具有非线性Kapitza接触电阻的稳态导电问题：存在性与非唯一性

《Mathematics and Computers in Simulation》：Steady conduction problems with non-linear Kapitza contact resistance: Existence and non-uniqueness

　　E. Bejaoui | F. Ben Belgacem | F. Jelassi | J. Ma
法国康皮涅技术大学，LMAC，康皮涅

摘要
我们关注的是具有非线性接触电阻的双层域中的稳态热传导问题。这种Kapitza电阻会减慢热传递速度并导致温度跳变。首先建立了最大值原理，然后通过将Schauder不动点定理应用于变分公式来证明解的存在性。为了解决非唯一性问题，我们考虑了一维模型。使用Picard迭代方法计算解作为特定代数映射的不动点。我们对这些映射进行了共维数为一的分岔分析，以两层的导热率之比作为控制参数。两类（幂律）Kapitza导电性导致不同类型的分岔，包括超临界、超临界、翻转和鞍节点分岔。

引言
设Ω是Rd中的连通有界域，d≥1，边界Γ=?Ω为Lipschitz连续的。假设一个子域ΩI（我们称之为“胶囊”）完全包含在Ω内。互补的宿主子域定义为ΩE=Ω?ΩˉI。两个子域的交界面γ=?ΩE∩?ΩI也是Lipschitz连续的。下标I和E分别表示内部子域和外部子域，即ΩI的环境介质。Ω中的任意点用x表示，符号τ表示γ和Γ中的任意点。在几何形状固定的情况下，我们现在描述所关注的边界值问题。该问题由Laplace偏微分算子定义，并在γ处施加适当的传输条件。因此，函数u表示稳态传导问题的解：
??(α?u) = 0 在 ΩE∪ΩI 内；
[α?nu] = 0；
[α?nu] = β(τ, u) 在 γ 上；
u ∈ Γ。
向量n是从ΩI指向ΩE的外边界Γ的单位法向量。符号[u] = (uE ? uI)表示u在γ处的跳变。参数α=(αI, αE)是导热率，β(τ, u)代表接触导电性，即接触电阻的倒数。边界Γ通过Dirichlet边界数据g加热。因此，由于允许在界面γ处发生跳变，解u是不连续的。沿γ的传输条件称为Kapitza接触导电性条件（参见[1]）。

问题(1)在许多物理背景下出现，无论是稳态情况（如本研究）还是时变情况。一个典型的瞬态热问题源于具有接触电阻界面γ的复合介质中的热传导。相应的热模型为：
?tu ? ?(α?u) = 0 在 ΩE∪ΩI 内；
[α?nu] = 0；
ρ(τ, u) 在 γ 上；
[u] ∈ Γ。
该模型假设界面γ的厚度为零。符号ρ(τ, u) = 1/β(τ, u)表示界面γ的Kapitza电阻。有关建模的更多细节，请参考[2]、[3]。

在多层介质中，热接触电阻通常由不完美的界面接触引起，从而产生小的间隙。这些间隙会显著减少热量在界面间的传递。许多其他因素促使用户在建模中考虑Kapitza电阻，例如金属层接合处的氧化、表面膜或差热收缩（参见[4]、[5]、[6]、[7]）。在物理和化学中，例如扩散通常发生在有阻力的膜或屏障上（参见[8]、[9]、[10]）。在生物学中，它们被称为Kedem–Katchalsky条件（见[11]、[12]）。

低温液体的冷却过程特别值得关注。Piotr Kapitza在[1]中的开创性实验和模型表明，在液氦与金属之间的热传递中需要考虑接触电阻（另见[4]、[6]、[13]、[14]）。一个显著的应用是利用液氦或超流氦浴冷却电磁铁。它们被用于CERN的大型强子对撞机的粒子加速器中。不同类型的磁铁对于加速粒子并保持它们的圆轨道至关重要（见[15]）。需要Kapitza接触电阻的现代技术包括纳米级设备、太空设备、低温传感器和量子计算机。

当导电率β=β(τ)与解u无关时，所得到的线性问题已在[16]中进行了彻底研究。后来在[17]中广泛讨论了依赖于跳变的非线性接触导电率的情况（见[9]），即β=β(τ, [u])。这种非线性例如出现在电生理学中（见[8]、[18]）。[17]中使用的主要数学工具是Minty–Browder定理，该定理需要对导电率的单调性进行假设。

所考虑的模型扩展了这些结果。在这里，导电率直接依赖于u，而不仅仅是跳变[u] = (uE ? uI)。它们是uE和uI的独立函数。因此，[17]中核心的单调性假设β(?, u) = β(?, [u])不再成立，所以不能应用Minty–Browder理论。新的接触导电率可以表示为β(τ, u) = φ(τ, uE, uI)。这将极大地改变问题的数学性质，正如将进一步展示的那样。在实践中，这种局部依赖性仅通过uE|γ和uI|γ发生在界面γ上。典型的导电率由以下公式给出（其中q≥0）：
φE(τ, uE, uI) = η(τ)|uE(τ)|q 或 φI(τ, uEuI) = η(τ)|uI(τ)|q， ?τ ∈ γ。

根据[13, Table 2]和[4, Table (I)]，在低温固态-固态或液态-固态接触中，指数q与材料属性相关，对于许多金属来说通常接近3，范围通常在0.5到5之间（见[5]、[7]、[14]、[19]、[20]）。在实际设置中，温度（以开尔文为单位）是非负的（u≥0）。因此，在(3)中不需要使用绝对值。另一种选择见于[21]（另见[22]、[23]、[24]）：β(τ, u) = η(τ)(|uE(τ)| + |uI(τ)|) / ((uE(τ))2 + (uI(τ))2)。

与上述导电率相关的γ处的传输条件简化为：
(α?nu)(τ) = η(τ)[u]?(τ) = η(τ)((uE(τ))? ? (uI(τ))?)。

这让人联想到黑体和灰体的Stefan–Boltzmann辐射定律。本研究在温和的、物理上合理的假设下考虑了一般情况的导电率β(τ, u)，这些假设将在需要时明确说明。尽管ΩI和ΩE的导电率α=α(x)通常取决于温度u，但在我们的分析中我们假设它是常数。

本文的内容如下：第2节介绍了分析所需的函数Sobolev空间，接着是问题(1)的变分公式。第3节致力于证明最大值原理。在第4节中，我们使用Schauder不动点定理证明了变分问题的解的存在性。第5节我们关注解的非唯一性，并通过一维示例进行说明。最后，我们对解及其稳定性进行了共维数为一的分岔分析，控制参数为两层ΩI和ΩE的恒定导热率之比。

功能框架和变分问题
我们从一些函数空间的标准符号开始。Lebesgue空间L2(Ω)、L2(γ)和分数Sobolev空间Hσ(Ω)（σ>0）被广泛使用（见[25]）。在Hσ(Ω)中（σ>1/2）上函数的迹定义了分数Sobolev空间Hσ^(-1/2)(γ)（见[26]）。我们还需要一些特定的空间。断裂的Sobolev空间(Vσ)（σ>0）定义为Vσ = {v ∈ L2(Ω)；vI = v | ΩI ∈ Hσ(ΩI)，vE = v | ΩE ∈ Hσ(ΩE)}。它们自然地具有Hilbert断裂范数 ‖v‖Vσ = ‖vE‖Hσ(ΩE)2 + ‖vI‖Hσ(ΩI)。

最大值原理
当β(τ, u)不完全为零时，最大值原理的第一个也是最重要的版本适用。对于β(τ, u)=0的情况的结果将在后面介绍。

命题3.1
假设g ∈ H1/?(Γ) ∩ L?(Γ)并且u ∈ V是问题(7)的解。如果ρ(τ) = β(τ, u)在γ上定义了一个半密度，则u满足最大值原理：
infτ ∈ Γ g(τ) ≤ u(x) ≤ supτ ∈ Γ g(τ)，?x ∈ Ω。

证明
记M = supτ ∈ Γ g(τ)，并选择v(x) = (u ? M) + (x) = max(u(x) ? M, 0)。那么v ∈ V?。变分问题(7)给出：
∫Ω α??(u ? M) · ??(u ? M) + dx + ∫γ ?(τ)[u ? M][(u ? M) + ] dτ

结合Schauder不动点定理，最大值原理为研究问题(7)解的存在性奠定了基础。考虑到上述界面导电率类的普遍性，避免可能使最大值原理失效的任何病态情况是方便的。因此，我们对规范化导电率βε(τ, u) = ε + β(τ, u)（其中ε>0）进行了初步分析。然后，我们通过极限ε → 0得出结论。

非唯一性
这次讨论的主要目的是证明满足最大值原理的解的非唯一性。这个结果通过一维示例进行说明。每当出现分岔时，我们简要回顾了分析中使用的基本工具，这些工具主要来自[32]一书。相关分岔现象的全面分析需要进一步的理论研究和数值发展，超出了本文的范围。

结论和展望
在[37, 1936]中描述的“相对非常大”的热接触电阻（液氦与铜之间）后来由Kapitza在[1, 1941]中进行了研究和建模（另见[38], [39]）。其对相邻液-固或固-固层之间热传递的显著影响表明，将Kapitza电阻纳入许多模型和应用中的必要性。

本文提出了CRediT中稳态热传导问题解的存在性和非唯一性结果。

作者贡献声明
E. Bejaoui：撰写——原始草稿、验证、调查、形式分析。
F. Ben Belgacem：撰写——原始草稿、监督、调查、形式分析。
F. Jelassi：撰写——原始草稿、监督、调查、形式分析。
J. Ma：验证、软件、调查、形式分析。