具有重尾退化特征的产品最佳维护策略

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Optimal maintenance strategies for deteriorating products with heavy-tailed degradation pattern

　　作者简介：
赵清清（Qingqing Zhai）：负责写作、审阅与编辑、可视化处理、数据验证、研究方法设计、概念化工作。
赵子岩（Ziyian Zhao）：负责写作、初稿撰写、软件开发、数据分析、形式化分析以及数据整理。
潘光泽（Guangze Pan）：负责写作、审阅与编辑、项目监督、资金筹集以及概念化工作。

**摘要**
基于状态的维护对于管理可修复工业产品的可靠性至关重要。然而，许多产品表现出现非单调 degradation（即劣化过程）并具有重尾特性。传统的退化模型往往无法准确捕捉这些复杂的随机行为，从而导致维护决策不够理想。为了解决这一问题，本文采用方差伽马过程（Variance Gamma Process, VGP）来灵活模拟复杂的退化路径。维护决策被构建为一个马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP），该过程基于观察到的退化状态，旨在最小化长期运行成本。我们确立了 MDP 的结构特性，并证明最优维护策略属于阈值型。我们推导了 MDP 的转移概率，并提出使用值迭代算法（Value Iteration Algorithm）来求解最优策略。同时，我们还分析了模型误设对维护决策的影响。通过数值研究验证了模型，结果表明忽略重尾特性会导致次优策略和更高的长期成本。敏感性分析表明，成本参数和退化参数会显著影响最优策略和总成本。这些发现为高可靠性产品的维护管理提供了理论基础和实用方法，帮助企业降低运营费用的同时确保系统安全。

**引言**
随着现代工业产品向高速度、高精度和自动化方向发展，可靠性已成为其关键特性之一[1]。在这种情况下，维护已经从常规的运营活动演变为一种战略功能，对于保持系统稳定性、防止故障和管理产品生命周期至关重要[2]。在工业应用中，最常见的故障模式之一是关键性能特征的退化，这标志着产品的逐渐老化[3]。随着退化的进展，性能特征会偏离标称水平，最终超出可接受范围。因此，有效的维护需要根据实际退化程度采取相应措施，以防止意外故障。随着传感器的发展，实时系统状态变得越来越容易获取[4]。这使得操作人员能够根据当前状况调整维护措施，从而有效提高系统可用性并降低生命周期成本。
为了实现预防性和高效的维护，了解当前的退化状态并预测其未来演变至关重要。因此，退化建模成为预防性维护（Preventive Maintenance, PM）或更准确地说基于状态的维护（Condition-Based Maintenance, CBM）中的关键要素。退化建模有助于预测系统状态的演变，避免维护不足或过度维护。由于退化过程通常具有内在的时间随机性，随机过程模型被广泛用于退化建模[5]。常用的模型包括维纳过程（Wiener Process）、伽马过程（Gamma Process）和逆高斯过程（Inverse Gaussian Process），其中维纳过程最为流行。然而，在许多实际系统中，退化表现出非单调和重尾特性，这些传统模型难以有效捕捉。退化的重尾性往往源于不可观测的环境影响或复杂的故障机制[6]。忽略或误识别这些重尾特性可能会导致次优的维护决策。
本研究探讨了适用于非单调和重尾退化产品的 CBM 策略。退化过程通过方差伽马过程（VGP）进行建模，该过程最初是为金融建模开发的，用于捕捉资产回报中的重尾性和偏度[7]。我们考虑定期检查，并将维护决策问题构建为一个马尔可夫决策过程（MDP），以最小化长期折现成本。我们分析了 MDP 的结构特性，并证明了最优阈值型维护策略的存在。状态空间被离散化以方便计算，最优策略通过值迭代算法获得。通过模型误设分析，我们发现忽略重尾性会导致次优维护策略。通过广泛的数值实验验证了这一发现，并进行了敏感性分析，以考察关键参数对最优策略的影响。

**本文结构**
第 2 节回顾了退化建模和维护策略的相关文献。第 3 节介绍了建模框架，其中使用 VGP 对产品退化进行建模，并将 CBM 问题构建为 MDP 模型。第 4 节通过分析长期折现成本，证明了最优维护策略的存在，并使用值迭代算法进行数值求解。第 5 节探讨了忽略退化重尾性时模型误设的后果。第 6 节通过数值研究和敏感性分析验证了所提出的模型。最后一部分总结了主要发现，并讨论了未来研究的方向。

**文献综述**
在可靠性工程中，准确建模产品退化过程并基于这些模型制定有效的维护策略对于降低运营成本至关重要。本节回顾了关于数据驱动退化建模和系统 CBM 的相关研究。

**VGP 退化建模**
考虑一个具有重尾增量的退化过程 {X(t), t≥0}。我们使用 VGP 对其进行建模，VGP 是一个具有独立增量和 VG 分布的非单调随机过程。具体来说，增量 X(t+s)?X(s) 的概率密度函数（PDF）为：
$$
f_X(t+s) - X(s) = \frac{2\alpha \alpha_t \exp\left(\mu x \sigma^2\right)}{2\pi \sigma^2 \Gamma(\alpha_t) \left| x \right| \mu^2 + 2\alpha \sigma^2 \alpha_t^{-1}\right},
$$
其中 μ、σ 和 α 是模型参数，Kν(?) 表示第二类修正贝塞尔函数[40]。图 1 展示了 VGP 的 PDF。

**最优维护策略**
我们在第 3.3 节中研究了 MDP 模型，并在本节推导出最优维护策略。首先，证明了价值函数的关键结构特性以确保算法的有效性。接着，对状态空间进行离散化并推导状态转移概率。最后详细介绍了值迭代算法。

**模型误设的影响**
在工业实践中，当忽略退化过程的重尾特性时，操作人员可能会采用维纳过程等常用模型进行退化建模和维护优化。然而，如果真实的退化机制遵循 VGP，使用错误的维纳模型会导致系统性的次优维护决策。本节分析了这种误设的后果。

**数值研究**
本节对提出的基于 VGP 的 CBM 框架进行了全面的数值验证。研究目标有三项：（i）阐释从模型中得出的最优维护策略的结构和合理性；（ii）通过模型误设分析定量展示忽略重尾退化模式的严重后果；（iii）系统地研究关键运营和退化参数对维护策略的影响。

**结论**
本研究开发了一个适用于非单调和重尾退化产品的 CBM 框架。重尾退化过程通过 VGP 进行建模，VGP 可以表示为带有伽马过程子过程的时间变换维纳过程。随机时间尺度自然地捕获了动态环境条件的影响，从而解释了退化中的重尾性根源。我们考虑了基于定期检查的 CBM 策略。

**作者贡献声明**
赵清清（Qingqing Zhai）：负责写作、审阅与编辑、可视化处理、数据验证、研究方法设计、调查、形式化分析、概念化工作。
赵子岩（Ziyan Zhao）：负责写作、初稿撰写、数据验证、软件开发、数据分析、形式化分析。
潘光泽（Guangze Pan）：负责写作、审阅与编辑、项目监督、资金筹集、概念化工作。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本文的研究结果。

**致谢**
本研究得到了广东省电子信息产品可靠性技术重点实验室开放基金（GDDZXX202402）和国家自然科学基金（72271154 和 W2421019）的支持。