不同形状介电弹性体膜的振动与空气动力学特性 Pratik Sarker, Bianca Fernandez, M. Shafiqur Rahman

《Aerospace》：Vibration and Aerodynamic Characteristics of Dielectric Elastomer Membranes of Various Shapes Pratik Sarker, Bianca Fernandez and M. Shafiqur Rahman

　　摘要：介电弹性体是一类电活性聚合物，在电刺激下能够发生较大变形，反之亦然。由于具有低密度和快速响应特性，它们在小型飞行器的操控方面展现出巨大潜力。要成功设计这些飞行器，需要准确预测其整体动态特性。然而，仅通过低阶材料近似模型和/或在特定流速、预应力及松弛条件下的单一弹性体形状，无法准确预测这些特性。本研究利用高阶Ogden模型，对三种不同形状的VHB 4910介电弹性体膜在多种电刺激、预应力及流速下的模态和空气动力特性进行了全面计算分析。采用有限元模型和双向完全耦合的流固耦合（FSI）模型分别获取了不同膜的振动和空气动力特性。研究发现，电刺激、预应力及空气流速的变化会对膜的总体动态产生影响，并且这种影响因形状而异：矩形膜在基频模式下的振动频率较高，而圆形膜在高阶模式下的频率更高。当膜的预拉伸超过中等拉伸比（约3）时，其升力系数会在一定攻角范围内略有增加，随后随攻角增加而减小。与圆形膜相比，矩形和椭圆形膜在延缓失速方面具有更好的灵活性。在特定电刺激和预应力范围内，圆形膜在提升空气动力性能和改变流场方面具有更大潜力。计算结果与已发表的实验结果进行了对比，以验证模型的准确性。

1. 引言
在各种智能材料中，介电弹性体（DEs）属于电活性聚合物，它们能够在电刺激下改变形状，反之亦然。这些机电特性使其在能量转换、人工解剖系统、小型飞行器控制、执行机构驱动、形状记忆合金、人工/生物昆虫翅膀等多个应用中具有独特优势[1,2,3,4]。对于小型飞行器而言，其空气动力环境往往难以预测，因此需要精确控制其机动性。然而，这些飞行器的体积较小，使得独立控制机制的实现变得困难。介电弹性体的独特机电特性使其能够快速适应环境变化，从而克服这一挑战。由介电弹性体构成的飞行器的变形与周围流体的变形相互影响，共同改变飞行器的空气弹性特性[5,6]。因此，全面理解柔性结构与空气动力环境之间的耦合相互作用对于小型飞行器的稳健设计至关重要。为了深入分析介电弹性体与空气动力环境之间的相互动态关系，准确识别影响二者相互作用的参数非常重要。膜材的预应力就是其中一个参数，它同时影响振动和空气动力特性。通过改变拉伸比和电刺激引起的松弛效应，可以调整预应力[7,8]。通常认为，小型飞行器的理想空气动力环境具有较低的雷诺数（Re）[9]，相应的翼材料需要具备足够的灵活性以提高空气动力效率。Lang等人[10]通过实验研究了不同材料制成的扑动翼的空气动力特性，发现高弹性模量的翼可以获得更高的升力，但代价是功率增加。为寻找适合柔顺翼结构的介电弹性体材料，多位研究者提出了VHB 4910膜[4,5,11,12]。由于其能够承受较大应变，VHB 4910膜的特性可以通过与超弹性材料的对比来较为准确地描述[13,14,15]。然而，低阶模型往往无法准确预测其动态特性，尤其是在预应力较大的情况下。最简单的低阶模型是Neo-Hookean模型[13]，当应变超过20%时，该模型无法准确预测膜的较大应变行为。更高阶的Ogden模型[14,16]适用于大应变情况，具有较好的通用性，且适用于超弹性材料的本构关系。使用Ogden模型的一个最大优势是它可以处理高达700%的应变，并能较为准确地预测结果[17]。通过将Ogden模型视为不可压缩材料，可以较准确地模拟介电弹性体的行为[17]。当计算结果与风洞实验数据进行对比[6,18]时，可以为介电弹性体翼的振动和空气动力行为提供大量有用数据。Pulok和Chakravarty[6]通过风洞测试研究了圆形膜的空气动力特性，但未考虑电刺激的影响，因此需要进行全面的流固耦合（FSI）模拟[9,19,20]。Gen?等人[21]对不同雷诺数（Re）下柔顺膜翼的FSI分析进行了实验研究。近期研究提供了关于含有NiTi基形状记忆合金绳的连续系统的非线性振动信息。Putranto等人[22]表明，NiTi形状记忆合金作为非线性阻尼元件具有显著效果，且不会显著影响系统的自然频率。Liang等人[23]使用FSI模型研究了不同长度和空气流速下空心纤维膜的动态行为，并分析了空气诱导条件下的流动特性。这些研究表明，有效的FSI分析对于预测柔顺翼的动力特性具有重要意义。

2. 材料与方法
本研究通过计算模拟，研究了三种不同形状的VHB 4910（3M公司，美国明尼苏达州圣保罗市）介电弹性体膜（矩形、椭圆形和圆形）的振动、空气动力及空气弹性特性，如图1所示。所有VHB 4910膜的初始厚度均为1毫米[6,27,28]，且在所有预应力条件下保持相同的表面积。预应力通过双向拉伸膜来实现，保持均匀的拉伸比（分别为X方向和Y方向的拉伸比）。Z轴垂直于膜表面，该方向的拉伸比也给出了具体数值。图1展示了VHB 4910膜的不同几何形状：(a)矩形；(b)椭圆形；(c)圆形。振动分析采用商业软件包COMSOL Multiphysics（版本6.2）中的FE模型，求解了不同电刺激下各形状预应力膜的前四种自由振动模式的自然频率。空气动力和空气弹性分析则采用COMSOL Multiphysics中的完全耦合FSI模型，计算了不同流体流速、电刺激和拉伸比下的升力系数、阻力系数、空气动力效率和变形特性。

2.1. 介电弹性体膜的材料模型
由于介电弹性体能够承受较大应变，因此采用超弹性材料模型对其进行表征[13,14,15]。Ogden超弹性模型[14,15,16]用于振动、空气动力和空气弹性分析，以克服仅基于单轴拉伸试验数据的Neo-Hookean超弹性模型的局限性[6,13]。Ogden模型的应变能密度函数定义为：
(1)
其中，分别代表X、Y和Z方向的拉伸比，是根据图1定义的；而和则是从单轴和受约束拉伸试验中经验确定的材料常数。在FE和FSI分析中，VHB 4910膜被视为近似不可压缩材料。膜上的空气动力载荷被视为准静态载荷，没有时间依赖性，因此假设膜有足够的时间进行松弛，且不承受循环或疲劳载荷。因此忽略了VHB 4910膜的粘弹性效应。Ogden模型定义的膜剪切模量为：
(2)
当1≤2时，该模型退化为最简单的Neo-Hookean模型[6,14]。当膜在机械拉伸的同时受到电刺激时，由于电刺激产生的压缩应力（称为Maxwell应力[27]），膜会发生松弛现象。在相关实验研究中，电刺激通常通过在膜的上表面和下表面涂抹导电油脂来实现[5,29]。膜在X方向和Y方向上的网状应力分别是机械预张力产生的拉应力和电激励产生的压缩Maxwell应力的组合，这些应力通过方程（3）和（4）[7]进行估算，其表达式如下：

（3）

（4）

其中ε是介电常数，E是预张力后的真实电场强度。ξ定义为电电压U与膜厚度d的比值，d是膜在未变形状态下的厚度，其值为1毫米[6,27,28]。方程（2）中提到的Ogden超弹性模型的参数列在表1[30]中。表2展示了延伸比例为2、3、4.5和4.9时，以及电电压为0 kV、3.6 kV和4.5 kV时，应力ξ和τ的数值，其中τ的值为4.02866 × 10^-11 F/m。表3列出了本分析中考虑的VHB 4910膜的物理性质。

2.2 振动分析模型的开发
在COMSOL Multiphysics（版本6.2）中，使用结构力学模块中的特征频率求解器为每种膜形状开发了一个计算化的三维有限元（FE）自由振动模型。每种膜形状都被建模为一个三维柔顺结构，并根据Ogden模型和方程（3）及（4）为各种电激励情况设置适当的应力值。考虑了非线性几何效应以求解前四种模式的振动FE模型。对于所有膜形状，都采用了表4中列出的膜边缘的固定边界条件（BCs）。尽管完全固定的BCs可能无法完全反映真实的柔性翼配置，但从实际风洞测试设置的角度来看，这是合理的，因为在先前的研究中，膜边缘是通过固定在风洞中的刚性框架或夹具来固定的[6,29]。

表4. VHB 4910膜振动FE模型的边界条件。

表1. VHB 4910 DE膜的Ogden模型参数[30]。

表2. 基于Ogden模型的不同电压下的膜应力。

表3. VHB 4910 DE膜的物理性质。

2.3 空气动力学和气动弹性分析模型的开发
2.3.1 流体-结构相互作用模型的开发
对于空气动力学和气动弹性分析，在COMSOL Multiphysics（版本6.2）中开发了一个双向、完全耦合的三维流体-结构相互作用（FSI）模型，该模型由作为结构FE模型的固体DE膜和作为计算流体动力学（CFD）模型的膜周围的空气组成[31]。FE域和CFD域都在图2中进行了描述，FE域嵌入在CFD域中。作为输入速度，选择了三种不同的空气流速：5 m/s、10 m/s和13.4 m/s，这些速度适用于低Re数条件[6]，即适用于小型航空结构的情况。

图2. 流体-结构相互作用模型中包围膜的空气域。

在FSI建模中，CFD域的大小选择至关重要，因为合适的域大小可以确保计算模拟的稳定性、结果的准确性以及计算内存的高效利用。如果域的大小不当，可能会影响流动发展以及相应的速度和压力分布，从而导致模拟结果的意外变化。在本研究中，CFD域的長、寬和高等参数是根据CFD研究指南[32]选定的。建议域的入口距离物体足够远，以确保流动条件均匀，通常为物体长度的10到15倍；出口通常位于物体长度的约20倍处，以便形成尾流并抑制逆流。域的寬度至少需要是物体长度的20倍。由于FSI分析中固体可能会发生较大变形，因此域需要足够大以适应流体运动，避免网格变形，并防止人为边界约束影响结构变形。

2.3.2 边界条件的定义
FE域和CFD域的边界条件（BCs）都得到了适当的分配。对于被CFD域包围的固体膜FE模型，使用表4中列出的相同边界条件。对于CFD模型，根据膜外部流动的物理特性，应用了速度和压力边界条件，这些条件列在表6中。在表6中，ux、uy和uz分别代表膜沿X轴、Y轴和Z轴的线性位移；yaw、pitch和roll分别代表膜绕X轴、Y轴和Z轴的旋转位移，参考图1。

2.3.3 网格生成
为了对膜进行振动和空气动力学分析，使用了相似的网格生成技术。对于膜的振动FE模型，在COMSOL Multiphysics（版本6.2）中使用了用户控制的网格配置。由于2D自由三角形元素具有多功能性和处理曲线几何形状的能力，因此用于膜域的网格生成。这些元素的最大尺寸为0.004米。图4显示了圆形膜的网格化FE域。

对于FSI分析，同样使用了用户控制的网格，涵盖了整个域，结合了FE和CFD域，并进行了流体动力学校准。除了上述用于FE域的网格技术外，CFD域中自由三角形元素的最大尺寸为0.2米，最小尺寸为0.003米。最大元素的增长率为1.05，以确保整个域中从最小元素到最大元素的渐变过渡。在CFD域的中平面（图2中的EFGHE平面）使用自由三角形元素后，2D表面网格被扫描并相对于中平面对称分布，保持200的元素比例。FSI分析的边界层数量由自动网格算法确定。图5显示了以最细元素尺寸表示的网格化CFD域。

2.4计算FSI模型的控制方程
FSI模型将流体域与固体域耦合在一起，其中流体由空气表示，而固体域由浸没在空气中的膜表示。相应的控制方程将在后续章节中讨论。

2.4.1. 固体域
固体膜域受牛顿第二定律的支配，如下所示 [23]：
\[ \text{方程式（5）} \]
其中 \( \rho \) 是膜的密度，\( \vec{a} \) 是加速度向量，\( \sigma \) 是应力张量，\( \vec{F} \) 是单位体积的力向量。

2.4.2. 流体域
对于流体域，空气被视为不可压缩的牛顿流体，空气域的相关场变量与连续性方程和动量方程相关联，分别由方程式（6）和方程式（7）–（9）表示，如下所示：
\[ \text{方程式（6）} \]
\[ \text{方程式（7）} \]
\[ \text{方程式（8）} \]
\[ \text{方程式（9）} \]
其中 \( u_x \)，\( u_y \) 和 \( u_z \) 是沿全局X、Y和Z方向的独立位移变量；\( v_x \)，\( v_y \) 和 \( v_z \) 是沿X、Y和Z方向的速度分量；\( t \) 是时间；\( p \) 是压力；\( g \) 是重力加速度沿X、Y和Z方向的分量。

2.5. 文献中的实验研究
2.5.1. 振动测试装置
根据文献综述，一些实验研究调查了特定几何形状的柔性膜的结构动力学。Pulok和Chakravarty [6] 使用的实验装置如图6所示。他们使用了一个闭环振动测试系统，该系统由Data Physics GW-V20 PA 100E SignalForce振动台（数据物理公司，美国圣何塞）组成，它向固定在振动台顶部刚性框架内的膜施加适当的振动力。该振动台与SignalStar Vector振动控制器（数据物理公司，美国圣何塞）、电压放大器（数据物理公司，美国圣何塞）以及精度为19.69 mV/g的加速度计（Dytran Instruments公司，美国查茨沃思）一起使用。膜上的电激励由一个能够提供高电压低电流的变压器施加。使用Photron公司（美国圣地亚哥）的两台高速相机组成的数字图像相关系统以及相关的数据采集系统来捕获振膜的图像。这些图像进一步通过VIC-3D软件（版本7.2.4）处理，以测量膜的平面外位移，最终通过膜的位移的快速傅里叶变换获得振动频率。

2.5.2. 风洞实验研究
Pulok和Chakravarty [6] 进行了风洞实验，研究了在空气动力载荷下圆形膜的动力学性能。风洞的示意图如图7所示，包括一个变速风扇将空气吸入风洞。为了确保测试段的层流特性，风洞中使用了蜂窝形整流器。图7展示了风洞测试段的详细内部视图，包括模型定位系统和枪形夹持式平衡装置。使用平衡装置和模型定位系统的目的是评估膜上的空气动力作用力并调节攻角（AoA）。值得注意的是，Pulok和Chakravarty [6] 在他们的风洞实验中没有研究电激励对DE膜空气动力性能的影响。这也是作者进一步探索使用电激励进行稳健的、双向的、完全耦合的FSI模拟的灵感来源。

3. 模型验证
3.1. 有限元模型的实验验证
为了验证自由振动分析的FE模型，将计算结果与实验结果进行比较。图8a显示了从FE分析和Hays等人 [29] 的实验研究中获得的椭圆形DE膜在0 kV电激励和3的拉伸比下的自由振动基本固有频率（第一模式频率）的比较。该椭圆形DE膜的初始厚度为1毫米，半长轴为0.1米，半短轴为0.05米，膜被固定在刚性框架内，边缘保持固定边界条件。从图8a可以看出，基于Ogden模型的FE频率与实验结果非常接近，其百分比偏差仅为3.74%，从而证明计算FE模型的振动结果具有合理的准确性。

3.2. 流体-结构相互作用模型的实验验证
图9展示了Pulok和Chakravarty [6] 的风洞实验获得的空气动力系数与半径为0.05米的圆形膜在Re为91,367（流速为15 m/s，对于0.09米）且未施加任何电压时的双向耦合FSI模拟结果的比较。图9a比较了圆形膜的实验升力系数与FSI模拟结果随攻角（AoA）的变化。图9b显示了半径为0.05米、初始厚度为1毫米的圆形膜在2、2.02和0 kV电激励下的FE和实验自由振动固有频率。实验研究由Ojo等人 [18] 进行，他们将拉伸的圆形膜固定在刚性框架内，以便使用边缘的固定边界条件，类似于Hays等人 [29] 的实验研究。从图9b可以看出，基于Ogden模型的FE频率与相应的实验频率非常吻合。实验频率和FE频率之间的最大百分比偏差为8.69%，表明计算频率与实验频率相当一致。

4. 结果与讨论
4.1. 振动分析
4.1.1. 振动分析的网格独立性研究
为了确保计算结果的可靠性，进行了膜自由振动分析的网格独立性研究，以了解结果随网格元素数量增加而变化的情况。图11显示了从FE分析获得的不同形状的DE膜在不同振动模式和不同拉伸比及电电压下的自由振动固有频率的变化。如图11所示，随着网格元素数量的增加，所有频率曲线最终趋于稳定，表明解决方案已经收敛。对于矩形膜、椭圆形膜和圆形膜，分别在466、456和630个网格元素时达到完全收敛。

4.1.2. 固有频率和模态形状
表7和表8表示了从FE分析获得的三种形状的膜在2、3和4.5不同电激励下的自由振动的第一模式频率及后续三个模式的频率。如表7和表8所示，对于特定的拉伸比，随着电压的增加，固有频率会降低。这是预期之中的，因为随着施加电压的增加，松弛效应变得更为显著，导致膜的整体张力降低，换句话说，膜的刚度降低，从而频率也随之降低。

表7. 三种不同形状的膜在2、3和4.5倍拉伸比以及0 kV、3.6 kV和4.5 kV电激励下的自由振动的第一模式（基本频率）。

表8. 三种不同形状的膜在2、3和4.5倍拉伸比以及0 kV、3.6 kV和4.5 kV电激励下的第二、第三和第四模式频率。

在表7中观察到一个有趣的现象：对于特定的预拉伸和松弛条件，矩形膜表现出最高的频率，而圆形膜则表现出最低的振动频率。然而，对于更高模式，表8中的数据显示圆形膜提供的频率高于矩形 membrane 和椭圆形膜。因此，可以得出结论，矩形膜在最低振动模式下具有保持更大刚度的潜力，有更宽的延迟共振范围，并且对气动不稳定性具有更强的抵抗力。

图12展示了所有三种形状膜的前四种自由振动模式的模态形状。

4.2. 气动分析
4.2.1. 气动分析的网格独立性研究
与之前的振动分析类似，也进行了气动分析的网格独立性研究，以观察结果随网格元素数量增加而变化的情况。图13a和b分别表示矩形膜在不同拉伸比和电电压下（攻角为10度和25度，空气流速为13.4 m/s）的升力系数和阻力系数的变化。从这两个图中可以看出，尽管最初有一些波动，但随着网格元素数量的增加，曲线最终趋于稳定，解也达到了收敛。值得注意的是，对于不同的参数变化，升力系数和阻力系数的收敛所需的网格元素数量是不同的。

4.2.2. 预拉伸的影响
图14a解释了预拉伸对升力系数的影响，该研究针对的是在4.5 kV电激励和13.4 m/s空气流速下运动的圆形膜。考虑了四个不同的预拉伸值来关联升力系数的变化与攻角的关系。如图14a所示，对于所有预拉伸值，随着攻角的增加，升力系数会 decreasing。矩形膜和椭圆形膜也观察到了类似的趋势。这种行为的原因可以归因于膜弹性随着拉伸的增加而持续减少。这里需要注意两个不同的物理机制：一个是预拉伸引起的拉应力，另一个是电激励产生的压应力。这两种应力朝相反方向作用，导致膜内产生净张力。随着预拉伸值的增加，这种净张力增大，膜的柔韧性随之降低。如图14a所示，当预拉伸值达到3或更高，且攻角接近8度或更高时，升力系数的差异变得明显。这种行为与Maqsood和Go [8] 对不同尺寸的乳胶方形膜进行的实验研究结果相似（空气流速为15 m/s）。此外，可以推测预拉伸值达到3或更高时，膜内会产生显著的张力，从而导致膜的气动特性发生显著变化，因此可以将3或更高的预拉伸比归类为中等拉伸比。

图14. 升力系数随攻角的变化：(a) 预拉伸值为2、3、4.5的圆形膜，在4.5 kV电激励下，空气流速为13.4 m/s；(b) 三种形状的膜在0 kV电激励下，空气流速为10 m/s。

图14b显示了预拉伸的影响，以及在没有电激励的情况下，三种形状膜的单独气动特性（空气流速为10 m/s，预拉伸值为4.5）。从图14b可以看出，圆形膜的升力曲线与失速角约为39度相关。然而，其他两种形状的膜则有所不同：矩形膜和椭圆形膜的失速被延迟，因此它们在调节相应的气动行为方面有更大的余地。

从上述分析可以看出，预拉伸在柔性膜中不仅仅是一个防止膜下垂的普通参数，它还是调节其气动特性的关键参数。预拉伸直接影响流体流动与膜变形之间的关系，从而控制膜在气动载荷下形状的变化，进而控制其柔顺性。当预拉伸较低时，膜会发生较大变形，导致更大的拱度并且失速延迟（如图14b中的矩形膜和椭圆形膜所示）。然而，这也增加了膜颤振的倾向。相反，如果预拉伸较高，则膜翼会表现得更像刚性机翼，从而提高稳定性，但降低了其对气动环境的适应能力。因此，适当张力的柔性膜有助于形成合适的形状，以更好地控制流动分离，从而提高升阻比。

4.2.3. 松弛的影响
电激励对拉伸膜的影响体现在其松弛上，这会降低膜的整体张力。这是由于膜厚度方向的压缩应力导致膜膨胀，从而减少了整体张力。在特定拉伸比下，电激励越高，松弛程度越大。

图15展示了圆形膜在0 kV、3.6 kV和4.5 kV电激励下（预拉伸值为3和4.5，空气流速为13.4 m/s）的升力系数随攻角的变化。如图15所示，即使电激励最高为4.5 kV，电压的变化对升力系数的影响也不明显。然而，当预拉伸值从3增加到4.5时，在4.5 kV情况下，升力系数发生了显著变化。在攻角达到7度之前，4.5 kV情况下的升力系数比0 kV和3.6 kV情况下增加了约25%。对于0 kV和3.6 kV情况，失速角可以约为40度。然而，在4.5 kV情况下，失速并不明显，或者更准确地说，在失速附近表现出一种良好的形态。这种行为与Maqsood和Go [8] 的实验研究结果一致，他们研究了在15 m/s空气流速下，尺寸为15 cm × 15 cm的方形尼龙膜在1 cm松弛条件下的情况。对于矩形膜和椭圆形膜也观察到了类似的特征。对于矩形膜，在4.5 kV情况下，攻角在7度之前的升力系数增加了15%；而对于椭圆形膜，在大约15度的攻角下，升力系数增加了4%。因此，可以得出结论，椭圆形膜在更宽的攻角范围内更适合保持增强的升力特性。

图16描述了圆形膜在不同电压和13.4 m/s空气流速下（预拉伸值为3和4.5）的升力系数随攻角的变化。与图15类似，图16也显示升力系数在3预拉伸值下随电电压变化不大；然而，对于4.5预拉伸值，4.5 kV情况下的升力系数在大约6度攻角之前的值确实有所增加，之后则有所下降。对于4.5 kV情况，在攻角达到7度之前，升力系数增加了约16%。图16还展示了圆形膜在0 kV、3.6 kV和4.5 kV电激励下（空气流速为13.4 m/s）的阻力系数随攻角的变化。对于矩形膜和椭圆形膜，在0 kV电激励下（空气流速为10 m/s），图14b表明升力曲线与失速角约为39度相关。然而，对于这两种形状的膜，失速被延迟，因此它们在调节相应气动行为方面有更多的灵活性。

综上所述，柔性膜的预拉伸不仅是一个防止膜下垂的参数，还是调节其气动特性的关键参数。预拉伸直接影响流体流动与膜变形之间的耦合，从而控制膜在气动载荷下的形状变化，进而控制其柔顺性。当预拉伸较低时，膜会发生较大变形，导致较高的拱度和延迟失速（如图14b中的矩形膜和椭圆形膜所示）。然而，这也增加了颤振的倾向。另一方面，如果预拉伸较高，膜翼会表现得像刚性机翼，从而提高稳定性，但降低了其对气动环境的适应能力。因此，适当的张力有助于膜形成合适的形状，以有利地控制流动分离，从而提高升阻比。适当张力的膜能够更好地适应周围流场，在失速前承受更大的攻角范围。

4.2.3. 松弛的影响
电激励对拉伸膜的影响体现在其松弛上，这会降低膜的整体张力。这是由于膜厚度方向上的压缩应力导致的膜膨胀，从而减少了整体张力。在特定拉伸比下，电激励越高，松弛程度越大。这一点通过分析图15和图16得到了证实，在这两图中，膜在3和4.5的拉伸比下都处于中等张力状态，但在每种情况下，都需要相对更长的时间才能显示出显著的变化，直到放松强度放大到4.5 kV。这确保了适当的预拉伸和放松组合可以显著改变膜翼的顺应性，从而有助于实现优化的空气动力性能。表9展示了在空气速度为13.4 m/s时，所有形状膜的升力和阻力峰值系数以及失速特性，其中拉伸比（）从左到右每行递增，电压从0 kV垂直增加到4.5 kV。随着电压的升高，膜的放松程度也增加，影响了膜的失速特性。如表9所示，对于矩形和椭圆形膜，失速角并不明显，并且在所有拉伸比和电压下都会延迟。圆形膜显示出随着电压升高失速角增加的趋势，当电压达到4.5 kV时，失速模式与矩形和椭圆形膜相同。这表明，在适度拉伸比后增加放松程度可以延迟柔性膜的失速。表9还展示了在空气速度为13.4 m/s的情况下，不同拉伸比（3、4.5和4.9）和不同电激励（0 kV、3.6 kV和4.5 kV）下，各种形状膜的升力峰值系数、阻力峰值系数和失速特性。虽然表9中的数据通常假设膜张力随着拉伸比的增加而增加，但在某些条件下，即使拉伸比增加，膜也会更加放松。这是因为随着放松程度的增加，方程（3）和（4）中的Maxwell应力也随之增加，从而降低了整体膜张力。因此，在表9中，从左到右电压增加时，0 kV情况下膜张力增加，而4.5 kV情况下膜张力降低。因此，尽管在4.5 kV电激励下，圆形膜的失速角为42度，但随着拉伸比从3增加到4.9，由于放松程度的增加，失速被进一步延迟。

尽管对于某些特定应用来说，在低雷诺数（Re）环境中操作的柔顺翼可能需要更大的升力，但从设计角度来看，空气动力效率[33]通常比升力本身更为重要。对于任何飞行来说，升力都起着关键作用；然而，提高升阻比（即由下面的方程（10）表示的空气动力效率）是设计小型柔性翼结构的主要目标。因此，在后续部分将分析不同空气速度、电激励和拉伸比下所有形状膜的空气动力效率。方程（10）描述了在3的拉伸比下，矩形膜在0 kV和4.5 kV电激励下，随迎角（AoA）变化的空气动力效率，这些条件适用于三种不同的空气流速。从图17可以看出，随着空气流速的增加，空气动力效率在AoA为11度时显著提高，峰值效率出现在AoA约为2.5度时。然而，将电压从0 kV升高到4.5 kV可以将峰值空气动力效率提高约4.3%。Hays等人[5,29]在他们对初始厚度为1毫米的受应力椭圆形膜的实验研究中也观察到了这一趋势，他们在空气流速为10 m/s的情况下，当电压从0 kV升高到3.6 kV时也观察到了这一点。通过计算分析，发现在三种膜形状中，椭圆形膜显示出最高的空气动力效率，而圆形膜在图17中使用的所有条件下都显示出最低的空气动力效率。图17还展示了在3的拉伸比下，电激励为0 kV和4.5 kV，以及空气流速为5 m/s、10 m/s和13.4 m/s时，矩形膜的空气动力效率随迎角的变化。与3相比，使用4.5的拉伸比揭示了矩形膜在相同电激励（4.5 kV）下的有趣特性，这与无量纲参数Re有关。尽管图17显示随着Re的增加，无论是3还是4.5 kV电压，峰值空气动力效率都有所提高，但图18显示当空气流速从10 m/s（Re = 54,188，弦长为0.08 m）跳升到13.4 m/s（Re = 72,612，弦长为0.08 m）时，在AoA为2.5度时，4.5 kV电压下的峰值空气动力效率有所下降。此外，4.5 kV电压下的圆形膜在13.4 m/s（Re = 72,612，弦长为0.08 m）空气流速下的峰值空气动力效率也低于3 kV电压下的情况。这些观察结果表明，Re的增加并不总是能提高空气动力效率，对于相同的Re，在特定的预拉伸和放松组合下，空气动力效率可能会降低。

尽管对于某些特定应用来说，在低雷诺数环境中操作的柔顺翼可能需要更大的升力，但从设计角度来看，空气动力效率[33]通常比升力本身更为重要。对于任何飞行来说，升力都起着关键作用；然而，提高升阻比，也就是下面的方程（10）所表达的空气动力效率，是设计小型柔性翼结构的主要目标。因此，在后续部分将分析不同空气速度、电激励和拉伸比下所有形状膜的空气动力效率。方程（10）描述了在3的拉伸比下，矩形膜在0 kV和4.5 kV电激励下，随迎角（AoA）变化的空气动力效率，这些条件适用于三种不同的空气流速。图17显示，在3的拉伸比下，矩形膜在0 kV和4.5 kV电激励下，空气动力效率随空气流速的变化情况。从图17可以看出，随着空气流速的增加，空气动力效率显著提高，峰值效率出现在AoA约为2.5度时。然而，将电压从0 kV升高到4.5 kV可以使峰值空气动力效率提高约4.3%。Hays等人在他们的实验研究中也观察到了这一趋势。通过计算分析，在三种膜形状中，椭圆形膜显示出最高的空气动力效率，而圆形膜在图17中使用的所有条件下都显示出最低的空气动力效率。

图18展示了在3的拉伸比下，矩形膜在0 kV和4.5 kV电激励下，随迎角（AoA）变化的空气动力效率，这些条件适用于三种不同的空气流速。图18显示，对于4.5 kV电压，随着空气流速从5 m/s增加到13.4 m/s（Re = 72,612，弦长为0.08 m），在AoA为2.5度时，4.5 kV电压下的峰值空气动力效率有所下降。这些观察结果表明，Re的增加并不总是能提高空气动力效率，对于相同的Re，在某些预拉伸和放松组合下，空气动力效率可能会降低。

4.2.4. 空气动力效率
尽管对于某些特定应用来说，在低雷诺数环境中操作的柔顺翼可能需要更大的升力，但从设计角度来看，空气动力效率[33]通常比升力本身更为重要。对于任何飞行来说，升力都起着关键作用；然而，提高升阻比（即由下面的方程（10）表示的空气动力效率）是设计小型柔性翼结构的主要目标。因此，在后续部分将分析不同空气速度、电激励和拉伸比下所有形状膜的空气动力效率。方程（10）描述了在3的拉伸比下，矩形膜在0 kV和4.5 kV电激励下，随迎角（AoA）变化的空气动力效率，这些条件适用于三种不同的空气流速。图17显示，在3的拉伸比下，矩形膜在0 kV和4.5 kV电激励下，空气动力效率随空气流速的变化情况。从图17可以看出，随着空气流速的增加，空气动力效率显著提高，峰值效率出现在AoA约为2.5度时。然而，将电压从0 kV升高到4.5 kV可以使峰值空气动力效率提高约4.3%。Hays等人在他们的实验研究中也观察到了这一趋势。

图18展示了在3的拉伸比下，矩形膜在0 kV和4.5 kV电激励下，随迎角（AoA）变化的空气动力效率，这些条件适用于三种不同的空气流速。图18显示，对于4.5 kV电压，随着空气流速从5 m/s增加到13.4 m/s（Re = 72,612，弦长为0.08 m），在AoA为2.5度时，4.5 kV电压下的峰值空气动力效率有所下降。这些观察结果表明，Re的增加并不总是能提高空气动力效率，对于相同的Re，在某些预拉伸和放松组合下，空气动力效率可能会降低。

4.2.5. 气动弹性分析
研究了三种不同形状的DE膜在不同空气流速和电激励下的气动弹性行为。表11展示了在3的拉伸比下，不同空气流速和电激励下膜的空气动力弹性特性，以最大平面外变形量为指标。如表11所示，正如预期的那样，随着放松程度的增加和空气流速的提高，膜的峰值变形增加。这是因为在较高的电压或更大的放松程度下，膜的总体张力降低，使得膜更加柔顺。由于速度的增加，升力增强，变形也随之增加。从表11可以看出，矩形膜受到的变形最小，而圆形膜在一定的空气流速和放松程度下变形最大。从这一分析中可以看出，圆形膜由于其较高的柔韧性，在气动载荷下有更大的形状改变潜力，因此可以更多地影响流场和/或被动流控制。图19展示了在3的拉伸比下，所有形状的膜在空气流速为13.4 m/s、迎角为40度、电激励为4.5 kV时的平面外变形等高线图，显示三种形状的膜在中心附近都出现了最大平面外变形。

表11显示了在3的拉伸比下，不同电激励（0 kV、3.6 kV和4.5 kV）和空气流速（5 m/s、10 m/s、13.4 m/s）下，不同形状膜的的最大平面外变形量。图19展示了在3的拉伸比下，（a）矩形、（b）椭圆形和（c）圆形膜在4.5 kV电电压、40度迎角和13.4 m/s空气流速下的平面外变形等高线图。为了更深入地了解之前讨论的有关膜变形和无量纲参数Weber数（We）的气动弹性分析，Weber数用于比较膜上的气动载荷与膜的弹性。换句话说，Weber数可以通过下面的方程（11）表示为膜上的无量纲气动载荷：方程（11）其中E是膜的弹性模量，t是气动变形前的膜厚度。由于气动载荷引起的膜平面外变形使得膜呈现出拱形几何形状。Weber数是衡量柔性膜拱度的指标，指的是膜在平面外方向的弯曲或膨胀程度。根据之前讨论的空气弹性分析，并参考表11，随着速度的增加，薄膜的变形也会增加，因为更高的速度会导致更大的空气动力载荷垂直作用于薄膜表面。由于空气动力载荷的增加，薄膜通过采用更大的曲率而进一步拉伸。最终，在某个阶段，薄膜的张力会平衡空气动力载荷，从而使薄膜达到一个平衡形状。通过查看表12中We的变化趋势，可以解释这种薄膜行为。表12表示在40度攻角下，不同电气激励和流体流速作用下所有形状薄膜的We值。从表12可以看出，当速度从5米/秒增加到13.4米/秒时，We值有所增加，这适用于所有形状的薄膜。在3度攻角下，当电气激励分别为0千伏、3.6千伏和4.5千伏，以及流体流速分别为5米/秒、10米/秒和13.4米/秒时，不同形状薄膜的We值也显示出相同的增加趋势。当电气激励从0千伏增加到4.5千伏时，由于松弛作用的增强，薄膜对外部变形的抵抗力减弱，导致薄膜变形增加。由于We值被认为是薄膜曲率的间接指标，因此可以得出结论：在所有条件下，圆形和矩形薄膜的变形程度最大和最小，分别对应于最低和最高的We值。表12显示，随着流体流速的增加，We值从上到下增加；随着电气激励的增加，We值从左到右增加。这表明随着We值的增加，空气动力载荷主导了薄膜的结构张力或硬度。由此可知，We值作为柔性薄膜最大曲率的表征参数，可以用来直接反映薄膜在特定空气动力环境下的空气弹性行为。

4.2.6 预拉伸、松弛与空气弹性响应之间的相互作用
在之前的章节中，讨论了预拉伸的效果、松弛的效果以及不同形状薄膜在各种流体流速下的空气弹性分析。然而，为了实现研究目标、提高信息量并解释相关物理机制，有必要讨论预拉伸、电气激励与空气弹性响应之间的相互作用，这对于小型航空结构的有效和稳健设计具有重要意义。

薄膜中的预拉伸效果直接且根本性地关系到薄膜的稳定性以及结构的相应空气弹性调整。根据本研究呈现的薄膜整体动态特性，可以推测电活性薄膜机翼在增强/调节空气动力载荷方面具有很大潜力，而这取决于薄膜所受的预拉伸程度，因为这与机翼的驱动方式有关。通常会对柔性薄膜施加双轴预拉伸，并将其视为薄膜整体均匀硬度的度量。适度的预拉伸可以增加薄膜的自然频率，有助于防止较大变形，并提高抵抗空气弹性不稳定性的能力。适当的预拉伸调节可以控制薄膜的曲率，以保持其所需的空气动力性能形状。如果薄膜中的张力不足，则会导致硬度降低，从而容易发生过度变形、涡流诱导共振、颤振等各种问题。通过选择特定的薄膜几何形状（如高纵横比），可以控制这种硬度。然而，对于已经施加了预拉伸的薄膜，可以通过外部松弛来调节其硬度。

薄膜的松弛可以通过引入压缩应力来实现，这通常是通过施加电压来实现的，从而使薄膜变得更柔软，硬度降低，变形阻力减小。换句话说，电激励可以主动调节薄膜的结构硬度。在施加电压的情况下，随着薄膜的松弛，振动频率会降低，从而可以调节薄膜的空气弹性响应。因此，在松弛过程中，可以主动调整薄膜的形状和张力以抑制颤振或优化空气动力载荷。

在本研究的范围内，观察到当薄膜受到适度或较高预拉伸时，松弛效应具有显著影响。对于预拉伸程度在3以下的情况，通过计算和实验分析发现，随着速度的增加，不同形状的薄膜的升力、阻力和空气动力效率都有所改善。然而，当预拉伸程度超过3时，各种形状薄膜的动力学特性（包括振动响应、空气动力效率和失速特性）会出现显著差异。为了获得特定的薄膜形状的最佳空气动力效率，需要应用不同的预拉伸程度和不同的松弛程度来找到合适的预拉伸与电激励组合。

根据空气动力环境的不同，薄膜的柔韧性有助于其被动改变形状以获得优化的空气动力性能，通过调节曲率来实现。增加曲率可以更好地控制薄膜表面的流动，从而提高空气动力效率。然而，在选择特定形状的薄膜来设计小型航空结构时，必须考虑曲率增加的极限，因为当曲率超过一定程度后，升力不会进一步提高，反而可能产生更大的阻力。这是因为薄膜机翼的过度柔韧性会破坏形成所需空气动力形状的条件。如果薄膜中的预拉伸程度非常高（例如5），那么根据方程（3）和（4），施加4.5千伏的松弛会产生过多的压缩应力，使净张力降低到不再具备作为柔性机翼所需的硬度。因此，在设计低雷诺数范围内的小型航空结构时，预拉伸和电激励的施加需要有一个最佳范围。

总之，对薄膜施加松弛时需要谨慎平衡初始预拉伸，以优化或控制其空气弹性特性，因为这些因素之间的相互作用直接影响不稳定空气弹性行为的边界。值得注意的是，不恰当的薄膜预拉伸和松弛组合会影响获得所需空气动力性能所需的薄膜硬度，从而限制了薄膜机翼适当空气弹性调整的选择。

5. 结论
本研究计算分析了三种不同几何形状的VHB 4910薄膜在不同空气流速、拉伸比和电气激励下的结构动力学和空气动力学特性。对于结构动力学分析，开发了一个计算有限元模型，使用Ogden超弹性模型近似方法来估计振动自然频率。随后，为了进行空气动力学分析，开发了一个双向完全耦合的计算流体-结构相互作用模型，以研究拉伸比、松弛、空气动力效率和弹性变形的影响。将模拟结果与文献中发表的实验结果进行比较，以验证计算模型的准确性。本研究可以得出以下结论：
- Ogden超弹性模型能够准确捕捉薄膜振动的自然频率。
- 矩形薄膜在第一模式下的频率较高，具有延迟共振的潜力，并且对空气弹性不稳定性的抵抗力更强。这些特性在圆形薄膜的更高模式中也有所体现。
- 对于柔性薄膜的动力学分析，拉伸比为3或更高被视为适度拉伸比。
- 适度拉伸比下的增加松弛会提高在一定攻角范围内的升力系数，但在超过该范围后该系数会下降。
- 椭圆形薄膜相比矩形和圆形薄膜具有更宽的攻角范围，在此范围内，随着松弛程度的增加，升力和阻力系数都有所提高。
- 在某些拉伸比下，矩形和椭圆形薄膜比圆形薄膜具有更大的柔韧性，能够在更高的松弛程度下调节失速现象。
- 对于不同速度和增加松弛程度的适度拉伸比，椭圆形薄膜表现出最高的空气动力效率。当超过适度拉伸比时，圆形薄膜显示出更优越的空气动力效率。
- 由于其更大的形状可调节性，圆形薄膜在改变流场和/或影响被动流动控制方面具有更大的影响。

本研究提供了对不同预拉伸、松弛程度和流体流速作用下各种形状介电弹性体薄膜的结构动力学和空气动力学行为的全面分析。这为基础进一步探索改变薄膜整体动态参数对小型航空器高效设计的影响提供了坚实的基础。目前的研究仅限于稳态、低雷诺数下的分析，未考虑薄膜的粘弹性行为，因此超出了本研究的范围。未来的工作将结合高雷诺数下的空气动力学分析以及粘弹性效应，以更深入地了解柔性薄膜的动态特性。未来的工作应重点开展实验研究，将非稳态空气动力效应和超弹性材料的粘弹性行为纳入模拟中，以更可靠地预测小型航空结构的性能。