具有重尾跳跃过程的随机传输的异常扩散特性

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Anomalous diffusion properties of stochastic transport by heavy-tailed jump processes

超扩散机制与噪声尾部行为的关系研究。当驱动噪声为标准α-稳定过程时，长尾跳跃导致被动标量输运异常超扩散；截断或指数调制的噪声则使输运恢复经典扩散特性。

　　

保罗·奇法尼（Paolo Cifani）|弗朗科·弗兰多利（Franco Flandoli）|洛伦佐·马里诺（Lorenzo Marino）

意大利比萨高等师范学院数学系，骑士广场7号（Department of Mathematics, Scuola Normale Superiore, Piazza dei Cavalieri 7, Pisa, Italy）

摘要

在这项研究中，我们探讨了由湍流流体携带的被动标量的大尺度传输特性。该湍流流体被建模为无散度矢量场的叠加，每个矢量场都受到一个独立的、具有类似α稳定性的过程的加权。受到最近研究[17, 18]的启发，这些研究表明复杂的微观空间结构常常会导致布朗扩散现象，我们研究了当驱动噪声具有重尾跳跃统计特性时，这一原理是否仍然成立。我们的数值结果显示，这种特性与噪声的尾部行为密切相关。当考虑标准的α稳定过程时，非常大的跳跃能够存活下来，并产生异常的超扩散传输现象。相反，当α稳定噪声被截断或进行指数衰减（即抑制极长的跳跃）时，传输过程会转变为经典扩散状态。

引言

湍流传输的扩散特性问题（${?}_{t}T+u·?T=0$（可能包含分子扩散项κΔT）在物理学（源自布辛涅斯克[1]的直觉）、工程学和数学物理学[2], [3]中是一个基本问题。湍流速度场的随机模型（形式为$u(x,\mathrm{t)}=\sum _k{\sigma }_k\left(x\right){\xi }_t^k$，其中σ_k(x)是矢量场，${\xi }_t^k$是标量（可能是广义的）随机过程，其求和扩展到合适的波数k，这类模型长期以来一直被广泛使用[4]。近年来，这些模型作为描述湍流微观结构的有效工具重新引起了人们的兴趣[5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14]等众多研究和作者的关注。上述大多数经典文献以及其他研究都考虑了${\xi }_t^k$为白噪声（布朗运动的导数）或奥恩斯坦-乌伦贝克过程（Ornstein-Uhlenbeck process）的情况，这种近似在时间相关性较小时是合理的。上述许多研究中都详细探讨了这类湍流传输模型的扩散特性。

最近，人们对${\xi }_t^k$为具有记忆性的过程或具有大跳跃的过程的情况越来越感兴趣。这是因为人们试图描述的流体状态不同：在三维湍流中，或者当二维湍流中小涡旋的行为类似于三维湍流时，湍流涡旋结构较小且松弛时间较短，因此用白噪声或具有短相关时间的奥恩斯坦-乌伦贝克过程进行近似是合理的。但在二维湍流中，会出现更长的相关性，较大的涡旋结构开始主导能量分布，因此用白噪声或接近白噪声的过程进行描述可能会忽略重要的传输信息。到目前为止，尚不清楚哪种过程更适合描述这类现象，因此研究具有记忆性或大跳跃的其他过程的扩散特性变得尤为重要（这些过程可以模拟长时间内的连贯运动）。

关于${\xi }_t^k$与分数高斯噪声（Fractional Gaussian Noises, FGN）相关的情况（Hurst参数为H?1/2，即持续性情况），值得一提的是两项研究：在[16]中证明了一个理论结果，该结果表明H值为1/2的FGN产生的扩散效应比经典白噪声更强。不幸的是，这一结果仅在u(x, t)具有非常简单的空间结构（即单个场σ_k(x)或σ_k(x)为常数的情况下得到。因此，尚不清楚这一结果是否适用于具有空间复杂性的u(x, t)情况，正如湍流中所遇到的那样。在[17]中通过数值方法对此进行了研究，研究了几个小尺度的σ_k(x)场（类似于白噪声情况下使用的场）与具有H值为1/2的独立FGN过程的乘积。结果出人意料：其行为类似于白噪声情况。在这种速度场中，示踪剂的行为类似于布朗运动，因为它会在σ_{k的不同分量之间跳跃，因此其位移受到独立过程的控制。}

本文旨在研究与[17]中相同的情况，但此时${\xi }_t^k$为具有大跳跃的α稳定过程。具体来说，我们想了解在复杂空间结构存在的情况下，长尾结构是否得以保留。我们将在适当的理论框架下通过数值方法对此问题进行研究。最近，在[18]中也从理论上研究了类似的问题，并得出了关于扩散特性的严格结果。然而，[18]中的α稳定噪声满足的是小或中等跳跃的条件，这与我们关注的条件不同。此外，[18]中的条件导致在极限情况下出现布朗行为（即类似于[17]中的现象，但经过了严格证明）。

我们将研究三种不同的情况，这也是基于与[18]理论结果的比较：

• (J₁)
  一种圆柱形的α稳定噪声，即沿空间依赖噪声的每个模式独立的α稳定过程；
• (J₂)对之前的α稳定过程进行截断；

(J₃)对这些过程进行指数衰减。

关于这三种情况的结果总结在第2.3节，相应的数值模拟结果在第3节中呈现。这里研究的过程和方程在第2.1节和第2.2节中有介绍。

模型构建与主要结果

我们的目标是数值研究[17]中提出的模型的一种修改版本，在该版本中，原始的分数布朗随机权重$B_t^{H,\; <mi>k</mi>}$被一些重尾（非高斯）噪声所替代。更准确地说，我们希望了解在什么时间尺度假设和噪声条件下，可以预期在大波数极限下出现异常扩散现象，这与[17]和[18]中观察到的扩散行为相反。

我们感兴趣的是以下内容

数值模拟

在本节中，我们使用随机模型3对传输方程（1）进行了数值模拟，其中对流速度u(x, t)由特征方程（5）的数值积分来确定。与我们的相关工作[17]类似，采用了蒙特卡洛方法来模拟粒子轨迹。在下面展示的所有结果中，随机微分方程都是按照马库斯积分（Marcus integral）的含义进行解释并通过积分诱导的流动常微分方程（ODE）来数值求解的。

结论

在这项工作中，我们研究了某些湍流流体的随机模型的扩散效应，这对于诸如受限聚变等离子体中的异常扩散等问题具有重要意义。

这些随机模型，也包括下面引用的文献中的模型，都是由无散度的高振荡矢量场的叠加构成的，每个矢量场都受到一个独立随机过程的加权。不同论文之间的主要区别在于所选择的随机过程。

未引用的参考文献

缺失的参考文献：算法1、2、4、5和6。

CRediT作者贡献声明

保罗·奇法尼（Paolo Cifani）：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿。

弗朗科·弗兰多利（Franco Flandoli）：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿。

洛伦佐·马里诺（Lorenzo Marino）：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本文报告的工作。