一种基于机器学习的模型，能够准确预测夹层梁的弯曲行为

《Mechanics of Materials》：A machine-learning-based model for accurately predicting the bending behavior of sandwich beams

基于有限元模拟的大数据集，采用机器学习方法构建了无假设的 sandwich 梁剪切-弯曲耦合行为预测模型，揭示了表面层与核心层模量比（ξ）对中性面位置的主导影响（中性面向表面层偏移），而厚度比仅改变应力变形幅度。该模型有效弥补了等效单层理论和层状理论的缺陷，为 sandwich 结构优化设计提供新方法。

　　

余燕|段宇|彭志龙|张波|姚寅|陈少华

北京工业大学航空航天工程学院，北京，100081，中国

摘要

夹层梁总是表现出剪切-弯曲-耦合的力学行为，由于现有弯曲理论的某些假设（如忽略了层间剪切应力以及梁截面上的锯齿形位移分布），这种行为难以被准确预测。在这项工作中，基于有限元仿真提供的大规模数据集，我们使用机器学习（ML）方法生成了一个无需任何假设的夹层梁替代模型，并将其应用于分析表面层与核心层之间的模量比和厚度比对夹层梁在四点弯曲下的应力和变形场的影响。研究发现，模量比的增加不仅会在核心层产生显著的剪切应力，还会在表面层导致拉伸和压缩应力状态的混合，使得中性面从核心层转移到表面层。相比之下，厚度比仅影响梁的应力和变形大小，对中性面的位置影响较小。所有预测结果与现有的实验和数值结果一致，表明表面层与核心层之间的模量差异主导了夹层梁的剪切-弯曲-耦合行为，并决定了现有弯曲理论的适用性。基于ML的当前模型应为设计具有理想力学性能的夹层结构提供指导。

引言

夹层结构作为最流行的复合结构之一，在现代工业领域有重要应用，如防护设备、汽车制造、电子设备、土木工程等（Campbell, 2010; Kevlahan, 2012; Meza et al., 2014），通常由两层硬质表面层和一层柔性核心层组成，以满足强度和韧性的要求（Zhou et al., 2016; Castori and Speranzini, 2017; Li et al., 2019; Ravindran et al., 2019; Zhu et al., 2019; Pan et al., 2020; Chen et al., 2023）。在过去的几十年中，夹层结构的力学性能受到了广泛关注。其中一个最常见且重要的问题是夹层梁或板的弯曲行为，它们总是表现出明显的剪切-弯曲-耦合特征。核心层主要承受剪切变形，导致表面层产生相对独立的弯曲变形和中性面的重新形成（Su et al., 2015; Galos, 2020）。

为了预测夹层梁的弯曲行为，已经发展并应用了两种理论。一种是等效单层（ESL）理论（Yu, 2024），该理论将夹层梁等效为具有空间变化变形场的单层结构，使用经典的欧拉-伯努利梁（或基尔霍夫板）理论来推导弯曲变形函数，并仅用与不同层材料参数相关的有效厚度来表征夹层的异质性。由于数学和计算的简便性，ESL理论在实际工程中的夹层结构设计中得到了广泛应用（Serafinavi?ius et al., 2013a）。然而，现有实验和数值研究中检测到的核心层剪切变形（Su et al., 2015; Galos, 2020）在ESL理论中被忽略了，导致应力和变形出现显著偏差（Chen et al., 2020; Li et al., 2023, 2024; Yu et al., 2023, 2024）。

另一种夹层梁的弯曲理论是分层理论，该理论为每一层分别建立独立的控制方程以确定其应力和变形场（Reissner, 1944; Carrera, 2003; Hu et al., 2008; Altenbach et al., 2010; Birman and Kardomateas, 2018; Li, 2021; Odeh et al., 2024）。在这种理论中，考虑了核心层的剪切变形，从而克服了ESL理论的缺陷。然而，总是采用预先假设的截面变形分布模式（Liew et al., 2019; Wierna et al., 2024; Zhang and Si, 2024）。例如，通常采用锯齿形函数来描述截面上的水平位移分布（锯齿形理论）（Si et al., 2023; Alam et al., 2024）。这意味着分层理论中理论预测的准确性取决于预先假设的变形模式，从而导致理论模型中的一些误差。此外，在数学上找到合适的锯齿形位移函数很困难，从而给理论模型带来了额外的复杂性（Serafinavi?ius et al., 2013b; Boutin and Viverge, 2016; Viverge et al., 2016; Gali? et al., 2022）。

鉴于上述问题，目前仍缺乏一个准确的模型来预测夹层梁的弯曲行为，这给进一步调控夹层梁的弯曲行为带来了困难。需要澄清两个关键问题：一是避免预先假设，提高模型的客观性和便利性；二是多种材料参数对剪切-弯曲-耦合行为的影响机制，这应该是夹层梁优化设计的理论基础。

近年来，数据驱动的机器学习（ML）技术发展迅速，已成为研究具有多种影响因素的复杂材料或结构系统力学性能的最有前景的工具（Kirchdoerfer and Ortiz, 2016; Wang et al., 2021; Yan et al., 2021; Shentu and Lin, 2023）。这种方法的常见范式是基于高通量数值仿真或实验提供的数据集训练替代模型（Kirchdoerfer and Ortiz, 2016; Wang et al., 2021; Yan et al., 2021; Shentu and Lin, 2023），这些模型比具有预先假设的理论模型能更准确地描述复杂系统的真实物理特性。这种数据驱动的ML方法也被扩展用于分析夹层梁的弯曲行为（Wagner et al., 2019; Furtado et al., 2021; Lim et al., 2021; Zhang et al., 2022; Garg et al., 2023a, 2023b; Vaishali et al., 2023）。然而，用于训练替代模型的数据集是通过传统的弯曲理论生成的，包括高阶剪切变形和锯齿形变形，因此准确性仍然取决于预设的弯曲变形分布模式。需要进行无任何假设的进一步研究，这也是本文的主要目的。

本文的结构如下：在介绍背景后，通过精细的有限元（FE）仿真建立了四点弯曲下夹层梁的应力和变形场以及中性面位置的数据集，然后使用ML方法生成了一个替代模型。接下来，通过与有限元模型一致的四点弯曲测试验证了替代模型的准确性。随后，应用替代模型系统地分析了表面层与核心层的模量比和厚度比对夹层梁的应力和变形场以及中性面位置的影响。最后讨论了现有ESL理论和分层锯齿形理论对夹层梁的适用性。本研究应有助于实际工程中夹层结构的优化设计。

数据集片段

FE仿真提供的数据集

使用商业软件ABAQUS/Standard FEA版本2018建立了四点弯曲下夹层梁的FE模型，如图1所示。表面层和核心层均视为线性弹性体。上下表面层的剪切模量相同$G_1=G_2=G$，厚度也相同$h_1=h_{}=h$，核心层的剪切模量为$G_p$，厚度为$h_p$。表面层与核心层的模量比和厚度比表示为$\xi =G/G_p$

实验设置

为了进一步验证基于ML的模型，在Instron Legend 2367测试机上对夹层梁进行了四点弯曲测试。测试结果用于与基于RF的替代模型的预测进行比较。使用了三种类型的夹层梁试样，这些试样采用多材料3D打印技术制备，其中硬质表面层分别选用VEROWHITEPLUS RGD835，软质核心层分别选用Agilus30、FLXA9860和FLXA9895。

结果与讨论

本节使用上述基于ML的模型准确研究了夹层梁的弯曲行为。系统地分析了表面层与核心层的模量比和厚度比对夹层梁的应力和变形场以及中性层位置的影响。

结论

提出了一种数据驱动的ML模型，以便在不做任何假设的情况下精确研究夹层梁的弯曲行为。利用该模型，分析了表面层与核心层的模量比和厚度比对夹层梁的应力和变形场的影响。研究发现，模量比的增加不仅会在核心层产生剪切应力，还会导致拉伸-压缩混合应力状态，而不仅仅是纯剪切应力。

CRediT作者贡献声明

余燕：撰写——原始草稿，可视化，软件，资源，方法论，调查，形式分析，数据管理。段宇：可视化，软件，方法论，数据管理。彭志龙：验证，软件，资源，调查，形式分析。张波：可视化，资源，方法论，调查，数据管理。姚寅：撰写——审稿与编辑，验证，项目管理，调查，资金获取，形式分析。陈少华：撰写——

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的财务利益或个人关系。

致谢

本项工作得到了NSFC的资助（编号：12032004, No. 12293000, No. 12293002, No. 12272043）。