平面弹性非均质材料中圆形弹性夹杂的无需界面积分的精确高效建模

《COMPOSITE STRUCTURES》：Accurate and efficient modeling of circular elastic inclusions in plane elastic heterogeneous materials without interface integration

　　

建模含夹杂材料中的弹性场对于理解复合材料的力学行为至关重要，然而传统的有限元（FEM）列式在处理复杂的夹杂几何形状或精细的应力集中时，往往面临高昂的计算成本。为解决此挑战，研究人员开发了一种基于单泛函列式（single-functional formulation）的混合Trefftz有限元法（HT-FEM）。该方法假设两个独立的位移场，一个在单元域内，另一个沿其边界，并通过一个修正的泛函将它们耦合，其中矩阵-夹杂连续性条件由域内场固有满足。这一策略避免了界面积分的需求，同时保留了矩阵-夹杂边界间的位移和应力连续性。数值研究表明，即使在粗网格上，所提出的方法也能以高保真度捕捉夹杂引起的局部应力集中，并且与传统有限元法（FEM）相比，显著减少了自由度和计算时间。进一步分析揭示了高斯积分点数量与可采用的T完备函数（T-complete functions）数量之间的内在平衡，并表明增加多边形单元边数可进一步提高精度。带有随机分布夹杂或孔洞的各种域及极端夹杂构型的基准案例证实了该列式的鲁棒性和效率。

论文解读：平面弹性非均质材料中圆形弹性夹杂的无需界面积分的精确高效建模

研究背景方面，纤维增强复合材料因其高比强度和高比刚度，已成为航空航天、汽车和土木工程中的重要轻质结构材料。在影响整体力学性能的因素中，增强体与基体之间的相互作用尤为关键。为促进细观力学分析，增强体通常被理想化为圆形或椭圆形夹杂。因此，夹杂问题为理解矩阵-增强体相互作用提供了基本框架，并指导复合材料的设计和性能预测。自Eshelby首次获得椭圆形夹杂的开创性解以来，基于复变量、保角映射和积分变换的解析方法已 yielding 若干无限域或规则边界域在均匀远场载荷下的单夹杂闭合解。这些经典结果可作为理解夹杂效应和验证数值算法的基准。然而，解析方法存在固有局限性：几何形状主要限于规则界面，不适合任意多夹杂系统；外部边界和外加载荷往往过度简化，降低了其与实际工程条件的相关性；无限或半无限域的假设限制了其在有限或不规则边界中的应用。因此，解析解作为理论标尺很有价值，但难以直接应用于工程尺度问题。

为克服这些限制，有限元法（FEM）、边界元法（BEM）和扩展有限元法（XFEM）等数值方法得到了广泛发展。在FEM中，当网格贴合夹杂界面时，共享节点自然满足连续性。但对于复杂或大量夹杂，生成高质量网格并在应力集中区域细化会大幅增加前处理工作和计算成本。BEM避免了域离散化，仅需沿外部和夹杂界面进行边界离散化。然而，随着夹杂数量和界面复杂性的增加，边界单元数量增加，导致系统矩阵变得稠密，带来相当大的计算和存储需求。XFEM通过丰富近似空间以允许非贴合界面，但当界面切割单元时，通常需要子单元划分或特殊积分来保证精度和稳定性，使该方法实现复杂化。

Trefftz有限元法（TFEM）提供了一种吸引人的替代方案。通过构造精确满足控制方程的试函数，域残差消失，仅强制边界条件来组装离散系统。因此，TFEM仅涉及边界积分而无域积分。与传统FEM相比，Trefftz单元通常以较少的自由度实现可比精度，并自然地将奇点、振荡或边界层行为等关键特征纳入解中。与BEM相比，TFEM避免了奇异核，同时保留了FEM的稀疏矩阵结构，从而降低了大规模计算中的积分工作和求解复杂度。然而，一个主要挑战在于使用Trefftz基时强制单元间兼容性。为此，Jirousek和León引入了混合Trefftz有限元法（HT-FEM），其中域内场由Trefftz函数表示，同时在单元边引入独立的边界自由度，并通过混合变分原理耦合。这不仅保留了Trefftz列式的仅边界积分特性，还确保了单元间的兼容性，从而增强了鲁棒性和实用性。过去几十年，HT-FEM已成功应用于势问题、弹性力学、热弹性力学、板弯曲、压电学和声学等多种问题，一致表现出高精度、快速收敛和高效率。

利用HT-FEM框架，现有关于非均质夹杂的研究通常采用以下步骤：首先，包含夹杂和基体的单元域被划分为两个边值子问题；随后，分别为每个相区域建立变分泛函；然后通过施加相界面处的连续性条件耦合这些泛函；最后推导夹杂单元的有限元列式。上述求解过程通常被称为双泛函方法（dual-functional approach）。然而，此方法需要每个相的独立泛函，并不可避免地涉及沿界面的边界积分，从而增加了数值实现的复杂性。

鉴于双泛函方法在界面处理上的局限性，She等人提出了一种用于求解热传导问题的单泛函模型。在该模型中，直接在整个域上构造统一的变分泛函，无需为每个相区域设置单独泛函，从而消除了相界面处的额外边界积分。单泛函方法提供了极大的简洁性，避免了与界面离散化和积分相关的计算负担和误差累积。因此，它展示了优越的数值实现能力。现有研究表明，单泛函方法在热传导问题中实现了出色的性能。

在这项工作中，研究人员将单泛函方法的应用扩展到含圆形夹杂的弹性力学问题。在矩阵和夹杂区域构造了分段T完备函数，使得无需任何界面积分即可强制界面连续性。数值研究表明，该方法即使在非常粗的网格上也能准确捕捉夹杂周围的应力集中，同时与常规FEM相比显著减少了自由度和计算成本。此外，研究了截断T完备项数、高斯积分点、节点数和多边形边数的影响，为平衡精度和效率提供了实用指南。所提出的方法直接适用于具有任意空间分布的多个夹杂的问题，为建模非均质材料提供了一种简洁稳健的途径。

论文发表在《COMPOSITE STRUCTURES》（复合材料结构）期刊上。

作者开展研究用到的主要关键技术方法包括：基于单泛函列式的混合Trefftz有限元法（HT-FEM），假设域内和边界两个独立位移场并通过修正泛函耦合；构造矩阵和夹杂区域的分段T完备函数以嵌入界面连续性条件，避免界面积分；采用多边形单元离散域，分析单元边数、高斯积分点及T完备函数项数的影响；通过数值算例（包括单夹杂、随机分布多夹杂及孔洞问题）与ABAQUS高精度解对比验证精度与效率。

研究结果部分，首先为弹性夹杂单元的的控制方程（Governing equations for elastic inclusion elements）。研究人员针对含圆形夹杂（代表纤维）的多边形单元，定义了局部极坐标系下的夹杂区域Ω_i和周围基体区域Ω_m，两者完美粘接且均为均匀各向同性。基于此几何描述建立后续分析基础。

其次为极坐标下位移的通解（General solution of displacement in polar coordinates）。研究人员给出了无体力平面问题的控制微分方程，并采用角向傅里叶模态叠加表示通解，其中径向和切向位移分量分别表示为关于径向函数的余弦和正弦级数形式，为构造T完备函数提供理论基础。

接着为数值算例（Numerical examples）。研究人员针对平面应力问题评估所提HT-FEM的性能，参考解采用ABAQUS高度细化的二次CPS6M单元获得。通过多种 benchmark 案例（如单夹杂在不同载荷下的应力集中、随机分布夹杂的弹性场、多孔洞问题及极端构型）表明，该方法在粗网格下即可高精度重现应力集中和位移场，自由度、CPU时间显著低于常规FEM，并揭示了积分点数与T完备函数项数的平衡关系及多边形式单元的优势。

随后为讨论（Discussion）。研究人员指出数值算例显示所提混合Trefftz有限元法为含圆形夹杂和孔洞的各向同性基体平面弹性问题提供了高精度的位移和应力场。在报告的测试案例中，HT-FEM与ABAQUS/Standard结果非常接近，同时使用远少于常规方法的单元和自由度，大幅缩短CPU时间。T完备函数的构造使连续性条件自动满足，省去了界面积分。方法对随机分布夹杂及复杂边界均表现鲁棒，且随T项数增加和单元边数增加精度进一步提升，存在最优高斯点配置。

最后为结论（Conclusion）。研究人员提出了一种用于二维线弹性夹杂问题建模与分析的单泛函混合Trefftz列式。该列式假设单元域内和边界上两个独立位移场，并通过修正泛函耦合，使域内场与辅助边界场有效关联。通过将矩阵-夹杂连续性条件嵌入域内场，避免了界面积分，保留了位移和应力连续性。数值研究表明该方法在粗网格下精确捕捉应力集中，大幅降低自由度和计算耗时，适用于任意分布的多夹杂问题，为复合材料细观力学分析提供了高效工具。

讨论部分总结：讨论中强调了方法的精度、效率与鲁棒性，通过与商业软件对标验证了可靠性；分析了参数（T项数、高斯点、边数与节点数）的影响规律，指出存在兼顾精度与效率的最优设置；明确了方法在复杂多夹杂系统和极端构型下的适用性，以及其在减少前处理（无需界面贴合网格）和计算资源上的优势，为其工程应用提供了依据。

研究结论部分翻译：研究人员提出了一种用于二维线弹性夹杂问题建模与分析的单泛函混合Trefftz列式。该列式假设单元域内和边界上两个独立位移场，并通过修正泛函耦合，使域内场与辅助边界场有效关联。通过将矩阵-夹杂连续性条件嵌入域内场，避免了界面积分，保留了位移和应力连续性。数值研究表明该方法在粗网格下精确捕捉应力集中，大幅降低自由度和计算耗时，适用于任意分布的多夹杂问题，为复合材料细观力学分析提供了高效工具。