《Energies》：A Review of Mathematical Reduced-Order Modeling of PCM-Based Latent Heat Storage Systems
John Nico Omlang and
Aldrin Calderon
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本文全面评述了应用于相变材料（PCM）潜热储能（LHS）系统的数学降阶建模（ROM）方法。文章系统梳理了从基于物理的简化模型、投影方法到数据驱动机器学习模型等多种ROM技术，分析了它们在应对相变非线性、移动边界等核心挑战时的性能与权衡。该综述为设计优化、实时控制和系统级仿真等不同应用场景提供了实用的方法选择框架，并指出了未来物理-机器学习混合模型的发展方向。
在全球向可持续能源系统转型的浪潮中，热储能（TES）技术扮演着关键角色。其中，基于相变材料（PCM）的潜热储能（LHS）系统尤为引人注目，它能在狭窄的温度范围内储存和释放大量热能，能量密度高，且相变过程近乎等温，在太阳能热发电、建筑调温、电子设备冷却及工业废热回收等领域展现出广阔的应用前景。然而，绝大多数PCM的低导热系数（通常仅为0.2-0.3 W/m·K）导致其充/放热过程缓慢，系统效率受限，加之相变过程本身固有的强非线性、多物理场特性以及移动的相界面，使得对其进行精确的高保真数值模拟（如基于焓-孔隙率法的有限体积法FVM模拟）计算成本极其高昂，一次仿真可能耗时数天甚至数周，严重阻碍了系统的优化设计和实时控制应用。
为跨越这一计算鸿沟，数学降阶建模（ROM） 应运而生，其核心目标是在显著降低计算自由度与时间的同时，尽可能保留系统最关键的热物理特性。ROM并非单一方法，而是一个涵盖多种策略的“工具箱”。本综述首先对这些方法进行了系统性的分类阐述。
物理简化与数学降阶的核心方法
模型降阶本身是一个多层次的过程。最初的简化常源于物理层面的假设，例如忽略自然对流、采用一维导热模型、或使用等效导热系数来近似复杂的实际结构。这些简化构成了模型降阶的第一道基石。在此基础之上，数学降阶建模 技术才得以大展拳脚，它们主要分为三大范式：
- 1.
投影式线性ROM：这类方法通过寻找一个低维子空间来近似高维系统的解。最具代表性的是本征正交分解-伽辽金投影（POD-Galerkin） 法。该方法从高保真模型仿真生成的“快照”数据中，提取出能量贡献最大的空间模态，构成一组正交基。随后，将原始控制方程投影到这个低维基上，得到维数大幅缩减的常微分方程组。POD方法物理意义明确，在系统动态主要由少数相干结构主导时效果显著。此外，简化基（RB） 方法和广义适当分解（PGD） 等方法也在处理参数化问题和“维度灾难”方面各有优势。然而，线性投影方法在处理PCM相变这样的强非线性问题时，其效率和精度会面临严峻挑战。
- 2.
非线性与超降阶ROM：为克服上述限制，离散经验插值法（DEIM） 和高斯-牛顿张量逼近（GNAT） 等超降阶技术被发展出来。它们不再在全域计算非线性项，而是通过精心选择一组“魔法点”或“配置点”，仅在这些稀疏位置评估非线性项（如焓-温度关系），再通过插值重构全局非线性项，从而在保持投影框架的同时，大幅提升了非线性ROM的计算效率。自适应基方法 则允许降阶基随着解的变化（如相界面的移动）而动态更新，更好地捕捉瞬态特征。
- 3.
数据驱动与机器学习ROM：这代表了另一种“非侵入式”的范式。它不直接处理控制方程，而是将高保真模型视为“黑箱”，从输入-输出数据中学习映射关系。动态模态分解（DMD） 试图从数据中提取主导动态模态的线性近似。神经网络 和自动编码器 能够学习复杂的非线性映射，或发现数据的最优非线性流形嵌入，直接构建从参数到温度场或关键性能指标的代理模型。高斯过程 模型不仅能提供预测，还能给出预测的不确定性量化。这类方法灵活性极高，在处理复杂几何和非线性问题时能实现惊人的加速比，但其“黑箱”特性、对大量高质量训练数据的依赖以及外推可靠性是其面临的主要挑战。
ROM在PCM-LHS系统中面临的独特挑战与应用优势
将ROM应用于PCM-LHS系统，必须直面其独特的物理复杂性：潜热非线性（焓-温度关系的剧烈变化、自然对流）、移动相边界（经典的Stefan问题）、多时间尺度动力学（快速相变与缓慢导热的耦合）以及几何与边界条件的强敏感性。这些挑战决定了没有“一刀切”的ROM方法，必须根据具体问题量身定制。
尽管挑战重重，ROM为LHS系统带来的优势是革命性的。它使得快速设计优化成为可能，工程师能在短时间内评估不同PCM类型、封装方式或换热器几何形状。在实时控制领域，ROM可快速预测系统热状态，实现对充/放电过程的主动管理，这对于平衡太阳能、风能等间歇性能源的供需至关重要。在系统级仿真中，ROM能够以极低的计算成本集成到更大的能源系统模型中，进行长时间尺度的性能模拟。
从理论到实践：典型应用案例剖析
综述通过多个详尽的案例研究，展示了不同ROM方法在具体LHS配置中的应用实效。例如，针对填充床系统开发的两温度非平衡ROM，将三维填充床简化为一维模型，采用有限体积法离散，仅用五个轴向网格点就实现了对系统充热过程的快速模拟，与实验数据吻合良好，最大温度偏差低于2.5 K。
在PCM嵌入式换热器的优化设计中，研究者对比了黑箱模型（克里金代理模型）和灰箱模型（结合了ε-NTU方法的简化物理模型）。结果显示，黑箱模型在组件级实现了高达220倍的加速，系统级误差（如压缩机能耗）低于0.3%；灰箱模型加速比为18倍，在保持物理可解释性的同时，也具备了工程应用的精度。
对于直接蒸汽发电太阳能热力系统中的壳管式储热单元，研究者应用了POD降阶模型来处理蒸汽和水、PCM同时发生相变的复杂场景。该方法从高保真CFD快照中提取主导模态，将计算维度从百万级降至个位数，在保证温度预测误差低于0.1%的同时，获得了超过300倍的计算加速。
更有研究表明，通过CFD生成查找表或训练人工神经网络、梯度提升回归器等机器学习模型构建的ROM，在应用于填充床、翅片外壳、三重管系统等场景时，加速比可从数十倍跃升至超过80,000倍，同时将预测误差通常控制在5%以内或亚开尔文温度偏差。
权衡、选择与未来之路
不同的ROM方法在计算效率、预测精度、物理可解释性以及对训练数据的依赖之间存在着根本性的权衡。投影式方法物理基础扎实，但处理强非线性问题复杂；数据驱动方法灵活高效，但可解释性和外推能力存疑。为此，综述提出了一个实用的决策框架，引导研究者和工程师根据具体应用目标（如侧重快速优化的设计、强调瞬时反馈的控制、或关注整体性能的系统仿真）来选择合适的ROM技术。
展望未来，挑战与机遇并存。如何更精确地表征相变非线性、处理多时间尺度动态、提升模型在不同几何和工况下的泛化能力，以及开展充分的实验验证，都是有待深入研究的课题。最具前景的方向莫过于物理与机器学习混合模型的发展，例如物理信息神经网络（PINNs），它将物理定律以约束形式嵌入神经网络，有望兼具数据灵活性与物理一致性。推动标准化验证协议，并探索ROM融入工业工作流程的路径，将是实现其大规模工程应用的关键。
