基于对数螺旋线的新型精密可动齿传动的齿形修改与啮合特性研究

《Chinese Journal of Mechanical Engineering》：Tooth profile modification and meshing characteristics for a novel precision movable tooth drive based on logarithmic spiral

　　王世松|邓星桥|刘玉成|齐良兆|王浩文|董成龙|曾志林
中国成都技术大学机电工程学院，成都610059

**摘要**
对数螺旋活动齿驱动器（LSMTD）是一种新型的精密重型传动装置，旨在解决传统齿轮传动中高精度、强过载和高功率密度共存的问题。然而，由于其特殊的传动原理，LSMTD的齿形修正方法以及设计参数对啮合特性的影响仍不明确，这严重限制了其发展。为了解决这一问题，本研究提出了一种系统的LSMTD齿形修正方法，并建立了相应的关键啮合特性计算模型。首先，根据LSMTD基本齿形的传动缺陷，建立了修正方法和相应的齿形方程；在此基础上，构建了LSMTD的啮合速度、诱导法向曲率、压力角等关键啮合特性的计算模型，并分析了设计参数对LSMTD啮合特性的影响；最后，通过将有限元方法与实验原型进行比较，验证了本文提出的LSMTD齿形修正方法的正确性，并进一步讨论了LSMTD的高承载能力实现机制。本研究提出的LSMTD齿形修正方法和关键啮合特性计算模型对LSMTD的结构优化设计具有重要意义。

**1. 引言**
对数螺旋活动齿驱动器（LSMTD）是近年来发明的一种新型精密活动齿传动装置[1]，[2]。如图1所示，研究团队提出了一种改进的LSMTD结构。与传统精密齿轮传动相比，LSMTD具有两个创新突破：首先，活动齿与内齿轮环之间的接触状态相对于凸轮的长轴和短轴对称分布，理论上半齿隙完全消除[3]，如图1(a)所示；其次，特殊的传动原理使得活动齿与内齿轮环之间形成近似共形接触状态（本研究称为宽线接触），从而有效分散了齿面上的载荷[4]，如图1(b)所示。因此，LSMTD有望同时实现高精度、强过载能力和高功率密度，使其在机床和工业机器人等高端工业设备中具有很高的应用价值[5]，[6]，[7]。

关于LSMTD的公开报道可以追溯到Wittenstein发表的发明专利[1]，该专利提出了将对数螺旋应用于活动齿传动的齿形设计，从而创造了这种创新的传动形式。与使用滚珠或滚轮等滚动元件作为活动齿的活动齿传动形式[8]，[9]，[10]相比，LSMTD依靠特殊的对数螺旋齿形和传动配置，在承载能力、传动精度和功率密度方面具有显著的理论优势。随后，Keller等人[11]，[12]分析了LSMTD齿面的热弹流润滑机制，而Zhou等人[13]，[14]，[15]则对LSMTD的设计方法、静态建模方法和齿形修正方法进行了深入研究。所有这些研究都指出了齿形修正对优化LSMTD传动性能的重要性。特别是Zhou等人[13]，[14]，[15]指出，未经修正的LSMTD齿形存在严重的齿尖磨损和刚性冲击问题，无法满足常规传动要求。然而，LSMTD的特殊齿形和结构形式使得难以借鉴传统的精密齿轮传动方法进行齿形修正研究。同时，设计参数对LSMTD啮合特性的影响尚未完全明确，这也阻碍了其最佳设计[16]。目前，齿形修正和啮合特性已成为限制LSMTD进一步发展和应用的关键技术瓶颈，亟需相关研究。

齿形修正的设计和啮合特性的分析是精密齿轮传动理论研究中的关键方面，这些方面对于提高传动效率、精度、噪音和齿轮寿命等关键性能指标至关重要[17]，[18]，[19]。齿形修正设计的主要目的是通过调整标准齿形来优化齿之间的载荷分布，降低应力集中[20]，[21]，[22]。Jiang等人[20]提出了一种基于动态响应的齿形修正方法，以改善啮合齿面的摩擦和磨损状况。Li等人[21]为人字齿轮建立了一种三维齿形拓扑修正方法，旨在减少啮合振动并改善啮合特性。Sanchez等人[22]揭示了齿面磨损与传动误差之间的内在机制，从而提出了一种齿面修正方法以减少齿轮传动误差并改善动态特性。啮合特性分析主要涉及基于啮合原理构建齿轮传动系统的啮合特性模型，从而定量分析不同设计参数对传动性能的影响[23]，[24]，[25]。Deng等人[23]为滚包环面蜗轮传动推导了诱导曲率、啮合速度和润滑角等啮合特性模型。He等人[24]基于啮合原理建立了螺旋曲线面齿轮的啮合方程，并通过啮合特性分析揭示了这种新传动方法的优点。Zhang等人[25]对螺旋锥齿轮的啮合特性进行了详细研究，并提出了一种准确的齿轮齿间载荷分布计算方法。这些研究表明了齿形设计和啮合特性分析在精密齿轮传动中的重要性，并为LSMTD的齿形修正方法和啮合特性分析提供了关键的理论支持。

本研究聚焦于LSMTD的齿形修正和啮合特性问题，提出了一种便于加工并优化传动性能的齿形修正方法，并推导了诱导曲率、啮合速度和压力角等啮合特性的计算模型。本研究为LSMTD的结构设计和优化提供了重要的理论基础，本文的后续内容如下：第2节简要描述了LSMTD的传动原理并推导了基本齿形方程；第3节提出了LSMTD的齿形修正方法并建立了修正后的齿形方程；第4节推导了LSMTD的啮合特性计算模型；第5节验证了研究的理论有效性，并定量分析了设计参数对LSMTD啮合特性的影响；第6节提出了结论。

**2. 传动原理和基本齿形方程**
本节基于参考文献[1]，[2]，[11]，[12]，[13]，[14]，[15]，简要描述了LSMTD的传动原理和基本齿形方程，为后续的齿形修正和啮合参数研究奠定了基础。

**2.1. 传动原理和传动比**
LSMTD的传动原理类似于谐波传动，不同之处在于LSMTD没有弹性组件[26]。以凸轮为输入、内齿轮环为固定组件、保持架为输出，图2说明了LSMTD的传动原理。活动齿在凸轮的长轴和短轴方向上四个区域对称分布。在保持架的约束下，凸轮的旋转会导致1区和3区的活动齿从齿轮顶部滑动到齿轮底部，而2区和4区的活动齿从齿轮底部滑动到齿轮顶部。活动齿的啮合和分离使保持架向与凸轮旋转相反的方向旋转，从而完成整个传动过程。同样地，如果以凸轮为输入、保持架为固定组件、内齿轮环为输出，则从保持架与内齿轮环的相对运动可以推断出内齿轮环将与凸轮同向旋转。

**2.2. 基本齿形方程**
本小节基于标准对数螺旋，建立了LSMTD活动齿、内齿轮环和凸轮的基本齿形方程。相关图示以z1 = 2，z2 = 24，z3 = 50为例进行说明。

**2.2.1. 活动齿的齿形**
在极坐标系中，标准对数螺旋的方程可以表示为[27]：
$$
r = a \exp(\theta \tan\alpha)
$$
其中r和θ分别表示极半径和极角。a是θ = 0时的极半径，α是曲线上任意点处极半径与切线之间的角度（该角度是恒定的，反映了对数螺旋的等角特性[28]。活动齿的单侧齿形由对数螺旋的一段曲线组成[1]，[2]。由于对数螺旋的均匀性，已知对数螺旋中任意两点之间的曲线具有相似性[28]，因此选择对数螺旋内的曲线位置不会影响齿形的几何特性。为便于设计，规定靠近极轴的一段曲线作为活动齿的单侧齿形，如图3所示：
$$
r_m = R \exp(\theta \tan\beta), \quad \theta_h \leq \theta \leq 0
$$
其中rm表示活动齿的单侧齿形，R和β决定了齿形的几何形状，θh决定了活动齿形的取值范围。另一侧的齿形关于极轴对称镜像。

**2.2.2. 内齿轮环的齿形**
如图4所示，内齿轮环的齿形与活动齿的齿形属于同一对数螺旋[1]，[2]，表示为：
$$
r_i = R \exp(\theta \tan\beta), \quad 0 \leq \theta \leq \theta_a
$$
其中ri表示内齿轮环的单侧齿形，θa = π/z3决定了内齿轮环齿形的取值范围。对面侧面的轮廓相对于极轴对称镜像，而完整的内齿轮齿形需要在极点阵列周围进行额外的定位。下载：下载高分辨率图片（49KB）下载：下载全尺寸图片图4. 内齿轮的齿形。2.2.3. 凸轮轮廓根据参考文献[13]、[14]、[15]，在没有曲率干涉且不考虑接触变形的条件下，只有可动齿尖与内齿轮齿形相啮合。因此，LSMTD的理论凸轮轮廓可以通过可动齿的轴向位移与凸轮旋转角度之间的映射关系来确定。如图5所示，当凸轮旋转φi时，可动齿旋转φo，并发生轴向位移R[exp(φo/tanβ) – 1]，其中φo/φi = z1/z3 = 1/i12'。参考滚子凸轮的轮廓推导方法[29]，在相邻长半轴和短半轴的角度范围内，理论凸轮轮廓可以表示为：(8) rc=r0+Rexpz1φiz3tanβ?1,0≤φi≤πz1，其中rc表示一个升程的凸轮轮廓，r0表示基圆半径。下载：下载高分辨率图片（127KB）下载：下载全尺寸图片图5. 凸轮旋转角度与可动齿位移之间的映射关系。内凸轮轮廓和外凸轮轮廓可以通过分别沿理论轮廓的法线方向向内和向外偏移来获得，如方程(9)所示：(9) {rci=rc?ncrr, rco=rc+ncrr, 0≤φi≤πz1，其中rci和rco分别表示一个升程的内凸轮轮廓和外凸轮轮廓，nc表示理论轮廓的法线方向，rr表示滚子半径。完整的凸轮轮廓相对于长半轴和短半轴对称镜像。2.2.4. 可动齿轮廓和凸轮轮廓的缺陷尽管方程(6)?(8)从制造和应用分析的角度理论上满足运动关系和啮合原理，但可动齿和凸轮的轮廓仍不能满足实际应用需求。对于可动齿，理论上只有齿尖与内齿轮啮合，导致两个主要问题：(1) 齿尖容易磨损，导致传动异常甚至卡死，如图6(a)所示；(2) 可动齿的非工作面上可能发生润滑油积聚，影响工作面上的油膜形成质量，如图6(b)所示。下载：下载高分辨率图片（77KB）下载：下载全尺寸图片图6. 可动齿轮廓的问题：(a) 齿尖磨损，(b) 非工作面上润滑油积聚。对于凸轮，也有两个主要问题：(1) 长半轴和短半轴的理论轮廓的法线方向与凸轮轴成一定角度相交，在内凸轮轮廓和外凸轮轮廓中产生尖锐点或假轮廓，如图7(a)所示；(2) 凸轮曲线不包括加速或减速阶段，导致可动齿上升和返回行程中的刚性冲击，如图7(b)所示，其中vr和vt表示可动齿相对于内齿轮的旋转速度和平移速度。下载：下载高分辨率图片（177KB）下载：下载全尺寸图片图7. 凸轮轮廓问题：(a) 尖锐点或假轮廓，(b) 描述了可动齿的刚性冲击。3. 齿形修改设计方法在本节中，基于2.2.4节描述的LSMTD缺陷，提出了可动齿、凸轮和内齿轮的齿形修改方法。3.1. 齿形修改设计方法为了防止可动齿尖严重磨损并优化形成油膜的条件，本节采用弧曲线或高阶多项式曲线来修改可动齿的轮廓[30]、[31]。图8展示了修改后的可动齿示意图，其中点A表示修改后的齿尖，点B表示修改曲线与原始轮廓之间的分段点，Δθ表示修改段的角度范围。下载：下载高分辨率图片（30KB）下载：下载全尺寸图片图8. 可动齿轮廓的修改方法。3.1.1. 弧曲线轮廓修改从图8可以看出，修改弧的中心位于极轴上。因此，可动齿单侧修改弧的方程可以表示为：(10) rmr=arcosθ+Rr2?ar2sin2θ, Δθ≤θ≤0，其中rmr表示修改后的可动齿轮廓，Rr表示修改弧的半径，ar表示从极点到弧心的距离。为了确保曲线在修改点B处的连续性，曲线的两个部分在点B处必须具有相同的值和一阶导数。根据(6)、(10)，可以表示为：(11) arcosΔθ+Rr2?ar2sin2Δθ=RexpΔθ/tanβ, (12) ?arsinΔθ?ar2sin2Δθ2Rr2?ar2sin2Δθ=RexpΔθ/tanβtanβ。这两个方程分别对应于点B处值相等和一阶导数相等的约束。通过组合和简化这两个方程，可以得到Δθ和ar之间的关系：(13) ar=RcosΔθexpΔθtanβ?tan2Δθ。确定了可动齿的修改范围Δθ后，可以使用(11)、(13)求解Rr和ar。总之，单侧可动齿经过弧线修改后的轮廓可以表示为：(14) rmr={Rexpθtanβ, θh≤θ<δθ, arcosθ+rr2?ar2sin2θ, δθ≤θ≤0。使用弧线修改的优点是机床的弧线插补技术非常成熟，允许高加工精度[32]。然而，缺点是弧的半径是恒定的，无法在点b处实现严格的几何连续性，这会导致曲率不连续[33]。3.1.2. 高阶多项式曲线修改与弧曲线修改相比，高阶多项式曲线修改确保了分段点处的严格几何连续性。使用高阶多项式曲线修改时有四个约束：在点a处，修改曲线必须有一阶导数为零，以消除轮廓上的尖点；在点b处，修改曲线必须在值和一阶、二阶导数上与原始轮廓曲线匹配，以确保轮廓曲线的严格几何连续性。因此，可以使用三次多项式来建立修改轮廓：(15) rmr=Ra0+a1θ+a2θ2+a3θ3, δθ≤θ≤0，其中a0、a1、a2和a3是三次多项式的系数。引入r是为了统一对数螺旋和高阶多项式的表达形式。基于点a和b的约束，并结合(6)、(15)方程组，可以建立a0、a1、a2和a3的方程组，可以用矩阵形式表示为：(16) 0 1 0 0 1 δθ δθ 2 δθ 0 1 2 δθ 3 δθ 2 0 0 2 1 2 δθ 2 a0 a1 a2 a3=0expΔθ/tanβexpΔθ/tanβtanβexpΔθ/tanβtan2β。在方程(16)中，让A表示左边的4×4系数矩阵，c1表示右边的4×1系数矩阵，Ax表示修改齿形曲线的未确定系数矩阵。因此，Ax可以表示为：Ax = a?1·c1。基于上述内容，使用高阶多项式曲线的修改后的单侧可动齿轮廓可以表示为：(17) rmr={Rexpθtanβ,><δθ, ra0+a1θ+a2θ2+a3θ3, δθ≤θ≤0。高阶多项式曲线修改的优点在于确保了分段点处的严格几何连续性。然而，与圆弧相比，高阶多项式曲线的插补难度更大。两种可动齿修改方法对lsmtd性能的影响将在第5节中进一步讨论。3.2. 凸轮轮廓修改高阶多项式曲线用于修改靠近主轴和副轴的凸轮轮廓，如图9所示，图中红色和黑色虚线分别代表未修改和修改后的凸轮理论轮廓，黑色实线表示修改后的凸轮内轮廓和外轮廓。点c和d分别代表主轴和副轴的位置，而点c'和d'代表主轴和副轴修改曲线的分段点。角度φi1和φi2分别代表主轴和副轴修改曲线的角度。下载：下载高分辨率图片（82kb）下载：下载全尺寸图片图9. 凸轮理论轮廓修改方法。对于副轴修改曲线，为了确保凸轮从动件在点c处的轴向速度和加速度为零，副轴修改曲线在点c处的一阶和二阶导数必须都为零。为了确保副轴修改曲线与未修改曲线在点c'处的严格几何连续性，两条曲线在点c'处的值和一阶、二阶导数必须相等。因此，可以使用四次多项式来建立副轴修改曲线的方程：(18) rcr=r0+R(b0+b1φi+b2φi2+b3φi3+b4φi4), 0≤φi≤φi1，其中b0、b1、b2、b3和b4是副轴修改曲线的未确定系数，引入r0和r是为了统一未修改曲线和高阶多项式曲线的表达形式。基于点c和c'的约束，并结合(8)、(18)方程组，可以建立关于b0、b1、b2、b3和b4的方程组。这可以用矩阵形式表示为：(19) [0 1 0 0 0 0 2 0 1 φi1 φi1 2 φi1 3 φi1 4 0 φi1 2 φi1 3 φi1 2 4 φi1 3 0 0 2 6 φi1 12 φi1 2] [b0 b1 b2 b3 b4]=[0 0 exp(z1φi1 z2tanβ)?1 z1exp(z1φi1 z2tanβ) z2tanβ z12exp(z1φi1 z2tanβ) (z2tanβ)2]。在方程(19)中，让b表示方程左边的5×5系数矩阵，c2表示方程右边的5×1系数向量，bx表示副轴修改曲线的未确定系数矩阵。因此，bx可以表示为bx=B?1·c2。对于主轴修改曲线，类似地，在点D和D'处也有相同的约束，可以表示为：(20) rcr=r0+Rc0+c1φi+c2φi2+c3φi3+c4φi4, φi2≤φi≤πz1，其中c0、c1、c2、c3和c4是主轴修改曲线的未确定系数。结合方程(8)和(20)，并将结果方程组用矩阵形式表示，我们得到：(21) [0 1 π 3(π z1) 2 4(π z1) 3 0 0 2 3 π 1 2 (π z1) 2 1 φi2 φi2 2 φi2 3 φi2 2 φi2 3 φi2 2 4 φi2 3 0 0 2 6 φi2 1 2 φi2 2] [c0 c1 c2 c3 c4]=[0 0 exp(z1φi2 z2tanβ)?1 z1exp(z1φi2 z2tanβ) z2tanβ z12exp(z1φi2 z2tanβ) (z2tanβ)2]。在方程(21)中，让c表示方程左边的5×5系数矩阵，c3表示方程右边的5×1系数向量，bx表示主轴修改曲线的未确定系数矩阵。因此，bx可以表示为bx=C?1·c3。总之，在提升阶段凸轮修改的理论轮廓可以表示为：(22) rcr={r0+R(b0+b1φi+b2φi2+b3φi3+b4φi4), 0≤φi≤φi1, r0+r[exp(z1φiz3tanβ)?1],>< /><φi2, r0+r(c0+c1φi+c2φi2+c3φi3+c4φi4), φi2≤φi≤πz1。3.3. 修改内齿轮齿形可动齿和凸轮的修改导致内齿轮齿形的形状偏离标准对数螺旋。因此，需要根据可动齿和凸轮之间的运动关系来求解修改后的内齿轮齿形。如图10所示，o0-x0y0是全局坐标系，o1-x1y1是可动齿的旋转坐标系，o2-x2y2是可动齿的平移坐标系。从o2-x2y2到o0-x0y0的变换矩阵m02可以建立为：(23) m02=cosφo?sinφoΔrcr rcosφo sinφo cosφo δrcr sinφo 0 0 1，其中δrcr=rcr ? r0表示可动齿沿轴的平移距离，φo=φi/i12′。因此，Δrcr可以表示为：(24) δrcr={Rb0+b1φoi′12+b2φoi′12 2+b3φoi′12 3+b4φoi′12 4, 0≤φo≤φi1i′12, rexpφo tanβ?1,>< /><πz1i′12, rc0+c1φoi′12+c2φoi′12 2+c3φoi′12 3+c4φoi′12 4, φi2i′12≤φi≤πz1i′12。下载：下载高分辨率图片（60kb）下载：下载全尺寸图片图10. 可动齿的运动坐标系。基于极坐标和笛卡尔坐标之间的关系，可动齿的修改后齿形可以在o2-x2y2中表示为：(25) rmr(o2)=[rmrcosθ rmrsinθ]t。结合(23)、(25)，可动齿的运动坐标点可以在o0-x0y0中表示为：(26) rmro0=m02 rmro2 1=rmrcosθ+φo+δrc rcosφo+δrcrsinθ+φo+δrcrsinφo1。根据用于可动齿修改的方法，rmr由(14)、(17)确定。通过改变方程(26)中的θ和φo值，可以获得可动齿在啮合过程中的运动轨迹，该轨迹的包络线表示所需的内齿轮齿形。因此，解决满足啮合点的θ和φo值就足以得到内齿轮齿形的曲线。根据啮合理论[34]，在啮合点，可动齿与内齿轮齿之间的相对速度方向垂直于共同法线方向，表示为：(27) v?n=0，其中v和n分别表示可动齿与内齿轮齿之间的相对速度向量和共同法向量。对于v，在内齿轮的固定齿轮模式下，相对速度等于可动齿的运动速度，表示为：(28) v=?rmr(o0)?t=?rmr(o0)?φo?φo?t=?rmr(o0)?φoωo，其中t表示时间，ωo表示可动齿的角速度。此时，为了简化啮合函数的计算负担，可以假设ωo为1 rad/s。 rc0+c1φoi′12+c2φoi′12 2+c3φoi′12 3+c4φoi′12 4, φi2i′12≤φi≤πz1i′12。下载：下载高分辨率图片（60kb）下载：下载全尺寸图片图10. 可动齿的运动坐标系。基于极坐标和笛卡尔坐标之间的关系，可动齿的修改后齿形可以在o2-x2y2中表示为：(25) rmr(o2)=[rmrcosθ rmrsinθ]t。结合(23)、(25)，可动齿的运动坐标点可以在o0-x0y0中表示为：(26) rmro0=M02 rmro2 1=rmrcosθ+φo+Δrc rcosφo+δrcrsinθ+φo+δrcrsinφo1。根据用于可动齿修改的方法，rmr由(14)、(17)确定。通过改变方程(26)中的θ和φo值，可以获得可动齿在啮合过程中的运动轨迹，该轨迹的包络线表示所需的内齿轮齿形。因此，解决满足啮合点的θ和φo值就足以得到内齿轮齿形的曲线。根据啮合理论[34]，在啮合点，可动齿与内齿轮齿之间的相对速度方向垂直于共同法线方向，表示为：(27) v?n=0，其中v和n分别表示可动齿与内齿轮齿之间的相对速度向量和共同法向量。对于v，在内齿轮的固定齿轮模式下，相对速度等于可动齿的运动速度，表示为：(28) v=?rmr(o0)?t=?rmr(o0)?φo?φo?t=?rmr(o0)?φoωo，其中t表示时间，ωo表示可动齿的角速度。此时，为了简化啮合函数的计算负担，可以假设ωo为1 rad>将这个值代入方程(28)并简化表达式，我们得到：
(29)
{v = vx·i + vy·j,
vx = -rmr·sinθ + φo - Δrcr·cosφo + dΔrcr·cosφo·cosφo,
vy = rmr·cosθ + φo + Δrcr·cosφo + dΔrcr·cosφo·sinφo,
}
其中vx和vy表示在O0-x0y0坐标系中可动齿沿x轴和y轴的速度分量，i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。
dΔrcr/dφo可以按照以下方式计算：
(30)
dΔrcr/dφo =
{
{Rb1·i′12 + 2b2·i′12 * 2φo + 3b3·i′12 * 3φo + 4b4·i′12 * 4φo, 0 ≤ φo ≤ φi1,
Rexpφo / (tanβ · tanβ),
φi1 < φo < φi2,
Rc1·i′12 + 2c2·i′12 * 2φo + 3c3·i′12 * 3φo + 4c4·i′12 * 4φo, φi2 ≤ φi ≤ π,
z1·i′12
}
对于n，可动齿廓的切向向量可以首先计算并表示为：
(31)
{T = Tx·i + Ty·j,
Tx = drmr·cosθ + φo - rmr·sinθ + φo,
Ty = drmr·sinθ + φo + rmr·cosθ + φo,
}
其中Tx和Ty表示在O0-x0y0坐标系中可动齿廓沿x轴和y轴的切向分量的分量。
然后，基于n和T之间的垂直关系，n可以表示为：
(32)
{n = nx·i + ny·j,
nx = -Ty = -drmr·sinθ + φo - rmr·cosθ + φo,
ny = Tx = drmr·cosθ + φo - rmr·sinθ + φo,
}
其中drmr/dθ是由可动齿的修改方法确定的。当使用弧线曲线修改时，可以通过对方程(14)求导来计算。求导后的方程可以表示为：
(33)
drmrdθ =
{
{Rexpθ / (tanβ · tanβ), θh ≤ θ < Δθ,
-ar·sinθ - ar2·sin2θ / (2Rr2 - ar2·sin2θ), Δθ ≤ θ ≤ 0,
}
当使用高阶多项式曲线修改时，可以通过对方程(17)求导来计算。求导后的方程可以表示为：
(34)
drmrdθ =
{
{Rexpθ / (tanβ · tanβ), θh ≤ θ < Δθ,
Ra1 + 2a2·θ + 3a3·θ2 + 4a4·θ3, Δθ ≤ θ ≤ 0,
}
通过组合(27)、(28)、(29)、(30)、(31)、(32)、(33)、(34)，可以在啮合点计算出θ和φo的值。将这些值代入方程(26)将得到O0-x0y0坐标系中内齿轮环齿廓的坐标。
以高阶多项式曲线修改为例，图11(a)展示了可动齿的运动轨迹与内齿轮环齿廓形成之间的关系。此外，还发现Δθ、φi1和φi2的数值选择对内齿轮环的齿形至关重要。不适当的参数会导致齿尖曲线的突然变化，如图11(b)所示。2θa表示内齿轮环一个齿廓的角范围。
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图11. 内齿轮环齿廓的包络过程：(a) 正常齿廓，(b) 异常齿廓。
4. 啮合特性模型
在本节中，基于第3节的内容，开发了LSMTD的啮合特性模型，包括啮合速度、润滑角、诱导法向曲率和压力角。
4.1. 啮合速度模型
啮合速度ve是一个重要的指标，用于评估油膜形成的条件。通常，较高的啮合速度和啮合过程中较小的波动更有利于形成流体动力油膜[35]，可以表示为：
(35)
ve = (v1 + v2) / 2，
其中v1和v2表示接触线上两个接触表面的线速度。
在LSMTD中，可动齿和内齿轮环的速度可以分解为相对内齿轮环的旋转速度vr和平移速度vt。因此，LSMTD中的ve可以表示为：
(36)
ve = vr^2 + vt^2 - 2vt * vr * sinθ^2。
对于vr，可以根据啮合点与保持架轴之间的距离以及保持架的旋转速度来计算，可以表示为：
(37)
vr = dm·ωi * z1 / (z3 - z1) = dm·ωo，
其中ωi和ωo分别表示LSMTD的输入和输出速度，dm表示啮合点与保持架轴之间的距离，可以通过啮合点的坐标计算得出。
对于vt，可以使用凸轮的位移速度vt = drcr/dt来计算。使用方程(22)，我们可以得到：
(38)
vt =
{
{Rωi * (b1 + 2b2·φi + 3b3·φi2 + 4b4·φi3), 0 ≤ φi ≤ φi1,
Rωi * (z1 / z3 * tanβ) * exp(φi * z3 / tanβ), φi1 < φi < φi2,
Rωi * (c1 + 2c2·φi + 3c3·φi2 + 4c4·φi3), φi2 ≤ φi ≤ π,
z1
}
4.2. 润滑角模型
润滑角是两个表面接触点处的切线方向与相对速度方向之间的角度。它越接近90°，越有利于形成流体动力油膜[36]。如图12所示，LSMTD中可动齿与内齿轮环之间的接触线始终垂直于运动方向。因此，从润滑角的角度来看，LSMTD为形成流体动力油膜提供了有利的环境。
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图12. LSMTD的润滑角。
4.3. 压力角模型
压力角αp是评估机构传动效率的一个重要参数；较小的α表示更好的传动效率[37]。它可以表示为作用在从动件上的驱动力Fn与该力作用的速度vm之间的角度：
(39)
αp = arccos Fn · vm | Fn || vm |
如图13所示，LSMTD中有两个压力角：α1是可动齿与内齿轮环之间的角度，α2是可动齿滚子与凸轮内轮廓之间的角度。它们可以表示为：
(40)
{
α1 = arccos n · vr | n || vr |,
α2 = arccos n·c · vt | nc || vt |
}
其中nc可以使用方程(22)计算得出。
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图13. LSMTD的压力角。
4.4. 诱导法向曲率模型
诱导法向曲率表示两个共轭表面沿任意切线方向的法向曲率差异。它对齿面接触应力、油膜承载能力和传动效率和服务寿命有显著影响[38]。LSMTD齿廓方向上的诱导法向曲率κm-i可以根据内齿轮环和可动齿廓之间的曲率差异来计算，可以表示为：
(41)
κm-i = 1 / (ρi - 1/ρm),
其中ρm是接触点处可动齿的曲率半径，可以使用(14)、(17)计算得出；ρi是接触点处内齿轮环的曲率半径，可以使用有限差分方法根据计算出的内齿轮廓坐标计算得出。沿可动齿宽度的诱导法向曲率始终为零，因此不再讨论。
5. 案例研究
在本节中，我们使用具体案例定量分析了不同的齿廓修改方法和参数对LSMTD啮合特性的影响。此外，通过FEA模型和实验原型阐明了LSMTD中宽线接触形成的机制。本节使用的设计参数见表1。
表1. LSMTD的设计参数。
内容 | 符号 | 值 |
| --- | --- | --- |
| 凸轮的长半轴或短半轴数量 | z1 | 2 |
| 可动齿数量 | z2 | 24 |
| 内齿轮上的齿数量 | z3 | 50 |
| 可动齿的轮廓参数 | R | 40 |
| 可动齿的轮廓参数β | β | 35° |
| 可动齿的修改范围 | Δθ | -0.2° |
| 可动齿轮廓的范围 | θh | -4.8° |
| 较小半轴的修改曲线角度 | φi1 | 15° |
| 较大半轴的修改曲线角度 | φi2 | 75° |
| 基圆半径 | r0 | 25 mm |
| 滚子半径 | rr | 3 mm |
5.1. 设计参数对啮合特性的影响
在本小节中，我们定量分析了不同设计参数对啮合速度、压力角和诱导法向曲率的影响。
5.1.1. 啮合速度
如前所述，可动齿的修改方法对总体几何尺寸几乎没有影响。因此，ve主要由β和R决定。以凸轮速度为900 r/min和可动齿使用高阶多项式曲线修改为例，β和R对vt、vr和ve的影响如图14、图15所示。β的增加导致vt显著减小，vr略有减小，从而导致ve减小；随着R的增加，vt和vr逐渐增加，ve相应增加。
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图14. β值的影响 (a) vt, (b) vr, (c) ve。
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图15. R值的影响 (a) vt, (b) vr, (c) ve。
另外，如图14、图15所示，在凸轮的长半轴和短半轴修改段（φo = 0° - 0.6°, 3° - 3.6°）内，vt表现出加速和减速过程，有效缓解了可动齿在推力和回程过程中的刚性冲击。在凸轮的非修改段（φo = 0.6° - 3°）内，ve相对稳定，波动不大，这有利于油膜的形成。由于较大的ve值和啮合周期内的较小波动表明有利于形成流体动力油膜，因此从啮合速度的角度来看，建议选择适中的β和较大的R来设计LSMTD。
5.1.2. 压力角
活动齿的修改方法对α1的影响较小，对α2没有影响。以可动齿使用高阶多项式曲线修改为例，分析了β、R和Δθ对α1的影响。如图16所示，随着β的增加，α1增加，而随着R和Δθ的增加，α1几乎保持不变。在凸轮的非修改段（φo = 0.6° - 3°）内，α1保持恒定，几乎等于β。这表明在可动齿与内齿轮环之间的啮合过程中，载荷波动很小，有助于保持稳定的油膜。
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图16. (a) β, (b) R, 和 (c) Δθ值对α1的影响。
图17展示了β、R和r0对α2的影响。α2随着β和r0的增加而减小，随着R的增加而增加。此外，在凸轮的主要和次要轴修改段（φo = 0° - 0.6°, 3° - 3.6°）内，α2显示出增减过程，在凸轮的非修改段（φo = 0.6° - 3°）内，α2呈现缓慢下降趋势，这可以有效减少可动齿在上升和回程过程中的刚性冲击。
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图17. (a) β, (b) R, 和 (c) r0值对α2的影响。
结合α1和α2的分析结果，可以看出β对α1有显著影响。从提高传动效率的角度来看，设计时应选择较小的β以增强可动齿与内齿轮环之间的传动效率。此外，为了确保凸轮和可动齿之间的传动效率，应选择较小的R和较大的r0，前提是不会发生几何干涉。
5.1.3. 诱导法向曲率
可动齿的修改方法影响齿廓的曲率半径，从而影响啮合点的诱导法向曲率。本节比较了两种可动齿修改方法对κm-i的影响。当使用圆弧曲线修改可动齿时，β、R和Δθ对κm-i的影响如图18所示。随着β、R和Δθ的增加，κm-i趋近于0，从而获得更好的理论啮合性能。
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图18. (a) β, (b) R, 和 (c) Δθ值对κm-i（圆弧修改）的影响。
如图19所示，当使用高阶多项式曲线对可动齿进行修饰时，κm-i随着β和Δθ的增加而增加，随着R的增加而减小。与圆弧修改相比，高阶多项式曲线修整的κm-i更接近0，表明这种修整方法在理论上提供了更好的传动性能。值得注意的是，当φo = 0.6°和3°时，内齿轮轮廓的凹凸程度发生变化，导致κm-i的值突然变化。
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图19. (a) β, (b) R, 和 (c) Δθ值对κm-i（高阶多项式修改）的影响。
特别是从图18、图19可以看出，当Δθ = -0.3°时，在某些啮合区域内，两种可动齿的修改方法都会导致κm-i > 0。这表明在这些啮合区域内，移动齿与内齿轮环之间存在曲率干涉，从而妨碍了正确的啮合。因此，在设计LSMTD时，不应选择过大的Δθ，并且应检查κm-i以避免曲率干涉。值得注意的是，尽管理论接触点的诱导法向曲率接近于传统齿轮传动的曲率，但LSMTD的特殊传动形式意味着诱导法向曲率不能直接判断接触面积的大小。
5.2. 有限元建模与分析
在本小节中，基于之前推导出的修改后的齿廓方程，设计了LSMTD的3D模型。随后，建立了相应的有限元模型来分析LSMTD中的宽线接触形成机制，并比较了两种齿廓修改方案之间的齿面接触行为差异。
5.2.1. 有限元建模
两种齿廓修改方案仅在可动齿的尖端和内齿轮齿廓曲线上有轻微差异。以下是翻译后的中文文本：

以高阶多项式修改移动齿为例，图20展示了LSMTD的3D模型及其结构分解图，其中1代表内环，4代表保持架，5和12代表凸轮组件，13代表移动齿和滚子，6和16代表端盖，11和14代表锁紧螺母，2、8和10代表油封，3、7、9和15代表轴承。下载：下载高分辨率图片（154KB）下载：下载全尺寸图片。图20. LSMTD的3D模型：(a) 截面图，(b) 分解图。图21展示了有限元模型的关键约束和网格尺寸，其中S1至S7代表移动齿与内齿轮环之间的接触表面。基于LSMTD结构的周期性对称性，仅保留了周期几何形状的1/4来简化3D模型。在内齿轮环和凸轮的表面施加了固定约束，并沿保持架的旋转轴施加了扭矩。在具有接触关系的部件之间设置了摩擦接触。在网格划分过程中，全局网格尺寸设置为0.5毫米，移动齿与内齿轮环之间的接触表面网格尺寸设置为0.1毫米，以准确分析齿的接触变形行为。两种移动齿修改方案对应的有限元模型均包含572,702个元素和1,250,764个节点。模拟的硬件配置为：CPU Intel I7 13700K、内存DDR5 32GB×4以及NVIDIA 3060Ti显卡。下载：下载高分辨率图片（126KB）下载：下载全尺寸图片。图21. LSMTD的有限元建模：(a) 有限元模型和关键约束，(b) 齿面的细化网格。

5.2.2. 仿真结果分析
图22显示了由高阶多项式曲线塑造的可移动齿表面的压力分布。位于S1和S7的可移动齿分别与内齿轮环的齿尖和齿根啮合，因此不承受负载。因此，图中仅显示了S2至S6齿表面的压力分布，其中图22(a)?(e)分别对应S2至S6，从左到右分别代表15 N·m、30 N·m、45 N·m和60 N·m的保持架扭矩。随着可移动齿逐渐从内齿轮环的齿尖移动到齿根，接触形式从线接触变为宽线接触。此外，随着保持架扭矩的增加，可移动齿的接触面积也随之增加。有限元分析（FEA）表明，LSMTD在传动过程中可以形成宽线接触，有效分布齿面负载，并防止由于齿面应力集中导致的传动故障。下载：下载高分辨率图片（231KB）下载：下载全尺寸图片。图22. 可移动齿表面的压力分布（高阶多项式曲线修改）。

图23展示了使用圆弧曲线塑造的可移动齿表面的压力分布，图中的边界条件与图22一致。与图22相比，发现两种塑造方法对可移动齿的接触面积和压力分布没有显著影响，表明齿的塑造方法对LSMTD的承载能力没有显著影响。从制造精度的角度来看，建议使用圆弧曲线来塑造可移动齿。然而，圆弧曲线塑造可能会导致齿廓曲率不连续的问题，这需要进一步研究其对齿面油膜形成质量和摩擦磨损行为的具体影响。下载：下载高分辨率图片（227KB）下载：下载全尺寸图片。图23. 可移动齿表面的压力分布（圆弧曲线修改）。

图22和图23中压力分布结果基本相同的主要原因是：加载LSMTD后，可移动齿会发生弹性变形，略微偏离理论啮合点。因此，主要的承载位置位于修改点下方，修改点下方的可移动齿齿廓呈对数螺旋形。因此，两种修改方法之间的齿面应力分布没有显著差异。此外，根据LSMTD的运动原理，可移动齿与内齿轮环具有周期性的啮合和脱开关系。因此，S2至S6也可以视为可移动齿从内齿轮环的齿尖移动到齿根时，单个可移动齿上压力分布的变化。

5.3. LSMTD的制造与实验分析
为了进一步验证本文提出的LSMTD齿廓修改设计方法的正确性，根据表1中的参数制造了一个LSMTD原型。为了确保原型的最高制造精度，我们使用慢速电火花加工（EDM）方法对内齿轮环和可移动齿的齿廓进行了加工。保持架、凸轮和其他组件使用MAZAK复合车铣加工中心制造，齿廓的尺寸公差控制在±5微米范围内。图24展示了加工后的关键组件，图25展示了LSMTD的组装过程和完成后的原型。下载：下载高分辨率图片（343KB）下载：下载全尺寸图片。图24. 关键组件：(a) 可移动齿，(b) 内齿轮环，(c) 保持架，(d) 凸轮。下载：下载高分辨率图片（305KB）下载：下载全尺寸图片。图25. 减速器原型：(a) 关键组件的组装顺序，(b) LSMTD原型。

如图26所示，使用组装好的减速器进行了啮合齿表面的接触模式分析，并与FEA结果进行了比较。从图中可以看出，可移动齿表面的接触模式与FEA计算得到的压力分布区域和形态高度一致。两者都表现出沿齿宽方向从宽到窄的变化。这种现象主要是由于现有结构中凸轮和滚子在工作时产生的翻转力矩，导致齿面上出现轻微的负载偏移。这一问题将在未来的研究中通过结构优化或沿齿宽方向的齿廓修改来改进。实验结果与FEA结果的高度一致性进一步证明了本文提出的LSMTD齿廓修改设计的正确性以及实现LSMTD宽线接触的可行性。下载：下载高分辨率图片（213KB）下载：下载全尺寸图片。图26. 接触模式测试：(a) 测试前后的可移动齿，(b) FEA结果。

5.4. 宽线接触的实现机制
FEA和实验结果表明，可移动齿与内齿轮环之间可以形成宽线接触模式，这是一种不同于传统齿轮驱动器[39]、[40]的点接触和线接触的新接触形式。更大的接触面积可以有效分散齿面上的接触压力，避免接触疲劳失效。实现这一点的两个主要机制可以通过图27来解释：(1) 在外部负载作用下，可移动齿发生轻微位移和弹性变形，使它们能够适应性地调整在内齿轮环内的啮合位置，以实现最佳啮合。(2) 可移动齿和内齿轮环的齿廓分别是凸形和凹形，齿面之间的啮合间隙最小。接触变形后，齿面的接触面积可以有效增加。值得注意的是，尽管形成宽线接触会导致可移动齿的啮合位置偏离理论啮合点，但偏离很小，因此对齿面的啮合特性和传动精度没有显著影响。下载：下载高分辨率图片（145KB）下载：下载全尺寸图片。图27. LSMTD中宽线接触形成的主要原因：(a) 理论啮合状态，(b) 可移动齿的微小位移，(c) 齿面的凹凸形状。

6. 结论
本研究构建了对数螺旋形可移动齿驱动器（LSMTD）的齿廓修改设计方案和啮合特性模型。在此基础上，通过FEA模型和实验原型揭示了LSMTD宽线接触传动的可行性和形成机制，为这种传动形式的发展提供了重要的理论基础。具体结论如下：
(1) 建立了一种基于圆弧和高阶多项式曲线的主动齿廓修改设计方案，解决了由于齿尖啮合引起的齿尖磨损和难以形成流体动力油膜的问题。此外，还建立了一种基于高阶多项式曲线的凸轮齿廓修改方案，解决了凸轮内外轮廓上的尖锐点和虚线问题。这保证了可移动齿在推动和返回阶段的速度和加速度为零，从而避免了刚性冲击问题。
(2) 根据修改后的可移动齿与修改后的凸轮之间的运动关系，推导出了可移动齿与内齿轮环之间的啮合函数，得到了修改后的内齿轮环的齿廓曲线。研究发现，不适当的修改参数会导致内齿轮环齿尖附近曲线突然变化。
(3) 在可移动齿与内齿轮环的啮合过程中，保持了非常稳定的啮合速度和压力角，润滑角理论上保持恒定在90°，从而形成了非常良好且稳定的流体动力油膜，减少了齿面之间的摩擦和磨损。然而，某些修改设计参数可能会使可移动齿与内齿轮环之间某些啮合区域的诱导法向曲率大于零，导致曲率干涉，从而阻止正常啮合。
(4) 从理论上讲，LSMTD属于线接触传动。特殊的齿廓形状和传动方式使得可移动齿与内齿轮环之间能够形成宽线接触，随着负载的增加，接触面积也随之增加。比较两种可移动齿的修改方法发现，修改方法对可移动齿的接触面积没有显著影响。从制造精度的角度来看，建议使用圆弧曲线来修改可移动齿。
(5) 根据设计参数制造了一个LSMTD原型，并进行了齿面接触模式测试。通过将齿面上的接触模式与FEA计算得到的压力分布区域进行比较，进一步证明了本文提出的修改设计的正确性以及实现LSMTD宽线接触的可行性。此外，当前的结构形式可能会在可移动齿的齿面上产生轻微的负载偏移，这将在未来的研究中通过结构优化或沿齿宽方向的齿廓修改来改进。

本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号U23A20619、52175039）、四川省自然科学基金创意研究组项目（项目编号2025NSFTD0020）以及中国成都市科技计划（项目编号2026-YF08–00103-GX、2023-JB00–00024-GX）的支持。

CRediT作者贡献声明
王仕松撰写了手稿；邓兴桥负责整个试验；刘玉成指导了写作；齐良照指导了测试原型的制造和加工；王仕松和王豪文完成了可移动齿表面应力分布的仿真研究；董成龙和曾志林组装并测试了测试原型。所有作者均阅读并批准了最终手稿。