在自我控制成本的影响下，随时间推移实现最优储蓄：对双重自我储蓄理论的一种连续时间扩展

《Journal of Behavioral and Experimental Finance》：Optimal saving over time with self-control costs: A continuous time extension of the dual-self theory of savings

本研究将Fudenberg和Levine（2006）的双自我储蓄理论扩展为连续时间、有限期模型，解决了原模型无法反映实际储蓄行为的问题。通过引入明确的终端日期，模型揭示了储蓄率随生命周期变化的动态特征，特别是临近终端时储蓄的显著下降。研究证实耐心（折现率r）主要影响储蓄路径的形状和终端下降的时机与陡峭程度，而冲动/自我控制成本（γ）则导致整体储蓄水平垂直偏移。该模型为理解生命周期储蓄决策提供了新的理论框架，并为实证研究参数识别提供了明确方向。

　　

金圭珍|朱武珍

韩国首尔，首尔国立大学，08826

摘要

本文对Fudenberg和Levine（2006年）提出的储蓄双重自我理论进行了连续时间扩展。原始模型是在离散时间和无限时间内发展的，虽然提供了有价值的理论见解，但缺乏对现实储蓄行为的适用性，因为现实中的储蓄行为通常假设有限的期限。通过将模型扩展到连续时间，本研究解决了这些限制，允许考虑有限的时间框架，并更好地与传统的生命周期储蓄模型相一致。连续时间方法纳入了诸如不耐烦和自我控制成本等关键行为因素，从而产生了透明的分解：不耐烦（$r$）决定了储蓄路径的跨时形状——特别是最终下降的时机和陡峭程度——而冲动/自我控制成本（$\gamma$）主要作为生命周期内储蓄水平的垂直位移。此外，该模型为实证研究提供了指导。这些结果通过阐明不耐烦和自我控制如何影响生命周期中的储蓄决策，对个人金融和长期财务规划具有重要意义。

引言

理解人类决策的复杂性一直是行为经济学中的一个关键课题。该领域的一个关键模型是双重自我模型，它认为一个人内部存在两个自我：一个自我为了短期收益而做出冲动决策，而另一个自我则选择长期、耐心的决策。Thaler和Shefrin（1981年）的一篇开创性论文对这两个自我进行了概念上的形式化。然而，Thaler和Shefrin（1981年）没有提供任何分析结果。Laibson（1997年）在双曲贴现框架中，以及Fudenberg和Levine（2006年）在博弈论框架中，对不耐烦的自我进行了正式分析。

然而，Fudenberg和Levine在之前的研究中提出的原始模型存在局限性，最显著的是它关注的是无限期限、离散时间环境中的固定储蓄规则，因此得出的最优储蓄率是恒定的，这与观察到的生命周期储蓄模式不符。

连续时间、有限期限的表述不仅改变了数学语言，还提供了Fudenberg和Levine（2006年）的固定无限期限基准难以获得的见解。特别是，引入了有限的终止日期使得期限结束时的激励变得明确，并产生了储蓄的内生性下降：在大部分期限内储蓄可以保持相对稳定，但随着剩余期限的减少而急剧下降。连续时间还允许通过封闭形式的比较静态分析透明地描述最优储蓄曲线的形状，并且便于与通常以连续时间和有限规划期限为特征的标准生命周期模型建立直接联系。

虽然双重自我模型经常与现时偏见和双曲贴现一起讨论（例如，Laibson，1997年），但重要的是要澄清我们框架中跨时冲突的来源。我们的连续时间表述使用指数贴现，这意味着在没有自我控制摩擦的情况下偏好是一致的。因此，任何偏离标准时间一致基准的情况都源于耐心“规划者”和冲动“行动者”之间的相互作用，而不是由于非指数贴现。

本文提出了一个新模型，反映了更现实的人类储蓄过程，以弥合这一差距。通过将离散模型转换为连续模型，本研究克服了先前离散模型的局限性，为决策模型提供了一个结束日期。有人可能会认为确切的终止日期是不确定的；然而，个人很少像假设期限是无限的一样进行规划。此外，标准生命周期模型也假设有限的期限（例如，Ando和Modigliani，1963年；Bertaut和Haliassos，1997年；Carroll，1997年），实际上期限可以解释为预期的剩余寿命。我们的方法与标准生命周期模型的关键区别在于包含了行为成分——冲动自我及其相关的自我控制成本。

具有连续时间和结束日期的模型不仅更符合实际情况，还为个人如何在生命周期的不同阶段优化储蓄提供了新的见解。

这项研究对行为家庭金融文献做出了三项贡献。首先，我们将Fudenberg和Levine（2006年）的量化双重自我储蓄框架扩展到连续时间、有限期限的环境中，从而明确地将终结行为纳入分析。其次，这种扩展将原始的恒定最优储蓄率转变为具有可行封闭形式解的时变最优储蓄函数，从而得出了一个随着终止日期临近而显著下降的生命周期储蓄曲线。第三，该模型清晰地区分了不耐烦（贴现率）和冲动/自我控制成本（双重自我参数）的作用，提供了不同的比较静态预测，这些预测可以指导参数的解释和实证研究。特别是，该模型表明较低的不耐烦会在生命周期的大部分时间内增加储蓄，但在接近终止日期时会导致更急剧的下降，而较高的冲动性主要会在所有年龄段使储蓄曲线向下移动。

章节摘录

动态消费和储蓄

自过去以来，与动态消费和储蓄相关的研究非常活跃。Ando和Modigliani（1963年）首次提出了生命周期假说，认为个人通过在工作期间多储蓄、退休期间多消费来维持相对恒定的消费水平。该假说还说明了其在退休规划、养老金政策等方面的实际应用性和政策意义。

连续模型

首先，需要连续修改原始模型。通过将sigma部分转换为积分，可以获得离散模型的连续近似。然而，需要注意的是，储蓄率并不是恒定的。应用变分法可以得出储蓄率的函数，$a\left(t\right)$，这个函数随时间变化，更符合现实情况。$loga+loga+?+loga$(t-1次)用于原始模型，因为只有静态情况下

结果

通过一系列过程，确定了最优储蓄函数$a^{?}$。函数中的变量，除了时间之外，还包括$r$和$\gamma$。这些分别代表指数贴现的程度和冲动自我的影响。另一个变量$T$，代表生命周期的长度，在整个函数中计算为$T?t$。因此，$T$的变化不会影响图形的形状，只会改变图形的整体范围。通过改变这两个变量

改进的双重自我理论

在这项研究中，改进了Drew Fudenberg和David K. Levine在2006年的论文《冲动控制的双重自我模型》中提出的双重自我理论。原始理论基于离散模型，通过这种修改已转换为连续模型。这样的变化使模型更符合人们持续体验效用的现实。

此外，这项研究还利用概念替换简化了方程。

结论

本文发展了Fudenberg和Levine（2006年）提出的量化双重自我储蓄模型的连续时间、有限期限扩展。连续时间表述的主要好处是它提供了一个可行的封闭形式时变最优储蓄函数，允许终结激励影响生命周期储蓄动态。该模型预测，不耐烦（贴现率）主要决定了跨时形状，特别是晚年下降的时机和陡峭程度。

CRediT作者贡献声明

金圭珍：撰写——原始草稿、可视化、方法论、调查、形式分析、概念化。朱武珍：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理。

未引用的参考文献

Modigliani（1986）