轮胎与路面之间的摩擦接触是车辆工程中普遍存在的现象。轮胎通常被建模为粘弹性体，会发生较大的变形，而相对较硬的路面则几乎不发生变形。当轮胎在不同地形（如沥青、混凝土或土壤）上行驶时，接触界面处的摩擦特性会有显著变化。即使在同一类型的路面上，不同尺度上的表面形态局部差异也会导致摩擦力的明显变化。这种摩擦行为的复杂性主要源于橡胶材料的粘弹性特性与路面多尺度粗糙度的耦合效应[1]。这种复杂的摩擦行为对轮胎的设计和制造提出了相当大的挑战。
轮胎的主要材料是橡胶，它表现出包含超弹性和粘性贡献的粘弹性行为。超弹性成分使得轮胎能够发生较大变形，通常用Neo-Hookean、Mooney–Rivlin[2]、[3]和Ogden[4]等本构模型来描述。另一方面，粘性成分使得橡胶的力学响应依赖于时间、速度和温度，表现为应力松弛、蠕变和滞后现象——这些现象会导致能量耗散。这种速率依赖性行为通常用Prony级数公式来表示[5]。沥青路面在多个尺度上表现出自仿射的粗糙特性[1]。当橡胶块在这样粗糙的表面上滑动时，摩擦的主要物理机制是滞后现象。这种效应是由于表面凹凸不平对粘弹性橡胶材料的周期性激励而产生的体积现象，导致内部能量耗散。最终的耗散由材料特性和表面地形共同决定[6]。
为了解决橡胶与粗糙路面之间的复杂摩擦机制，方法论主要沿着两个方向发展：分析理论和计算方法，特别是有限元方法。早期的实验确定了分子粘附（与橡胶粘弹性相关）和由凹凸不平引起的变形耗散是摩擦的主要来源[7]、[8]。Persson的有影响力的工作将摩擦分解为粘附和滞后，其中粘附在光滑干燥的表面上更为显著[9]、[10]。随后开发了各种分析模型，特别是Schallamach[7]、[11]、Grosch[8]和Persson[12]的研究，以及其他已建立的理论[13]、[14]、[15]、[16]。其中，Persson的理论已经得到了广泛的实验验证[17]、[18]、[19]、[20]。扩展模型考虑了裂纹[21]、轮胎柔韧性[22]和修改后的Kelvin–Voigt元素[23]等因素。虽然橡胶摩擦也强烈依赖于温度[7]、[24]，但本工作主要关注低速滞后摩擦，将粘附和热效应留待未来研究。
为了处理复杂的几何形状和材料非线性，多尺度有限元方法（MFEM）提供了一个灵活的框架。Wriggers和Reinelt首次将MFEM应用于橡胶滞后摩擦的研究，他们引入了一种从细尺度到粗尺度的尺度桥接方案，使用均质化的摩擦定律[25]、[26]。后续的改进包括详细的等几何均质化[27]、跨粗糙度尺度的粘弹性模型分析[28]、[29]，以及通过功率谱密度进行表面特征分解[6]。该方法已经得到了实验验证[30]，并扩展到包括热效应[31]、粘附[32]、润滑[33]，以及将有限元与分子动力学耦合的跨尺度模拟[34]。
在MFEM框架内，从离散的、特定尺度的数值输出构建连续的摩擦定律是必要的，因为这些数据不能直接转移到下一个尺度。早期的尝试，如使用基于幂函数和反正切函数的拟合[25]、[26]，被证明缺乏通用性。尽管后来的改进（如三次样条插值）提供了更大的灵活性[6]，但这种显式的函数拟合策略仍然仅适用于独立变量较少的问题（例如压力和速度）。
相比之下，机器学习——尤其是神经网络——提供了一种处理多个输入变量的自然方式，并已被广泛用于从各种数据源构建摩擦定律。例如，基于有限元逆系数结合PCA和随机森林的模型[35]、将温度、压力和速度映射到摩擦系数的实验方法[36]、[37]、包含粗糙度特征的理论生成数据[38]，以及结合实验、理论和有限元数据的混合方法[39]。然而，在这些混合模型中，有限元数据通常是通过规定摩擦系数生成的，而不是通过一致的自下而上的多尺度计算得到的。
因此，尽管现有的方法——无论是基于函数拟合还是数据驱动的学习——可以解决摩擦定律建模的某些方面，但它们通常缺乏与尺度分辨MFEM计算的系统耦合，并且没有形成一个从表面生成和多尺度分析到定律构建和工程应用的完整工作流程。为了弥合这一差距，本研究提出了一种串联多尺度深度神经网络（SMDNN）框架，该框架与MFEM结合使用，以串行方式从最小尺度到最大尺度构建完整的本构模型。
本文的结构如下：第2节介绍了SMDNN的一般框架，并讨论了其在橡胶摩擦背景下的实现。第3节描述了生成随机粗糙表面的方法，包括分形特性和非高斯高度分布。第4节介绍了本研究中使用的MFEM，包括惩罚接触算法、边界条件、粘弹性材料模型和摩擦的时间均质化。在接触算法中引入了一种自适应惩罚参数策略以提高收敛性。第5节介绍了用于训练SMDNN的数据集，详细说明了实现策略和模型评估。第6节将训练好的SMDNN应用于宏观尺度接触分析。第7节提供了结论性意见。附录A提供了自适应惩罚参数策略的收敛性分析，附录B展示了最小尺度初始摩擦系数的敏感性分析。
