N人T球形三角模糊合作博弈决策系统的3维修正Shapley值

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：3-T-dimensional modified Shapley values for N-person T-spherical triangular fuzzy cooperative game decision systems

　　杨玉斗|丁雪峰|陈晓雄
上海大学管理学院，上海200444，中华人民共和国

**摘要**
本文基于TODIM（葡萄牙语中“交互式和多标准决策制定”的缩写）和TOPSIS（“通过相似度到理想解的排序偏好技术”）建立了一个混合计算模型，用于n人T-球形三角模糊合作游戏决策系统的3维修正Shapley值。首先，提出T-球形三角模糊数以从根本上突破三角模糊数的显著局限性，并介绍了其重要属性并进行了证明。然后，创新地将T-球形三角模糊数应用于构建3维合作游戏。具体来说，制定了T-球形三角模糊联盟收益函数及其?α, β, γ?-切割集以及相关定理及其证明。更重要的是，制定了一个能在任何3维合作环境中高效应用的T-球形三角模糊Shapley分配收益值，并展示了其关键属性，包括对称性、效率、可加性和唯一性。随后，构建了一个混合模型来确定玩家的综合贡献因素和收益调整系数，以弥补经典Shapley值方法在部分收益分配上的缺陷。最后，为了突出其优越性，将所提出的框架与现有的模糊合作游戏决策模型以及经典Shapley值方法和四种多属性决策方法进行了比较，并对关键参数进行了三组敏感性分析。结果表明，所提出的模型可以为玩家提供更自由的表达方式，纳入决策者的有限理性，并包含有效的合作激励机制，有利于联盟的可持续发展。

**引言**
随着全球化的深入和多方面的发展需求，越来越多的国家和地区选择与其他国家合作并加入各种国际合作组织，以争取更好的、更快的、更可持续的发展。在这种背景下，如何选择和加入可靠的联盟、最大化成员利益以及设计高效的利益分配机制已成为不同领域专家面临的前沿研究问题。n人合作游戏是一个合适且有效的科学工具，因为它考虑了玩家的心理学行为和利润分配。n人合作游戏是指n个玩家通过形成具有约束力的协议来获得最大利益的策略分析模型（Harsanyi, 1966），它逐渐成为描述多代理合作环境的最主流方法之一（Wang等人，2023；Lin等人，2023；Liao等人，2024）。经典合作游戏基于玩家的个体理性以及两个假设前提：（i）玩家完全参与特定联盟，即每个玩家要么参与联盟，要么不参与；（ii）玩家在合作前完全了解不同合作策略的利益及其参与特定联盟的收益分配（Drechsel, 2010）。然而，考虑到玩家的内部和外部游戏环境复杂多变，且玩家掌握的相关知识和信息有限，他们很难知道在不同合作策略下的确切收益以及联盟下的确切收益分配。特别是在不确定和波动的环境中，如市场波动、政策变化和技术不确定性下，玩家既无法准确预测未来收益，也无法准确评估每个参与者的长期贡献。这种不确定性扭曲了玩家对累积利润的预期，往往导致收益分配结果有偏或不稳定，这可能会削弱合作动机并威胁联盟的可持续性。传统的合作游戏模型和经典Shapley值分配隐含地假设联盟收益是已知或可以准确估计的。然而，当收益信息不精确、不完整或认知上模糊时，这些假设就不再成立。在这种情况下，利润积累对不确定性建模的方式以及随时间评估个人贡献的方式变得非常敏感。因此，明确地将不确定性纳入合作收益及其积累过程的建模中对于设计稳健且具有激励性的分配机制至关重要。为了解决这一困境，多学科学者开始探索具有模糊收益的合作游戏。Aubin（1974）最初将模糊集（FS）理论引入合作游戏，此后具有模糊收益的合作游戏引起了广泛关注。例如，Meng等人（2017）使用模糊合作游戏设计了两种理性一致性和共识调整机制。Zhao和Liu（2018）利用FS的α-切割集理论和表示定理建立了二次规划模型来解决三角模糊合作游戏。Wu（2018）基于模糊数的各种排序方案提出了合作游戏的几种模糊核和支配核。Ye和Li（2021）设计了一种直接便捷的方法来计算合作游戏的三角模糊Banzhaf值，借助联盟三角模糊值的β-切割集。Lin等人（2023）基于广义Choquet积分提出了概率性犹豫模糊合作游戏的Shapley函数。Choucair等人（2025）为基于高斯模糊数的合作游戏引入了解析解决方案。尽管如此，FS的应用范围有限，很难用它们来描述尽可能复杂的合作游戏信息，这意味着它们容易失去有效性。鉴于此，一些研究人员尝试使用其他模糊语言来提高模糊合作游戏的适用性，如区间模糊数（Hong和Li，2016）和直觉模糊集（Nan等人，2021）；然而，尽管它们的应用空间比FS更大，但仍无法处理相对复杂的多维合作游戏环境。除了合作游戏设置之外，高级模糊框架在其他复杂决策情境中也展示了其实用性（G?r?ün，2022；G?r?ün等人，2026a，G?r?ün等人，2026b，G?r?ün等人，2026c，G?r?ün等人，2026d，G?r?ün等人，2026e）。这些应用强调了高级模糊方法对特定领域挑战的适应性，这种灵活性激发了将其扩展到合作游戏环境的动力。因此，引入更多适用的模糊语言是空白但必要的，以便准确地描述复杂的有合作游戏环境。

作为FS的一种特殊形式，三角模糊数（TFN）（Zadeh，1965）因其表示“围绕某个值”的明显优势而被广泛用于解决模糊合作游戏。然而，TFN无法完全反映玩家的全面认知，因为它只考虑了对象在集合中的成员度，而忽略了其他维度（例如非成员度），这使其应用范围在一定程度上受到限制。为了摆脱这一困境，研究人员逐渐提出了具有更广泛应用范围的混合模糊数和集合，通过将TFN与其他模糊集结合，如区间值三角模糊数（Zhang等人，2011）、三角直觉模糊数（Wang等人，2013）、犹豫三角模糊集（Ding等人，2021）和区间毕达哥拉斯三角模糊集（Ding和Zhong，2021）等。然而，这些扩展的三角模糊数都忽略了成员度、弃权度和非成员度的协同整合，这意味着它们仍有相当大的应用限制，不适合描述具有复杂信息的社会合作游戏。图模糊集（PFS）可以弥补这些扩展的三角模糊数的这一缺陷。PFS是FS的一种代表性扩展，它首次将弃权度和非成员度合并到FS中（Cuong和Kreinovich，2013）。其显著特征之一是集合对象的成员度（μ）、弃权度（σ）和非成员度（υ）之和小于1，即μ+σ+υ ≤ 1。PFS已被广泛用作多个领域的高效手段（Arya & Kumar，2021；Duong & Thao，2020；Luo和Zhang，2020；Zhao等人，2024；Luo和Zhang，2025），但随着研究场景的复杂性增加，PFS无法描述μ+σ+υ > 1的情况。为了解决这个问题，Mahmood等人（2018）将PFS的限制扩展为μ2+σ2+υ2 ≤ 1，并引入了球形模糊集（SFS）。SFS确实可以描述比PFS更模糊的信息，但当μ2+σ2+υ2 > 1时，它们也会失效。针对这一点，Mahmood等人（2018）通过引入T-球形模糊集（T-SFS）从根本上解决了这个问题，T-SFS是PFS和SFS的泛化。T-SFS可以描述所有μt+σt+υt≤1的情况，并允许决策者通过选择不同的参数t值灵活使用它，这意味着T-SFS具有构建3维模糊空间的能力。鉴于这一优势，T-SFS受到了学术界的广泛关注（Ullah等人，2020；Gurmani等人，2024；Chen，2025；Yang等人，2025）。受此启发，本文将提出T-球形三角模糊数（T-STFN），通过融合T-SFS和TFN，并深入探讨其重要属性，包括其运算规律、距离公式、价值和贡献函数、比较规则、α-切割集、β-切割集、γ-切割集以及?α, β, γ?-切割集。然后，计划使用T-STFN来建立T-球形三角模糊合作游戏环境，以捕捉玩家的3维认知信息并扩大合作游戏理论的应用范围。

如何公正有效地分配玩家的合作收益与联盟的稳定发展密切相关。如果没有合理的联盟收益分配机制，资源或收益分配的争议可能会发生，导致冲突，阻碍联盟实现其整体价值和发展竞争力，甚至让竞争对手有机会获得市场份额或其他优势。因此，寻求有效的解决方案已成为合作游戏研究的关键热点。Shapley值是合作游戏最重要的解决方案概念之一（Wei等人，2018；Stern和Tettenhorst，2019；Yang等人，2023；Li等人，2024；Sekhar等人，2025），它可以通过加权平均玩家对联盟的边际贡献来获得。Shapley值不仅可以获得合作游戏的唯一解，还可以考虑每个玩家对联盟收益的具体贡献。考虑到这些特点优势，Shapley值已被广泛用于解决合作游戏的收益分配问题（Gallardo和Jiménez-Losada，2020；Xue和Deng，2021；Sun等人，2022；Slime等人，2024；Zhang等人，2025）。经典Shapley值满足一致性，即玩家被视为同质的，因此为玩家分配相同的权重，这意味着玩家的特征和偏好以及对联盟的贡献在收益分配过程中是等同的。显然，这一假设与实际合作游戏不符，可能会导致合作游戏的收益分配不公平，从而挫败主要贡献者的合作意愿。因此，在构建Shapley值时，设计一个有效的玩家贡献度量机制以修改每个玩家的收益分配值至关重要，以便获得更现实和可接受的Shapley分配值。

现有的关于修改玩家收益分配Shapley值的研究主要集中在定义加权Shapley值上（Radzik，2012；Abe和Nakada，2018；Manuel和Martín，2020；Singh等人，2023）；然而，它们在计算相关权重时大多只考虑了一个因素。尽管一些学者试图通过使用多属性评估方法来优化经典Shapley值计算方法，以计算可以反映多个影响因素的修改系数，但他们主要使用了单一模糊评估方法，如AHP（Wang和Yin，2013）和TOPSIS（Mao等人，2015），这相对片面且未能考虑评估者的心理行为。TODIM方法具有与前景理论相似的价值函数，可以通过确定在多个属性下每个选项的综合性优越程度，将决策者的有限理性心理行为和风险态度纳入决策过程中（Wu等人，2022；Wang等人，2023；Sun等人，2023；Chen和Yin，2024）；然而，它通过线性尺度转换来为选项分配权重，这在使得结果具有可比性方面有时效果较差（Hwang和Yoon，1981）。TOPSIS方法具有简单的计算算法，并且同时在定义选项集方面具有灵活性，并且在利用距离度量来客观确定选项权重方面是合理的，这可以有效解决大型和复杂的决策问题（Zanakis等人，1998；Ye和Li，2014；Sha等人，2021；Bastanifar等人，2025）；然而，它没有考虑决策者心理行为的重要影响。鉴于这些情况，本文期望构建一个集成的T-STF-TODIM-TOPSIS框架，以计算合作游戏中玩家Shapley收益分配值的修改系数。这种提出的混合修改框架将获得的收益分配Shapley值能够反映玩家贡献的差异。同时，TODIM和TOPSIS的整合可以确保它在客观生成选项权重时考虑到评估专家的心理行为。上述分析表明，关于模糊合作游戏和基于Shapley值的收益分配的现有研究通过扩展模糊表示并提出各种分配机制来应对不确定性，做出了重要贡献。尽管有这些发展，大多数现有工作倾向于将模糊建模、贡献聚合和收益分配视为独立的方法论组成部分。本研究通过将这些组成部分系统地整合到一个统一且理论一致的框架中，为文献做出了进展。特别是，提出的3维T-STF表示方法丰富了超越现有的一维或低维模糊方法的不确定性建模，使得能够在合作环境中更明确地表达认知模糊性。通过将这种表示嵌入到合作游戏框架中，并定义具有严格建立公理性质的相应T-STF Shapley收益值，本工作扩展了经典合作游戏理论在多维不确定性下的适用性。此外，所提出的框架通过在收益修改之前结合基于行为的聚合机制，弥合了模糊多标准决策分析和基于合作游戏的分配之间的长期差距。因此，这项工作推进了复杂决策系统中利润积累和激励兼容性的理论理解和实际建模，从而为模糊合作决策领域的文献带来了新的见解和方法论进展。本研究的意义在于其三个方面的新颖性和贡献：(i) 本文提供了T-STFNs的系统化和形式化发展，包括它们的精确定义、操作规则、汉明距离、各种割集及相关性质，以及价值和模糊函数。通过将经典三角模糊数的表达空间从单一维度扩展到三维结构，所提出的T-STFNs提供了一种更灵活和更具表现力的模糊表示，可以作为构建模糊合作游戏环境的通用基础；(ii) 提出了一种新的三维合作游戏模型，其中联盟能收益由T-STFNs表示，以扩展经典合作游戏理论在不确定性下的应用范围。具体来说，构建了一个T-STF联盟能收益函数，并严格建立了其?α, β, γ?-割集及其相应的理论性质。此外，基于预定的三维置信水平定义了一个三维T-STF Shapley收益值，并正式证明了其基本性质，包括对称性、效率、可加性和唯一性；(iii) 为了解决在不确定和认知偏差环境下经典Shapley值框架中收益分配可能存在的不公平问题，开发了一个T-STF-TODIM-TOPSIS集成聚合框架，以评估玩家的综合性贡献因素。该框架通过TODIM纳入了有限理性，客观确定了指标权重，并引入了一种有效的激励机制，以鼓励对联盟的持续贡献，从而增强了基于Shapley的收益分配在复杂决策环境中的实际适用性。本文的结构如下：第2节提供了一些与所提模型密切相关的重要知识。在此基础上，第3节利用T-STFNs建立T-STF合作游戏环境，定义了一个可以从一维到三维有效的初始Shapley值，并构建了一种T-STF-TODIM-TOPSIS修改方法，以公平地将联盟能收益分配给每个玩家。第4节使用三个新的能源共享电动汽车公司组成的示例合作游戏来验证所提模型的有效性和稳健性。第5节进行了几项比较和敏感性分析，进一步证明了所提方法在描述复杂合作游戏环境和公平分配玩家合作收益方面的优越性。第6节总结了本文的关键内容和发现，并提出了一些未来的研究方向。

**T-STF-TODIM-TOPSIS框架**
TODIM方法的价值函数与前景理论类似，可以通过确定多种属性下每个选项的综合性优越程度，将决策者的有限理性心理行为和风险态度纳入决策过程中（Wu等人，2022；Wang等人，2023；Sun等人，2023；Chen和Yin，2024）；然而，它通过线性尺度转换为选项分配权重，这有时在使结果具有可比性方面效果较差（Hwang和Yoon，1981）。TOPSIS方法具有简单的计算算法，同时在定义选项集方面具有灵活性，并且在利用距离度量来客观确定选项权重方面是合理的，可以有效解决大型和复杂的决策问题（Zanakis等人，1998；Ye和Li，2014；Sha等人，2021；Bastanifar等人，2025）；然而，它没有考虑决策者心理行为的重要影响。鉴于这些情况，本文期望构建一个集成的T-STF-TODIM-TOPSIS框架，以计算合作游戏中玩家的Shapley收益分配值的修改系数。这种混合修改框架将获得的收益分配Shapley值能够反映玩家贡献的差异。同时，TODIM和TOPSIS的整合可以确保它在客观生成选项权重时考虑到评估专家的心理行为。

上述分析表明，现有关于模糊合作游戏和基于Shapley值的收益分配的研究通过扩展模糊表示并提出各种分配机制来应对不确定性，做出了重要贡献。尽管有这些发展，大多数现有工作倾向于将模糊建模、贡献聚合和收益分配视为单独的方法论组成部分。本研究通过将这些组成部分系统地整合到一个统一且理论一致的框架中，为文献做出了进展。特别是，提出的3维T-STF表示方法丰富了超过现有的一维或低维模糊方法的不确定性建模，使得能够在合作环境中更明确地表达认知模糊性。通过将该表示方法嵌入到合作游戏框架中，并定义具有严格建立公理性质的相应T-STF Shapley收益值，本工作扩展了经典合作游戏理论在多维不确定性下的适用性。此外，所提出的框架通过在收益修改之前结合基于行为的聚合机制，弥合了模糊多标准决策分析和基于合作游戏的分配之间的长期差距。因此，这项工作推进了复杂决策系统中利润积累和激励兼容性的理论理解和实际建模，从而为模糊合作决策领域的文献带来了新的见解和方法论进展。

本研究的重要性在于其三个方面的新颖性和贡献：
(i) 本文提供了T-STFNs的系统化和形式化发展，包括它们的精确定义、操作规则、汉明距离、各种割集及相关性质，以及价值和模糊函数。通过将经典三角模糊数的表达空间从单一维度扩展到三维结构，所提出的T-STFNs提供了一种更灵活和更具表现力的模糊表示，可以作为构建模糊合作游戏环境的通用基础；
(ii) 提出了一种新的三维合作游戏模型，其中联盟能收益由T-STFNs表示，以扩展经典合作游戏理论在不确定性下的应用范围。具体来说，构建了一个T-STF联盟能收益函数，并严格建立了其?α, β, γ?-割集及其相应的理论性质。此外，基于预定的三维置信水平定义了一个三维T-STF Shapley收益值，并正式证明了其基本性质，包括对称性、效率、可加性和唯一性；
(iii) 为了解决在不确定和认知偏见环境下经典Shapley值框架中收益分配可能存在的不公平问题，开发了一个T-STF-TODIM-TOPSIS集成聚合框架，以评估玩家的综合性贡献因素。该框架通过TODIM纳入了有限理性，客观确定了指标权重，并引入了一种有效的激励机制，以鼓励对联盟的持续贡献，从而增强了基于Shapley的收益分配在复杂决策环境中的实际适用性。

本文的其余部分安排如下：第2节提供了与所提模型密切相关的一些关键知识。在此基础上，第3节利用T-STFNs建立T-STF合作游戏环境，定义了一个可以从一维到三维有效的初始Shapley值，并构建了一种T-STF-TODIM-TOPSIS修改方法，以公平地将联盟能收益分配给每个玩家。第4节使用三个新的能源共享电动汽车公司组成的示例合作游戏来验证所提模型的有效性和稳健性。第5节进行了几项比较和敏感性分析，进一步证明了所提方法在描述复杂合作游戏环境和公平分配玩家合作收益方面的优越性。第6节总结了本文的关键内容和发现，并提出了一些未来的研究方向。