关于深探测器中μ子束的能量损失：解析表达式及其含义

《Astroparticle Physics》：On the energy loss by muon bundles in deep detectors: Analytical expressions and their implications

　　新华百|阿马尔·塔库里
南达科他矿业技术学院物理系，501 East Saint Joseph Street，Rapid City，SD 57701，美国

摘要
当高能宇宙射线初级粒子在上层大气中相互作用时，会产生短期内存在的介子，这些介子通常会衰变并产生大量处于不同能量范围内的μ子。具有高能量的μ子能够深入地下，它们之间几乎没有重叠，形成一束μ子。由于μ子束的特性与宇宙射线初级粒子的能量、质量组成和天顶角密切相关，因此研究这些μ子对于宇宙射线物理学和广泛空气簇射物理学具有重要意义。作为强子级联产生的介子的衰变产物，大气μ子的特性也取决于在广泛能量范围内的强相互作用。如果能够识别出束中的μ子是由超高能强子级联中不同母粒子衰变形成的，则有助于了解在对撞机实验无法触及的能量范围内重夸克的产生过程。高能μ子也是地下探测器中宇宙成因背景辐射的主要原因之一。正确表征它们在深层探测器中的能量损失有助于理解寻找天体物理中微子、假设中的暗物质粒子以及无中微子双衰变等稀疏事件实验中的背景噪声。本研究通过考虑不同倾斜深度下高能μ子的横向分布，探讨了μ子束沿轨迹的能量损失及其能量损失的空间分布的解析表达式。为了验证计算中的近似方法，并探索适用于地下（或冰层、水中）探测器中μ子束能量损失的表达式，将这些解析表达式与CORSIKA生成的蒙特卡罗空气簇射中的高能μ子的能量损失进行了比较。本文提出了两种半经验性的μ子束能量损失差异表达式，为重建μ子束能量损失提供了可能性。还讨论了利用IceCube等实验数据对这些结果进行改进及应用的可能性。

引言
宇宙射线是一类独特的宇宙信使，使我们能够深入理解从亚MeV能量到超过GZK截止值的神秘宇宙和基本相互作用过程[1]、[2]。当能量高于几PeV时，宇宙射线的通量非常低，只能通过间接测量广泛空气簇射（EASs）来进行研究。当高能宇宙射线在上层大气中相互作用时，会产生由大量介子组成的强子级联。带电介子（如π介子和K介子）可能在相互作用前就发生衰变并产生μ子。而带电粒子（如D介子和Λc介子）的寿命极短，几乎总是在相互作用前就衰变并产生μ子。中性介子（如η介子、η′介子、ρ0介子、ω介子和φ介子）在空气簇射中的电磁衰变也会产生μ?μ+对，这些μ子的能量可以从亚MeV达到宇宙射线初级粒子能量的几个百分点。EASs中的μ子成分及其产生过程与宇宙射线初级粒子的能量和质量组成有着密切的关系[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。许多实验，无论是在地面还是在地下（或水下或冰下），都利用EASs中的μ子成分来研究强子相互作用或探测宇宙射线初级粒子的特性[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。

不同实验中，EAS中的μ子成分与宇宙射线初级粒子特性之间的相关性存在细微差别。对于测量低能量阈值的地面阵列实验，EAS中能量高于约1 GeV的μ子总数的一般形式为[22]、[23]：
\[N_{\mu}(\gt \sim 1\, GeV; E_0, A) = \frac{A_0E_{decp\mu'}{\epsilon\pi p\mu'}\]
其中，所谓的衰变能量\(E_{dec}(\sim \epsilon\pi)\)是指级联中的带电粒子再次相互作用的能量。\(E_0\)和\(A\)分别是初级核的总能量和原子序数。根据Heitler-Matthews模型及其扩展[24]、[25]，有\(p_{\mu'} = 0.82–0.92\)。在高度\(h_0=6.4\, \text{km}\)时，带电π介子的衰变常数为\(\epsilon\pi = \frac{m_{\pi}c^2}{h_0(c\tau_\pi)}\approx 115\, \text{GeV}\)。根据数值模拟[26]，常数\(k = 2.8\)和\(p_{\mu} = 0.86\)。\(N_{\mu}(\gt \sim 1\, GeV)\)与初级能量\(E_0\)的幂律关系与实验结果相符，实验得到的\(p_{\mu}\)值在\(10^{14.5}\)到\(10^{19.5}\, \text{eV}\)的能量范围内为\(0.82–0.95\) [27]、[28]、[29]、[30]。这导致方程(1)中的\(N_{\mu}(\gt \sim 1\, GeV)\propto A^{\kappa}L\)，其中\(\kappa\)的取值在\(0.05–0.18\)之间。方程(1)中μ子数量与宇宙射线初级能量之间的幂律关系也适用于倾斜的超高能宇宙射线簇射。对于皮埃尔奥热天文台测量的天顶角在62°到80°之间的簇射，\(p_{\mu} = 1.029 \pm 0.024 \pm 0.030(\text{sys.})\) [31]。

由于μ子的质量远大于电子，它们发射的制动辐射较少，因此能够深入物质更远的距离。因此，在达到最大值后，EAS中的μ子总数几乎是恒定的，这为不同高度的地面阵列实验提供了对初级能量的合理约束。在达到最大值后，EAS中这些μ子的横向分布大致独立于簇射大小。一个常见的μ子横向分布函数（LDF）是基于Greisen公式改进得到的[32]、[33]：
\[\rho_{\mu}(r, \theta) = \frac{N_{\mu}k(\theta)r^{-a_g}}{r^0g^{-b_g}}\]
其中\(r_0g = 320\, \text{m}\)与天顶角或簇射大小无关，\(a_g = 0.75\)，\(b_g = 1.50 + 1.86\cos\theta\)，归一化常数\(k(\theta) = \frac{12\pi r_0g^2 - a_g\Gamma(b_g)}{\Gamma(a_g + b_g - 2)\Gamma(2 - a_g)}\)，\(N_{\mu}\)是能量高于阈值\(0.75\, \text{GeV}\)的μ子总数。

地面阵列实验中测量的μ子总数取决于宇宙射线初级粒子的能量和质量组成，如方程(1)所示，这意味着仅通过地面阵列测量EAS中的μ子成分不足以确定初级粒子的能量和质量组成。一种解决方法是在同一簇射事件中同时测量μ子和电磁成分。正如Heitler[34]引入的简单级联模型所示，簇射最大深度处的电子和正电子数量\(N_E(X_{\max})\propto E_0E_c\)，其中\(E_c\)是电子-正电子对产生的临界能量。这一关系既适用于高能电磁级联，也适用于强子级联，但在原子序数为\(A\)的初级核的叠加模型中，对于电磁级联有\(X_{\max}\propto \ln E_0E_c\)，而对于强子级联有\(X_{\max}\propto \ln E_0A\)。通过叠加模型，可以得到簇射最大处的平均电磁尺寸与宇宙射线初级能量\(E_0\)之间的著名关系，可以表示为\[E_0 = wN_E(X_{\max})\]，其中\(w\)是一个取决于初级能量的参数，\(N_E(X_{\max})\)是簇射发展最大处的带电粒子（主要是电子和正电子）的数量。由于这一关系不依赖于宇宙射线初级成分或相互作用模型，因此它是地面阵列实验中估计初级能量\(E_0\)的良好方法。对于其他高度的地面阵列，方程(3)可以调整为\(E_0 = w'\诺基亚(X)\frac{1}{1 + \epsilon}\)，其中\(\epsilon\)是一个小数（大约为10%），取决于簇射大小和地面阵列的高度。例如，Akeno空气簇射实验发现\(E_0 = 3.9 \times 10^{15}N_E(X_{\max})\)，适用于测量\(10^{14.5}\)到\(10^{17.0}\, \text{eV}\)及以上能量的宇宙射线谱[27]、[35]。一旦测得初级粒子能量\(E_0\)，就可以通过方程(1)中的\(N_{\mu}\)来估计初级粒子的原子序数\(A\)。或者，可以通过蒙特卡罗模拟或测量电子/正电子和μ子的实验来确定空气簇射中μ子大小\(N_{\mu}\)与电子大小\(N_E\)之间的关系[3]、[28]。利用\(N_{\mu}-N_E\)关系和方程(4)，还可以通过方程(2)中测量的μ子密度函数\(\rho_{\mu}\)来确定初级能量\(E_0\)。

使用GeV级别的μ子进行宇宙射线测量的一个缺点是，它们的产生涉及到从超高能到几GeV水平的强子相互作用，这比其他簇射特性参数（如簇射最大深度）更难以精确描述。众所周知，簇射最大深度对初级质量组成非常敏感，主要由最初的几个最高能量次级簇射决定[36]及其中的参考文献。同样，强子级联早期产生的高能μ子也应对应于初级质量组成的类似敏感性。Elbert首次提出的一个方便的表达式用于描述表面上的高能μ子束中的μ子数量[37]、[38]：
\[N_{\mu}\in B(\gt E_{\mu}(0); E_0, A, \theta) = A \times 0.0145\sqrt{E_{\mu}(0)\cos\theta\frac{E_0A\mu'(0)}{p_1^{1 - A\mu'(0)}E_0p^2}\]
其中\(E_0\)、\(A\)和\(\theta\)分别是宇宙射线初级核的总能量、质量和天顶角，\(p_1 = 0.757\)和\(p_2 = 5.25\) [22]。与\(E_0A\)的缩放关系源于叠加近似，其中高能核被视为每个具有能量\(E_0A\)的A个核子。考虑到在运动学限制内的π介子产生的包含性截面，项\(1 - A\mu'(0)E_0p^2\)有助于保持能量与\(E_0A\)相当的高能μ子的准确性。

与方程(1)中高于GeV的μ子总数不同，Elbert公式明确地将高能μ子束的积分谱与宇宙射线初级粒子的原子序数、能量和天顶角联系起来，为不同深度深层探测器中测量到的μ子与这些初级粒子特性建立了便捷的相关性。当忽略非常高的μ子的修正项\(1 - A\mu'(0)E_0p^2\)时，Elbert公式中的高能μ子数量\(N_{\mu}\in B\)与\(A^{\kappa}H\)成正比，其中\(\kappa_H = 1 - p_1 = 0.243\)，这大于上述高于GeV的μ子的\(\kappa_L = 1 - p_{\mu}\in(0.05, 0.18)\)。因此，\(\delta\ln N_{\mu}\in B/\delta\ln E_0\delta\ln N_{\mu}(\gt 1\, \text{GeV})\propto p_1p_{\mu}\in(0.80, 0.92)\)和\(\delta\ln N_{\mu}\in B/\delta\ln A\delta\ln N_{\mu}(\gt \text{GeV})\propto \kappa_H\kappa_L\in(1.35, 4.86)\)，表明\(N_{\mu}\in B\)和\(N_{\mu}(\gt 1\, \text{GeV})对宇宙射线初级粒子的能量\(E_0\)和原子序数\(A\)的敏感性不同。

到达地下深处的高能μ子在测量宇宙射线初级粒子特性方面具有其他独特优势。由于束中高能μ子与空气簇射轴之间的平均空间角度非常小（例如，对于能量高于460 GeV的μ子约为[39]的亚度级别），测量它们的方向也指示了入射宇宙射线粒子的方向，从而确定了方程(5)中的天顶角\(\theta\)。尽管方程(1)中的μ子数量和方程(5)中的高能μ子数量在第一阶上都依赖于宇宙射线初级粒子的能量\(E_0\)（即当\(AE_{\mu}(0)E_0\ll 1\)时），但由于大多数地面阵列实验的μ子探测器覆盖范围有限，相比μ子的广泛横向分布，只能采样到一小部分低能量μ子。相比之下，束中所有高能μ子的轨迹都能完全包含在像IceCube这样的大型中微子观测器的仪器体积内，从而降低了测量的相对统计不确定性。

Elbert公式的另一个有趣特性是，当\(AE_{\mu}(0)E_0\approx 1\)时，方程(5)中的项\(1 - A\mu'(0)E_0p^2\)导致束中μ子能量的非常陡峭的截止。确切的截止能量取决于宇宙射线初级粒子的能量和原子序数。例如，在像IceCube这样的实验中，当截止能量足够高以到达冰层阵列的顶部但不足以穿透整个仪器化的冰体积时，这种陡峭的截止会导致μ子束在冰层阵列内的消失。对于天顶角较大的宇宙射线，可观测的截止能量会随着倾斜深度的增大（\(1\cos\theta\)）而迅速增加到更高的能量，从而能够覆盖更广泛的初级粒子能量范围。这些特性，加上深层探测器中μ子束的平均能量损失，可能有助于通过使用地面阵列IceTop[40]测量的簇射大小或应用恒定强度切割方法[41]、[42]来对宇宙射线初级粒子的特性施加更多约束。

与地面上的低能μ子可能扩散到距离簇射核心较远的地方不同，束中的高能μ子在长距离传播后的空间分离仍然非常小[39]、[43]。IceCube冰中串的平均间距为120米，这一距离远大于冰中阵列深度处μ子束的横向尺寸。在像MACRO [44] 和 CosmoALEPH [45] 这样的地下实验中，成功测量了表面μ子的多重性以及高达TeV能量的μ子的能量或电荷相关信息，这些实验覆盖了10^6–10^7GeV（MACRO）和10^3–10^5GeV（CosmoALEPH）范围内的初级宇宙射线粒子能量。要精确计算束状μ子中的单个μ子并就地测量它们的属性，需要非常密集的μ子探测器阵列，例如MACRO或CosmoALEPH实验中使用的那些探测器。然而，当宇宙射线事件率在能量谱的“膝部”区域之后急剧下降时，这样的阵列变得越来越昂贵。另一方面，由于量热器中的粒子吸收过程遵循泊松分布，因此对于大能量来说，能量测量的相对精度满足δEE∝E^-1/2，这比使用光谱仪更好。为了利用这一点来测量IceCube中的μ子束能量损失，对于构建似然函数来说，μ子束能量损失的解析表达式是必不可少的。

间接测量宇宙射线初级粒子的能量和质量组成是在级联发展中的因果关系与次级粒子检测之间的较量。赢得这场较量通常依赖于可以通过实验数据和蒙特卡洛数据确定的宇宙射线初级粒子属性与可观测量之间的相关性。一个挑战是，由于通常可观测量与宇宙射线初级粒子的属性之间没有一一对应的关联，因此可观测量的数量越少，推断初级粒子属性的不确定性就越大。这突显了同时使用不同检测技术的混合测量的价值。IceCube的一个独特优势是它的冰中阵列，该阵列可以测量高空中的高能μ子（约440GeV及以上），这些μ子也被地表阵列IceTop测量到。由于之前讨论的高能μ子数量与宇宙射线初级粒子能量和原子数之间的内在相关性，一旦通过拟合实验数据重建了深度探测器中μ子束能量损失的解析表达式，就可以提供额外的质量和能量敏感参数，以加强对宇宙射线测量的限制。

从Elbert公式出发，这项工作推导出了高能μ子束在深度探测器中的轨迹上的能量损失，旨在将宇宙射线初级粒子的属性与可以通过更大的中微子天文台（如IceCube）测量的能量损失相关联。通过使用不同倾斜深度下的高能μ子LDF [22], [46]，研究了μ子束能量损失沿其轨迹的近似表达式。为了进行合理性检查并评估由于μ子产生的淋浴之间的波动可能导致的偏差，将所得表达式与使用CORSIKA [47] 产生的蒙特卡洛空气淋浴中的单个高能μ子的跟踪结果进行了比较。引入了两个关于深度探测器中μ子束差分能量损失的表达式，这些表达式可用于构建测量深度探测器中μ子束平均能量损失的似然函数。

本文的结构如下：第2节描述了深度探测器中μ子束能量损失的解析表达式，第3节将其与CORSIKA淋浴中高能μ子的能量损失进行了比较。这种比较既是为了证明这些解析表达式的正确性，也是为了展示解析表达式中未包含的淋浴之间的波动。引入了两个新的表达式来解决μ子束能量损失的双差分分布偏差问题。新表达式中的自由参数对初级粒子组成和质量敏感，这一点在第4节中有说明。第5节强调了这些表达式在类似IceCube的实验中分析宇宙射线事件时可能的改进和应用。深度探测器中μ子束能量损失的解析表达式的详细推导分别在附录A（μ子穿过物质的传播）、附录B（μ子束中的差分能量损失）和附录C（μ子束中的双差分能量损失）中给出。

**μ子束能量损失的解析表达式**
深度冰中μ子束能量损失的推导基于单个μ子的能量损失、由Elbert公式（Eq. (5)）描述的μ子束能量谱，以及地下高能μ子的LDF [22], [46]。

**与CORSIKA淋浴中μ子能量损失的比较**
作为对公式（9）、（10）推导的证明以及对所用近似的合理性检查，将它们与CORSIKA淋浴中μ子的能量损失进行了比较。通过展示单个CORSIKA淋浴中高能μ子的能量损失，还可以看出淋浴之间波动的大小。CORSIKA淋浴中μ子的能量损失也被用来获得μ子束的半经验差分能量损失。

**新的拟合参数和宇宙射线初级粒子质量组成**
如图7、图8所示，当满足标准化μ子LDF公式（Eq. (7)）的要求时，公式（10）与CORSIKA淋浴中μ子束的平均能量损失总体上是一致的。基于这种一致性，通过比较公式（11）和（10），以及附录A（μ子穿过物质的传播）、附录B（μ子束中的差分能量损失）、附录C（μ子束中的双差分能量损失）中定义的参数α、r0和〈r〉，可以得出这一结论。

**讨论与展望**
将这项工作的结果应用于实验数据分析和强子级联物理的研究还有改进的空间。根据Elbert的原始工作[37]，对于10^-7< />Eμ)=G(x)(Eμcosθ)（其中x=EμE0对于质子初级粒子，x=EμAE0对于原子数为A的初级粒子）非常适用。鉴于公式（9）对测试能量范围内质子和铁初级粒子的平均μ子束能量损失的出色一致性，……

**摘要**
众所周知，高能μ子携带有关地球大气层中空气淋浴早期发展阶段强子相互作用的独特可检测信息。在深度探测器中测量它们可以提供关于高能强子相互作用以及宇宙射线初级粒子属性的洞察。随着能量的增加，在例如IceCube深度的深度探测器中看到的μ子，无论是对于大气μ子通量还是宇宙射线测量，将越来越多地出现在CRediT中。

**作者贡献声明**
白新华：撰写——审稿与编辑，撰写——原始草稿，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。
阿马尔·塔库里：可视化，验证，软件。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能影响本文所报告工作的利益冲突或个人关系。

**致谢**
这项工作得到了美国国家科学基金（NSF）在奖项2019597和2137066下的支持。X.B.希望指出，他首次尝试推导μ子束能量损失的解析表达式是在Bartol研究所以Thomas Gaisser教授的指导下进行IceCube项目时。他希望通过完成这项扩展研究来纪念Gaisser教授。作者还要感谢研究生Logan Molchany先生，他生成了……