勘误表：网络韧性的定量测量：模型构建与实验验证

《ACM Transactions on Cyber-Physical Systems》：Corrigendum: Quantitative Measurement of Cyber Resilience: Modeling and Experimentation

　　摘要

这是对文章《网络韧性的定量测量：建模与实验》的更正声明。该文章发表于《ACM Trans. Cyber-Phys. Syst.》2025年1月刊第9卷第1期，共25页。

1. 错误及其更正

在附录A中，我们证明了我们研究的线性微分方程在拉普拉斯意义上（Struble 1962；Teschl 2012）是稳定的。尽管我们的结论是正确的，但原文章中方程（A5）之后的表达式有误。我们提供了一个更直接、更简化的证明，其结果是功能值始终保持严格正数（这是我们在原文章第4.1节中所假设的）。在第2节中，我们介绍了所研究的线性微分方程（方程（1））并展示了其解（方程（2））。在第3节中，我们证明了方程（1）的稳定性。

2. 背景

在[Weisman等人（2025）的研究中，我们研究了方程dF/dt + Q(t)F(t) = F_NB(t)，其中Q(t) = M(t) + B(t)（方程（1））。该方程将功能值与恶意软件的有效性（M(t)）和良性软件的有效性（B(t)）联系起来。

我们微分方程的通解为F(t) = e^(-∫_0^t Q(p) dp) (F(0) + ∫_0^t e^(-∫_0^τ Q(p) dp) B(τ) dτ)（方程（2））。

3. 稳定性

如果所有解在t→∞时都是有界的，则称线性微分方程在拉普拉斯意义上（Struble 1962；Teschl 2012）是稳定的。由于M(t)和B(t)都是非负的，我们证明了方程（1）是稳定的。观察方程（2）中展示的解，可以发现B(t)和Q(t)是非负的，且F(0)是严格正数，因此F(t)是正数的乘积，从而也是严格正数（F(t) > 0）。因此，F(t)是有下界的。

现在考虑方程（1）在M(t) = 0的情况下：dF/dt + B(t)(FB(t) - F_N) = 0（方程（3）或dΦ/dt + B(t)Φ(t) = 0（方程（4）），其中Φ(t) = FB(t) - F_N。方程（4）的解为Φ(t) = (FB(0) - F_N)e^(-∫_0^t B(p) dp)，因此FB(t) = F_N + (FB(0) - F_N)e^(-∫_0^t B(p) dp)。由于要求B(t) ≥ 0，所以FB(t)在任何地方都是有界的（FB(0) ≤ FB(t) ≤ F_N）。

不失一般性地假设FB(0) = F(0)。由于M(t) ≥ 0，我们有dF(t)/dt ≤ dFB(t)/dt，因此对于所有t ≥ 0，都有F(t) ≤ FB(t) ≤ F_N，所以F(t)也是有上界的。由此我们证明了，如果F(t)是方程（1）的解，则FN ≥ F(t) > 0，因此方程（1）在拉普拉斯意义上是稳定的。