多晶微观结构中均匀化单调响应和循环响应以及极值疲劳指标的尺寸依赖性

《Mechanics of Materials》：Size dependence of homogenized monotonic and cyclic responses and extreme-value fatigue indicators in polycrystalline microstructures

研究采用率依赖晶体塑性有限元模型，揭示奥氏体不锈钢中弹性、单调塑性及循环QoIs的尺寸效应，发现同质化QoIs收敛于0.08-0.9mm，而极值QoIs（如最大FIP）需10-100mm统计体积单元，提出最小统计RVE（MSRVE）概念优化多尺度建模效率。

　　

阿尼克·达斯·安托（Anik Das Anto）| 斯蒂芬妮·特尔马特（Stephanie TerMaath）| 雷扎·阿贝迪（Reza Abedi）

田纳西大学诺克斯维尔分校机械与航空航天工程系，美国田纳西州诺克斯维尔市Middle Drive 1506号，邮编37916

摘要

我们使用一种基于速率依赖性的晶体塑性有限元模型，研究了奥氏体不锈钢中弹性、单调塑性和循环力学量（QoIs）的尺寸依赖性。对于低循环疲劳和高循环疲劳，我们考虑了均质化和极值QoIs。通过基于变异系数的收敛标准来评估统计体积元素（SVEs）的响应，我们发现均质化QoIs在代表性体积元素（RVE）尺寸上表现出明显的层次结构：弹性刚度的RVE尺寸从0.08毫米到单调QoIs的0.27-0.325毫米不等，而循环QoIs的RVE尺寸可达到0.9毫米。相比之下，基于最大疲劳指标参数（FIPs）的极值QoIs显示出更强的尺寸依赖性，由于疲劳裂纹萌生的局部热点效应，RVE尺寸可达到10-100毫米。这种极端的RVE尺寸需要采用概率多尺度方法来处理。最大FIPs遵循Gumbel极值分布，其位置参数与SVE体积的对数成线性关系。尽管这一趋势与解析尺度放大方法一致，但仍观察到一些偏差，包括过于保守的预测和假设方差恒定的非物理性。为了解决这些问题，我们提出了最小统计RVE（MSRVE）的概念，即能够可靠地用于将FIP分布放大到更大体积的最小SVE尺寸。这为传统的RVE要求提供了一种计算效率高且物理意义明确的替代方案。

引言

从多晶材料的微观结构预测其宏观力学行为是计算力学中的一个基本挑战。多晶材料由于晶粒尺寸、形状、取向和相分布等微观特征而表现出微观异质性，这些微观特征显著影响材料的整体力学响应，包括弹性、塑性、断裂和疲劳行为（Roters等人，2010年；Roters等人，2011年；McDowell和Dunne，2010年）。

“代表性体积元素”（RVE）的概念用于在连续介质力学和计算均质化中连接微观和宏观长度尺度。RVE被定义为可以在其上确定有效宏观特性的最小体积，且这些特性不依赖于体积的大小和边界条件（Hill，1963年；Ostoja-Starzewski，2002年）。然而，RVE的大小并非普遍适用，而是取决于所评估的具体力学量（QoI）（Kanit等人，2003年）。虽然均质化弹性特性通常可以通过相对较小的RVE得到收敛，但由于塑性变形的非线性和路径依赖性，塑性特性通常需要更大的域（Anto等人，2024年；Yang等人，2019年）。受局部异质性驱动的断裂特性则需要更大的RVE来捕捉罕见事件的影响（Abedi等人，2023年）。

作为单一大RVE的替代方案，提出了“统计体积元素”（SVE）框架，通过观察不同SVE尺寸下的响应来预测RVE的大小（Abedi等人，2022年；Acton等人，2022年；Connor等人，2023年）。多个SVE的实现确保了微观结构的固有变异性得到捕捉，从而获得更可靠的有效特性估计（Yin等人，2008年；Qidwai等人，2012年）。然而，适当的SVE尺寸也取决于QoI，因此需要系统地研究不同力学响应所需的合适域大小（Abedi等人，2022年）。此外，SVE框架还确定了材料特性变得尺寸独立和均匀的RVE尺寸（Abedi等人，2023年；Acton等人，2022年）。

SVE在材料的多尺度建模中也非常有用。通过在较大尺度上用均质化材料特性表示所有微观结构细节，可以降低材料模型的复杂度（Baxter和Graham，2000年；Graham和Baxter，2001年；Graham-Brady等人，2003年；Bahmani等人，2019年）。这保持了材料的异质性和随机不确定性。在材料失效分析中保持足够的异质性尤为重要，而保持随机不确定性有助于将微观结构的统计信息传递到宏观力学量。

弹性RVE的大小是通过统计-数值方法确定的（Kanit等人，2003年），这些方法表明有效弹性特性的收敛性取决于微观结构的相关长度和多次实现中表观特性的方差。相比之下，塑性和粘塑性RVE的大小要求通过强调晶粒尺度异质性和应变分配在非线性响应中的重要作用的微观结构敏感分析来量化（Ranganathan和Ostoja-Starzewski，2008年；Teferra和Graham-Brady，2018年；Salahouelhadj和Haddadi，2010年；Saroukhani等人，2015年）。此外，基于SVE的方法还用于确定单调弹性和塑性特性以及循环弹塑性特性的RVE大小（Bouchedjra等人，2018年）。基于SVE的方法能够有效地捕捉多晶材料中的尺寸效应，从而实现均质化弹性和塑性特性的准确放大。特别是，弹性特性可以通过相对较小的SVE得到收敛，屈服强度需要更大的域，而硬化模量在单调特性中表现出最强的尺寸敏感性（Anto等人，2024年）。

多晶材料的疲劳行为本质上与微观异质性和极值统计相关（Suresh，1998年）。与通常由域平均响应表征的均质化QoIs不同，疲劳QoIs受局部循环塑性和大量循环中不可逆滑移的累积驱动（Pineau等人，2016年）。这些极端事件在统计上较为罕见，需要显著更大的SVE来准确捕捉它们的影响（Ghosh等人，2023年；Stopka等人，2022年；Gu等人，2023年）。疲劳行为通常使用“疲劳指标参数”（FIPs）来表征，这些参数量化了晶粒尺度上疲劳损伤萌生的局部驱动力。FIPs是基于应力、应变或能量耗散的替代标量度量，能够捕捉微观结构中的极端值。它们一致地识别出疲劳损伤起始的关键微观区域，对于多晶材料的疲劳寿命预测至关重要（Fatemi和Socie，1988年；Smith，1970年；Korsunsky等人，2007年）。

基于FIP的疲劳QoIs由于依赖于极值统计而表现出更大的变异性和对SVE尺寸的敏感性（Yaghoobi等人，2023年）。FIP分布的上尾部随着域大小的增加而收敛得更慢（Stopka等人，2022年）。SVE集合上的FIP最大值也对SVE尺寸敏感，需要非常大的域才能获得稳定的估计（Lucarini和Segurado，2020年）。最大FIP值对于准确预测疲劳寿命尤为重要，因为它们直接与损伤萌生的可能性相关。FIPs是微观结构中最热点的区域，驱动疲劳裂纹的萌生和扩展（Przybyla等人，2013年；Muth等人，2023年；Tahmasbi等人，2025年）。尽管文献中已经研究了FIP的尺寸依赖性（Ghosh等人，2023年；Stopka等人，2022年；Lucarini和Segurado，2020年），但系统地比较FIP的尺寸依赖性与均质化单调和循环QoIs的尺寸依赖性仍缺乏。

尽管在理解多晶材料中的尺寸效应方面取得了显著进展，但文献中仍存在一些空白。首先，大多数研究要么专注于单调加载（Teferra和Graham-Brady，2018年；Kanit等人，2003年；Yang等人，2019年），要么专注于循环加载（Bouchedjra等人，2018年），而没有统一处理这两种情况。其次，虽然均质化QoIs已经得到了广泛研究，但像FIPs这样的极值QoIs在尺寸依赖性方面的研究相对较少。为了填补这些空白，本研究系统地研究了多晶材料在单调和循环塑性中的均质化和极值QoIs的尺寸依赖性和放大效应。

在之前的工作（Anto等人，2024年）的基础上，我们扩展了分析，包括循环加载条件和疲劳指标参数。首先，我们评估了均质化单调QoIs的收敛行为，包括弹性模量、屈服强度和硬化模量作为SVE大小的函数，并使用普通最小二乘法（OLS）及其置信区间（CI）量化了相应最佳拟合趋势的不确定性。其次，我们分析了循环QoIs，如循环应力幅度和塑性能量耗散。第三，我们研究了极值QoIs的尺寸依赖性，重点关注微观结构内的最大FIP值。将Gumbel拟合FIP参数的尺寸依赖性与解析模型进行了对比。从均质化和极值两个角度展示收敛性（第2和第3点），为疲劳响应的尺寸依赖性提供了新的视角。最后，我们比较了不同QoIs收敛所需的特征SVE尺寸，为确定各种力学响应的适当RVE尺寸建立了统一的框架。

虽然这里没有进行，但我们最后指出当前研究的相关性以及为给定材料设计基于SVE的多尺度方法的重要性。确定的弹性、单调塑性和疲劳QoIs的尺寸依赖性有助于选择合适的SVE尺寸来进行特性放大。例如，通过选择适当的尺寸，一些QoIs（如弹性特性）可以被理想化为各向同性和均匀的，而那些对失效响应更关键的QoIs将被视为随机场。这可以在保持所需解的准确性的同时简化宏观分析。

部分摘录

微观结构生成

本研究考察的微观结构是具有随机分布的晶体取向的单相奥氏体多晶体。我们假设晶粒是等轴晶胞，平均等效球形直径（ESD）为$50\mu m$，这近似于经过溶液退火的奥氏体钢的截断对数正态ESD分布，其范围为40-$60\mu m$（Yahyaoui等人，2015年）。我们使用三维体素化方法生成了这些微观结构。

结果

SVE的CPFEM结果分为两部分。首先，报告了均质化特性，包括有效的单调和循环QoIs。这些量作为SVE大小的函数进行评估，以确定域均质化特性的收敛RVE大小。其次，分析了极值QoIs，如${\mathrm{FIP}}_{W_p}^m$和${\mathrm{FIP}}_{{\mathrm{FS}}_m}^{}$，这些指标突出了微观结构异质性和SVE大小对疲劳驱动热点的影响。收敛特性得到了量化。

讨论

本研究强调了统计代表性在多晶材料多尺度建模中的核心作用。微观结构的有效响应对于单一实现并不是唯一确定的，特别是当域尺寸较小时。相反，由于晶粒取向、相分布和滑移活动的局部变化，表观特性会波动。随着SVE大小的增加，这些波动减小，平均响应趋于收敛。

结论

本研究全面分析了SVE大小对多晶微观结构中单调和循环塑性响应变异性的影响。通过将QoIs分类为均质化有效特性和与热点相关的极值测量，我们阐明了每类特性的不同收敛行为和代表性要求。主要发现总结如下：

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  均质化有效特性表现出明显的

CRediT作者贡献声明

阿尼克·达斯·安托（Anik Das Anto）：撰写——原始草稿、可视化、软件、方法论、形式分析、概念化。斯蒂芬妮·特尔马特（Stephanie TerMaath）：撰写——审阅与编辑、监督、资源管理、方法论、资金获取、概念化。雷扎·阿贝迪（Reza Abedi）：撰写——审阅与编辑、监督、资源管理、方法论、资金获取、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢

本研究由美国空军科学研究办公室（AFOSR）资助，授予编号为FA9550-22-1-0359的资助。作者还感谢尊敬的审稿人的宝贵意见，这些意见极大地改进了手稿。特别是他们的建议促成了最小统计RVE（MSRVE）的概念。