新的孤立波孤子：FitzHugh–Nagumo模型的分析与模拟

《Mathematics and Computers in Simulation》：New solitary wave solitons, analysis and simulations of the FitzHugh–Nagumo Model

　　德夫拉杰·莫里亚|阿吉特·辛格|拉姆·吉瓦里
印度理工学院数学系，鲁尔基，247667，印度

摘要
在这项工作中，我们利用tanh-coth方法和Kudryashov方法构建了FitzHugh–Nagumo模型的新孤子解。随后，我们通过开发带有BDF1方案的有限元方法对模型进行了分析和仿真。为了证明弱解的存在性和唯一性，我们使用了不动点定理和Liyapunov泛函来推导出先验误差界限。对于FEM-BDF1方案，我们得出了H1和L2范数下的最优误差估计，并通过均值定理处理了非线性问题。在数值测试中，我们展示了理论收敛速率，并捕获了解的螺旋波行为。

引言
偏微分方程（PDEs）的数值分析是当代应用数学中最活跃和最有影响力的领域之一。在包括神经科学、工程学、自然科学和经济学在内的多个学科中，对基于PDE的模型的精确且计算效率高的解的依赖性日益增强。这种需求源于复杂物理系统带来的根本性挑战，这些系统往往无法得到封闭形式的解析解。为此，大量的研究工作集中在开发先进的数值方法上，特别是针对非线性PDEs的方法，从而在理论基础和实际应用方面取得了持续进展。FitzHugh–Nagumo模型是对原始Hodgkin–Huxley神经元模型的简化版本。该简化模型保留了神经兴奋动态的基本定性特征，同时提高了数学处理的可行性。除了在神经生物学中的应用外，FHN方程还被用于生物学中的群体遗传学研究。此外，它在电路理论中也经常被使用，其中x表示空间变量，t表示时间变量。这个模型对于研究神经兴奋系统非常重要，并在分析神经元的非线性动态行为中发挥了重要作用（Fitzhugh [1]；Nagumo等 [2]；Rocsoreanu等 [3]；Izhikevich [4]；Ringkvist和Zhou [5]；Gaiko [6]）。Taghipour-Farshia等人的前期研究[7]证明了FitzHugh–Nagumo方程在模拟神经兴奋动态方面的有效性。他们的全面分析显示：FHN模型成功捕捉到了动作电位传播的关键特征。

考虑以下二维Fitzhugh-Nagumo模型：
\[ u_t = D \Delta u + f(u) - v_i \sin\omega t \]，
\[ v_t = \epsilon(u - r_v) \]
在边界条件 \( u(x,y,0) = u_0(x,y), \quad v(x,y,0) = v_0(x,y) \)，
\[ u(x,y,t) = 0 \] 的作用下，其中 \( u(x,y,t) \) 在 \( \partial\Omega \times (0,T) \) 上。
这里 \( f(u) = u(1 - u)(1 - u^a), \quad 0 < a < 1 \)，\( D > 0 \) 是决定 \( u \) 空间扩散的系数，\( 0 < \epsilon \ll 1 \) 是一个小参数，\( r > 0 \)，\( \Omega \subset \mathbb{R}^2 \) 是一个有界且连续的域；\( \epsilon \) 和 \( r \) 是控制反应动力学的参数。在该模型中，激活变量 \( u \) 对输入响应迅速（神经元中的尖峰现象），而恢复变量 \( v \) 的响应较慢，有助于调节系统的平衡状态，使系统具有兴奋性。

文献中已经开发了许多用于分析和数值研究FHN模型的方法，例如[8]、[9]、[10]、[11]。Dehghan等人[12]、[13]使用了半解析方法和指数函数方法，Abbasbandy[14]开发了同伦分析方法，Li和Guo[15]使用了首次积分方法，Asif Yokus[16]开发了自动Backlund变换方法（aBTM），Fedous等人[17]使用展开方法提取了描述神经系统神经冲动传播动态的解析解。Triki等人[18]提出了适用于时变系数的tanh-coth方法。此外，Foroutan等人[19]利用Kudryasov方法得到了1D FHN方程的孤子解，而我们使用tanh-coth方法得到了1D和2D FHN方程的孤子解，其中激活变量 \( u \) 和恢复变量 \( v \) 都涉及方程（1.1），这更好地描述了神经冲动的传播；Triki等人[18]仅针对1D FHN模型提出了tanh-coth方法；Foroutan等人[19]使用Kudryasov方法得到了1D FHN方程的孤子解，但我们将其扩展到了2D情况，并采用了另一种方法来寻找恢复变量 \( v(x,y,t) \）。所得到的解析解通过基于Galerkin有限元（FEM）的数值算法得到了验证。

除了解析解方法外，还有大量研究致力于开发FitzHugh–Nagumo模型（1.1）的数值近似方案。一些著名的工作包括：Yamada等人[20]使用有限元方法研究了1D FHN模型，Rogers等人[21]开发了一种混合配置-伽辽金有限元方法，虽然没有提供严格的稳定性证明，但模拟结果表明数值上是稳定的。Liu等人[22]提出了一种带有变步长BDF2时间积分的双网格有限元算法。在这项工作中，作者假设了解的有界性，但我们使用Liyapunov泛函严格证明了这一点。

本研究的新颖之处在于：
• 使用tanh-coth方法和Kudryashov方法构建了FHN模型（1.1）的孤子型解，并通过数值实验进行了验证；
• 利用Liyapunov泛函推导出了有界性结果[24]，据我们所知，这在该模型之前尚未被研究过，对于误差分析至关重要；
• 为FHN模型（1.1）-（1.3）开发了一种完全离散的FEM-BDF1方案，证明了弱解的存在性和唯一性，利用有界性结果和均值定理推导出了L2和H1范数下的最优误差估计，并通过收敛测试和螺旋波模式仿真进行了数值验证。

本文结构如下：第2节介绍了使用解析方法得到的FitzHugh–Nagumo模型孤子型解的动态行为。第3节介绍了数值分析所需的基本符号、函数设置和关键收敛结果。第4节基于BDF1方法开发了完全离散的有限元方案，并证明了弱解的存在性、唯一性和有界性，同时推导出了能量范数和L2范数下的最优先验误差估计。最后，第5节通过数值实验验证了理论收敛速率，并展示了螺旋波模式的形成。

#### FHN模型的孤子解
本节利用tanh-coth展开和Kudryashov方法得到了1D和2D FitzHugh–Nagumo模型的孤子解。这些方法的详细信息如下。

#### 基本符号和收敛结果
在本文的其余部分，我们将采用Sobolev空间及其相应范数的标准符号。对于任何整数 \( m \geq 1 \) 和域 \( D \subset \Omega \subset \mathbb{R}^2 \)，Sobolev空间 \( H_m(D) \) 中的范数表示为 \( \| \cdot \|_m,D \)。空间 \( H_0(D) \)与 \( L^2(D) \)相同，其范数和内积分别表示为 \( \| \cdot \|_D \) 和 \( ( \cdot, \cdot )_D \)。为了简化符号，在 \( D = \Omega \) 时，我们省略了下标 \( D \)。另外，对于 \( p \in \{1,2,\infty\} \)，我们使用...

#### 完全离散化公式
为了近似求解问题（1.1）-（1.3），无限维函数空间 \( V \) 应被离散（有限维）子空间 \( V_h \) 替代，该子空间基于 \( \Omega \) 的三角划分 \( \tau_h \) 构建。这里，\( h \) 表示 \( \tau_h \) 中元素的最大直径，定义为：
\[ V_h = \{ X_h \in H^0(D) : X_h \in \mathcal{P}^r(K) \} \]，
其中 \( \mathcal{P}^r(K) \) 是次数至多为 \( r \) 的多项式空间。

#### 向后欧拉方法（BDF1）
让我们考虑基于BDF1的时间离散化。