树木的力量

《Annals of Pure and Applied Logic》：The power of trees

　　阿里·梅尔·布罗德斯基 | 阿萨夫·里诺特 | 西拉·亚达伊
以色列贝尔谢巴沙穆恩工程学院数学系，比亚利克街56号

**摘要**
我们给出了两种一致的构造方法，用于构建这样的树T，其有限幂Tn+1与Tn有显著不同：
- 一种?1-树T，其区间拓扑XT是完全正规的，但(XT)2甚至不是可数次紧的；
- 对于一个不可达的κ和一个正整数n，存在一种κ-树，其所有n-派生的树都是Souslin树，而所有(n+1)-派生的树都是特殊树。

**引言**
本文旨在研究那些在求积操作后不保持不变的结构特征。例如，Sorgenfrey线[41]构成一个正规拓扑空间，但其平方不是正规的。更典型的例子是Dowker空间：如果一个空间是Dowker空间，那么它与单位区间的乘积就不是正规空间。这一名称来源于Dowker定理[12]，该定理指出X×[0,1]是正规空间当且仅当X是正规且可数次紧的。回忆一下，一个拓扑空间是可数次紧的（记为cmc）当且仅当它的每个可数开覆盖都存在一个点有限的细划分。比cmc更强的性质是“完美性”：一个拓扑空间是完美的当且仅当它的所有闭子集都是Gδ集。而“完全正规性”则是完美性和正规性的结合。我们特别关注的是，带有区间拓扑的树T=(T, < /><κ-策略性封闭的强制集p，在p的通用扩展中代理原理p<(κ,2,?,κ)成立。 (2) 如果p<(κ,2,?,κ)成立，那么对于每个正整数n，存在一棵κ-souslin树t，使得： - t的所有n-派生的树都是souslin树； - t的所有(n+1)-派生的树都是特殊树。 对于熟悉c-序列和代理原理的人来说，我们需要解释为了获得一个不可达基数κ的这样的树所必须克服的障碍。如[8, 事实1]所述，κ-树与κ上的c-序列密切相关。特别是jensen[22, p. 283]提出了一个经典定理：存在一个特殊λ+-aronszajn树当且仅当存在一个c-序列c→=><λ+〉满足以下条件： i)><λ+，有otp(cα)≤λ。 krueger[27]扩展了jensen的定理，他证明了对于每个正则不可数基数κ，存在一个特殊κ-aronszajn树当且仅当存在一个c-序列c→=><κ〉满足以下条件： ii)>< /><α。 对我们的目的而言，ii)中的序列存在问题，因为它与这样一个事实相冲突：任何足够强的代理原理的见证c→都必须有许多stationarily many的α使得|cα|=|α|。在不可达的基础上，这意味着有许多stationarily>< /><κ〉的特性对由序数 walks 生成的相应规范树t(ρ0c→)的影响。事实证明，如果满足以下条件，t(ρ0c→)就是一个特殊的κ-aronszajn树： i) c→是弱连贯的，并且许多club>< /><α对于每个β∈κ?{α}。 定理b的第一个子句证明了(iii)的一个强形式可以与存在一些薄stationary set的α（即|cα|=|α|）兼容，而第二个子句表明这种细微的变化确实足够。类似地，第一个子句也解决了Shalev在[40, §4.1]开篇提出的问题。我们发现有趣的是，虽然对序数的行走和[6]中的递归方法提供了两种不同的从c-序列生成规范树的技术，但关于其中一个方法的发现可以引出关于另一种方法的相应发现。 **注释** - 我们所说的“不可达基数”是指一个正则不可数极限基数。对于基数κ，我们用hκ表示所有小于κ的遗传基数集合（见[30]的第四节和定义iii.3.4）。 - 在第二节中，我们提供了关于区间拓扑的一些预备知识，并证明了定理a。为了使这一节更易于理解，我们确保它是自包含的，仅关注?1情况，不需要了解复杂的树构造背景知识，也不需要深厚的拓扑学背景。这一节最后还简要讨论了定理a的各种变体，并指出仅凭zfc理论无法构造出(xt)2不是cmc的?1-树。 - 在第三节中，我们介绍了代理原理p<(κ,2,?,κ)并证明了其一致性（如定理b的第一个子句所承诺的）。 - 在第四节中，我们应用了这个新的代理原理（如定理b的第二个子句所承诺的）。 **节选内容** - 为了使这一节对更广泛的读者群体易于理解，我们避免使用不必要的抽象概念。例如，我们用λ表示无限可数极限序数的集合，并对树的实现达成以下具体协议。 -><ω1的子集，对于某个可数集合w，t是向下封闭的。 - 定理b的第一个子句：在整个节中，κ表示一个正则不可数基数，reg(κ)表示所有小于κ的无限正则基数集合，对于σ∈reg(κ)，我们定义eσκ=><κ|cf(α)=σ}。对于序数集合a，我们定义acc(a):={α∈a|sup?(a∩α)=α>0}和nacc(A):=A?acc(A)。
- 定义3.1：
I) 一个在κ上的C-序列是一个序列C→=〈Cα|α< /><κ，cα是α的一个闭子集，并且sup?(cα)=sup?(α)； ii) 对于两个序数集合c和d，如果c=D∩ε对于某个序数ε，则称C?D； - 定理b的第二个子句：在整个节中，κ仍然表示一个正则不可数基数。 - 关于集合论树的所有必要背景知识可以在标准教科书中找到，也可以在[6, §2]中找到。此外，为了我们的目的，还需要以下定义： 定义4.1（todor?evi?, [44, p.> - 对于t中的每个y，g?1{y}被少于κ个反链覆盖。
- 注释4.2：如果κ=λ+是一个后继基数，那么高度为κ的树...

**致谢**
第一作者得到了沙穆恩工程学院青年研究基金yr/08/y21/t2/d3的支持。第二和第三作者得到了以色列科学基金会的支持（授权协议203/22）。
本文的部分内容曾在biu集合论研讨会（第二作者于2024年4月，第一作者于2025年1月）、多伦多集合论研讨会（第一作者于2025年10月）以及huji集合论研讨会（第二作者于2025年11-12月）上展示。 - 对于t中的每个y，g?1{y}被少于κ个反链覆盖。 - 注释4.2：如果κ=λ+是一个后继基数，那么高度为κ的树... **致谢** 第一作者得到了沙穆恩工程学院青年研究基金yr 08 y21 t2 d3的支持。第二和第三作者得到了以色列科学基金会的支持（授权协议203 22）。> - 对于t中的每个y，g?1{y}被少于κ个反链覆盖。
- 注释4.2：如果κ=λ+是一个后继基数，那么高度为κ的树...

**致谢**
第一作者得到了沙穆恩工程学院青年研究基金yr/08/y21/t2/d3的支持。第二和第三作者得到了以色列科学基金会的支持（授权协议203/22）。
本文的部分内容曾在biu集合论研讨会（第二作者于2024年4月，第一作者于2025年1月）、多伦多集合论研讨会（第一作者于2025年10月）以及huji集合论研讨会（第二作者于2025年11-12月）上展示。>