一种基于混合有限元的FE2公式，用于异质材料的多尺度仿真

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A hybrid finite element-based F E 2 formulation for multiscale simulation of heterogeneous materials

　　Sourav Kumar | Navin Kumar | Manish Agrawal
机械工程系，印度理工学院，Ropar，140001，旁遮普邦，印度

**摘要**
FE2方法是一种强大的计算框架，用于模拟微观非均质材料，同时明确考虑微观结构细节。然而，传统的基于位移的FE2公式在处理薄结构问题或近似不可压缩材料时容易发生数值锁定。在这种情况下，要准确捕捉机械响应需要对宏观有限元网格进行大幅度细化，而这与本质上计算成本高昂的嵌套微观尺度边界值问题相结合，导致计算成本显著增加。为了解决这个问题，我们在有限变形的背景下开发了一种基于混合元素的新型FE2公式。这种混合FE2公式在宏观尺度上采用基于双场Hellinger–Reissner变分原理的混合元素，并结合了第二Piola–Kirchhoff应力均质化方案。通过Hill–Mandel条件保持不同尺度之间的一致性，并通过嵌套的Newton–Raphson方案同时求解这两个尺度，同时进行适当的线性化处理。所提出的方法通过一系列基准问题进行验证，并与直接数值模拟（DNS）结果进行了比较，证明了其优越的计算效率。

**引言**
多尺度建模在准确预测复合材料和生物材料的行为方面起着关键作用，这些材料在微观尺度上表现出异质性。这些材料的整体行为由微观结构成分的架构和材料属性决定。这些材料的模拟主要采用两种方法：（1）现象学建模 [1]，（2）多尺度建模 [2]。在第一种方法中，基于实验观察在宏观尺度上定义本构模型来描述材料的整体行为。虽然这种方法计算效率高，但难以捕捉微观结构成分之间的复杂相互作用。相比之下，多尺度建模直接从底层微观结构推导出宏观行为，从而提供了一个分层且基于物理的框架，能够捕捉微观异质性的影响。
多尺度方法可以进一步分为两类：（1）平均场方法和（2）全场方法。平均场方法的示例包括Mori–Tanaka方法 [3]、[4]、自洽方案 [5] 和Eshelby的夹杂物理论 [6] 等 [7]、[8]、[9]。这些方法通常假设微观结构成分的几何形状简化，并且一般限于线性问题。而全场多尺度方法，特别是基于有限元的FE2方法，能够准确捕捉复杂的微观结构几何形状和非线性响应 [10]。FE2方法通过以完全耦合的方式求解宏观和微观边界值问题来进行双尺度分析，使其成为模拟微观非均质材料的强大而通用的工具。

典型的FE2方案将宏观域离散化，并为每个高斯积分点分配一个代表体积元素（RVE）[11]。对于每个宏观点，通过适当的边界条件将变形梯度或应力施加到RVE上（降尺度）[2]。然后求解微观尺度边界值问题以获得局部场。随后进行均质化处理，通过在RVE上平均微观场来恢复宏观响应（升尺度）[12]。有关计算均质化的最新进展的更多细节可以在 [13]、[14] 中找到。通过Hill–Mandel条件[5]、[15] 确保微观和宏观尺度之间的一致性过渡。
Smit及其同事 [16] 首次提出了基于有限元的微宏观耦合方案。随后，[12] 在复合网格方法的框架内使用了这一技术。Feyel [15] 后来创造了FE2这一术语，并使用ZeBuLoN（Zebra-Bulletin Nonlinear）代码在宏观和微观尺度上实现了该方法，同时结合并行计算策略来管理高计算需求。后续的工作引入了越来越先进的并行化技术以提高FE2实现的效率 [17]、[18]。最近，人们努力将FE2方法集成到商业软件平台中。例如，[19]、[20]、[21] 使用Python脚本在Abaqus中实现了FE2，这些脚本允许在宏观尺度积分期间递归调用Abaqus求解器。为了减轻多尺度建模固有的高计算成本，一些研究提出了微宏观解耦策略。这些策略包括通过在RVE上进行一系列数值材料测试来预计算宏观本构张量 [22]、[23]、[24]、[25]。同时，还引入了整体FE2公式 [26]、[27]、[28]，其中宏观和微观尺度在统一的Newton–Raphson迭代框架内同时求解。

还探索了其他多尺度方案。例如，FE-FFT方法已用于瞬态问题 [29]、[30]、[31]、[32]，其中宏观尺度使用标准有限元建模，微观尺度问题使用快速傅里叶变换技术求解。此外，多项研究还研究了跨尺度的结构不稳定性的出现和相互作用 [33]、[34]、[35]。最近，FE2公式已与多孔介质和混合理论结合使用 [36]、[37]。由于这些进展，FE2方法已成功应用于广泛的工程和科学领域，包括纤维增强复合材料的多尺度分析 [15]、[21]、[35]、编织复合材料 [38]、[39]、生物力学 [40]、[41]、[42]、弹性-塑性基体-夹杂物系统 [35]、[43]、微孔生长 [35]、[44] 以及多晶金属的纹理演化 [45]。此外，FE2还在微观结构设计优化 [46] 和多物理问题（如热力学 [47]、[48]、[49]、电-磁力学耦合 [50]、[51]、三场耦合问题 [52]、[53]、微形态连续介质 [54]、[55]、化学-力学相互作用 [56]、[57] 和水力学问题 [58]、[59]）中找到了应用。

在大多数现有的FE2实现中，宏观尺度上使用标准的基于位移的有限元。然而，这些元素在涉及薄结构或近似不可压缩材料的场景中容易发生数值锁定 [60]。在这些条件下，要准确捕捉机械响应需要对宏观有限元网格进行大幅度细化。由于FE2本身由于嵌套的微观尺度边界值问题的求解而计算密集，这种额外的细化导致计算成本和模拟时间显著增加 [40]、[61]。因此，在微宏观耦合模拟中，由于锁定问题，计算时间可能会增加数小时甚至数天 [2]、[15]。在这种情况下，有时会在FE2中引入壳单元和梁单元来高效模拟薄结构 [62]、[63]、[64]。然而，它们的基本运动学假设使得它们在涉及复杂几何形状、材料各向异性或多物理耦合的问题中不够通用。

在单尺度有限元建模的背景下，为了提高连续体框架中的粗网格精度，文献中广泛使用了基于应力 [65]、[66] 和应变 [67] 的混合元素公式。然而，基于应变的公式即使在简单的场景（如均匀压缩）中也容易产生沙漏型不稳定性 [68]，这需要引入稳定技术 [69]。相比之下，基于应力的混合元素没有这些数值问题，并且在广泛的应用中证明是稳定且高效的 [70]、[71]。混合元素已应用于各种单尺度问题，如大变形弹性 [60]、粘塑性 [72]、接触问题 [73] 和多物理问题 [74]，但它们在多尺度建模中的应用仍有待探索。

基于这些考虑，我们在有限变形的背景下开发了一种基于应力混合元素的FE2方案，据我们所知，这是文献中的首次尝试。在宏观尺度上，边界值问题使用基于双场Hellinger–Reissner变分原理的混合元素方法进行公式化，其中应力和应变场分别独立插值。另一方面，微观尺度问题由基于PK2应力的均质化公式 [75] 管理，其中在周期性边界条件下将PK2应力施加到RVE上，以计算Green–Lagrange应变张量和线性化的第二 compliance张量。通过满足Hill–Mandel条件确保微观和宏观尺度之间的一致性过渡。

为了解决问题的固有非线性，两个尺度上都进行了适当的线性化处理。微观和宏观问题通过嵌套的Newton–Raphson方案耦合，整个多尺度系统同时求解。所提出的方法通过一系列基准问题进行验证，并与直接数值模拟（DNS）结果进行了比较。此外，还通过多个数值示例评估了其性能，证明了其优越的计算效率。

本文的其余部分结构如下。第2节介绍了宏观边界值问题，并提出了所提出的基于混合元素的FE2的宏观变分公式。随后，第3节讨论了宏观尺度上混合FE2框架的有限元实现。第4节描述了求解宏观变分方程所需宏观量值的推导过程。该节还概述了计算一致宏观 Compliance张量、满足Hill–Mandel条件以及在微观尺度上的有限元实现的算法。第5节通过几个基准数值示例评估了该公式的性能。最后，第6节总结了研究的关键发现和结论。

**部分摘录**
**宏观尺度上的边界值问题**
我们首先介绍控制宏观尺度上静态有限变形的方程。由于变形配置是预先未知的，所有方程都是在参考配置下編写的。设ψΩ为开放域，其边界为ψΓ，ψΓ由两个不相交的区域ψΓu∪ψΓt组成，其中ψΓu和ψΓt分别代表位移边界和牵引边界。原始配置和当前配置中的空间变量分别表示为ψX和ψx。

**混合FE2的有限元策略**
在以下部分，我们提供了耦合宏观-微观混合FE2技术的有限元策略。

**微观尺度问题**
如前所述，为了解决宏观变分框架（第2.1节），需要计算宏观应变张量ψE?(ψS)和宏观 Compliance张量ψS。为此，在每个宏观材料点（高斯点）处施加的PK2应力ψS通过边界条件施加到RVE上，并求解微观尺度边界值问题。在本节中，我们建立了边界值问题的控制方程和运动学关系。

**数值示例**
在本节中，通过一系列包含几何和非线性特性的多尺度问题，展示了混合FE2公式的准确性和鲁棒性。第一个示例通过检查均匀悬臂梁在横向载荷下的响应来进行初步验证，并将结果与已建立的基准解进行比较。为了进行二级验证，进行了异质Cook膜的全尺度模拟。

**结论**
本文提出了一种基于应力混合元素的FE2框架，用于有限变形下异质材料的多尺度建模。在传统基于位移的FE2公式的局限性的基础上，该方法利用宏观尺度上的基于应力的混合元素来提高准确性和效率。该公式在两个尺度上采用总拉格朗日描述，并确保了...

**作者贡献声明**
Sourav Kumar：编写——原始草稿、验证、方法论、概念化。
Navin Kumar：编写——审阅与编辑、监督。
Manish Agrawal：编写——审阅与编辑、监督、方法论、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。