由固定在刚性基座上的复合多孔防波堤引起的波浪散射现象；该防波堤位于多孔海床上方、一个刚性隧道的前方

《Ocean Engineering》：Wave scattering by a composite porous breakwater mounted on a rigid pedestal and placed in front of a rigid tunnel over a porous sea-bed

　　纳巴尼塔·卡尔马卡尔|斯瓦鲁普·南丹·博拉
印度高等技术学院吉瓦哈提分校数学系，吉瓦哈提，781039，阿萨姆邦，印度

摘要
本研究探讨了二维斜波在厚复合多孔防波堤上的散射问题。该防波堤位于刚性基座上，旨在保护位于多孔海床上的刚性隧道。边界值问题采用了变量分离技术和特征函数展开技术来解决，遵循线性波动理论。通过逐层增加不同孔隙率的条带来构成复合防波堤，从而使其厚度发生变化。进行了参数研究，以说明系统特性（包括条带数量）的变化如何影响散射系数和流体动力作用力。结果表明，在摩擦系数恒定的情况下，沿波传播方向增加孔隙率会导致更大的反射率，同时减少透射率和作用在隧道上的力。此外，当隧道位于自由表面下方较深的位置时，作用在隧道上的波力显著增加。多孔海床显著降低了总作用力。较大的入射波角度有助于显著减少作用在结构上的力。这些见解增强了我们对多孔海床条件下波-结构相互作用的理解，并为最小化作用在隧道上的波力提供了实际指导，从而提高其结构稳定性。通过对比文献中的三项相关工作，证实了本模型的有效性。

引言
水下隧道是在河流、湖泊和海洋等水体下方建造的工程结构，用于实现车辆、火车、管道等设施的不间断通行（Kaligatla等人，2021年）。由于城市化、对弹性交通基础设施的需求以及全球商业的发展，水下隧道的重要性日益增加。随着沿海城市的增长和海上交通的增加，这些隧道为克服地理障碍提供了可持续的解决方案，同时将环境和视觉影响降到最低。例如，欧洲的英吉利海峡隧道和日本的青函隧道在推动区域经济发展和促进国际合作方面发挥了重要作用。技术进步使这些隧道在不同地点变得更加可行，使得结合工程创新和长期社会经济效益的项目成为可能。与桥梁不同，水下隧道不受地表交通拥堵、导航限制或恶劣天气条件（如风暴和强风）的影响（McIver，1986年；Abul-Azm和Gesraha，2000年）。其浸没的位置保护了自然景观，避免了阻碍航运航线的情况，使其在繁忙港口和生态敏感区域具有无可估量的价值。从结构上看，水下隧道受风力影响较小，但仍然受到流体动力压力、海床条件和波浪诱导力的影响。在船只流量大或波浪活动强烈的区域，安装防波堤等保护结构可以有效地减少波浪传输并限制作用在隧道上的力。

大量的理论和数值研究，特别是Dean（1945年）、Mei和Black（1969年）、Drimer等人（1992年）以及Chwang和Chan（1998年）的工作，探讨了不同类型多孔结构对水波散射的影响。在实验方面，Dattatri等人（1978年）研究了矩形、三角形和梯形等多种防波堤截面上的波反射、透射和能量损失。他们的研究表明，透水梯形设计在吸收波能方面更为有效，因此适用于港口开发和海岸线保护。Zhao等人（2017年）的研究指出，对于与垂直墙前布置的多个浸没多孔条带之间的斜波相互作用，条带数量的增加提高了防护效果，而条带高度的增加则导致更高的能量耗散和更低的反射及透射系数。Venkateswarlu和Karmakar（2019年）研究了入射波与垂直有限和半无限多孔结构的相互作用，重点研究了多孔块位于平坦和升高海床的情况。Mishra等人（2021年）研究了具有条状孔隙率的复合多孔防波堤与斜波的相互作用，强调了其对波浪散射的影响。Sahoo和Martha（2024年）分析了厚垂直多孔结构在减少浮动弹性板波浪响应方面的性能，表明更大的宽度和摩擦力可以增加能量耗散并减少散射、表面变形、剪切力和应变。Sahoo等人（2025a）研究了多个有限厚度多孔结构在保护弹性板方面的效果，发现四结构配置提供了更好的波浪阻尼，而板的变形和反射率则随边缘约束和系泊刚度的不同而变化。Tsai等人（2006年）开发了一个数值框架，利用Berkhoff（1973年）提出的缓坡方程，研究了存在透水防波堤的多孔倾斜海床中的波浪传播。Ye和Jeng（2012年）使用Biot的孔弹性动力理论描述了多孔海床对水流和波浪共同作用下的响应。Maiti和Mandal（2014年）对薄水平弹性板在水波散射方面提供了重要见解，该板在水下均匀有限深度的海洋中漂浮，海床为多孔结构。Barman和Bora（2021a）研究了位于双层流体中的厚复合防波堤在为不透水墙提供安全环境方面的作用。Sarkar和Chanda（2022年）分析了位于多孔海床上的圆柱体的波浪衍射问题。Suhail等人（2025年）解决了有限弹性板在厚多孔基底上方时的斜波散射问题。Sahoo等人（2026）探讨了在表面张力和水流作用下，多孔海床上两个穿透表面的多孔屏障与波浪的相互作用，结论是表面张力放大了反射和耗散作用，而反向水流增加了透射作用。Paik等人（2004年）的研究目的是为水下隧道创建一种动态分析方法，并研究其在外部波浪激励下的动态特性。Kunisu（2010年）通过边界元素方法结合Morison方程解决了物理问题，旨在明确惯性和阻力在动态响应中的作用。Jain和Bora（2023年）提出在浮动桥两侧对称布置矩形多孔防波堤作为抵御入射水波的有效措施，考虑了平坦不透水海床的情况。Mohapatra和Sahoo（2024）使用多域边界元素方法研究了隧道附近具有波浪形状的浸没复合多孔板与波浪的相互作用。Choudhary和Martha（2024）研究了在沟槽型海床上，水平多孔板与水下隧道之间的斜波相互作用，发现多孔板和不对称沟槽的联合作用减少了作用在隧道上的波力。Jain和Bora（2025年）在之前工作的基础上，进一步考虑了具有变化地形的海床，改进了模型。问题的解决采用了变量分离技术和特征函数展开技术，并结合了修正后的缓坡方程以考虑不平整海床带来的复杂性。Karmakar和Bora（2024年、2025年、2026年）的一些近期工作集中在水波散射和减轻作用在浸没隧道上的波力方面，这些隧道由不同类型的多孔防波堤（如薄屏障、厚复合防波堤）保护，适用于各种海床场景（如阶梯型、多孔海床）。

现有文献的评估表明，将复合多孔防波堤与刚性基座结合的研究在此方向上的关注较少。本研究采用了这种结构布置来保护刚性隧道，特别关注其在减弱波浪方面的有效性。数值研究采用了特征函数展开技术和深度函数的正交性质，综合分析得出了几个重要发现。尽管当前问题与一些早期研究（如Barman和Bora，2021a；Jain和Bora，2023；Jain和Bora，2025等）有相似之处，但在厚复合多孔防波堤下的多孔海床考虑为波-隧道相互作用提供了新的见解，并量化了其对力减小的贡献，这是早期研究中未涉及的新的物理元素。总之，虽然数学工具可能与早期分析波散射研究中使用的方法相似，但本研究的物理模型、目标和结果具有明显的区别，这激励我们将现有知识扩展到新的海岸和海上保护问题类别。

本研究的主要目标是设计一种新的高效模型，采用复合防波堤，因为简单的配置（如单个或双防波堤）在减弱隧道上的波力方面效果较差，而当前模型显示出更高的效率。此外，考虑海床的孔隙率为问题带来了新的维度，这是之前未讨论过的。本研究旨在在不同条件下提供一种更实用和高效的保护隧道的方法。通过比较，证明了不同防波堤的有效性。换句话说，本研究的新颖之处在于三个方面：（i）引入了高效的复合防波堤；（ii）将防波堤放置在基座上，使其比直接放置在海床上更加稳定；（iii）考虑了多孔海床，这代表了更现实的情景。本研究指向了一个可能更适合工程应用的模型。

问题陈述和公式化
在这项工作中，我们研究了斜波与位于刚性基座上的复合防波堤后的刚性矩形隧道之间的相互作用，该防波堤位于深度h1处，海床的深度为h，具有多孔特性，通过其多孔效应参数G表示。隧道的宽度为L2，高度为d，其上表面位于深度d1，下表面位于深度d2。波浪传播方向沿正x轴，与其成θ角。

解决方案
速度势的解析表达式为：
?I(x,z) = eiβI,0xZI,0(αI,0,z) + ∑n=0∞Rne^(-iβI,n)xZI,n(αI,n,z)
?1(x,z) = ∑n=0∞(P1,neiβ1,nx + Q1,ne^(-iβ1,n)(x?l1))Z1,n(α1,n,z)
?j(x,z) = ∑n=0∞(Pj,neiβj,n(x?lj?1) + Qj,ne^(-iβj,n)(x?lj))Zj,n(αj,n,z), j=2,3,…,r?1
?r(x,z) = ∑n=0∞(Pr,neiβr,n(x?lr?1) + Qr,ne^(-iβr,n)(x?M))Zr,n(αr,n,z)
?II(x,z) = ∑n=0∞(PII,neiβI,n(x?M) + QII,ne^(-iβI,n)(x?M1))ZI,n(αI,n,z)
?III(x,z) = ∑n=0∞(PIII,neiβIII,n(x?M1) + QIII,ne^(-iβIII,n)(x?M2))ZIII,n(αIII,n,z)
?IV(x,z) = ∑n=0∞(PIV,neβIV,n(x?M1) + QIV,n

能量恒等式
水波散射的一个重要方面是能量恒等式，它决定了反射系数和透射系数之间的关系。对于不透水结构，这个关系很简单：|R0|2 + |T0|2 = 1。然而，当引入多孔结构时，会发生能量耗散，因此需要相应地修改能量恒等式。我们问题的能量恒等式通过Green恒等式得出：
∫C(?????n ? ?????n)ds = 0
其中??是?的复共轭，??n表示对n的偏导数。

模型验证
通过与其他三项已发表研究的比较，验证了本模型的有效性和效率：图3表示与Abul-Azm和Gesraha（2000年）的研究结果相比，该研究探讨了在无任何多孔防波堤的情况下，浮动浮筒在平坦不透水海床上的水波散射；图4(a)和(b)表示与Dalrymple等人（1991年）和Venkateswarlu和Karmakar（2019年）的研究结果相比。

结果和讨论
为了确定未知数X，我们使用Matlab 2023a内置程序求解方程（51）。选择了一些物理参数的固定值：r=8, mj=1, θ=30°, L2/h=0.5, h1/h=0.85, d/h=0.25, d1/h=h?d2h，?j和fj的范围分别为[0.3,0.65]和[0.6,1.3]，用于计算。进一步地，选择了Gh=0.5（一个实数值）来单独考虑多孔海床的阻力效应，这与Martha等人（2007年）以及Chanda和Bora的研究方法是一致的。结论：本研究重点探讨了由刚性基座支撑、位于矩形隧道前方的复合多孔防波堤，以及多孔海床对波浪散射和隧道受力减弱的影响。通过运用匹配条件，该边界值问题通过一组方程得到解决并采用数值方法进行了处理。本研究的主要发现如下：•随着不同孔隙率条带数量的增加，...

作者贡献声明：
Nabanita Karmakar：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 初稿编写，可视化，验证，软件使用，方法论设计，数据收集，形式分析，概念化。
Swaroop Nandan Bora：撰写 – 审稿与编辑，可视化，项目监督，资源协调，项目管理工作，方法论设计，数据收集，形式分析，概念化。

利益冲突声明：
作者声明他们没有已知的可能影响本文研究工作的财务利益冲突或个人关系。

致谢：
第一作者对印度古瓦哈提的印度理工学院表示感谢，感谢该校为她提供博士学位研究的机会。两位作者同时对尊敬的审稿人表示感谢，他们提出了许多有意义且实用的建议，这些建议极大地帮助改进了手稿，使得所建立的模型和结果更加实用。作者们还感谢主编Jonas W Ringsberg教授在出版过程中给予的支持。