尾部可以使用标准的渐近方法进行分析。因此，拉普拉斯类比正好在Weyl近似层面上起作用，并不影响离散拟合过程本身。预计这种近似在高频区域是准确的，但我们没有量化相关的余项。使用三维空间中的Weyl定律（附录C），截断的谱尾部可以表示为... 我们提供了一个用不完全伽玛函数表示截断谱尾部的明确表达式，这使得可以直接进行重构误差的渐近分析。因此，尾部继承了相同的“指数时间幂”结构，对于较大的f，... 这正是（其中 和 ）。这里的一个核心信息是最优截断原则：当截断接近指数级小的余项（在其效应上）与代数贡献相当的时候，渐近近似是最准确的；超过这一点，余项又会增长。在我们的问题中，有限特征值近似引入了一个截断的谱尾部，其渐近行为已在上面推导出来。对于较大的f，主导贡献具有拉普拉斯型“指数时间幂”结构。由于我们的回归模型仅使用有限数量的热项，第一个被忽略的贡献按代数方式缩放... 根据最优截断原则，当指数级抑制的尾部贡献和代数模型贡献对回归的影响相当时，稳定性最小值就会发生。平衡这些主导贡献会产生... 因此取对数，得到隐含关系（13） 在我们的实验中，... 对于...，得出组合对数贡献大约为...（13）中的常数对应于关系中的一个有效前因子，使得常数项等于... 对于我们的数值（，），这产生... 前因子a收集了几何常数以及最小二乘回归的敏感性。稳定性最小值反映了拉普拉斯型渐近中的最优截断，其中指数级抑制的谱尾部效应与代数增长的模型误差相互平衡。我们强调以下陈述并不旨在作为完全严格的定理。这些推导依赖于用Weyl渐近密度替换离散的谱测量，这引入了一个不受控制的近似误差。因此，以下结果应被解释为启发式的渐近原则，由数值证据支持，而不是严格的数学命题。

启发式陈述1（稳定性最小值）。在Weyl渐近和截断的热迹拟合下，最优的下限满足隐含关系（13），即...。这反映了指数级抑制的截断误差和代数模型误差之间的平衡，符合拉普拉斯型渐近中的最优截断原则。这个关系反映了指数抑制和代数贡献之间的竞争：指数项在f中引入了线性依赖性，而代数项仅对数级贡献。尽管渐近关系（13）解释了稳定性最小值的存在，但它并没有唯一确定其位置。我们现在在以下启发式陈述（2）中明确这种依赖性。

启发式陈述2（稳定性最小值的依赖性）。稳定性最小值并不是普遍的。相反，它取决于三个相互作用的组成部分：1. 通过N（等价于通过）的谱截断水平；2. 通过盒子的纵横比来表示域的几何形状；3. 用于热迹拟合的最小二乘设计矩阵的条件。特别是，稳定性最小值可以表示为以下形式的派生量...

根据启发式陈述2，回归矩阵X的条件在确定稳定性最小值中起着关键作用。强各向异性的区域在估计的稳定性最小值上表现出明显的振荡，我们将其归因于回归矩阵的条件不良。这些振荡在图3中清晰可见，表明在这些情况下基于回归的系数提取失败了。相比之下，景观的中心区域形成了一个稳定性盆地，在这里最小值是明确定义且稳定的。这种盆地-山脊结构激发了对稳定性景观进行更系统描述的需求，我们用启发式陈述（3）来形式化它，其中 是稳定性盆地的中心， 是一个变形参数。定义变形的二次量（14），那么（17）是水平集条件。

启发式陈述3（稳定性景观的实证模型）。在对数坐标中，稳定性景观可以近似为在（14）中定义的变形二次量的有理函数，即（15），其中参数决定了卵形水平集的几何形状， 代表基线稳定性，C缩放了稳定性峰值的最大幅度。为了证明拟合的稳定性景观的水平集严格遵循由定义的几何形状，我们考虑了一个恒定稳定性的等高线。通过重新排列这个表达式，很明显稳定性值仅取决于二次量的值。因此，表面的任何水平集都对应于一个条件，其中参数引入了u依赖的x轴缩放，这打破了椭圆对称性并产生了在数值数据中观察到的特征性卵形轮廓。虽然有理轮廓决定了垂直衰减和峰值尖锐度，但水平几何形状完全由决定了。将有理模型应用于稳定性数据可以证明其一致性，得到了决定系数。低误差指标，均方根误差为...，平均绝对误差为...，证实了模型准确地捕捉了景观的全局拓扑。参数引入了u依赖的x轴缩放，打破了椭圆对称性，并产生了在数值数据中观察到的特征性卵形轮廓。优化后的参数在表6中总结。

表6. 有理稳定性景观的拟合参数。

4.3. 基线轮廓的解析结构 为了更好地理解单参数经验法则（1）在何时是可靠的，我们考虑了图3中显示的稳定性景观中的等高线。这里和表示盒子的纵横比，其中。根据经验，形成了一个封闭的曲线，围绕近立方体区域。它分隔了恒定基线表现良好的几何形状和需要适应性选择纵横比的区域。在对数纵横比坐标（16）中，等高线呈现出结构化但略微不对称的形状。虽然简单的椭圆提供了一个粗略的近似，但稳定性轮廓更准确地由隐含关系（17）捕捉到，定义了常数截止值接近最优的恢复区域。如附录B所示，稳定性边界由水平集条件定义。通过替换（14）中定义的变形二次量，我们得到一个四次有理代数平面曲线，它与圆锥曲线双有理等价：（17），其中拟合参数为... 在极限情况下，方程（17）简化为普通椭圆。分母中的附加因子引入了对对角线u的控制性变形，产生了在数值数据中观察到的略微卵形的轮廓。该模型在交换下保持对称性，对应于，同时允许沿u方向的非各向同性偏斜。数值上，近似获得了大约的均方根偏差，相对于提取的平台，表明轮廓不仅仅是椭圆的，而是表现出可复制和结构化的变形。

图4显示了在坐标中提取的平台以及由笔记本[14]计算的拟合的卵形轮廓（17）。

5. 前景与进一步研究

本文提出的重建方法在有精确谱数据和显式Weyl系数的矩形盒子上进行了刻意验证。这提供了一个受控的环境，可以在此环境中评估方法的准确性和稳定性，而不需要额外的数值不确定性。重要的是，该方法本身不依赖于谱的可分离性，而只依赖于足够精确的特征值的可用性。特别是，基于热迹的Weyl系数提取和稳定性最小值现象预计适用于一般域，因为它们受热核的普遍短时间渐近性的支配。因此，自然的下一步是将其扩展到平滑的曲率几何形状，如椭球体或更一般的凸体，对于这些形状没有封闭形式的特征值表达式。在这些情况下，第三个Weyl系数恢复了其经典的几何解释，即边界积分平均曲率，提供了直接访问与曲率相关的形状信息。将当前框架扩展到这些几何形状需要在对曲率域进行高精度数值特征值计算。虽然这引入了额外的计算复杂性，但它不涉及重建流程的概念变化。

另一个自然的后续研究方向是预先确定截断热迹数据的最优拟合窗口。在当前工作中，下限是通过在重建的系数中识别稳定性最小值来经验性地选择的，该最小值一致地出现在矩形盒子的无量纲值。这种行为表明，的最优选择受限于由于特征值数量有限而产生的截断效应与在更长时间下的短时间热迹渐近性之间的无量纲平衡。系统地建模这种权衡可能导致选择拟合间隔的预测性和全自动标准，从而避免视觉检查或预先校准。这种方法有望提高鲁棒性，并可能自然地推广到其他几何形状、更高维度以及不同的谱截断规则。

另一个自然的扩展方向是关于截断热迹数据的最优拟合窗口的先验确定。在当前工作中，下限是通过在重建的系数中识别稳定性最小值来经验性地选择的，该最小值一致地出现在矩形盒子的无量纲值。这种行为表明，的最优选择受到由于特征值数量有限而产生的截断效应与在更长时间下的短时间热迹渐近性偏差之间的无量纲平衡的支配。系统地建模这种权衡可能导致选择拟合间隔的预测性和全自动标准，从而避免视觉检查或预先校准。这种方法有望提高鲁棒性，并可能自然地推广到其他几何形状、更高维度以及不同的谱截断规则。

另一个重要的方向是关于对噪声谱数据的鲁棒性。在实际场景中，特征值受到测量误差或数值近似的影响。虽然当前结果基于精确的谱输入，但稳定性分析表明，重建过程依赖于截断效应与模型敏感性之间的平衡。系统研究特征值扰动如何通过热迹拟合传播并影响恢复的Weyl系数仍然是未来工作的一个重要课题。这表明稳定性最小值也可能在减轻噪声放大作用中发挥作用，这一假设值得进一步研究。这样的研究可能受益于正则化策略或鲁棒回归技术，特别是在接近稳定性最小值的区域。