《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：An efficient multi-resolution multi-material topology optimization framework for exterior acoustic–structure interaction systems
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外声–结构耦合（ASI）系统在工程领域受到广泛关注，相应的拓扑优化技术已被应用于提升系统性能。然而，在扩展设计空间的同时高效获取外ASI系统高质量设计方案仍是一项关键挑战。本研究针对这一需求缺口，提出了一种面向外ASI系统的新型多分辨率多材料拓扑优化（MRMM
外声–结构耦合（ASI）系统在工程领域受到广泛关注，相应的拓扑优化技术已被应用于提升系统性能。然而，在扩展设计空间的同时高效获取外ASI系统高质量设计方案仍是一项关键挑战。本研究针对这一需求缺口，提出了一种面向外ASI系统的新型多分辨率多材料拓扑优化（MRMM-TO）框架。基于有序化概念，本研究提出了一种名为修正有序RAMP的新型多材料模型，该模型不仅通过单一设计变量实现了外ASI系统的多材料拓扑优化（MMTO），还解决了动态拓扑优化问题中的局部模态问题。此外，本研究建立了面向ASI系统的多分辨率模型，以克服细化结构设计的计算成本与实现精细材料分布之间的矛盾。数值算例表明，所提出的MRMM-TO框架显著降低了获取外ASI系统高质量多材料设计的计算成本，对于实现具有优异振声性能的结构具有巨大潜力。
噪声污染已成为现代社会面临的严峻问题，结构减振、降噪及声学性能优化成为工程界重要的研究课题。拓扑优化作为一种高度灵活的结构优化方法，能够在满足使用要求的同时获得轻量化和高性能的优化结果。随着拓扑优化理论的发展与成熟，其已被 increasingly 应用于解决工程实践中的结构振动与噪声控制需求。有限元法（FEM）作为成熟的数值方法，已广泛应用于声–结构耦合（ASI）系统的优化中，但FEM主要局限于有限声场问题；对于无限声场问题，FEM无法直接对无限域进行离散建模，且存在计算效率低下的问题。因此，FEM通常与其他数值方法相结合进行近似模拟。边界元法（BEM）能够自动满足Sommerfeld边界条件，高精度地处理无限声场问题，故FEM-BEM耦合法可有效用于无限声场中ASI系统的分析。
随着现代工业的发展，振动声学评估与控制领域的结构面临愈发复杂的服务环境和设计要求。单材料拓扑优化模型往往无法提供综合性能最优的解决方案；相比而言，多材料拓扑优化（MMTO）可通过在设计域内自由选取一组候选材料来发挥各组成材料的固有优势，从而获得性能更优的结构设计。在ASI系统的拓扑优化中，单区间材料插值模型目前仍是主要选择，但只能实现单材料或双材料设计，因此需要发展ASI系统的多材料设计方法以克服单材料或双材料设计的性能局限。
当前MMTO的主要挑战在于缓解与设计变量更新相关的计算成本，该成本通常随候选材料数量增加而增大，这凸显了高效材料插值方案的必要性。Zuo和Saitou提出的有序SIMP模型通过单一设计变量表征多材料分布，建立了高效的MMTO框架，但该模型在不同材料区间的惩罚不一致性可能对MMTO产生负面影响。Silveira和Palma提出的修正有序SIMP虽改善了区间惩罚一致性，但其底层标准SIMP公式在动态问题中存在局部模态问题。有序SIMP及修正有序SIMP均源自SIMP模型，在动态拓扑优化中同样存在人工局部模态问题，即低密度区域过高的质量–刚度比导致的非物理振动模态，这会引发无效优化结果和严重数值振荡。有理近似材料性质（RAMP）方法可在一定程度上避免动态拓扑优化问题中的局部模态，Zhao等发展的有序RAMP方法用于热工程应用，但仍存在不同材料区间惩罚不均的问题。
本研究提出一种名为修正有序RAMP的新多材料模型，该模型不仅能实现一致惩罚，还能克服动态拓扑优化中潜在的局部模态问题，显著提高优化过程中的数值稳定性。典型的拓扑优化过程可分为两个阶段：物理响应分析和优化。传统上两个阶段采用相同的网格进行离散，即分析网格与设计网格相同，这意味着设计网格尺寸直接影响响应分析阶段的计算效率。当需要高分辨率设计时，精细分析网格相关的计算成本往往令人难以承受，这一问题在通过FEM-BEM耦合法分析的外ASI系统中尤为突出。Nguyen等提出的多分辨率拓扑优化（MRTO）方法为解决该问题提供了有吸引力的研究途径，其通过解耦分析与设计网格来降低分析模型的自由度（DOFs），精细设计网格提高设计分辨率，从而增强几何细节描述能力以细化边界表示。
目前MRTO的应用场景主要集中于单物理场。ASI系统作为涉及两场耦合的复杂物理系统，获取精细优化设计通常会增加计算复杂度和成本。平衡ASI系统计算成本与优化质量的挑战限制了传统拓扑优化在实际大规模复杂工程问题中的应用。将多分辨率建模概念引入ASI系统的拓扑优化框架，是克服这些计算瓶颈的有前景途径。此外，多材料模型的详细表示依赖于设计网格的分辨率，设计域中大量单元有利于候选材料的合理分布，将多分辨率策略纳入多材料设计框架有助于扩展设计空间并提升所得多材料设计的性能。
本研究提出了一种面向外ASI系统、具有高效高质量特征的新型多分辨率多材料拓扑优化（MRMM-TO）框架。该框架采用新的多材料插值模型——修正有序RAMP，以解决动态问题拓扑优化中的潜在数值问题，并采纳多分辨率策略以提升MRMM-TO框架的效率。该框架基于FEM-BEM耦合法建立外ASI系统的分析流程，其中振动结构浸没于无限声学介质中并向声域辐射声波，产生的声压对结构产生反作用，形成ASI系统。
在优化问题表述方面，以目标函数Π（与位移u和声压p相关）最小化为目标，考虑质量约束和设计变量边界条件。MRMM-TO框架的核心技术方法包括：（1）基于FEM-BEM耦合的外ASI系统分析方法，其中结构域采用FEM离散、无限声场采用BEM离散，通过耦合界面条件实现两场交互；（2）修正有序RAMP多材料插值模型，基于有序化概念通过单一设计变量实现多材料分布表征，采用RAMP公式作为底层插值以避免局部模态，并通过修正系数实现各材料区间惩罚一致性；（3）多分辨率建模策略，将设计域细分为精细设计网格和相对粗糙的分析网格，通过网格映射关系实现设计变量向分析模型的投影，在保证分析效率的同时提升设计分辨率；（4）基于伴随变量法（AVM）的灵敏度分析，高效获取目标函数和约束条件对设计变量的导数信息。
数值算例部分，研究人员通过多个典型算例验证了所提出MRMM-TO框架的有效性，所有程序基于Fortran 95/2003自编代码实现。算例结果表明：相较于传统单分辨率方法，MRMM-TO框架在保持优化结果质量的同时显著降低了计算成本；修正有序RAMP模型有效避免了动态优化过程中的局部模态问题，展现出良好的数值稳定性；多分辨率策略使得在较粗分析网格上即可获得高分辨率的设计输出，实现了计算效率与设计质量的有效平衡；多材料设计方案相比单材料或双材料设计展现出更优的振声综合性能。
结论部分指出，本研究发展了面向外ASI系统的新型MRMM-TO框架，通过采用修正有序RAMP模型实现结构的多材料拓扑优化，该模型具有优越的优化性能；建立了基于FEM-BEM耦合方法的ASI系统多分辨率模型，以可接受的计算成本在相对较粗的分析网格上实现高分辨率设计。这些特性使得所提出的框架在获取外ASI系统高质量多材料设计方面具有显著优势，对于推进复杂工程系统中振动噪声控制的一体化优化设计具有重要意义。该框架为实际大规模ASI系统的多材料拓扑优化提供了高效可行的技术途径，在航空航天、船舶海洋、汽车交通等领域的减振降噪工程中具有广阔的应用前景。
