离散Morse理论中临界对的消去及其对（上）边界算子的影响

《Advances in Applied Mathematics》：Cancellation of a critical pair in discrete Morse theory and its effect on (co)boundary operators

　　

离散Morse理论（Discrete Morse Theory）为计算单纯复形的同调群提供了高效途径。一个“良好”的梯度向量场（gradient vector field）能够减少临界单形（critical simplex）的数量，从而将同调计算简化为较简单的链复形上的运算。此类计算依赖于梯度轨迹（gradient trajectory）的有效枚举。临界单形对的消去技术可减少临界单形数量，但同时会改变梯度轨迹。本文以纯组合方式推导了消去临界对后，修正边界算子相对于原始边界算子的显式公式。该公式可通过原始边界算子矩阵表示的一系列初等行变换得到，因此无需重新枚举新的梯度轨迹。研究人员还获得了针对上边界算子（coboundary operator）的类似结果。

离散Morse理论由Forman于1998年引入，是光滑Morse理论的组合对应理论，广泛应用于计算拓扑、数据分析等领域。其核心在于有限单纯复形（或正则CW复形）上的离散Morse函数，该函数通过减少单形数量并保持同伦型来获得更高效的胞腔分解。在实践中，研究者常使用梯度向量场这一等价且更易操作的概念。复形的同伦型完全由梯度向量场的临界单形决定，因此构造临界单形数最少的梯度向量场至关重要。然而，即使对于二维复形，寻找最优梯度向量场也是NP难问题。离散Morse理论还能高效计算同调群、贝蒂数等拓扑不变量，这些计算依赖于临界单形较少且允许有效加权枚举梯度轨迹的梯度向量场。临界单形对的消去技术是改进梯度向量场的重要方法，但会扰动临界单形集和部分梯度轨迹，因此在消去后需要重新枚举新的梯度轨迹才能计算Morse同调群。如何精确刻画消去对梯度轨迹的影响，并建立消去前后（上）边界算子的形式关系，成为亟待解决的问题。

本研究的主要技术方法包括：在给定梯度向量场中识别可消去的临界对（σ₀^(k), τ₀^(k?1)），构造消去后的新梯度向量场W，利用原始边界算子?_q^V与临界单形索引，通过纯组合推导获得修正边界算子?_q^W的显式公式，并验证其与初等行变换的等价性。研究人员同时给出了上边界算子的相应结果，并通过具体示例验证了理论的正确性。

定理1.1 设Δ为d维单纯复形，V为其梯度向量场，(σ₀^(k), τ₀^(k?1))为可消去临界对，W为消去该对后的梯度向量场。记?_q^V与?_q^W分别为V与W对应的Morse复形的第q个边界映射。则：

(1) 当q > k+1或q < k?1时，?_q^W= ?_q^V。

(2) 若β为W-临界(k+1)-单形，其在?_k+1^V下的像为∑_j=0ⁿb_jσ_j，则在?_k+1^W下的像为∑_j=1ⁿb_jσ_j（即消去σ₀^(k)项）。

(3) ?_k?1^W是?_k?1^V在子群C_k?1^W(Δ)上的限制。

(4) 对V-临界k-单形σ_j（j ≥ 1），?_k^W(σ_j) = ∑_i=1^m(a_ij? a₀₀a_0ja_i0) τ_i，可通过原始边界矩阵的第0行线性组合消去第0行与第0列获得。

研究人员进一步在附录中通过两次消去的示例展示了边界算子的变化。该成果发表于《Advances in Applied Mathematics》。

讨论与结论表明，本研究建立的显式公式避免了消去临界对后重新枚举梯度轨迹的计算负担，为离散Morse理论的同调计算提供了更高效的理论工具。其意义在于将临界对消去对组合结构的改变直接转化为矩阵初等变换，简化了Morse复形的构造过程，并可为计算拓扑、数据分析和几何建模等领域的算法优化提供理论基础。