（2+1）维变系数Boussinesq方程的新型孤子型解 李静、曹志毅

《Symmetry》：New Soliton-Type Solutions of the (2 + 1)-Dimensional Variable-Coefficient Boussinesq Equation Jing Li and Zhiyi Cao

　　摘要 （2+1）维Boussinesq方程在数学物理中扮演着重要角色。在本文中，我们研究了一些（2+1）维变系数Boussinesq方程的精确解。首先进行了Painlevé分析，并通过截断的Painlevé展开结合符号计算构建了一个自动B?cklund变换。然后，推导出一类新的孤子型解。通过选择适当的参数值，展示了详细的模拟以说明水波传播的动态行为。最后，研究了方程的Lie点对称性，并通过求解相应的特征方程得到了几个相似性简化形式。

1. 引言
非线性水波（NLWW）方程由于其内在的非线性结构，能够有效地描述诸如色散和耗散等基本波机制。因此，它们表现出丰富而复杂的动态行为，在流体力学、等离子体物理学、非线性光学和固体物理学等领域中发挥着重要作用。在各种类型的解中，孤子解、有理解和多值解对于理解非线性波的传播和相互作用尤为重要。因此，构建非线性水波方程的精确解具有重要意义。已经广泛研究了诸如Korteweg–de Vries（KdV）方程、非线性Schr?dinger（NLS）方程、Boussinesq方程和Kadomtsev–Petviashvili（KP）方程及其各种扩展形式。相应地，也发展了许多成熟的分析方法，包括Lie对称性分析、逆散射变换、Painlevé分析、Hirota双线性方法以及B?cklund和Darboux变换。
Boussinesq方程是描述弱非线性色散长波传播的典型模型。它源于浅水波理论，可以看作是经典线性波动方程的非线性扩展。通过平衡非线性效应与高阶色散，它捕捉到了长波传播的复杂动态行为。此外，这个方程通常具有良好的可积结构，具有丰富的守恒律和对称性。一个典型的（2+1）维Boussinesq方程可以写成如下形式：
\[ \text{方程（1）} \]
其中，\( a, b, c, d \) 是常数，\( u \) 表示波场。根据色散系数的值，当 \( b \neq 0 \) 时，该方程被称为“坏”Boussinesq方程；而当 \( b = 0 \) 时，则被称为“好”Boussinesq方程。“好”Boussinesq方程具有更好的性质，在非线性弹性学和电磁波传播等领域有重要应用[1,2,3,4]。许多研究致力于方程（1）及其扩展模型，并获得了各种非线性波结构，包括周期解、孤子解、多项式解和尖波型解[5,6,7,8]。
（2+1）维Boussinesq方程可以写成如下形式：
\[ \text{方程（2）} \]
其中，\( a, b, c, d \) 和 \( e \) 是常数参数。由于引入了额外的空间自由度，这个模型表现出更复杂的传播行为和结构特征，在模拟浅水中小振幅长波方面具有重要意义。近年来，在这类模型的研究中取得了显著进展，特别是在可积性分析、精确解的构造和非线性波结构的表征方面[9,10,11,12,13,14,15,16,17]。
然而，大多数现有研究都是基于常系数模型，这些模型不足以描述实际情况下参数在空间和时间上的变化所引起的效应。相比之下，变系数模型能够更真实地反映不均匀性对波传播的影响，例如传播速度的变化和结构演化，因此具有更强的物理相关性。近年来，变系数非线性演化方程引起了越来越多的关注，并已在非均匀介质中的波传播、等离子体物理学和非线性光学等领域得到广泛应用[18,19,20,21,22,23]。
对于变系数Boussinesq方程，系数的时空依赖性改变了局部的色散关系以及非线性和色散之间的平衡，从而影响了波的传播和结构演化。例如，它可以改变相速度和群速度，进而影响波包动力学和孤子结构。同时，空间不均匀性可能会打破标准对称性，导致广义守恒律，并对系统的可积性提出限制。尽管有一些研究探讨了变系数Boussinesq型方程[16,24,25,26,27]，但仍有很多形式尚未被探索。受此启发，我们考虑了以下（2+1）维变系数Boussinesq方程：
\[ \text{方程（3）} \]
其中，\( a, b, c, d \) 是常数，\( h \) 描述了沿传播方向的剪切流的空间变化，用于表征不均匀流对波传播的调制效应。当 \( h = 0 \) 时，方程简化为经典的常系数Boussinesq方程。相反，非平凡的 \( h \) 打破了平移不变性，导致了根本不同的数学结构。特别是，这样的变系数通常不能通过点变换或缩放变换去除，表明了模型的内在非平凡性。
在本文中，我们专注于构建变系数Boussinesq方程的精确解。第2节对方程（3）进行了Painlevé分析，并通过截断的Painlevé展开结合符号计算构建了一个自动B?cklund变换，得到了一类显式的孤子解。通过选择适当的参数值，展示了几个代表性的例子来说明它们的动态行为。第3节主要讨论了方程（3）的Lie对称性、对称向量场的Lie代数结构以及相应的相似性简化形式。第4节以总结和讨论结束本文，并简要分析了变系数对解的结构的影响。

2. 方程（3）的新孤子型解
Painlevé测试为评估非线性方程的可积性提供了一个有效的标准。一般来说，如果非线性偏微分方程（NLPDE）的解在所有可移动奇点流形的邻域内保持单值，那么该方程就具有Painlevé性质。为了检验方程（3）是否满足这一性质，采用了Weiss–Tabor–Carnevale（WTC）方法[28]。根据这一理论，奇点流形由以下表达式定义：
\[ \text{方程（4）} \]
并假设 \( u \) 关于 \( x \) 具有Laurent展开：
\[ \text{方程（5）} \]
其中，\( n \) 是负整数。将 \( x \) 代入方程（3）并平衡主导项得到：
\[ \text{方程（6）} \]
将上述展开代入方程（3）并使相同幂次的系数相等得到：
\[ \text{方程（7）} \]
为了简便，我们用 \( m, n, p \) 表示这些系数。因此，共振点出现在 \( m = -1, 4, 5, 6 \) 处。特别地，\( m \) 反映了 \( f(x) \) 的任意性。从方程（7）可以得到以下方程：
\[ \text{方程（8）} \]
\[ \text{方程（9）} \]
\[ \text{方程（10）} \]
\[ \text{方程（11）} \]
\[ \text{方程（12）} \]
结合Kruskal的假设[29]，通过递归方法从方程（8）–（11）确定系数。将 \( h \) 代入方程（12）得到兼容性条件：
\[ \text{方程（13）} \]
这个条件表明 \( h(x) \) 不能任意选择。因此，（2+1）维Boussinesq方程（3）仅具有弱Painlevé性质。
尽管该方程没有通过Painlevé测试，但仍然可以通过相应的B?cklund变换构造出物理上有意义的解[30]：
\[ \text{方程（14）} \]
上述表达式是方程（6）在常数项处的截断Painlevé展开。将方程（14）代入方程（3）并遵循类似于方程（8）–（12）的计算步骤，得到以下约束条件：
\[ \text{方程（15）} \]
\[ \text{方程（16）} \]
通过将方程（16）中 \( h(x) \) 的系数设为零，消除了对 \( h(x) \) 的显式依赖，得到：
\[ \text{方程（17）} \]
将上述方程代入方程（16）可以简化为：
\[ \text{方程（18）} \]
应当注意的是，即使 \( h(x) \) 满足方程（17），\( x^2 h(x) \) 仍然存在于方程（13）中。
为了构造显式的孤子型解，我们引入了指数变换：
\[ \text{方程（19）} \]
这将约束方程简化为相位函数的封闭非线性系统。将方程（19）代入第一个约束条件（15）得到以下非线性方程：
\[ \text{方程（20）} \]
类似地，将方程（19）代入方程（18）得到：
\[ \text{方程（21）} \]
为了得到具有清晰物理意义的显式解，我们假设：
\[ \text{方程（22）} \]
其中，\( f(x), g(x) \) 是任意函数。将方程（22）代入方程（21）得到对应于 \( a, b, c \) 的系数：
\[ \text{方程（23）} \]
\[ \text{方程（24）} \]
\[ \text{方程（25）} \]
利用符号计算，我们得到：
\[ \text{方程（26）} \]
\[ \text{方程（27）} \]
其中，\( A, B, C \) 是任意常数，\( F, G \) 分别表示 \( t, x \) 的任意函数。特征变量 \( x^2 \) 的存在反映了系统的（2+1）维内在结构，在相应的（2+1）维Boussinesq方程中是不存在的。将方程（26）和（27）代入方程（25），得到：
\[ \text{方程（28）} \]
这里，\( P \) 仅依赖于双曲函数，且与 \( F, G \) 无关。通过设置 \( a = b \)，表达式恒等于零，自动满足一致性条件。因此，方程（21）的解具有形式：
\[ \text{方程（29）} \]
将方程（29）代入方程（20）可以验证在所有阶数上的一致性，表明两个约束条件是一致的，简化为同一个方程。
最后，将变换（19）应用于方程（29）并代入方程（14），得到方程（3）的显式孤子型解：
\[ \text{方程（30）} \]
其中，\( h(x) \) 满足方程（17），可以积分得到：
\[ \text{方程（32）} \]
其中，\( c \) 是任意常数。
精确解在揭示非线性波系统的动态行为中起着关键作用，尤其是在它们的结构特征可以图形化表示时。为了说明这些特性，我们展示了不同参数和函数形式下上述孤子型解的（3D）演化过程，并在各个时间点可视化了它们的轮廓。由于没有考虑所有可能的情况，我们重点关注几个代表性的例子。
示例1. 为了说明方程（30）的解结构，我们选择参数 \( a, b, c \) 并设置它们为特定的值。相应的解轮廓如图1所示。图1显示了方程（30）的孤子解的（3D）图，其中（a）、（b）、（c）、（d）和（e）分别对应不同的参数情况。
示例2. 对于参数 \( a, b, c \)，方程（30）的解结构如图2所示。
示例3. 选择参数 \( a, b, c, d \)，方程（30）的解结构如图3所示。
示例4. 通过选择参数 \( a, b, c, d \)，方程（30）的波形如图4所示。
示例5. 设定参数 \( a, b, c, d \)，方程（30）的解结构如图5所示。
可以看出，即使将（2+1）维常系数Boussinesq方程推广为变系数形式，得到的解结构仍然与原始常系数方程及其已知变体相似。特别是，这些解保留了类孤子的轮廓，并允许包含任意低维函数，这为主模型的不同物理和数学情况提供了灵活性。这表明解结构对于系数的变化具有一定的鲁棒性。在中等程度的变系数扰动下，孤子解的存在性和主要特征在很大程度上得以保持。因此，本文的结果可以扩展到更一般的变系数模型。

3. 方程（3）的Lie对称性和相似性简化
在本节中，我们对方程（3）进行了Lie对称性分析。考虑以下一参数Lie群的无穷小变换：
\[ \text{方程（34）} \]
其中，\( g \) 是一个小组参数。相应的向量场由下式给出：
\[ \text{方程（35）} \]
根据标准的Lie对称性方法，使用向量场V的四阶延长来施加不变性条件：
\[ \text{方程（36）} \]
其中，\( \Delta \) 是一个适当的常数。根据Lie群理论，\( \Delta \) 的形式为：
\[ \text{方程（37）} \]
其中，延长的系数 \( \gamma _{ij} \) 通过以下方式递归确定：
\[ \text{方程（38）} \]
\[ \text{方程（39）} \]
\[ \text{方程（40）} \]
其中，\( \partial / \partial x_i \) 和 \( \partial / \partial x_j \) 表示总导数运算符。将方程（38）–（40）代入方程（36），我们得到以下确定方程：（41）通过符号计算，可以得到无穷小量X、Y、T和U，如下所示：（42）（43）（44）（45）其中必须进一步满足兼容性条件（46）因此，当h满足上述方程时，我们得到了一个五维的李对称代数，可以用以下生成元来表示：（47）通常，与李对称性的无穷小量（42）–（45）相关的相似性变量由以下特征方程确定：（48）为了说明这一点，下面给出了几个代表性的相似性简化示例。案例1：对于，相应的特征方程产生两个独立的不变量：（49）群不变解可以写成这种形式。将这个表达式代入方程（3），可以得到以下简化方程：（50）案例2：对于，相似性变量是（51）群不变解的形式为，其中是一个任意函数。将这个表达式代入方程（3），我们得到以下简化方程：（52）特别地，如果h满足（17），上述方程简化为。案例3：对于组合向量场，相似性变量是（53）因此，群不变解可以写成这种形式。将这种形式代入方程（3）得到简化方程：（54）如果h满足方程（46），简化方程承认一类显式解的形式为（55）其中是一个任意函数。应当强调的是，通过截断的Painlevé展开得到的解（30）属于与生成元相关联的同一个李简化类。特别是当时，方程（30）简化为稳态解。4. 结论与讨论在本文中，我们研究了一个新的n维变系数Boussinesq方程（3）。我们首先应用Painlevé测试来分析其Painlevé可积性。结果表明，该方程只具有弱Painlevé性质，因为方程（13）仍然存在。尽管如此，仍然可以对方程的常数项进行截断的Painlevé展开，以构造出一个auto-B?cklund变换（14）。然后得到了一类显式的孤子型解。为了说明它们的结构特性，我们考虑了几个代表性函数：（56）其中和是任意常数。相应的结果显示在图1、图2、图3、图4和图5中，表明在适度的空间非均匀性下，孤子轮廓保持稳定，并且可以通过变系数灵活控制。此外，方程（3）承认由（42）–（45）给出的无穷小量，这些无穷小量生成了一个五维的李对称代数。与经典的Boussinesq方程相比，变系数Boussinesq方程可以更准确和灵活地描述介质参数的空间变化对波传播的影响。具体来说，方程（3）中的系数h打破了平移不变性，不能通过点变换或缩放变换来消除，因此更适合描述非均匀介质中的波传播。此外，解决方案（30）中引入的增强了描述复杂波相互作用的能力，不同的参数值可以对应于多种物理意义上的孤子解。这些解可能在解释某些物理现象方面发挥重要作用，并有助于加深对复杂非线性演化系统的理解，同时也为研究非均匀介质中的波行为和变系数方程的应用提供了有用的参考。