StabOp：一种基于数据的稳定化算子，用于简化阶数建模

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：StabOp: A data-driven stabilization operator for reduced order modeling

　　蔡平轩 | 安娜·伊万涅斯 | 安娜丽莎·奎尼 | 特拉扬·伊列斯库 | 詹卢伊吉·罗扎
美国弗吉尼亚理工大学数学系，布莱克斯堡，24061，VA

摘要
数十年来，空间滤波器在大涡模拟中发挥了核心作用，最近在以对流为主流动的降阶模型（ROM）稳定性控制中也得到了应用。然而，仍有许多重要的未解决的问题：在分辨率不足的情况下，哪种滤波器最适合特定的稳定或闭合模型？此外，一旦选择了滤波器，其参数（如滤波器半径）应该如何确定？解决这些问题对于基于滤波器的稳定或闭合策略的可靠设计与性能至关重要。为了回答这些关键问题，我们提出了一种与现有基于滤波器的稳定和闭合方法根本不同的新策略：我们用一种新的数据驱动稳定算子（StabOp）替换了传统的空间滤波器，该算子在给定的分辨率、感兴趣的量以及稳定策略下能够获得最准确的结果。尽管新的StabOp可以用于经典的离散化和ROMs，以及不同类型的基于滤波器的稳定或闭合，但为了清晰起见，我们仅针对ROMs和Leray ROM（L-ROM）稳定进行了研究。为了构建新的StabOp，我们首先假设其模型形式为线性映射、二次映射或通过神经网络定义的非线性映射，然后解决一个PDE约束优化问题来最小化给定的损失函数。在给定的L-ROM中使用新的StabOp可以得到一个新的稳定化ROM，即StabOp-L-ROM。为了评估新的StabOp-L-ROM，我们在四个以对流为主流动的数值模拟中将其与L-ROM和标准ROM进行了比较：分别在Re=500时圆柱体周围的二维流动、Re=10000时盖子驱动的腔体流动、Re=2200时半球体周围的三维流动以及Re=5000时的最小通道流动中进行测试。我们的数值结果表明，在预测范围内，新的StabOp-L-ROM的准确性比使用最优滤波器半径调整后的经典L-ROM高出几个数量级。此外，虽然新的StabOp能够平滑输入流场，但其平滑机制与经典空间滤波器完全不同。

引言
空间滤波器在对流主导流动的数值模拟中产生了深远的影响。在全序模型（FOMs）中，即使用经典数值方法（例如有限元方法）获得的计算模型中，空间滤波器是开发大涡模拟（LES）模型的主要工具。参见研究专著[1]、[2]、[3]、[4]、[5]。实际上，在湍流模拟中，直接数值模拟（即分辨率足够的模拟）所需的自由度数量非常高，无法捕捉到所有空间尺度。LES通过使用空间滤波器解决了这一重要实际问题：首先，用给定的空间滤波器对基础方程进行过滤，以消除小尺度，只保留能够在给定粗网格上表示的大尺度。然后，求解大尺度（即LES模型）的方程来近似流动中的大空间结构。由于基础方程是非线性的，因此必须解决闭合问题，即构建大尺度（已解析）和小尺度（未解析）之间相互作用的模型。LES模型在湍流流动的数值模拟中处于核心地位：有专门研究不可压缩流动[1]、[3]、[4]、[5]和可压缩流动[2]的LES模型的专著，并且LES模型广泛应用于各种软件中（例如ANSYS Fluent [6]、COMSOL Multiphysics [7]、Simcenter STAR-CCM+ [8]、Nek5000 [9]、NekRS [10]等）。

最近，空间滤波器在降阶模型（ROMs）中也产生了重要影响，ROMs是FOMs的有效替代方案。与FOMs一样，在对流主导（例如湍流）流动的数值模拟中，相对低维的ROMs通常会产生不准确的解，通常表现为虚假的数值振荡。为了在现实中的低分辨率情况下减轻这些不准确性，通常采用两种策略：（i）ROM闭合（参见综述[11]），通过添加修正项来模拟小尺度（未解析）对大尺度（已解析）的影响；（ii）ROM稳定（参见综述[12]），通过修改现有ROM项或添加新项来提高数值稳定性。我们注意到，由于未解析的小尺度的主要作用是在简化系统中耗散能量[13]，因此ROM闭合和稳定经常重叠。我们还强调，ROM空间滤波器（例如ROM投影、ROM差分滤波器和ROM高阶代数滤波器[14]）在构建ROM闭合和ROM稳定中起着核心作用。此外，空间滤波也被用来过滤输入数据[15]、[16]，以提高ROM的稳定性和准确性。

为了基于空间滤波构建ROM闭合，我们以LES框架为起点。具体来说，首先利用ROM空间滤波器来确定ROM闭合项，然后通过各种方法对其进行近似。ROM闭合的例子包括近似反卷积ROM [17]和变分多尺度ROM [18]、[19]、[20]、[21]。更多ROM闭合的例子可以在[11]中找到。为了基于空间滤波构建ROM稳定（参见综述[22]），使用ROM空间滤波来平滑标准ROM中的选定项或所有项。基于滤波器的ROM稳定的原理可以总结如下：应用ROM空间滤波来平滑（规范）特定的ROM项或整个ROM解，目的是提高ROM的稳定性从而提高准确性。基于滤波器的ROM稳定例子包括Leray ROM（L-ROM）[23]、[24]、evolve-filter-relax ROM [24]、[25]、[26]、[27]、[28]，以及最近引入的时间松弛ROM [14]。这些基于滤波器的ROM稳定已应用于具有挑战性的对流主导流动中，包括圆柱体周围的流动[25]、[28]、盖子驱动的腔体流动[30]、准地转动力学[26]和湍流通道流动[14]，并在产生高效和准确的模拟方面取得了成功。它们也已在软件中实现，例如NekROM [31]和ITHACA-FV [32]。

最后，我们还注意到，空间滤波最近也被用于提高基于神经网络的模型的稳定性[33]。尽管空间滤波在计算流体动力学中取得了不可否认的成功，但仍有一些未解决的问题。实际上，对于给定的低分辨率设置（由有限的计算资源决定）和给定的LES模型或基于滤波器的ROM稳定，以下实际问题值得考虑：（i）我们应该选择哪种空间滤波器？在FOM层面，我们可以从线性滤波器（例如高斯滤波器、谱截断滤波器、盒形滤波器或差分滤波器[5]）和非线性滤波器[34]中进行选择。在ROM层面，我们可以选择ROM投影、ROM差分滤波器或高阶代数滤波器。我们强调，这个问题的答案对所选模型的成功至关重要：不同类型的滤波器可能会导致不同的精度水平。（ii）另一个重要的实际问题是：对于选定的滤波器，我们如何选择其参数？例如，如果选择差分滤波器来构建LES模型，我们如何选择滤波器半径？这个问题在实践中也很重要，例如在使用ROM差分滤波器构建稳定模型[35]时，如图1.1所示：适当选择的滤波器半径δ会产生物理上有意义的解。相反，过小的δ值会产生非物理振荡，而过大的δ值会导致过度平滑的结果。

在本文中，我们提出了一种新策略来回答上述问题：我们不使用传统的空间滤波器，而是提出了一种数据驱动的稳定算子（StabOp），它在给定的分辨率、感兴趣的量（QoI）和给定的稳定策略下能够获得最准确的结果。在概述StabOp的构建之前，我们强调它与标准空间滤波器有根本的不同。实际上，我们不是假设某种经典空间滤波器是构建给定稳定的最佳选择，而是反过来解决问题的方法：我们使用数据驱动策略来识别产生最准确稳定的算子（即StabOp）。为了说明新的StabOp的构建，我们选择了特定的基于滤波器的稳定方法——Leray模型。此外，为了简化演示，我们以ROMs为例来说明StabOp的构建。然而，我们强调新的StabOp策略是通用的，既适用于FOMs也适用于ROMs，以及不同类型的基于滤波器的稳定和闭合。为了构建新的StabOp，我们首先将其视为从ROM空间到自身的一般ROM算子，即从输入的未稳定ROM系数到输出的稳定ROM系数的映射。然后，我们假设StabOp的模型形式为线性映射、二次映射或通过神经网络定义的非线性映射，并通过解决一个PDE约束优化问题来确定StabOp的参数，以最小化适当定义的损失函数。这个损失函数取决于给定的QoI，例如可以量化数据驱动稳定ROM（即在我们的案例中，使用StabOp稳定的Leray ROM，记为StabOp-L-ROM）与FOM的动能之间的差异。在训练阶段，根据构建，新的StabOp-L-ROM比任何空间滤波器配置的L-ROM都能产生更准确的结果。一个自然的问题是新的StabOp-L-ROM在预测范围内是否也同样准确。我们的数值研究表明确实如此。另一个自然问题是新的StabOp与经典空间滤波器（如ROM差分滤波器和ROM投影）相比如何。我们的数值研究表明，虽然新的StabOp通常能平滑输入流场（类似于经典空间滤波器），但其结果与使用标准ROM空间滤波器（如ROM差分滤波器和ROM投影）得到的结果不同。

神经网络已被广泛用于增强ROMs，不仅在纯数据驱动、非侵入式的环境中（例如[36]、[37]、[38]、[39]、[40]、[41]、[42]），也集成在ROM闭合和稳定策略中（例如[11]、[28]、[43]、[44]）。非线性StabOp模型代表了神经网络在降阶建模中的新应用。

本文的其余部分安排如下：第2节概述了用于生成快照的FOM和标准Galerkin ROM（G-ROM）。第3节回顾了Leray ROM（L-ROM），这是为了说明新的StabOp构建而选择的基于滤波器的ROM稳定。第4节提出了新的StabOp-L-ROM（即通过结合Leray ROM和新的StabOp获得的ROM稳定）的一般公式和计算实现。第5节概述了新的StabOp及其产生的ROM稳定StabOp-L-ROM的计算实现。第6节对新的StabOp-L-ROM进行了数值研究，并将其与滤波器半径最优选择的经典L-ROM和标准G-ROM进行了比较。在我们的数值研究中，我们考虑了以下以对流为主的流动：Re = 500时圆柱体周围的二维流动、Re = 10000时盖子驱动的腔体流动、Re = 2200时半球体周围的三维流动以及Re = 5000时的最小通道流动。最后，在第7节中，我们总结了我们的发现并指出了未来工作的方向。

**数值模型**
在本节中，我们简要概述了用于数值研究的FOM（第2.1节）和G-ROM（第2.2节）。

**基于滤波器的ROM稳定**
为了说明新的StabOp的构建，我们使用了一种特定的基于滤波器的ROM稳定方法——Leray ROM（L-ROM）。然而，我们强调StabOp的想法也可以应用于其他类型的基于滤波器的ROM稳定。首先，在第3.1节中，我们概述了通常用于构建基于滤波器的ROM稳定的ROM空间滤波器。然后，在第3.2节中，我们概述了L-ROM。

**数据驱动稳定算子（StabOp）**
尽管第3节中介绍的ROM稳定方法取得了成功，但空间滤波器仍然存在重大挑战。滤波器半径（对于DF）和降维（对于ROM投影）的选择至关重要，直接影响结果的准确性。因此，一个自然而然的问题是：我们是否能够改进基于滤波器的ROM稳定性方法。在本节中，我们提出了一种新的ROM稳定性构建策略，该策略基于StabOp实现。如(A2)（第4节）所述，我们开发了一种数据驱动的ROM稳定性方法StabOp-L-ROM，它能够准确近似我们的目标质量（QoI）。为了实现这一目标，我们必须仔细选择StabOp，即F(a;θ)。正如第4节所指出的，有多种选择，最简单的是分别使用(4.4)和(4.5)中的线性和二次模型。然而，在高雷诺数测试案例中，这些模型可能无法准确捕捉复杂的动态特性，尤其是在外推过程中。

在本节中，我们评估了所提出的StabOp-L-ROM（第4.1节）在使用线性、二次和非线性模型形式时的性能，并将其与配备了最优微分滤波器（3.2）的经典L-ROM（3.4）以及经典G-ROM进行了比较。为了清晰起见，我们将使用线性、二次和非线性模型形式的新StabOp-L-ROM分别称为StabOp-L-ROM（线性）、StabOp-L-ROM（二次）和StabOp-L-ROM（非线性）。数值比较是在四个不同条件下进行的。

空间滤波长期以来一直是湍流模拟数值方法发展的基石。在经典的LES中，已经使用了各种空间滤波器来构建有效的湍流模型。最近，空间滤波器也被用来提高ROM的稳定性和准确性，从而产生了多种ROM稳定化和闭合方法。最后，空间滤波还被用来提高基于神经网络的模型的稳定性。

作者贡献声明：
- Ping-Hsuan Tsai：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，可视化，验证，软件，方法论，研究，形式分析，概念化。
- Anna Ivagnes：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，验证，软件，方法论，形式分析，概念化。
- Annalisa Quaini：撰写——审阅与编辑，监督，方法论，概念化。
- Traian Iliescu：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，监督，方法论。

利益冲突声明：
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能会影响本文报告的工作。

致谢：
AI和GR感谢欧盟NextGenerationEU在iNEST（互联东北创新生态系统，项目编号iNEST ECS00000043 – CUP G93C22000610007）联盟及其CC5青年研究人员计划所提供的支持。作者们还要感谢IndAM-GNCS的支持以及MUR PRIN 2022项目FAROM的资助。