一维通量片磁格结构中的线性MHD波 孙世宇、 范佩峰、 任振振、 王伟华

《Crystals》：Linear MHD Waves in a One-Dimensional Flux-Sheet Magneto-Lattice Shiyu Sun, Peifeng Fan, Zhenzhen Ren and Weihua Wang

　　摘要：在我们之前的研究中，我们推导出了两个基于（??,??,??）和扰动位移??的控制系统方程的表达式。在此基础上，我们扩展了分析范围，研究了线性磁流体动力学（MHD）波在一维通量片磁晶格中的色散关系。通过将倒易晶格向量的截断阶数从3增加到10，对于用（??,??,??）表示的中心方程，以及调制幅度为???? =0.01、0.02、0.1、0.2、0.3和0.4的情况，来检验色散关系的收敛性。在不同截断阶数下获得的色散关系显示出对于较小的调制幅度????有快速的收敛性，随着????的增加只有微小的差异，表明在所研究的参数范围内平面波展开（PWE）方法的收敛性是总体令人满意的。与之前研究的正弦磁晶格的比较分析表明，尽管整体色散结构在质量上是相似的，但通量片磁晶格在等效调制幅度下产生更宽的带隙。这是由于两种周期性结构的傅里叶谱不同，它们的倒易晶格分量的幅度和谐波内容都存在差异。

1. 引言
通过人工设计的周期性结构来控制和操纵波是现代物理学中的一个重要研究领域，推动了光子晶体和声子晶体的发展[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]。这些结构利用空间周期性来创建带隙——即禁止波传播的频率范围——从而应用于波过滤、引导和传感[11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]。其基本原理基于布拉格反射，即周期性从根本上改变了色散关系，导致模式耦合和新物理现象的出现。
磁流体动力学（MHD）描述了磁场中导电流体的动力学，对于理解天体物理、空间和聚变等离子体中的现象至关重要[21,22,23,24,25,26,27]。均匀磁化等离子体中的基本波模式包括快速磁声波、慢速磁声波和阿尔文波。最近的研究越来越多地关注平衡空间非均匀性对这些波的影响。在等离子体平衡中引入周期性结构——例如空间周期性磁场，形成“磁晶格”——提供了一种可控地 modify MHD 波传播的强大方法[28]。这一概念为等离子体波控制开辟了新的可能性，类似于在光子晶体和声子晶体中操纵光和声音。
在我们之前的论文[28]中，我们为分析正弦磁晶格中的 MHD 波建立了一个通用框架。在这种周期性结构中，带隙宽度对调制剖面非常敏感。例如，光子晶体中更尖锐的介电对比会导致更宽的带隙。在这里，我们将这个框架推广到研究通量片磁晶格中的 MHD 波的色散关系。这种结构由类似于 - 函数的周期性磁场组成，代表了空间局部化的一个极端情况。它引入了强烈的高阶傅里叶分量，可能导致与平滑正弦情况相比不同的色散特性。从物理上讲，这种类似 - 函数的模型是一个高度局部化的磁场。这些结构与太阳日冕中的电流片、行星磁层中的磁通管以及聚变装置中的场对齐电流结构密切相关。此外，类似的磁晶格结构可以通过精心设计的磁线圈排列在实验室等离子体中人工制造，从而实现对波的定向控制，例如频率特定的波抑制[29,30,31,32,33]。

本研究的主要目标有三个。首先，我们检查了色散关系关于截断阶数的收敛行为，为不连续调制磁场的平面波展开（PWE）方法提供了实际评估。其次，我们将通量片磁晶格的色散关系和带隙特性与正弦磁晶格的进行比较，以阐明磁场调制的形状如何影响 MHD 波的行为。
本文的结构如下：第2节简要回顾了我们之前研究中的 MHD 平衡和中心方程[28]。第3节介绍了通量片磁晶格的具体模型，并展示了收敛性研究和与正弦晶格的比较分析结果。最后，第4节提供了发现总结和讨论。

2. MHD 平衡和中心方程
在光子晶体中，具有对比介电常数的材料的周期性排列建立了控制光传播的基本框架。类似地，MHD 波在等离子体中的传播需要一个类似结构化的背景，这是通过称为 MHD 平衡的状态实现的。叠加在这种平衡上的扰动产生了 MHD 波。将晶格的概念扩展到 MHDs，我们旨在构建一个空间周期性平衡结构——即磁晶格——然后研究其中的 MHD 波的传播。因此，研究 MHD 波必然从构建这样的平衡开始，就像研究光子晶体中的光传播是从设计晶格本身开始的。接下来，我们简要回顾了该技术，并在之前的论文[28]及其中的参考文献中提供了详细的推导。
我们从标准化的理想线性化 MHD 方程开始（1）、（2）、（3），其中 \(c\) 是声速的平方，\(v_A\) 是阿尔文速度，\(\gamma\) 代表绝热指数。这里，\(B\) 是平衡磁场，\(B_{\perturbed}\) 是扰动磁场，\(\rho_{eq}\)、\(\rho_{perturbed}\) 和 \(u\) 分别代表平衡质量密度、扰动质量密度和磁流体的速度，\(I\) 是单位张量。为了闭合系统，必须满足以下平衡条件（4），其中 \(p_{eq}\) 代表平衡热压。为了分析波的传播，通常方便用等离子体位移向量来重新表述方程。经过适当的操作后，线性化 MHD 方程简化为（5）。这种表述为应用 PWE 方法提供了坚实的基础。在 PWE 框架内，用状态向量表示的控制方程可以转化为矩阵特征值问题（6），其中张量 \(K\) 定义为（7），其中 \(\delta_{ik}\) 是克罗内克符号。从物理上讲，这个矩阵的块代表通过平衡周期性（8）密度、磁场和速度扰动的耦合。另外，使用位移向量 \(u\) 导致类似的矩阵表述（9），其中 \(S\) 定义为（10），张量 \(T\) 采取显式形式（11）。这种形式虽然复杂，但明确显示了不同傅里叶分量通过平衡磁场 \(B\) 和 \(\rho\) 之间的耦合。与 \(\rho\) 成比例的项源自热压，而其余项起源于磁张力和压力力。

3. 通量片磁晶格中的色散关系及不同截断中心方程的比较
在本节中，我们将上述推导的控制方程应用于特定的一维磁晶格配置。使用基于 \(u\) 和 \(v_A\) 的控制方程，我们可以计算磁晶格中 MHD 波的色散关系。考虑一个周期性磁通结构，其中磁场沿 \(x\) 方向排列，由（12）给出，其中 \(B_0\) 是常数背景场，（13）代表一维通量片磁晶格场。这里，\(J\) 是磁通线密度，\(F\) 是单个通量片携带的总磁通量，\(l\) 是垂直于 \(x\) 的系统长度。第 \(i\) 个通量片的位置由 \(x = l_i\) 给出，如图1所示。图1是通量片磁晶格中磁场分布的示意图。十字符号表示磁场指向页面内部。每个磁通量是 \(\Phi_i\)。这样，标准化的平衡磁场也可以重写为（15）。标准化平衡压力和密度可以从方程（4）计算得出（16）、（17）。现在我们可以计算 \(u\) 和 \(v_A\) 的傅里叶分量。这些由（18）给出，并在下面的表格中列出。
在平衡磁场中使用 - 函数（方程（15）是一种理想化，代表了无限薄且高度局部化的通量片。虽然在实空间中是奇异的，但在这种剖面在傅里叶空间中表现良好，为所有 \(k\) 产生恒定的傅里叶系数（见表1）。这个属性为 PWE 方法的收敛性提供了严格的测试，因为它涉及大量傅里叶谐波之间的耦合。值得注意的是，从方程（4）派生的平衡密度 \(\rho_{eq}\) 和压力 \(p_{eq}\) 形式上包含与 \(u\) 成比例的项（方程（16）和（17））。在严格的分布理论中，狄拉克δ函数的平方是未定义的，其在原始单元上的积分是发散的。从物理上讲，这种发散反映了无限薄电流片的非现实假设。有限厚度的电流片将规范这些奇异性，从而产生有限但非常大的 - 类项的贡献。然而，这样的贡献不是满足跳跃条件所必需的——线性项已经决定了平衡磁通片两侧热压跳变的正确不连续性。\(u\) 项对应于在理想 MHD 平衡中不存在的高阶非线性自相互作用，当将通量片视为锐利界面时。遵循等离子体物理中的标准方法，我们仅保留 \(u\) 项并丢弃 \(v_A\) 项，因为它们会导致非物理的发散。这种规范化类似于零厚度电流层的理想 MHD 极限，其中磁压跳变仅由线性 \(u\) 函数分量引起的热压跳变平衡。这种规范化产生了表1中列出的有限傅里叶系数。表1给出了不同倒易晶格向量下通量片磁晶格的磁场和密度的傅里叶系数。第2节中推导的中心方程（即方程（6）和（9）在形式上是无限维的，因为它们涉及所有倒易晶格向量之间的耦合。直接数值解这样的无限系统是不可行的。为了获得可计算的有限维近似，我们将展开截断到有限数量的倒易晶格向量。通过将截断阶数从1变化到10来检查带结构的收敛性。
我们首先检查了空晶格情况（\(u = 0\)）的收敛行为，相应的比较结果如图2所示，调制幅度为 \(v_A = 0\)。在不同截断阶数下获得的色散关系只有微小的差异，表明收敛性令人满意。图2展示了不同截断阶数下空晶格（即 \(u = 0\)）的色散关系。图（a）显示了使用截断阶数从3到10计算的色散关系，而图（b）显示了使用 \(v_A\) 从3到5的截断阶数获得的相应结果。由于用 \(u\) 表示的中心方程在物理上等同于用 \(v_A\) 表示的中心方程，因此有必要比较这两种公式得到的结果。如图3所示，对于 \(u = 0\) 和 \(v_A \neq 0\) 的情况，两种方法得到的结果都表现出良好的一致性，相应的色散关系落在数值上合理的误差范围内。鉴于这种物理等效性和可接受的数值差异，后续分析将主要采用使用 \(v_A\) 计算的色散关系。图3的图（a）展示了两种中心方程的结果比较，而图（b）展示了使用 \(v_A\) 的结果。开放圆圈表示用 \(u\) 表示的中心方程计算出的色散关系，实心圆圈表示用 \(v_A\) 表示的中心方程得到的结果。计算包括所有幅度达到截止值的倒易晶格向量。从图2可以看出，没有空间周期性磁场时，更高的截断阶数对收敛性没有影响。然而，当引入空间周期性磁场时，随着截断阶数的增加，差异开始出现。从图4可以看出，对于相对较小的 \(v_A\) 值，通量片磁晶格的收敛性很快，在第十阶内就达到了完全收敛，即使在第三阶截断时，误差也保持在可接受的范围内。相比之下，对于较大的 \(v_A\) 值，通量片磁晶格的收敛性显著减慢。此外，由于PWE方法的固有局限性，必须假设周期势是微弱的。因此，后续的研究将集中在三阶截断下获得的分散关系上，特别是对于较小的参数值。图4展示了从3到10的不同截断阶数下分散关系的比较。图(a)显示了的情况，图(b)显示了的情况，图(c)显示了的情况，图(d)显示了的情况，图(e)显示了的情况，图(f)显示了的情况。作为我们之前研究的扩展，我们之前计算了正弦磁晶格的分散关系，现在我们对比分析了正弦磁晶格和通量片磁晶格。图5显示了通量片磁晶格和正弦磁晶格的分散关系。图(a)展示了通量片磁晶格的分散关系，而图(b)展示了正弦磁晶格的分散关系。可以清楚地观察到，对于相同的调制幅度，通量片磁晶格的带隙比正弦磁晶格的带隙要大。这种差异可以归因于不同参数值下磁场和密度的傅里叶系数。对于正弦磁晶格，傅里叶展开仅包含基频谐波——具体系列见表2[28]。表2显示了不同倒易晶格矢量下正弦磁晶格的磁场和密度的傅里叶系数。相比之下，通量片磁晶格具有较大的傅里叶系数，其高阶项也对傅里叶分量有不可忽视的贡献。这些均匀的、不衰减的高阶谐波的存在使得平面波分量之间的耦合能够在较宽的倒易空间范围内持续，从而导致比正弦磁晶格更明显的带隙。图谱窗口中阿尔文分支的位移和最终消失可以通过周期性介质中的模式耦合来理解。在通量片磁晶格中，函数的磁场和密度具有平坦的傅里叶谱，所有倒易晶格矢量的系数都不为零。随着参数的增加，前向传播的阿尔文波与其布拉格反射对应波之间的耦合在所有布里渊区边界上都会增强，而不仅仅是在第一个边界上。这种增强的模式排斥作用，类似于深周期性势中电子带隙的变宽，驱动了分散分支的重大全球重构。因此，阿尔文分支被推向更高的频率，最终移出了图4所示频率窗口的上限。随后，我们计算了带隙的大小，并绘制了快波带隙作为参数函数的变化，如图6所示。图6说明了快波带隙作为参数函数的变化，特别是在布里渊区边界处进行的评估。4. 结论在本文中，我们将MHD磁晶格的理论框架从平滑变化的正弦磁晶格扩展到了通量片磁晶格。系统检查了分散关系对于平面波展开截断阶数的收敛行为。对于较小的调制幅度，和两种公式都表现出快速收敛，只有随着参数的增加才出现轻微的差异。在研究的参数范围内，数值方法显示出整体上的满意收敛性，验证了它适用于不连续周期性介质。通过对比分析通量片磁晶格和正弦磁晶格，发现在总体分散结构上相似的情况下，通量片配置会产生更宽的带隙和在相同调制幅度下阿尔文分支明显的频率上移。这些差异源于两种周期性磁结构的不同傅里叶谱：通量片磁晶格不仅具有较大的傅里叶系数幅度，还具有不衰减的高阶谐波，这两者共同促进了多个布里渊区边界之间的增强模式耦合。这些发现强调了空间调制磁场在确定周期性等离子体结构中MHD波的色散特性方面的关键作用。它们表明，通过调整周期性磁场的空间分布，可以有效地实现磁晶格中的能带结构工程。除了对太阳和磁层磁通管环境的相关性外，这种磁晶格概念可能为实验室中的等离子体波控制开辟新的途径，包括在波过滤、能量限制和先进等离子体诊断中的应用。