在输入饱和和非匹配干扰条件下，针对控制仿射非线性系统的有限时间残差补偿

《Mathematics and Computers in Simulation》：Finite-time residual compensation for control-affine nonlinear systems under input saturation and unmatched disturbances

　　金道恩
韩国首尔世宗大学国防与人工智能系统工程系

摘要
本文提出了一种基于李雅普诺夫理论的残差补偿方法，用于解决受执行器饱和和有界未匹配干扰影响的控制仿射非线性系统问题。指令输入通过一个基于超扭转原理的校正器进行调整，以补偿李雅普诺夫通道中的能量损耗和干扰效应。该方法将规则化的指令生成器与不连续的辅助校正项相结合，从而形成一个良定的菲利波夫闭环系统。所采用的李雅普诺夫分析保证了在存在有界未匹配干扰的情况下能够有限时间内进入内恢复区域，并实际恢复名义上的李雅普诺夫能量损耗估计值。在额外的局部条件下，还能实现渐近收敛。数值仿真验证了即使在执行器受到严格限制的情况下，也能恢复名义上的李雅普诺夫能量损耗，并且同时实现了鲁棒稳定性。

引言
执行器饱和从根本上限制了非线性反馈系统中可获得的李雅普诺夫能量损耗，在高灵敏度非线性系统的稳定性控制中尤为关键，因为有界的执行器限制可能阻止闭环系统维持预期的衰减速率[1],[2],[3]。一旦输入幅度饱和，名义上的李雅普诺夫衰减速率就无法维持，导致V的非单调衰减和可能的较大瞬态偏差。这一问题在高性能和安全性要求高的非线性系统中尤为突出，因为在这些系统中，硬性的执行器限制和未匹配的干扰可能会使名义上的李雅普诺夫设计失效，即使未饱和的控制器在理论上能够实现稳定。

现有的几种框架[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17],[18],[19]用于处理非线性控制系统中的执行器饱和问题，其中施加的输入u受到|ui|≤uimax的限制，并可能与其名义指令?(x)不同。一种代表性的抗饱和构造[4],[5],[6],[7],[8],[16]通过指令输入的饱和死区?dzn(uc)?uc?sat(uc)来增强控制器动态，从而在饱和激活时修改辅助控制器状态。相比之下，静态饱和补偿方法通常利用诸如u?(u??(x))≤0之类的扇区型关系，并结合基于线性矩阵不等式(LMI)的李雅普诺夫分析来扩大吸引域[9],[10],[11],[18]。基于李雅普诺夫的重设计方法，包括倒步构造，能够重新塑造储能函数，使得在饱和情况下仍能建立衰减估计[12],[13],[17],[19]。最后，基于优化的受限控制方法将执行器限制编码为实时约束，通常能够在保持在线优化问题可行性的同时提供近似的李雅普诺夫能量损耗估计[14],[15]。这些方法为在执行器限制下保持稳定性或提高性能提供了有效机制。然而，在当前问题中，性能退化是通过李雅普诺夫通道中的方向不匹配以及未匹配干扰项进入的李雅普诺夫分析的。这种结构不能直接通过控制器死区dzn(uc)或扇区量u?(u??(x))来表示。

从李雅普诺夫的角度来看，这种区别可以明确界定。执行器饱和相当于将名义指令几何投影到可接受的控制集上[4],[5],[20],[21]。考虑非线性系统x?=f(x)+G(x)u+D(x)δ(t,x,u)，其中D(x)δ表示有界未匹配干扰，?w???V?G和?wδ???V?D定义了与控制和干扰方向相关的李雅普诺夫通道。当施加的输入受到u=sat(?(x))的限制时，能量损耗通过方向残差w?(u??(x))体现出来。因此，李雅普诺夫导数满足V?(x)≤?η1Vγ(x)+w?(u??(x))+wδ?δ，这揭示了两个不同的退化通道：由投影引起的残差w?(u??(x))和未匹配干扰的贡献wδ?δ。所提出的控制器正是围绕这一结构设计的。它不仅仅通过控制器状态校正来补偿饱和，还引入了一个与李雅普诺夫对齐的标量通道以及投影辅助恢复动态，从而在能量损耗分析中直接调节李雅普诺夫通道的不匹配；同时通过‖wδ‖ρ来限制干扰贡献。因此，闭环系统能够在有限时间内进入内恢复区域，之后实际恢复名义上的李雅普诺夫能量损耗估计值。在额外的局部条件下，这一实际结果进一步得到加强，实现渐近收敛。

与现有的处理饱和问题的框架相比（包括抗饱和补偿、基于静态LMI的方法、基于李雅普诺夫的重设计方法和基于优化的受限控制方法），所提出的方法具有以下优势：
(C1) 为具有投影输入和有界未匹配干扰的控制仿射非线性系统开发了一种基于李雅普诺夫通道的残差补偿框架。与基于dzn(uc)的死区驱动抗饱和构造和基于u?(u??(x))等量的扇区分析不同，所提出的框架明确表征了方向李雅普诺夫通道不匹配w?(u??(x))并将其直接纳入能量损耗分析中。
(C2) 通过结合投影输入分配律和作用于同一能量损耗通道的辅助恢复动态，引入了一种与李雅普诺夫对齐的标量恢复机制。这种构造产生了明确的复合李雅普诺夫估计值，其中投影引起的不匹配被直接调节，而未匹配干扰的贡献通过‖wδ‖ρ得到限制。
(C3) 所得分析建立了两阶段闭环特性：首先有限时间内进入内恢复区域，随后复合状态最终达到实际的有界性。此外，在额外的局部支配条件下，这一实际结果进一步强化为渐近收敛。

总之，所提出的框架展示了有限时间标量恢复机制如何补偿由输入投影和有界未匹配干扰引起的李雅普诺夫通道不匹配。理论结果在陈氏混沌系统[22]上得到了验证，证明了在严格执行器限制下能够抑制残差项并恢复名义上的李雅普诺夫能量损耗估计值。

符号说明
向量或矩阵的转置表示为(?)?；‖z‖和|z|分别表示欧几里得范数和分量绝对范数。对于a∈R，?(a)+?max{a,0}和sgn(a)是符号函数，其中sgn(0)=0。对于b∈R>0m，将其分量投影到区间[?b,b]?Rm上表示为?Π[?b,b](z)?(min{max{zi,?bi},bi})i=1；ΠI表示实数到闭区间I?R的标量投影。同样的符号Π用于向量和标量投影。

问题陈述
考虑非线性控制仿射系统x?=f(x)+G(x)u+D(x)δ(t,x,u)，x(0)∈Dx，其中x∈Rn，u∈Rm，Dx?Rn是包含原点的开域。映射f:Dx→Rn和G:Dx→Rn×m分别描述了系统和输入向量场。项D(x)δ(t,x,u)模拟了一个加性干扰，其中D:Dx→Rn×p是已知的分布矩阵，δ:R≥0×Dx×Rm→Rp是未知的干扰，满足‖δ(t,x,u)‖≤ρ(x)，ρ:Dx→R≥0是在Dx上局部有界的已知非负函数。

主要结果
为了在输入约束下保持名义上的李雅普诺夫衰减(4)，我们沿李雅普诺夫对齐的分配方向参数化指令输入，表示为uc=?νd?(x)，ν=ΠI(x)(νc)，并通过分量投影(3)获得施加的输入，即u=Π[?umax,umax](uc)。标量增益ν受到状态依赖的可接受区间?I(x)?[?S(x),S(x)]的限制，其中李雅普诺夫通道w中的可用权限S(x)定义为?S(x)?‖Umaxw(x)‖1=∑i=1μimax|wi(x)|，其中Umax=diag(u1max,…,um)。

数值示例
考虑双输入陈氏系统x?1=p1(x2?x1)x?2=(p3?p1)x1?x1x3+p3x2+u1，x?3=x1x2?p2x3+u2，其中(p1,p2,p3)=(35,3,28)。输入矩阵为G=001001∈R3×2，执行器限制为umax=u1,max1?，其中u1,max∈{1,8,6,2,1}。未受控制的动态(u≡0)会产生众所周知的陈氏混沌吸引子[22]。对于(21)，通过消除非线性耦合并分配线性闭环矩阵Acl=?3535，得到名义上的稳定律?(x)=?((p3?p1)x1?x1x3+p3x2)?140x1?18x2+6x3?(x1x2?p2x3)?x3∈R2。

结论
本文提出了一种基于李雅普诺夫理论的残差补偿框架，用于处理受执行器饱和和未匹配干扰影响的控制仿射非线性系统。所提出的控制器调节了由输入投影引起的李雅普诺夫通道不匹配，并通过投影残差恢复机制限制了未匹配干扰的贡献。主要结果建立了两阶段恢复特性：首先有限时间内进入内区域，随后复合状态最终达到实际的有界性。

致谢
本研究得到了韩国国家研究基金会(NRF)的资助，该基金会由韩国政府(MSIT)提供支持（项目编号RS-2025-16069142）。此外，本研究还得到了LIG Nex1的研究资助。